La elipse Al igual que en las cónicas anteriores, vamos a dar la definición de una elipse sin coordenadas. En efecto:
Definición: Una elipse es el conjunto de puntos del plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos (focos) permanece constante. P
d1 + d2 = K d3 + d4 = K
• P
•
d1
V’ •
• F’
d3
d2
•
C
y d4
•
P
•V
•
b2+c2
F
V’ • F’, F : Focos V’,V : Vértices C : Centro
b
c
•F’
C
• •V
•
F
x
Fig. 1
Fig. 2
Los puntos de intersección de la recta que pasa por los focos con la elipse se llaman vértices V’,V. La cuerda cuerd a que une los vértices se denomina eje mayor i su punto medio se llama centro C. La cuerda perpendicular al eje mayor i que pasa por el centro recibe el nombre de eje menor.
A. Ecuación en coordenadas coordenadas cartesianas. cartesianas. Cuando los ejes coordenados son paralelos a los ejes mayor i menor, indudablemente sus ecuaciones se simplifican:
1° Supongamos que el eje mayor es horizontal (eje menor vertical). Consideremos el centro C = (h, k), k), los vértices vértices V’ = (h – a, k), V = (h + a, k), k), los focos F’ = (h – c, k), F = (h + c, k), k), i P = (x, y) un punto cualquiera sobre sobre la elipse, elipse, donde a = distancia distancia (positiva) del centro centro a un vértice i c = distancia (positiva) del centro a un foco. Observe la figura 2 (note que a>c). Por definición de elipse: d(P, F’) + d(P, F) = K; esto es:
x h c 2 y k 2 x h c 2 y k 2 K .
En particular, si P coincide con uno de los
vértices, digamos digamos V’, entonces d(V’, F’) + d(V’, F) = K, lo que implica que (a – c) + (a + c) = 2a, es decir, K = 2a, luego al simplificar la ecuación:
x h c 2 y k 2 x h c 2 y k 2 2a
2
2
2
2
2
2
2
se tiene tiene:: (a – c ) (x – (x – h) h) + a (y – (y – k) k) = a (a
– c – c2). Como 2 b 2 c 2 2a , entonces b 2 = a 2 – c – c2, luego la ecuación anterior se convierte en b 2 (x – (x – 2 2 2 2 2 2 2 h) + a (y – (y – k) k) = a b , que dividiendo ambos miembros entre a b resulta:
x h 2 y k 2 a2
b2
1
MATEMÁTICA BASICA II
2
donde 2a es la longitud del eje mayor i 2b es la longitud del eje menor. Esta ecuación se llama ecuación canónica (ecuación estándar ) de la elipse.
2° Suponga que el eje mayor es vertical (eje menor horizontal). Siguiendo un proceso totalmente análogo al caso anterior se deduce que la ecuación canónica adopta la forma:
x h 2 y k 2
b2
a2
1
donde : C = (h, k) es el centro, V’ = (h, k – a), V = (h, k + a) son los vértices, F’= (h, k– c), F = (h, k + c) son los focos. Observe la figura 3 y V y y V= (0,a) F
b2 c2
c C
a
b
V'= (-a,0)
P
F' V'
Lado recto
b
c F'= (-c,0)
Lado recto
F= (c,0)
a
c
V= (a,0)
b
x
F= (c,0)
x
F'= (0,-c)
x Fig. 3
Fig. 4
V'= (0,-a)
Fig. 5
Cuando el centro C = (h, k) coincide con el origen (0,0), entonces las ecuaciones se reducen a: x2 a2
y2
1
b2
x2
i
b2
y2 a2
1
llamadas también ecuaciones canónicas reducidas (ecuaciones normales ) de la elipse. Vea las figuras 4 i 5 La longitud de cada lado recto viene dada por:
En efecto, de
x2 a
entonces y
b a
2
y2 b
a2
2
1 se tiene
y
b a
a2
2b 2 a
a
x 2 , i como los focos tienen abscisa x =
c 2 o lo que es lo mismo
recto será L.R = 2y; esto es L.R
L.R
2b 2
y
b2 a
, ya que
a2
c2
b.
c,
Por tanto el lado
.
B. Aplicaciones
Lic. José L. Estrada P.
