ELIPSE
LA ELIPSE Es el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a puntos fijos es constante.
x En donde la ecuación de la elipse está dada por
2 2
a
+
y
2
b
2
=1
2
o
x b
2
2
2
y a
+
=
2
2
a b
. Como
esta ecuación solo contiene potencias pares de x e e y, la curva es simétrica con respecto a los ejes de coordenadas x e y y con respecto al origen. El punto 0 es el centro de la elipse y los ejes se denominan eje mayor y eje menor. i los focos fueran los puntos de coordenadas !0, c " y !0, #c" el eje mayor estar$a so%re el eje y con lo &ue x la ecuación resulta de la forma
2 2
b
+
y
2
a
2
=1.
'a e(centricidad denominada anteriormente con la letra e se calcula con la siguiente fórmula)
e =
c a
=
√ a 2−b2 a
Como la elipse tiene dos focos, focos, tam%ién tendrá dos directrices. 'as ecuaciones de las directrices **1 y ** son respectivamente)
x +
Facilitador: Abdel Cosme
a =0 e
y
x −
a =0 e
ELIPSE a =0 e
+
i los focos estuvieran en el eje y, las ecuaciones de las directrices ser$an) y
y
y
a =0 e
−
e llama latus rectum de la elipse a la cuerda perpendicular al eje mayor por uno de los focos, en donde su 2b
longitud es igual a)
2
a
'os puntos en los cuales la elipse corta al eje mayor se llaman vértices. i el centro de la elipse es el punto
( x − h )2 !h, k " y el eje mayor tiene la dirección del eje x , la ecuación de la elipse es de la forma)
( y −k )2
a2
+
=1
b2
En donde la forma general de la ecuación de la elipse es (+ -y + *( + Ey + = 0
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS. 1. Dada la elipse 9x2 + 16y2 = !6 " #alla$ el se%ie&e %ay'$ y el se%ie&e %e('$ y la ex)e(*$i)idad" las )''$de(adas de l's ')'s" las e),a)i'(es de las di$e)*$i)es y la l'(-i*,d del latus rectum
/ara darle la forma a este ejercicio dividimos todo por 2, &uedando de esta manera. 9 x
2
576
e =
16 y
+
2
=
576
√ 64 −36 8
576
=
entonces
576
√ 28 8
=
√ 7 4
√ 7 Coordenadas del foco 2b
Latus rectum =
a
2 =
( ± 2 √ 7 , 0 ) 2 ( 36 ) 8
Facilitador: Abdel Cosme
=9
e(centricidad
x
2
64
+
y
2
36
e =
=1 c a
=
a = 3, b = 2 √ 7 4
c
=
8
c=
ELIPSE 2. alla$ la e),a)i/( de la elipse de )e(*$' el '$i-e(" ')' e( el p,(*' 0" 3 y se%ie&e %ay'$ i-,al a .
x
2 2
a
+
y
2
b
2
4 = √ 5 −b 2
=1
c a
e =
a = , c = 4
2
elevando al cuadrado para encontrar b
=
3
3
5
5
5 = 6 b2
√ 52− b2
=
5
entonces #12 = 6 b2
7= b 2
x
25
+
y
2
16
=1
. alla$ la e),a)i/( de la elipse de )e(*$' el '$i-e(" e&e %ay'$ s'4$e el e&e x y 5,e pase p'$ l's p,(*'s 0"3 y 06" 23
'lamemos /1 a !7,4" y / a !2, ". Como la elipse tiene el centro en el origen y eje mayor so%re el eje x esta%lecemos &ue
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
para luego rempla8ar los puntos /1 a !7,4" y/ a
!2, ", y &uedar dos ecuaciones con dos incógnitas &uedando de esta manera 4
l rempla8ar /1 a !7,4"
a
2
3
+
2
b
2
2
16
=1
entonces
2
6
l rempla8ar / a !2,"
2
2
+
2
a
2
b
a
2
16
+
36
=1
entonces
a
2
b
2
=1
9
+
b
2
=1
l resolver el sistema de dos ecuaciones nos da como resultado b = 14 y a = , de este modo la x ecuación toma la siguiente forma
