Diktat Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
MODUL 2 BILANGAN KOMPLEKS Satuan Acara Perkuliahan Modul 2 (Bilangan Kompleks) sebagai berikut. Petemuan ke-
4
Pokok/Sub PokokBahasan Bilangan Kompleks Pengantar Bilangan Kompleks
Lambang Bilangan dan Bidang Kompleks
TujuanPembelajaran
Mahasiswa diharapkan mampu: memahami bilangan kompleks
Formula Euler
Sekawan Kompleks
Aljabar Kompleks
5
Bilangan Kompleks Pangkat dan Akar Bilangan Kompleks
menggambarkan kurva pada bidang kompleks,
menuliskan bilangan kompleks dalam bentuk polar/formula Euler, mengetahui bahwa setiap bilangan kompleks memiliki sekawan menentukan hasil penjumlahan, pengurangan, dan perkalian bilangan kompleks menentukan hasil kali dan hasil bagi bilangan kompleks dalam bentuk polar memecahkan persamaan kompleks
Mahasiswa diharapkan mampu: menentukan hasil pemangkatan bilangan kompleks menentukan akar-akar dari bilangan kompleks
Fungsi eksponen dan Trgonometri
Aplikasi dalam Rangkaian Listrik AC
Aip Saripudin
mengetahui bentuk eksponen dari sinus dan cosinus menentukan nilai sinus dan cosinus dari bilangan kompleks menggunakan bentuk sinus dan cosinus untuk menghitung integral trigonometri mengunakan konsep bilangan kompleks untuk menganalisis rangkaian listrik AC RLC seri
Bab 2 Bilangan Kompleks - 20
Diktat Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
2.1
Pengantar
Tinjau kembali persamaan kuadrat dalam aljabar, yakni
az
2
bz c
0.
Nilai z yang memenuhipersamaan di atasdapatdicarimenggunakanrumus abc:
b2
b
z
4ac
2a
.
2
Permasalahan muncul ketika diskriminan, D b 4ac 0 (negatif), karena bilangan negatif tidak memiliki akar. Untuk mengatasi hal tersebut, diperkenalkan bilangan imajiner, yakni
j dengan pemahaman bahwa j
2
1
1 . Selanjutnya 4
2 j ,
j 3
j 2,
2
j
adalah bilangan-bilangan imajiner. Akan tetapi,
j
2
2
1,
2
j 2 j 2
2,
j
4
1
merupakan bilangan-bilangan real. Dengan diperkenalkannya bilangan imajiner ini, persamaan kuadrat yang diskriminannya negatif dapat memiliki akar yang merupakan kombinasi dari bilangan real dan bilangan imajiner. Sebagaicontoh, akar-akardaripersamaankuadrat
z
2
2 z
3
0
adalah
z
2
4 12 2
2
8
1
2
j 2
yang terdiri dari bilangan real, yakni 1, dan bilangan imajiner, yakni j 2 2 . Semua bilangan yang mencakup bilangan real, imajiner, dan kombinasi keduanya disebut bilangan kompleks.
LATIHAN 2.1 Tentukan nilai x dari persamaan berikut. 1. 2. 3.
x
16
2
x
x
2
4
Aip Saripudin
Untuk n = bilangan bulat positif, tentukan nilai dari 4n
4.
j
5.
j 4
8
n 1
0
Bab 2 Bilangan Kompleks - 21
Diktat Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
2.2
BilanganKompleks
2.2.1 LambangBilanganKompleks Bilangankompleks, secaraumum, memilikimemilikiduabagianbilangan, yaitubagianrealdanbagianimajiner.Bilangankompleksdilambangkanoleh z danditulissebagaiberikut.
z x
jy
dengan x = Re z = bagianrealdari z, dan y = Im z = bagianimajinerdari z.
Sebagaicontoh, z = 2 + j5 (atau z = 2 + 5 j) memiliki Re z = 2 Im z = 5 Perhatikan bahwa bagian imajiner dari bilangan kompleks adalah bilangan real, bukan imajiner. Pada contoh di atas, bagian imajiner dari z adalah 5 ( bukan j5 atau 5 j). Bagianrealdanbagianimajinerbolehsaja nol. Sebagaicontoh, z = 0+ 2 j = 2 jatau z = 2 + 0 j = 2. Jika x = 0, maka z = jydandisebut imajinermurni .