UNAJMA
LA ELIPSE
3
No existe duda de los múltiples usos de las formas elípticas:
1. En astronomía, J. Kepler (1571,1630), un astrónomo alemán descubrió que los planetas se mueven en órbitas elípticas, con el sol en un foco. Así mismo, la luna i otros satélites giran alrededor de la tierra también en una órbita elíptica con la tierra en uno de los focos. A propósito la distancia máxima i mínima de la tierra a la luna reciben el nombre de apogeo i perigeo respectivamente. Luna
Tierra Apogeo
Perigeo
Engranajes elípticos
Fig. 6
Fig. 7
2. En física, los electrones orbitan en forma elíptica alrededor del núcleo del átomo. 3. En la industria, las maquinas utilizan engranajes elípticos i levas elípticas, para transferir una velocidad de rotación constante a una variable i viceversa. Vea la figura 7 4. En arquitectura o ingeniería, se usan diseños acústicos basados en la propiedad reflectante de la elipse. Cualquier sonido o luz que se emita de un foco se refleja en la elipse i pasa por el otro foco. Una de las cámaras del capitolio de Washington D.C. tiene una bóveda elíptica y se le llama el “cuarto de los murmullos ” porque si se murmura en un foco se puede oír con facilidad desde el otro foco. Véase las figura 8. Este principio se basa en la propiedad reflectante expuesta en la figura 9. donde =
0
-2
0
0
T 2
-2
Fig. 8
Fig. 9
5. En los negocios, las elipses se comportan como curvas de oferta i demanda. Algunas curvas de transformación de producto de la empresa se manejan por medio de elipses.
C. Excentricidad. En el estudio de las cónicas existe una propiedad llamada “ excentricidad”, que se designa mediante el numero real “e” >0. Las parábolas, elípses e hipérbolas (que veremos más
MATEMÁTICA BASICA II
4
adelante ésta última) se pueden definir en términos de e, un punto fijo ( foco) i una recta fija que no contenga al foco ( directriz), de la siguiente manera: “ el conjunto de puntos de un plano cuya distancia a un punto fijo sea e veces su distancia a una recta fija”. Es una parábola si e = 1, es una elipse si e < 1, es una hipérbola si e > 1. Para las tres figuras siguientes se tiene d(P, F) = e d(P, L), donde F es un foco i L la directriz.
P
P
P
F
F
L e=1
F
e<1
L e>1
Fig. 11
Fig. 12
L
Fig. 10
c
La excentricidad de una elipse se define como la razón e =
a
, donde c a 2 b 2 .
Cuando e está cerca de 1, entonces c está cerca de a; es decir, b se hará pequeño, i se tiene una elipse delgada i muy excéntrica. En cambio cuando e está próximo a 0, c también está próximo a 0 i b se aproxima a a, luego la elipse se hará amplia, resultando casi una circunferencia.
D. Ecuación general 2
2
Cuando en la ecuación cuadrática en dos variables: Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0 se tiene B = 0, A i C del mismo signo, entonces representa una elipse cuyos ejes mayor i menor son paralelos a los ejes ordenados o pueden ser un punto o ningún lugar geométrico.
Ejemplo 1: (a) Reducir la ecuación general a la forma canónica i encuentre las coordenadas del centro, 2 vértices i focos, las longitudes del eje mayor i menor, el lado recto i la excentricidad de: 9x + 2 4y – 8y – 32=0 (b) Hallar la ecuación de la elipse cuyos focos son (0, – 5), (0,5) i la suma de distancias a los focos desde un punto cualquiera de la elipse sea 14. (c) Encontrar la ecuación de los puntos del plano, tales que disten del punto (2,0) la mitad de su distancia a la recta x = 8. Identificar la figura geométrica. Solución : 2
2
(a) Completando cuadrados: 9x + 4 (y – 2y+1) = 32 + 4
x 0 2 4
y 1 2 9
a2
1 . De aquí que a = 3, b = 2, c =
ó
b2
9x 5
2
2 + 4(y – 1) = 36
⇒
. Centro de la elipse: C =
(0,1); vértices : V’ = (h, k – a) = (0, –2), V = (h, k + a) = (0,4); focos: F’ = (h, k – c) = 0 , 1 5 , F h , k c 0 , 1 5 ; longitud del eje mayor: 2a = 6; longitud del eje menor
2b = 4; lado recto:
Lic. José L. Estrada P.
