BILANGAN KOMPLEKS
DISUSUN O L E H SHAFIYAH ULFAH 4143121054 DIK D
JURUSAN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI MEDAN 2014 -2015
KATA PENGANTAR
Dengan mengucapkan syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa, makala Bilangan Kompleks ini telah selesai saya rangkum dari berbagai pendapat para ahli. Maksud dan tujun saya membuat makala ini selain untuk meningkatkan interaksi antara mahasiswa dengan dosen serta sesama mahasiswa dalam melaksanakan pembelajaran, juga untuk memenuhi tuntutan tugas untuk mengarahkan mahasiswa untuk melaksanakan pembelajaran, khususnya dalam mata kuliah isika Matematika. !enulis menyadari bahwa makala yang saya buat ini masih jauh dari sempurna, oleh karna itu apabila dalam menyusun makala ini masih dijumpai adanya kekeliruan sudilah kiranya para dosen mengkoreksinya demi perbaikan pada makalah berikutnya. "ebagai akhir kata, saya mengucapakan selamat mempelajarinya dan semoga harapan kita untuk meningkatkan mutu pembelajaran dalam isika Matematika dapat terpenuh.
Medan, #$ Maret %&#'
!enulis
i
DAFTAR ISI
Kata !engantar...................................................................................................................i Da(tar isi............................................................................................................................ii B)B *
!endahuluan........................................................................................................#
B)B ** Bahasan Materi .................................................................................................% #.#De(enisi............................................................................................................% #.#.# Kesamaan Bilangan Kompleks........................................................% #.% +perasi itung !ada Bilangan Kompleks......................................................#.%.# arga Mutlak Bilangan Kompleks..................................................#.%.% Bilangan Kompleks Konjugate........................................................#.- +perasi )ljabar Dari Bilangan Kompleks...................................................... #.-.# !enjumlahan Bilanagan Kompleks ................................................. #.-.% !engurangan Bilangan Kompleks.................................................... #.-.- !erkalian Bilangan Kompleks.........................................................' #.-. !embagian Bilangan Kompleks.......................................................' #. /ra(ik !ada Bidang Kompleks.......................................................................0 #.' !angkata dan )kar Bilangan Kompleks.........................................................0 #.'.# !angkat Bilangan Kompleks...........................................................0 #.'.% )kar Bilangan Kompleks................................................................1 #.0 !ersamaan Bilangan Kompleks.....................................................................1 #.1 Deret Bilangan Kompleks.............................................................................1 #.$ Deret !angkat Bilangan Kompleks...............................................................$ #.2 ungsi Bilangan Kompleks...........................................................................$ #.2.# ungsi Komponen..........................................................................2 #.2.% ungsi 3ogaritma...........................................................................2 #.#& Terapan Bilangan Kompleks......................................................................2 3ampiran........................................................................................................................#& Da(tar !ustaka................................................................................................................##
ii
BAB I PENDAHULUAN
!ada mulanya bilangan diperlukan untuk menyatakan cacah elemen suatu himpunan yang tidak kosong, yakni bilangan bulat positi( atau bilangan asli. impunan bilangan asli ini diperluas dengan bilangan nol dan bilangan bulat negati( sehingga terbentuk himpunan bilangan bulat. Bilangan rasional diperlukan orang untuk menyatakan hasil bagi dua bilangan bulat. 4adi himpunan bilangan rasional merupakan perluasan bilangan bulat, bilangan bulat adalah bilangan rasional dengan pembagi #. Dengan memiliki bilangan5bilangan rasional saja kita tidak dapat menyelesaikan persamaan x
2
=2 , karena dapat dibuktikan bahwa tidak ada
bilangan rasional yang kuadratnya sama dengan %. Bilangan semacam ini yakni yang tidak dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dua bilangan bulat dinamakan bilangan irasional. Bilangan rasional dan irasional dinamakan bilangan real. 4adi bilangan irasional adalah bilangan yang bukan rasional. impunan semua bilangan real dinyatakan dengan huru( 6. Didalam 6 terdapat operasi hitung yang menghubungkan bilangan real dengan bilangan real yang lain, sehingga 6 membentuk suatu sistem yang dinamakan sistem bilangan real.di samping itu di dalam sistem bilangan real juga berlaku relasi urutan, yakni untuk setiap 7 dan y di di dalam 6 berlaku tepat satu dari tiga hubungan 78y, 79y atau y87.