2.2.2 Bidang Kompleks. Bentuk Polar Bilangan Kompleks Bilangankompleksselalumerupakanpasanganduabilanganreal, yaitu xdan y. Olehkarenaitu,bilangankompleksdapatdigambarkandalambidangkompleks, yaknibidanginiyang samadenganbidangkartesius, hanyasajasumbuvertikalnyamerupakanbagianimajinerdansumbuhorisontalnyamerupakanbagianrea l, sepertidiperlihatkanpadaGambar 2.1. Berdasarkan hal tersebut, bilangan kompleks dapat ditulis sebagai z=( x ,y) yang maknanya sama dengan z = x + j y. y
( x, y)
|z|
x
Gambar 2.1 Bidang kompleks.
Jarak antara titik ( x, y) dan titik asal (0,0) disebut modulus atau nilai mutlak dari z, ditulis
| z |
x 2
y2 .
Sudut dari z disebut fase atau argumen dari z dan memenuhi
arctan
y x
.
Dari Gambar 2.1, x dan y masing-masing memenuhi
x | z | cos
dan
y | z | sin
j | z | sin
| z | (cos
sehinggadiperoleh
z x jy | z | cos
Aip Saripudin
j sin )
Bab 2 Bilangan Kompleks - 22
Diktat Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
Ungkapan
z | z | (cos
j sin )
disebut bentuk polar dari bilangan kompleks.
2.2.3 Formula Euler Untuk bilangan real (dinyatakan dalam radian), bentuk deret Maclaurin dari sin (lihat Bab 1) sebagai berikut.
sin
cos
1
3
5
7
3!
5!
7!
2
4
6
2!
4!
6!
dan cos
...
...
Selanjutnya dari representasi derete x, yakni x
e
x
1 x
2
x
2!
3
x
3!
4
4!
... ,
jika xdigantioleh j , diperoleh
2
e
j
1 j
1
cos
j
2! 2
4
2!
4!
3
4
3!
4!
...
j
... 3
5
3!
5!
...
j sin
Dengan demikian, bentuk polar bilangan kompleks, z | z | (cos
z | z | e
j sin ) , dapat ditulis sebagai
j
atau sering disingkat dalam bentuk
z | z |
.
Jadi, secara keseluruhan, lambang bilangan kompleks dapat ditulis
z
x
jy | z | (cos
j j sin ) | z | e
|z|
.
2.2.4 SekawanKompleks * Sekawan kompleks dari z ditulis z atau z . Sekawan kompleks diperoleh dengan mengubah tanda pada bagian imajiner dari z = x + jy, yakni menjadi
z
x jy .
Dalambentuk polar ditulis,
z | z | (cos
Aip Saripudin
j sin ) | z | e
j
|z|
.
Bab 2 Bilangan Kompleks - 23
Diktat Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
1 i dalam bentuk polar. Tentukan pula Sekawan kompleks dari z.
Tulis z
CONTOH 1 Penyelesaian
1 i diperoleh x = – 1 dan y = – 1 maka modulus dari z
Dari z
| z |
x 2
y 2
( 1)
2
( 1)
2
2
danfasenya
tan
1
y
tan
x
1
1
5
1
4
2n
dengan n bilangan bulat. Sudut bilangan kompleks harus berada pada kuadran yang sama dengan keberadaan titik bilangan. Pada kasus ini, titik ( x, y) = ( – 1, – 1 ) berada di kuadran III dan sudut 5 3 yang memenuhi adalah atau . Dengan demikian, bentuk polar dari z 1 i (dapat 4 4 ditulis dalam 4 cara) sebagai berikut.
5
z
2 cos
j sin
z
2 cos 225
4 o
5 4
j sin 225 o
5
z
2 cos
z
2 cos 225
j sin
4 o
2e
z
2 225 .
5 4
j sin 225 o
4
o
1 i adalah z
Selanjutnya, Sekawan kompleks dari z
j5
z
1 i atau dalam bentuk polar,
z
2e
z
2
j5
4
225
o
LATIHAN 2.2 Nyatakan bilangan kompleks pada Soal 1 – 5 berikut ke dalam bentuk z | z | e
z | z |
.
Tentukan
kompleksnya. 1.
z
1 j
2.
z
2
3.
z
4.
z
5.
z 1
1
j
j 3
4 j
Aip Saripudin
pula
j
atau
NyatakanSoal 6 – 10 berikut ke dalam bentuk z = x + j y.
