REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN INSTITUTO UNIVERSITARIO TECNOLOGICO INDUSTRIAL RODOLFO LOERO ARISMENDI BARQUISIMETO - EDO. LARA.
Trabajo de Matemáticas
Bachiller: Bersares Pastor C.I. 15.004.921 Calculo II II Semestre de Informática
Circunferencia La circunferencia es una de las figuras geométricas básicas y más simples de las que conocemos. Podríamos definir a una circunferencia como la figura generada por una curva cerrada o perímetro en el cual no hay vértices ni ángulos internos. Además, la circunferencia no tiene lados diferenciados, como sí sucede con otras figuras tales como el cuadrado o el triángulo. Para definir a la circunferencia, podemos comenzar prestando atención al sentido etimológico de la palabra, que en latín quiere decir llevar alrededor de. La circunferencia puede ser normalmente confundida con el círculo, pero si hablamos correctamente, deberemos decir que éste es la superficie interna de una circunferencia, mientras esta es su perímetro. La circunferencia es siempre bidimensional y cuenta con un radio, que es la distancia que existe entre los puntos encontrados (que marcan el límite de la figura) hasta el centro de la misma. Además, otros elementos que componen a la circunferencia son el centro (el punto equidistante con todos los demás puntos de la figura), el diámetro (la distancia entre los dos puntos más lejanos que pasan por el centro), la cuerda (cualquier segmento que una dos puntos de la circunferencia), las rectas secantes y tangentes (siendo la primera la que pasa por la dentro y fuera de la figura, dividiéndola en dos sectores; siendo la segunda la recta que pasa por fuera y toca a la circunferencia en un sólo punto).
Ecuación de la Circunferencia Una circunferencia de centro C (a, b) y radio r , está formada por todos los puntos P( x , y ) cuya distancia al centro es r :
Elevando al cuadrado esta ecuación obtenemos la ecuación reducida de la circunferencia:
La ecuación general de la circunferencia es: x 2 + y 2 + Cx + Dy + E = 0. Esta ecuación se obtiene desarrollando los cuadrados en la ecuación reducida y agrupando agrupando todos los términos en el primer miembro.
Ejemplo
Traslación La homóloga de una circunferencia mediante una traslación es otra circunferencia de igual radio que tiene como centro el punto homólogo del centro c entro de la circunferencia original. Una traslación en el plano está definida por un vector. ve ctor.
Ejemplo: 1 Hallar la imagen por dicha traslación de un u n punto A (1,3). 2 Hallar la transformada de una circunferencia que tiene de centro cent ro (3,4) y de radio 1
Parábola Parábola es un término que proviene del latín parabla y que tiene su origen más remoto en un vocablo griego. En el ámbito de la matemática, la parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes de una recta y de un punto fijo, resultante de cortar un cono circular recto por un plano paralelo a una generatriz. La parábola constituye una curva cónica que suele trazarse en fenómenos frecuentes, como la caída de agua de una fuente o el movimiento de un balón que es lanzado por un jugador de básquetbol.Al dibujar este desplazamiento, podemos considerar esta parábola como la representación gráfica de una función que asigna a cada desplazamiento horizontal horizontal `x' la altura `y' alcanzada por la pelota. Una vez situada la parábola en este marco, que es un sistema de coordenadas cartesianas, son visibles dos propiedades fundamentales: tiene un punto extremo, que corresponde al instante en el que la pelota alcanza la altura máxima. Este punto es el vértice de la parábola; y la segunda, en la que las alturas a las que llega la pelota son las mismas en posiciones horizontales equidistantes de la abscisa del vértice. Por tanto, la recta paralela al eje de ordenadas que pasa por el vértice es el eje de simetría de la parábola.