2b 2 a
8 3
; excentricidad : e
c a
5 3
. Figura 13
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LA ELIPSE
5
y F
y
(0,4)
(0,5)
P = (x,y)
(0,1)
x x
F’
(0,-5)
(0,2)
Fig. 13
(b)
Fig. 14
Por condición del problema d(P,F) + d(P,F’) = 14
⇒
x 0 2 y 5 2 x 0 2 y 5 2 14 . Podemos simplificar esta ecuación i se tiene el resultado. Optamos por otro método: Como la constante 14 = 2a, entonces a = 7, luego b = a2
c2
(c)
49 25 24
. Por tanto
x
2
b2
y
2
a2
10 ⇒
x2 24
y2 49
1 . Figura 14
En general, la condición d(P, F) = ed(P, L) aplicada primero con P = V i después con P =
a c e (k a ) Figura 15. a c e ( k a )
V’ produce respectivamente:
y
Directriz: L
y
Directriz: L
P = (x,y)
F’=(-c,0)
V = (a,0)
V’ = (-a,0)
F = (c,0)
x
x
F = (ae,0)
x
x = k Fig. 15
de una directriz es x se tiene: x2 a
2
x ae y2
2
2
a (1 e )
obtiene
x2 16
y2 12
e
Fig. 16
Resolviendo estas dos ecuaciones obtenemos como solución c = ae, k
2
a
y
2
a e
a e
. Luego la ecuación
. En particular, referente a nuestro problema de d(P, F) = ed(P, L) 2
a e x , simplificando e
2 1 , donde 1 – e > 0 i 8
1 , Figura 16.
a e
, entonces a = 4. Reemplazando estos valores se
MATEMÁTICA BASICA II
6
Ejemplo 2. El cometa Halley tiene una órbita elíptica con diámetro mayor i menor respectivamente de 36.18 UA i 9.12 UA (1 UA es la unidad astronómica, la distancia media de la tierra al sol) ¿Cuál es su máximo acercamiento al Sol? (suponiendo al sol en uno de sus focos). Cometa
Solución : Ya que 2a = 36.18, entonces a = 18.09. Además 2b = 9.12, entonces b = 4.56. La ecuación x
2
a
2
y
2
b
2
1
⇒
x2 327.25
y2
1 , además
20.79
Fig. 17
Sol
V
a 2 b 2 17.51 , luego el máximo acercamiento se produce cuando el cometa se sitúa en el vértice V, i determinamos mediante a – c = 0.58 UA. Figura 17 c
Ejemplo 3. La ecuación de una familia de elipses es kx 2 + 4y2 + 6x – 8y – 5 = 0. Hallar la ecuación de un elemento de la familia de manera que tenga excentricidad ½. Solución : Transformando a la forma canónica: k ( x 2
k ( x
3
2
2
) 4( y 1) k
9( k 1) k
. Dividiendo entre
9(k 1) k
6 k
x
9 k 2
) 4( y 2 2 y 1)
3
)2 k 9( k 1)
(x
:
k 2 (x
la forma de donde
3
) k
2
a2 c2 a
2
1 4
(y - 1) 2 b2
2
1 , donde a =
9( k 1) k 2
2
,b =
4k
9 k
⇒
1 , que es de
4k
. Pero e =
c a
; esto es,
c a
1 2
,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , a = 4c . Pero c = a – b , luego a = 4(a – b ); es decir, 3a = 4b . Por tanto
3 1 9(k 1) 9(k 1) 2 4 implica que , k – 3k = 0 4k 2 2 k k k 0, luego k = 3. En consecuencia, la elipse es: 3
2
9(k 1)
(y - 1)2 9(k 1)
54
⇒
k = 0 o k = 3. No puede ser k =
2
3x + 4y + 6x – 8y – 5 = 0.
EJERCICIOS 1. Hallar el centro, los focos, los vértices i la excentricidad de: (a) (c)
x 1 2 9 2
y 5 2 25
1
2
16x + 25y – 12x + 50y + 31 = 0
2
2
(b) 9x + 4y + 36x – 24y + 36 = 0 2
2
(d) 12x + 20y – 12x + 40y – 37 = 0
2. Hallar una ecuación que describa cada elipse: (a) Centro (0,0), foco (2,0), vértice (3,0). (b)Vértices (5,0), ( – 5,0); excentricidad 3/5. (c) Vértices (0,2), (4,2); eje menor con longitud 2. (d) Vértices (3,1), (3,9); eje menor con longitud 6. Lic. José L. Estrada P.
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LA ELIPSE
7
3. (Astronomía). (a) La Luna gira alrededor de la Tierra según una órbita elíptica con la Tierra en uno de los focos. Si las longitudes de los ejes mayor i menor son 774000 km. i 773000 km. respectivamente. ¿Cuáles son el apogeo i el perigeo entre los centros de la Tierra i la Luna?. (b) La máxima distancia de la Tierra al Sol es de 94.56 millones de millas i su distancia mínima es de 91.45 millones de millas. ¿Cuál es la excentricidad de la órbita i cuáles son los diámetros mayor i menor?. 4. El satélite ruso “ Sputnik I” fue puesto en órbita en octubre de 1957, de forma que sus distancias máxima i mínima de la superficie de la Tierra eran 583 millas i 132 millas respectivamente. ¿Cuál es la excentricidad de esta órbita?. 5. El satélite norteamericano “ Explorer 18” se lanzó en noviembre de 1963. Las distancias máxima i mínima de su órbita a la superficie de la Tierra eran 122000 millas i 119 millas respectivamente. (a) Hallar la excentricidad de la órbita. (b) Hallar la ecuación que describa la órbita. 6.