Sekawan
2 cos
6.
z
7.
z
8.
z
3e
9.
z
e
10. z
3 cos j
j sin
4
6
4
j sin
6
2
j 2
2 150
o
Bab 2 Bilangan Kompleks - 24
Diktat Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
2.3
AljabarKompleks
2.3.1 Penjumlahan,Pengurangan, danPerkalian Penjumlahan, pengurangan, dan perkalian bilangan kompleks mengikuti aturan aljabar biasa.
2 5 j dan z 2
Jika z1
CONTOH 1
5
j , tentukan z1
z 2 , z1
z 2 , dan z1 z 2 .
Penyelesaian
z1 z 2
(2 5 j )
(5 j )
(2 5)
(5 j
j )
z1 z 2
(2 5 j ) (5 j )
(2 5)
(5 j
j )
z1 z 2
(2 5 j ) (5 j )
7
4 j 3 6 j
2 5 2 ( j ) 5 j 5 5 j ( j )
10 2 j
25 j
5 15 23 j
2
Jika z = 2 + j, tentukan z .
CONTOH 2 Penyelesaian
z
2
(2
j )
2
4
2 j
j
2
3 4 j , tentukan yang dapat diperoleh? Jika z
CONTOH 3
4
2 j 1
3 2 j
z z . Bandingkan hasilnya dengan |z|. Apa simpulan
Penyelesaian
3 4 j adalah z
Sekawan kompleks dari z
3 4 j maka
(3 4 j ) (3 4 j )
z z
9 16 j
2
9 16
25
5.
Selanjutnya, | z | Simpulannya adalah | z |
3
2
4
2
9 16
25
5.
z z .
2.3.2 HasilBagi; PenyederhanaankedalamBentuk z = x + jy Hasilbagibilangankompleksdapatdisederhanakankedalambentuk z = jydengancaramengalikanpembilangdanpenyebutdenganSekawankomplekspenyebut.
2 i
Sederhanakanbentukberikut: z
CONTOH 4
4 3i
x
+
.
Penyelesaian
Kalikan pembilang dan penyebut dengan Sekawan kompleks penyebut maka
z
Aip Saripudin
2
j
4
3 j
4
3 j
4
3 j
8 10 j
3 j
16 9 j
2
2
8 10 j 16
9
3
5 10 j
1
2
25
5
5
j
Bab 2 Bilangan Kompleks - 25
Diktat Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
2.3.3 Perkalian dan Pembagian dalam Bentuk Polar Jika z1 | z1 | e
j 1
| z 2 | e
dan z 2
j 2
maka
z1 z 2 | z1 | e
j 1
| z 2 | e
j 2
| z1 || z 2 | e
j( 1
2)
dan
| z1 | e
j 1
| z 2 | e
j 2
z1 z 2
i
Diketahui z1
CONTOH 5
2e 2 dan z 2
4e
| z1 | | z 2 |
j
4
e
j( 1
2)
.
. Tentukan z1 z 2 dan z1 / z 2 .
Penyelesaian o
Akan lebih mudah jika sudutnya dinyatakan dalam derajat. Dalam hal ini
4
45 dan
2
90
o
maka
2e
z1 z2 z1
2e
z 2
4e
j 90o
4e
o
j 90
1
o
2
j 45
j 45o
e
8e o
j ( 90
j ( 90o 45o )
1
o
45 )
2
e
8e
j135o
1
o
j 45
2
e
j
8e
j 3
4
4
atau bisa juga ditulis sebagai berikut. o
o
(2 90 )(4 45 )
z1 z 2
8 135
o
dan
z1 z 2
2 90
o
4 45
o
1 2
o
45 .
2.3.4 PersamaanKompleks Dua bilangan kompleks dikatakan sama jika dan hanya jika bagian real dan bagian imajiner dari kedua bilangan tersebut sama.
Tentukan x dan y yang memenuhi persamaan ( x
CONTOH 6
jy)
2
2 j .
Penyelesaian
( x
jy)
2
x
2
y
2
j 2 xy maka persamaan di atas dapat ditulis menjadi x
2
y
2
j 2 xy
2 j .