1 BAB II BAHASAN MATERI 1.1 DEFENISI
Bilangan real :rasional atau pecahan; tidak selalu menyelesaikan masalah yang ada dalam matematika, misalnya untuk menyelesaikan x
2
+ 1 =0. +leh sebab itu untuk pertama
kalinya Euler mengenalkan bilangan baru dengan simbol :i; yang besarnya dinyatakan 2
sebagai
i =−1 . Kemudian /aus memperkenalkan pula bilangan dalam bentuk
x + iy
yang digunakan dalam persamaan aljabar dengan koe(isien 7 dan y berupa bilangan real. Bilanagn x + iy adalah bilangan yang merupakan penggabungan antara bilangan real 7,y dengan bilangan imajiner :khayal;
i =√ −1 yang dikenal dengan bilangan kompleks.
Bilangan kompleks adalah sepasang bilangan real :7,y; yang ditulis dalam bentuk
z =( x , y ) atau z = x + iy dengani = √ −1, 7 disebut bilangan real dari < =ditulis >6e *m
Dua bilangan kompleks < dan <@ dikatakan sama besar jika bagian real kedua bilangan kompleks dan imajiner kedua bilangan kompleks tersebut sama besar, 7 9 7@ dan y 9 y@.
% 1.2 OPERASI HITUNG PADA BILANGAN KOMPLEKS
z 1= x 1+ i y 1
De(enisi > Bilangan kompleks
z 1= z 2
jika dan hanya jika
x 1= x 2
dan
z 2= x 2+ i y 2
dan
y 1= y 2
dikatakan sama dan ditulis
.
4adi dua bilangan kompleks sama jika dan hanya jika bagian real mereka sama dan bagian imajiner mereka juga sama. 4ika
z 1
tidak sama denagan
De(inisi > Antuk bilangan kompleks
z 1= x 1+ i y 1
dan
z 2
ditulis
z 2= x 2+ i y 2
z 1 ≠ z2
.
jumlah dan hasil kali
mereka berturut5turut dide(inisikan
z 1+ z 2=( x 1 + x 2 ) + i ( y 1 + y 2 ) , z 1 z 2= ( x 1 x 2− y 1 y 2 ) + i ( x 1 y 2 + x 2 y 1) . 1.2.2
H!*&! M+,%!, B$%!#&!# K'"(%e)
Antuk bilangan kompleks < 9 7 iy yang digambarkan sebagai titik !:7,y; pada bidang kompleks mempunyai panjang +! yaitu jarak dari titik :&,&; ke titik !:7,y; yang besarnya adalah
OP =√ x + y 2
2
atau
!ada bilangan kompleks,
| z|=| x +iy|=√ x 2 + y 2 OP =| z|,| z| disebut harga mutlak bagi bilangan kompleks <
tersebut. 4adi
| z|=OP atau| z|=| x + iy|=√ x 2 + y 2 Bilangan kompleks <:7,y; dapat dinyatakan dalam bentuk polar <:r, θ ;, dengan r disebut modulus < dan
θ adalah sudut phase argumen < : θ= arg ( z )¿ .
1.2.2 B$%!#&!# K'"(%e) K'#+&!,e
Bilangan kompleks konjugate :sekawan; dari suatu bilangan kompleks < 9 6e < i *m
´ < diberi notasi z´ atau
z´ =r cosθ −i r sin θ =ℜ
z´
9 7 iy 9 :7,5y; dan pada koordinat polar sebagai
´ dan bentuk eksponen z
9
ℜ−10 . 4adi bilangan kompleks
konjugate dan bilangan kompleks < dapat dinyatakan sebagai > −10
z´ =r cosθ −i r sin θ =ℜ )tau
z =( x ,− y )=( r ,−θ )
3
4adi suatu bilangan kompleks <:7,y; dan bilangan kompleks konjugatenya
z´ ( x , y ) pada
bidang kompleks selalu simetris terhadap sumbu real 7.
1.3 OPERASI ALJABAR DARI BILANGAN KOMPLEKS 1.3.1 Pe#+"%!!# B$%!#&!# K'"(%e)
asil penjumlahan dua bilangan kompleks
z 1= x 1+ iy 1
dan
suatu bilangan kompleks < 9 7 iy yang besarnya adalah
Rez = Rez1 + Rez 2 dan Imz = Imz1 + Imz 2
.
al ini dapat ditunjukan sebagai berikut >
z = z 1+ z 2 x + iy =( x 1 + iy 1 ) + ( x 2 + iy2 ) =( x 1+ x 2 ) + i ( y 1 + y 2) Dengan menggunakan kesamaan diperoleh >
x =( x 1+ x2 ) dan y =( y 1 + y 2)
z 2= x 2+ iy 2 z = z 1+ z 2
adalah dengan
)tau
Rez = Rez1 + Rez 2 dan Imz = Imz1 + Imz 2
.