Un segmento de 9 pulgadas de longitud se mueve de forma que uno de los extremos está siempre sobre el eje y, mientras que el otro siempre está sobre el eje x. Hallar la ecuación de la curva que describe el punto del segmento que está a una distancia de 6 pulgadas del extremo que se mueve sobre el eje y.
7.
La órbita del cometa Kahoutek es una elipse con excentricidad e = 0.999925 i con el Sol como uno de sus focos. Si su distancia mínima al Sol es 0.13 UA. ¿Cuál es la máxima distancia al Sol?.
8.
(Ingeniería) El arco semielíptico del puente de concreto que se muestra en el dibujo siguiente, figura 18, tiene un claro de 12 pies sobre el agua i se abre una distancia de 40 pies. Encontrar la ecuación de la elipse con respecto a un sistema de coordenadas con el centro de la elipse en el origen i el eje mayor sobre el eje x. El eje y apunta hacia arriba i el eje x hacia la derecha. ¿Qué altura libra el puente a 5 pies de la orilla del río? Cordón
F’
Fig. 18
9.
F
Fig. 19
(Diseño). (a) Se va a cortar una cubierta, de mesa elíptica de una hoja de madera terciada (triplay) de 4x8 pies (ver figura 19). Para dibujar la elipse sobre la hoja de madera, ¿a qué distancia de los bordes deben colocarse los focos?. ¿De qué longitud será el pedazo de cuerda
MATEMÁTICA BASICA II
10.
11. 12. 13. 14. 15.
8
que se sujetará a los focos para producir la elipse?. Halle las respuestas con dos cifras decimales. (b) Una bola colocada en un foco de una mesa de billar elíptica es disparada con tan tremenda fuerza que continúa rebotando sobre las bandas indefinidamente. ¿Cuál será su trayectoria final? (a) Encontrar la ecuación del conjunto de puntos del plano cuya distancia de (4,0) es 2/3 de su distancia a la recta x = 9. Identificar la figura geométrica. (b) Encontrar la ecuación de los puntos del plano, tales que disten del punto (0,9) las tres cuartas partes de su distancia a la recta y = 16. Identificar la figura geométrica. Hallar la ecuación de la elipse que pasa por los cuatro puntos: (1,3), ( – 1,4), (0, 3 – 3 /2), ( – 3,3) i tiene sus ejes paralelos a los ejes coordenados. 2 2 La ecuación de una familia de elipses es 4x + 9y + ax + by – 11 = 0. Hallar la ecuación del elemento de la familia que pasa por los puntos (2,3) i (5,1). 2 2 El punto medio de una cuerda de la elipse x + 4y – 6x – 8y – 3 = 0 es el punto (5,2). Hallar la ecuación de la cuerda. 2 2 Hallar las ecuaciones de las tangentes trazadas del punto (3, – 1) a la elipse 2x + 3y + x – y – 5 = 0. 2 2 Dada la elipse x + 3y + 3x – 4y – 3 = 0, hallar los valores de k para los cuales las rectas de la familia 5x + 2y + k = 0: (a) Cortan a la elipse en dos puntos diferentes. (b) Son tangentes a la elipse (c) No cortan a la elipse.
16. Por el punto (2,7) se trazan tangentes a la elipse 2x 2 + y2 + 2x – 3y – 2 = 0. Hallar las coordenadas de los puntos de contacto. 17. Los focos de una elipse son: (2,2), (8,2). La ecuación de una tangente a la misma es x + 2y – 21 = 0. Hallar la ecuación de la elipse. 18. Hallar la ecuación de la elipse que es concéntrica con la circunferencia x 2 + y 2 – 2x – 4y – 4 = 0, sabiendo que su eje mayor es paralelo al eje de ordenadas i que es dos veces la longitud del eje menor, siendo este último igual al diámetro de la circunferencia. 19. Si los vértices de una elipse son ( – 3, – 1), (5, – 1) i su excentricidad e = 3/4, hallar su ecuación usando la definición. 20. Una compañía produce x i y cantidades de dos clases diferentes de un artículo utilizando el mismo proceso de producción. La curva de transformación de producto para la materia prima 2 2 utilizada está dada por 5 x + 2y = 8. (a) ¿Cuáles son las mayores cantidades x i y que se pueden producir?. (b) ¿Qué cantidades x i y se deben producir para que y = (3/4)x?.
Lic. José L. Estrada P.
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