Dari persamaan ini diperoleh (1) x
2
y 2
(2) j 2 xy
y
0
2 j
xy
x atau y
x
1
Masukkan hasil (1) ke (2), diperoleh
x
Aip Saripudin
2
1
atau
x
2
1
Bab 2 Bilangan Kompleks - 26
Diktat Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
sehinggapersamaan x
Akan tetapi, (bukanimajiner) xdan yadalahbilanganreal tidakmemenuhisyarat.Dengan demikian, diperoleh
x
2
1
2
1
1
x 1 dan x
dan
y x 1 dan y x Jadi, solusi persamaan ( x
1
jy)
2
2 j adalah x
y 1 atau x y
1
LATIHAN 2.3 3 4 j dan
Untuk Soal 1 – 5, diberikan z1
8 6 j . Tentukan operasi bilangan kompleks berikut. Nyatakan hasilnya dalam bentuk polar z = |z|e j .
z 2
1.
z1
z2
2.
z1
z2
3.
z1 z 2
4. 5.
1
6.
1 j
7.
5
2 j
2
2 j
3 j
8.
2
j
Tentukan x dan y yang memenuhi persamaan kompleks pada Soal 9 – 10 berikut.
z1 z 2
j 2 x 3 y
9.
z1 z1
10. ( x
jy)
2
j j 2 x
Sederhanakan bentuk pada Soal 6 – 8 ke dalam bentuk z = x + jy.
2.4
PangkatdanAkarBilanganKompleks
Dengan menggunakan aturan untuk perkalian dan pembagian bilangan kompleks dalam bentuk polar, diperoleh
z n
| z | e
j
n
n
jn
1 / n
e
| z | e
| z |
n
cos n
j sin n
dan
z 1 /
n
| z | e
j
1 / n
| z |
j / n
1 / n
| z |
cos
n
j sin
n
dengan n = bilangan bulat.
Aip Saripudin
Bab 2 Bilangan Kompleks - 27
Diktat Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
CONTOH 1
4 j) .
Tentukan (1
Penyelesaian
Ambil z
1 j maka | z |
bilangan
bulat
z
1
j
2e
(1 j )
CONTOH 2
4
2
1
(titik zdi j
4
z
( 1)
2
kuadran
1
1
tan
2 dan
1
4 Ambil
IV
bidang
kompleks).
j
4 cos
j sin
2n
dengan n =
4
maka
. Dengan demikian, 4
2e
j 4
4
4e
4( 1 0)
4.
j )1 / 3 .
Tentukan (1
Penyelesaian
Ambil z
2
1 j maka | z | j
sehingga z
1 j
2e
2
1
4
1
arctan
2 dan
1 1
2k
4
(k = 0, 1, 2, …)
2 k
. Dengan demikian, 1 / 3
(1 j )
z
1 / 3
2e
j
1 / 3
2 k
4
6
2e
j
12
2 k 3
.
Untuk k = 0, 1 / 3
6
2e
1 / 3
6
2e
1 / 3
6
2e
(1 j )
j
12
.
Untuk k = 1,
(1 j)
j 3
4
.
Untuk k = 2,
(1 j)
j 17
12
.
Untuk k = 3, 4, 5, … merupakan pengulangan kembali dari k = 0, 1, 2. Dengan demikian, akar pangkat 3 dari (1 + j) ada 3, yaitu 1 / 3
(1 j) Catatan: z
1 / n
Aip Saripudin
6
2e
j
12
,
6
2e
j
3 4
,
6
2e
j 17
12
.
memiliki n akar kompleks.
Bab 2 Bilangan Kompleks - 28
Diktat Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
Tentukan nilai-nilai dari
CONTOH 3
4
64 .
Penyelesaian
Nilai dari
4
tan
dan
64 ada 4 (karena n = 4). Ambil z 0
1
2k
64 Dengan demikian, diperoleh 4
z1 / 4
64
64e
j 0 maka | z |
64
2 2e
j
4
2 2e
j
4
, 2 2e
j3
, 2 2e
4
( 64)
2
64
, 3 , 5 , 7
(k = 0, 1, 2, …). Ambil 4 nilai , yaitu
1 / 4
j
64
j5
4
, 2 2e
j7
4
.
.
LATIHAN 2.4 Tentukan akar-akar berikut. 1.
3
2.
4
3.
3
2.5
1
4.
5
5.
3
j 2
2j
16
8
FungsiEksponendanTrigonometri
Telahdiperolehbahwa
e
j
cos
j sin
dan j
e
j sin
cos
Jikakeduapersamaan di atasdiselisihkandandijumlahkan, masing-masinghasilnyasebagaiberikut.
e j
e
j
(cos
j sin )
(cos
j sin )
2 j sin
j
e
j
(cos
j sin )
(cos
j sin )
2 cos
e
Dari keduapersamaanterakhirdiperoleh
sin
e
j
e
j
2 j
dan
cos
dan
cos z
e
j
e
j
2
Jika digantioleh z, diperoleh
sin z
CONTOH 1
Aip Saripudin
e
jz
e 2 j
jz
e
jz
e
jz
2
Tentukan sin j .