Ecuación de la Parábola
Ejemplo
Traslación Traslación vertical
y = x² + k Si k > 0, y = x² se desplaza hacia arriba k unidades. Si k < 0, y = x² se desplaza hacia abajo k unidades. El vértice de la parábola es: (0, k). El eje de simetría x = 0.
y = x² +2 y = x² 2
Traslación horizontal
y = (x + h)² Si h > 0, y = x² se desplaza hacia la izquierda h unidades. Si h < 0, y = x² se desplaza hacia la derecha h unidades. El vértice de la parábola es: (h, 0). El eje de simetría es x = h.
y = (x + 2)²y = (x 2)²
Traslación oblicua
y = (x + h)² + k El vértice de la parábola es: (h, k). El eje de simetría es x = h.
y = (x 2)² + 2y = (x + 2)² 2
Elipse Figura geométrica que es similar a un círculo achatado. Se puede obtener una elipse cortando un cono recto con un plano que se encuentra ligeramente inclinado de la posición paralela a la base del cono, pero antes de volverse paralelo a un elemento del cono. Curva que une todos los puntos en un plano tal que la suma de las distancias a dos puntos fijos (llamados focos) se mantiene siempre como constante. Una elipse parece un círculo achatado. La recta que pasa por los focos corta c orta a la elipse en dos puntos llamados vértices. La cuerda que une los vértices es el eje mayor de la elipse y su punto medio el centro de la elipse. La cuerda perpendicular al eje mayor y que pasa por el centro se llama eje menor de la elipse. Para visualizar la definición de la elipse, basta imaginar dos chinches clavados en los focos y un trozo de cuerda atada a ellos. Al ir moviendo un lápiz que tensa esa cuerda, su trazo irá dibujando una elipse el ipse
Ecuación del Elipse La ecuación de una elipse con centro en el origen se representa por: 2
2
2
2
x /a + y /b = 1 En donde a es la longitud del semieje mayor (la mitad del eje mayor), y b es la longitud del semieje menor (la mitad del eje menor). El eje mayor es la mayor distancia a través de una elipse.
Ejemplo
Hipérbola Las hipérbolas aparecen en muchas situaciones reales, por ejemplo, un avión que vuela a velocidad supersónica paralelamente a la superficie de la tierra, deja una huella acústica hiperbólica sobre la superficie. La intersección de una pared y el cono de luz que emana de una lámpara de mesa con pantalla troncocónica, es una hipérbola. La hipérbolaes el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a los puntos fijos llamados focos es constante. La recta que pasa por los focos corta a la hipérbola en dos puntos llamados vértices. El segmento recto que une los vértices se llama eje transversal y su punto medio es el centro de la hipérbola. Un hecho distintivo de la hipérbola es que su gráfica g ráfica tiene dos partes separadas, llamadas ramas.
Ecuación de la Hipérbola Se llama ecuación reducida a la ecuación de la hipérbola cuyos ejes coinciden con los ejes coordenadas, y, por tanto, el centro de hipérbola con el origen de coordenadas. Si el eje real está en el eje de abscisas las coordenadas de los focos son: F'(c,0)
Cualquier punto de la hipérbola cumple:
Esta expresión da lugar a:
Realizando las operaciones llegamos a:
y F(c,0)
Ejemplos
Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F(4, 0), de vértice A(2, 0) y de ce ntro C(0, 0).
Hallar la ecuación y la excentricidad e xcentricidad de la hipérbola que tiene como c omo focos los puntos F'(-5, 0) y F(5, 0), y 6 como diferencia de los radios vectores.
Ejemplo
+
Traslación Las hipérbolas
son las más sencillas de representar.
Sus asíntotas son los ejes. El centro de la hipérbola, que es el punto donde se cortan las asíntotas, es el origen.
A partir de estas hipérbolas se obtienen otras por traslación.
1. Traslación vertical
El centro de la hipérbola es: (0, a).
Si a>0,
se desplaza hacia arriba a unidades.
El centro de la hipérbola es: (0, 3)
Si a<0,
se desplaza hacia abajo a unidades.
El centro de la hipérbola es: (0, ( 0, -3)
2. Traslación horizontal
El centro de la hipérbola es: (-b, 0).
Si b> 0,
se desplaza a la izquierda b unidades.
El centro de la hipérbola es: (-3, ( -3, 0)
Si b<0,
se desplaza a la derecha b unidades.
El centro de la hipérbola es: (3, 0) 3.
Traslación oblicua
El centro de la hipérbola es: (-b, a)
El centro de la hipérbola es: (3, ( 3, 4). Para representar hipérbolas del tipo:
se divide y se escribe como:
Su representación gráfica es una hipérbola de centro (-b, a) y de asíntotas paralelas a los ejes.
El centro de la hipérbola es: (-1, ( -1, 3).
