Elipse e Hipérbola.

Universidad Tecnológica de El Salvador. Facultad de Informática y Ciencias Aplicadas.

Materia. Matemática I. I. Sección. 01. Docente. Ing. Genaro Antonio Hernández Hernández Lemus. Lemus. Tema. Elipse e Hipérbola. Hipérbola. Alumno.

Carnet.

Duran Cazún, Cazún, Oscar Gabriel. Gabriel. Ramírez Guardado, Guardado, Salvador Salvador Francisco. Francisco. Valencia González, Douglas Alexis. Velásquez Flores, Germán Amílcar.

Fecha de Entrega. 16 - mayo - 2016. 1

25-0561-2015. 25-0561-2015. 25-4548-2015. 25-4548-2015. 25-1344-2016. 17-0127-2016.

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Índice. Caratula.

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Objetivos Generales y Específicos. Introducción. Introducción.

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Desarrollo del del Tema. Bibliografía. Bibliografía.

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Pagina……………………………………… Pagina………… ………………………………….…………5 …….…………5 hasta hasta 17

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Objetivos Generales y Específicos. Objetivos Generales. 

Definir la elipse elipse e hipérbola hipérbola como lugar lugar geométrico, geométrico, calcular calcular su ecuación ecuación y reconocer reconocer sus elementos principales.

Objetivos Específicos. 

Recordar y aplicar la forma general de la ecuación ecuación de una elipse y de una hipérbola hipérbola y las características de los coeficientes de una ecuación de segundo grado que representa a una elipse o a una hipérbola.









Introducción. Introducc ión. En el presente presente trabajo de de investigación investigación que realizamos realizamos podemos podemos dar a conocer sobre sobre la elipse e hipérbola para poder resolver problemas cotidianos, en donde informaremos una definición de manera adecuada; encontraremos algunas clasificaciones, procedimientos y reglas para utilizar en el campo de la construcción, también analizaremos sobre el estudio de la ecuación de elipse e hiperbólica, Esperamos que dicha investigación nos ayude a examinar e intuir mejor en el tema donde emanaremos a comunicar a orientar lo adquirido.









Elipse e Hipérbola. Hipérbola. Elipse. Una elipse es el lugar geométrico de todos los puntos P del plano, tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos en el plano es constante. Los puntos fijos F1 y F2 se llaman focos. Una elipse es la curva cerrada con dos ejes de simetría que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría –con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución. Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado. La elipse es también la imagen afín de una circunferencia.

Historia. La elipse, como curva geométrica, fue estudiada por Menecmo, investigada investigada por Euclides, y su nombre se atribuye a Apolonio de Pérgamo. El foco y la directriz de la sección cónica de una elipse fueron estudiadas por Pappus.









Elementos de una Elipse. La elipse es una curva plana y cerrada, cerrada, simétrica simétrica respecto respecto a dos ejes ejes perpendiculares perpendiculares entre entre sí:  

El semieje mayor mayor (el segmento segmento C-a de la figura), y El semieje menor menor (el segmento segmento C-b de la figura).

Miden la mitad del eje mayor mayor y menor respectiv respectivamente. amente. Puntos de una Elipse. Los focos focos de la elipse elipse son dos puntos puntos equidistante equidistantess del centro, F1 y F2 en el eje mayor. La suma de las distancias desde cualquier punto P de la elipse a los dos focos es constante, e igual a la longitud del diámetro mayor (d(P,F1)+d(P,F2)=2a). Por comodidad denotaremos por PQ la distancia entre dos puntos P y Q. Si F1 y F2 son dos dos puntos de de un plano, y 2a es una constante constante mayor que la distancia F1F2, F1F2, un punto P pertenecerá pertenecerá a la elipse si se cumple la relación: relación:

donde

es la medida del semieje mayor de la elipse.

Ejes de una Elipse. Elipse. El eje mayor, 2a, es la mayor distancia distancia entre entre dos puntos opuestos opuestos de la elipse. elipse. El resultado resultado de la suma de las distancias de cualquier punto a los focos es constante y equivale al eje mayor. El eje menor 2b, es la menor distancia entre dos puntos opuestos de la elipse. Los ejes de la elipse son perpendiculares entre sí. Excentricidad Excentrici dad de una Elipse. Elipse. La excentricidad excentricidad ε (épsilon) (épsilon) de una elipse es la razón entre su semidistancia semidistancia focal focal (longitud del del segmento que parte del centro de la elipse y acaba en uno de sus focos), denominada por la letra c, y su semieje mayor. Su valor se encuentra entre cero y uno.











o el sistema:

La excentricidad excentricidad indica indica la forma de una una elipse; una elipse será más redondeada redondeada cuanto cuanto más se aproxime su excentricidad al valor cero.5 La designación tradicional de la excentricidad es la letra griega ε llamada épsilon. (No se debe usar la letra e para designarla, porque se reserva para la base de los logaritmos naturales o neperianos. Véase: número e).