"i(at penjumlahan bilangan kompleks sama dengan si(at penjumlahan bilangan real yaitu > #. Komutati( %. )sosiati(
z 1+ z 2
9
z 2+ z 1
z 1+ ( z 2 + z 3 )=( z 1+ z 2 ) z 3
-. Bilangan kompleks < ditambah bolanagn kompleks & sama dengan bilangan kompleks itu sendiri, < & 9 < . Bilangan kompleks < ditambah dengan inersnya :5<; menghasilkan bilangan kompleks &, <:5<; 9 &
1.3.2 Pe#&+*!#&!# B$%!#&!# K'"(%e)
asil pengurangan dua bilangan kompleks
z 1= x 1+ iy 1
dan
suatu bilangan kompleks < 9 7 iy yang besarnya adalah
Rez = Rez1− Rez 2 danImz = Imz 1− Imz 2 z 1= x 1+ iy 1
dengan iners
.
!engurangan
adalah
z 2= x 2+ iy 2 z = z 1− z 2
adalah
sehingga
penjumlahan
antara
z 2= x 2+ iy 2 .
4 1.3.3 Pe*)!%$!# B$%!#&!# K'"(%e)
Antuk mengalikan bilangan kompleks kita dapat menggunakan antara perkalian pada bilangan real. 4ika dua bilangan kompleks,
z 1= x 1+ iy 1
dan
z 2= x 2+ iy 2
dikalikan maka
hasilnya adalah
z = z 1+ z 2 x + iy =( x 1 + iy 1 ) + ( x 2 + iy2 ) =( x 1+ x 2 ) + i ( y 1 + y 2)
Dan perkalian bilangan kompleks < 9 7 iy dengan bilangan kompleks konjugatenya 7 iy yaitu
z´ 9
z z´ =( x + iy ) ( x −iy )= x
2
+ y 2 = r 2 ataur=| z|=√ z z´
4adi perkalian bilangan kompleks dengan konjugatenya menghasilkan bilangan real Yng besarnya adalah kuadrat modulusnya. S$/!, (e*)!%$!# $%!#&!# )'("%e) e!&!$ e*$)+, >
z 1 z 2
#. Komutati(
9
z 2 z 1
z 1 ( z 2 + z3 ) =( z 1 z2 ) z 3
%. )sosiati(
-. Bilangan kompleks < dikaliakan dengan bilangan kompleks # hasilnya dalah bilangan komplek itu sendiri, <.# 9 < −1 . Bilangan kompleks < dikalikan dengan bilangan inersnya z menghasilkan bilangan kompleks #, z . z
−1
=1.
1.3.4 Pe"!&$!# B$%!#&!# K'"(%e)
!embagian antara dua bilangan kompleks
z 1= x 1+ iy 1
dan
z 2= x 2+ iy 2
menghasilkan bilangan kompleks < 9 7 iy, yang dituliskan sebagai berikut >
z =
z1 z2
=
x 1+ iy 1 x 2+ iy 2
, z2 ≠ 0
Karena suatu bilangan kompleks harus dapat diketahui bagian real dan bagian imaginernya, maka penyebut harus dibuat menjadi bilangan real. Antuk itu kita lakukan pengalihan pembagian dan penyebut dengan konjugate penyebut yaitu didapat bilangan komplek sebagai berikut > z =
z =
z1 z2
=
( x 1 +iy 1 ) ( x 2−iy 2 ) ( x 2 +iy 2 ) ( x 2−iy 2 )
( x1 x 2+ y1 y 2 )−i ( x 1 y 2 − x2 y 1) 2
2
x2 + y 2
' Konjigate dari !enjumlahan dan !erkalian Bilangan Kompleks 4ika
z = x + iy , z´ = x −iy maka
z´2
9
x 2−iy 2
, sehingga
#.
z 1+´ z 2= z´1 + z´2
%.
´2 z 1´ z 2= z´1 z
1.4 GRAFIK PADA BIDANG KOMPLEKS
!ernyataan bilanagn kompleks < pada titik :7,y; di suatu bidang kompleks dapat dinyatakan dalam gra(ik.
1.5 PANGKAT DAN AKAR BILANGAN KOMPLEKS 1.5.1 P!#&)!, B$%!#&!# K'"(%e)
Berdasarkan perkalian dua bilangan kompleks dalam siste m koordinat polar maka kita iθ
dapat menuliskan perkalian n buah bilangan kompleks yang sama yaitu
z =ℜ
berikut >
nθ cos nθ + i sin ¿ ℜiθ ¿ n=r n ¿ n
z =¿ z
n
disebut bilangan kompleks berpangkat n.
Antuk r 9 #, bilangan kompleks berpangkat n dalam ekponen dapat ditulis sebagai > iθ n
inθ
e ¿ =e =cos nθ + i sin nθ
¿
− iθ n
e
¿ = e−inθ =cos nθ−i sin nθ ¿
Dari dua bentuk ini didapat hubungan
nθ connθ + i sin ¿ n cos θ + i sin θ ¿ =¿
¿
sebagai
Yang dikenal dengan rumus De Moivre. Dengan rumus De Moire ini, kita dapat dengan mudah menemukan hubungan antara cos nθ θ
sin nθ
dan
dengan
cos θ
atau
sin θ
.