2
52
+
y
2
13
=1
7. Dada la elipse de e),a)i/( x 2 + 9 y2 7 8 x + !2 y + 1 = . alla$ s, )e(*$' " se%ie&es" :$*i)es y ')'s.
Facilitador: Abdel Cosme
ELIPSE En esta ocasión nos piden encontrar su centro, de modo &ue tenemos &ue llevar la ecuación antes
( x − h )2 descrita a la forma)
a2
( y −k )2
+
En donde toda ecuación escrita de la forma
a
( ) x +
2
b
=1 de modo &ue tendremos &ue completar cuadrados
b2 x
a
2
+ bx + c, al completar el cuadrado &ueda de la forma
2
#
2
b 4a
en donde a, b y c son los coeficientes de la ecuación cuadrática
7 x2 # 73 x + y + 5 y2 + 177 = 0, al resolver el cuadrado de 7 x2 # 73 x nos da como resultado 4 ( x −6 )
2
2 +4 ) y ( #177 y al resolver al cuadrado de 5 y + y nos da como resultado 5
2
# 177 &ue al
rempla8arlo en la ecuación original nos &ueda de la siguiente manera) 4 ( x −6 )
2
4 ( x −6 )
2
2 +4 ) y ( #177 + 5 # 177 + 177 =0
+ 5 ( y + 4 )
( x − h )2
2
= 177 a9ora dividimos todo por 177 para darle la forma
+
a2
( y −k )2 b2
=1 4 ( x −6 )
:uedando as$
En donde
2
2
+
144
9 ( y + 4 )
a= 2 es el semieje mayor
'a e(centricidad
e =
√ 36 −16 6
144
y
=
=
144
( x − 6 )2
144
36
+
( y + 4 )2 16
=1
b= 7 es el semieje menor √ 20 6
=
√ 5 3
; las coordenadas del foco están descritas por los siguientes puntos
e =
c a
entonces
c = √ 5
( 6 ± 2 √ 5 ,− 4 )
. alla$ la e),a)i/( de la elipse 5,e pasa p'$ l's p,(*'s 078" 13" 02" 73"076" 3 y 08" 73
'lamemos /1 a !#3,1" ,/ !, #7", /4 !#2, 7" y /7!3, #4". la ecuación de la elipse la esta%lecemos de la forma (+ -y + C( + *y + E = 0 para luego rempla8ar los puntos /1 a !#3,1" ,/ !, #7", /4 !#2, 7" y /7!3, #4" y &uedar cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas esta%lecidas de esta manera 42 + 12- # 2 C + 7* + E = 0 27 + -
# 3C + * + E = 0
Facilitador: Abdel Cosme
ELIPSE 7 + 12- + C # 7* + E = 0 27 +
5- +3 C # 4* + E = 0
; al resolver este sistema de ecuación de cuatro incógnitas nos resulta &ue -= 7 C= #7 * =#3, E = #5 :ue al rempla8arlo en la forma de la ecuación (+ -y + C( + *y + E = 0 x
2
+
4 y
2
nos &ueda de esta manera
− 4x − 8y −92 = 0
PRO;LEMAS PROPUESTOS 1. En cada una de las siguientes de las elipses siguientes 9allar) la longitud del semieje mayor, la longitud del semieje menor, las coordenadas del foco, di%uje la elipse. 2 2 x y
a"
%"
+
169
x
2
8
+
=1
144
y
2
12
=1
c" 31 x2 + y2 = 0 .
0, ± 8
0, ± 17
", vértices !
"
10,0 c" 'ongitud de latus rectum , vértices ! ± "
d" ocos! e" ocos!
0, ± 6
± 5, 0
", semieje menor 3 5
", e(centricidad
8
4.
2 √ 3 " y
(
4,
4 √ 5 3
)
7.
longitud so%re el eje y y latus rectum
2
. *ada la elipse de ecuación 5 x2 + 12 y2 #42 x + 52 y + 42 = 0.
ELIPSE 2.
Facilitador: Abdel Cosme