Bab 2 Bilangan Kompleks - 29
Diktat Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
Penyelesaian
sin j
e
j j
e
j j
e
2 j
1
1
e
2 j
j
1
j
2
1 e
j e
1,1752 j
2
cos 3 xdx .
Gunakanbentukeksponendaricosinusuntukmenghitung
CONTOH 2 Penyelesaian
e
Dalam bentuk eksponen: cos 3 x
e
2
cos 3 x
j 3 x
j 3 x
j 3 x
e
maka
2
e
2
j 3 x
e
j 6 x
2
e
j 6 x
2
4
sehingga
1
2
cos 3 xdx
4
e
j 6 x
e
1
1
4
j 6
1
1
1
4
j 6
j 6
e
j 6 x
1
j 6
j 6 2
1
2 dx
e
1
4 j 6
j 6
e
j 6 1
2
j 6
1
1
j 6
j 6
1
j 6 x
e
e
j
j 6 x
1
j 6
e
2 x
j6
2
2
Catatan:
e e
j 6
cos 6
j6
j sin 6
cos 6
j sin 6
1 0 1 0
1 1
LATIHAN 2.5 Nyatakan berikut ini ke dalam bentuk z x jy . j ( / 4 ) ln 3
1.
e
2.
cos j
3.
Buktikan bahwa sin z
2.6
Nyatakan sinus dan kosinus dalam bentuk eksponen untuk menghitung integral berikut.
2
2
cos z
1.
4.
cos 2 x sin 2 xdx
5.
sin 4 xdx
2
Aplikasi dalam Rangkaian Listrik AC
Aip Saripudin
Bab 2 Bilangan Kompleks - 30
Diktat Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
Tinjau rangkaian listrik ac RLC seri pada Gambar 2.2berikut. R
L
C
Gambar 2.2Rangkaian AC RLC Seri
Jika arus yang mengalir dalam rangkaian adalah i, tegangan pada tiap komponen sebagai berikut.
v R
Ri ,
v L
L
di dt
1
vC
,
C
idt .
Tegangan totalnya memenuhi
v
v R
v L
Sejauh ini, arus bolak-balik dinyatakan oleh i
vC . I 0 sin t . Jika persamaan arus seperti ini
digunakan untuk menghitung tegangan total, akan cukup rumit dan memerlukan waktu lama. Dalam analisis kompleks, arus bolak-balik dapat dinyatakan oleh
i I 0 e
j t
.
Dengan persamaan arus ini, tegangan pada komponen L dan C masing-masing
v L vC
L
di dt
1
C
j LI 0 e 1
idt
C
j t
I 0 e
j Li
j t
1
dt
I 0 e j C
j t
1
j
C
i.
Dengan demikian, diperoleh
v
v R
v L
vC
R
j
1
L
C
i.
Perbandingan antara v dan i disebut impedansi kompleks, diberi simbol Z , yakni
Z
v i
R
j
1
L
C
Besar impedansi sama dengan modulus kompleksnya, yakni
| Z |
Aip Saripudin
R
2
L
1
L
2
.
Bab 2 Bilangan Kompleks - 31
Diktat Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
LATIHAN 2.6 Jika dua komponen yang impedansinya masing-masing Z1 dan Z2 dirangkai seri, impedansi totalnya adalah Z S Z 1 Z 2 dan jika
dirangkai
paralel,
1
1
1
Z P
Z 1
Z 2
Z 1
2
2.
Z 2
20 3 30 dan Z 2
Aip Saripudin
3 j dan Z 2 o
1 5 j
o
o 220 2 45 dan i 5 90 . Berapakah impedansi komponen?
Soal 4 – 5 mengacu pada rangkaian ac RLC seri seperti Gambar 2.2. 4.
Cari dalam kaitannya dengan R, L, dan o C jika sudut fasenya 45 .
5.
Pada keadaan resonansi, Z adalah real. Tentukan pada keadaan ini.
o
20 120
Tegangan dan arus ac pada sebuah komponen masing-masing adalah
v
.
Tentukan Z S dan Z Ppada Soal 1 – 2 jika diketahui 1.
3.
Bab 2 Bilangan Kompleks - 32