Constante de la Elipse. En la figura figura de la derecha se muestran muestran los dos dos radios vectores vectores correspondie correspondientes ntes a cada cada punto punto P de una elipse, los vectores que van de los focos F1 y F2 a P. Las longitudes de los segmentos correspondientes a cada uno son PF1 (color azul) y PF2 (color rojo), y en la animación se ilustra como varían para diversos puntos P de la elipse. Como establece la definición inicial de la elipse como lugar geométrico, para todos los puntos P de la elipse la suma de las longitudes de sus dos radios vectores es una cantidad constante igual a la longitud 2a del eje mayor: PF1 + PF2 = 2ª. En la elipse de la imagen 2a vale 10 y se ilustra, para un conjunto selecto de puntos, cómo se cumple la definición. Directricess de la Elipse. Directrice Elipse. Cada foco F de la elipse está asociado con una recta paralela al semieje menor llamada directriz (ver ilustración de la derecha). La distancia de cualquier punto P de la elipse hasta el foco F es una fracción constante de la distancia perpendicular de ese punto P a la directriz que resulta en la igualdad:









Además de la bien conocida conocida relación relación fórmula

, también es cierto cierto que

, también es útil la

.

Aunque en la figura solo se dibujó la directriz directriz del del foco derecho, existe existe otra otra directriz directriz para el foco foco izquierdo cuya distancia del centro O es -d, la cual además es paralela a la directriz anterior. Ecuacioness de la Elipse. Ecuacione Elipse. Forma cartesiana centrada en el origen. La ecuación ecuación de una elipse elipse en coordenada coordenadass cartesianas, cartesianas, con centro en el origen, origen, es:









Forma Cartesiana Centrada Fuera del Origen. Si el centro de la elipse elipse se encuentra encuentra en el punto punto (h,k), la la ecuación ecuación es:

Perímetro de una una Elipse. El cálculo del perímetro de una elipse requiere del cálculo de integrales elípticas de segunda especie.Sin embargo, el matemático Ramanujan dio una expresión sencilla que se aproxima razonablemente a la longitud de la elipse, pero en grado menor que la obtenida mediante integrales elípticas. Ramanujan, en su fórmula, utiliza el “semieje mayor” (a) y el “semieje menor” (b) de la elipse. Expresión aproximada del perímetro de una elipse:

La Elipse como Cónica. Cónica. La elipse es la intersección intersección de una superficie superficie cónica con un plano, de tal manera que la inclinación del plano no supere la inclinación de la recta generatriz del cono, consiguiendo así que la intersección sea una curva simple cerrada. En otro caso la intersección pudiera ser una hipérbola o una parábola. Es por ello que a todas estas figuras bidimensionales o curvas planas









La Elipse en la Vida Cotidiana. Cotidiana. La elipse es un lugar geométrico geométrico que se puede observar constantemente en la vida cotidiana, como en las obras de arte. Referente al arte se puede observar en las cúpulas y en los portales. Ejemplos.



















Hipérbola. Una hipérbola es una sección cónica, una curva abierta de dos ramas obtenida cortando un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetría, y con ángulo menor que el de la generatriz respecto del eje de revolución. Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a la distancia entre los vértices, la cual es una constante positiva.









Ecuacioness de la Hipérbola. Ecuacione Hipérbola. Ecuaciones Ecuaciones en coordenadas coordenadas cartesianas: cartesianas: Ecuación Ecuación de una una hipérbola hipérbola con centro en en el origen de coordenadas (0, 0), y ecuación de la hipérbola en su forma canónica.

Ecuación de una hipérbola hipérbola con centro centro en el punto punto

Ejemplos:









La ecuación ecuación queda:

Evidentemente Evidentemente esta operación operación se lleva a cabo cabo en el conjunto conjunto de los números complejos. Elementos de la Hipérbola. Hipérbola. Eje mayor o real. real. El eje mayor m ayor es la recta de la hipérbola donde pertenecen pertenecen los focos y los vértices de la misma. Su valor es 2a y es perpendicular perpendicular al eje imaginario imaginario Eje menor o imaginario. imaginario. El eje menor o imaginario no tiene tiene puntos puntos en común común con la hipérbola. hipérbola. Sin embargo, siempre siempre se se cumple que las perpendiculares lanzadas por sus extremos cortan con las perpendiculares lanzadas por los extremos del eje mayor en 4 puntos que pueden servir para trazar las asíntotas. Asíntotas.









Tangentes. La tangente tangente a una hipérbola hipérbola en cualquier cualquier punto punto de la curva curva es bisectriz del ángulo ángulo formado formado por los radios vectores de ese punto. La Hipérbola en la Vida Cotidiana. Cotidiana. La hipérbola hipérbola es una sección sección cónica, cónica, una una curva curva abierta abierta de dos ramas ramas obtenida obtenida cortando cortando un un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetría, que se puede observar constantemente en la vida cotidiana, como en las obras de arte. Referente al arte se puede observar en las cúpulas y en los portales. Ejemplos.



















Bibliografía.. Bibliografía https://es.wikipedia.org/wiki/Elipse https://es.wikipedia.org https://es.wikipedia.org/wiki/Hiperb /wiki/Hiperbola ola https://es.scribd.com/do https://es.scribd.com/doc/2939856 c/2939856/ELIPSE-E-HIPERBOLA-TEORIA /ELIPSE-E-HIPERBOLA-TEORIA http://www.luiszegarra.cl/moodle/pluginfile.php/152/mod_resource/content/1/cap12.pdf

Elipse e Hipérbola.

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