1.5.2 A)!* B$%!#&!# K'"(%e)
4ika n pada bilangan kompleks berpangakat n diganti dengan #Fn maka bentuk persamaan dapat ditulis sebagai > 1
iθ
1
1
iθ n
θ n
θ n
ℜ ¿ =r e = r n (cos + i sin ) n
n
1
z n =¿ 1
θ n
θ n
√ z =r n ( cos + i sin ) n
Disebut akar n dari bilangan kompleks 1. PERSAMAAN BILANGAN KOMPLEKS
Dasar dalam menyelesaikan persamaan bilangan kompleks ini adalah kesamaan dari dua bilangan kompleks. Dua buah bilangan kompleks dikatakan s ama besar
z 1= z 2
real dan bagian imajiner kedua bilangan kompleks tersebut sama besar.
z 1= z 2
4ika
maka
ℜ z 1=ℜ z 2 dan ℑ z 1=ℑ z 2 !ersamaan Kuadrat Bilangan Kompleks 4ika persamaan kuadrat bilangan kompleks adalah 2
az + bz + c =0 Maka penyelesaian dapat dilakukan sebagaimana persamaan kuadrat bilangan real
jika bagian
−b √ b2 −4 ac z 1.2= ± 2a
2a
Dan bentuk akar dapat diselesaikan dengan menggunakan akar dua dari bilanagn kompleks.
1. DERET BILANGAN KOMPLEKS
Deret bilangan kompleks adalah jumlah dari deter yang menggunakan bilangan kompleks yang berpola ∞
∑= a
a1 + a 2+ a3 + … =
n
n 1
an
Dengan
adalah bilangan kompleks
!ada deret bilangan kompleks diperoleh dua deret yaitu deret bagian real dan deret bagian imejiner. Karena
| z|=r =√ x2 + y 2
bernilai positi( maka ujikonergensi yang digunakan
pada deret bilangan kompleks ini adalah uji konergen mutlak sebagai berikut >
| |
it
¿
a n+ 1 ρ < ,deret bersifat !onergen ρ > , deret bersifat diergen an ρ = lim ¿ n "∞
4ika ρ=1 , deret bilangan kompleks dipisah dalam dua deret yaitu deret bagian real dan deret bagian imajiner. "etelah dilakukan tes untuk deret, maka kekonergenan dapat dinyatakan.
1. DERET PANGKAT BILANGAN KOMPLEKS
Deret pangkat bilangan kompleks dapat ditulis dalam bentuk berikut > ∞
∑ = n 0
an z
n
deret pangkat sekitar < 9 & atau deret dalam bentuk deret pangkat
z ¿
¿
n
z − z 0 ¿
n
∞
a ¿ ∑ =
dengan < 9 7 iy dan
n
an
adalah bilangan kompleks
z − z 0 ¿
n
¿
n 0
Antuk menentukan daerah konergensi deret pangkat bilangan kompleks ini, digunakan uji reasio sebagai berikut >
ρ = lim n" ∞
z − z 0 ¿
|
a a+1 z an z
n +1 n
|
<1, untu! deret #ang!at se!itar z =0
n+ 1
¿ n z − z0 ¿ an + 1 ¿ ¿ ¿ ρ = lim ¿ n "∞
1. FUNGSI BILANGAN KOMPLEKS
!ada koordinat Kartesian, < 9 7 iy sehingga (ingsi bilangan kompleks atau (ungsi kompleks, ( :<; dituliskan dalam bentuk sebagai berikut > :<; 9 ( :7 iy; atau w 9 ( :<; 9 ( :7,y; iθ
Dan dalam koordinat polar, z =ℜ :<; 9 ( :
adalah
ℜiθ ¿ atau w 9 ( :<; 9 ( :r, θ ¿
1..1 F+#&$ K'"('#e#
"ebagaimana (ungsi real, fungsi eksponen bilangan kompleks adalah
y cos y + i sin ¿ z
x + iy
2
f ( z )=e =e e
=e x .e iy =e x ¿
.1..2 F+#&$ L'&!*$,"!
4ika z ≠ 0 maka maka z =¿ $
z
$ =e
Dengan *n : logaritma naturalis;, yaitu logaritma dengan bilangan pokok e.
¿ z ¿ e log z
sehingga semua aturan logaritma berlaku dalam *n
¿ a +¿ b =¿ ab ¿ % −¿ b =¿
a b
¿a b ¿ ∈a ¿b
1.10
TERAPAN BILANAGN KOMPLEKS
Bilangan kompleks mempermudah penelesaian matematika bentuk cosinus dan sinus. Amumnya dasar penyelesaian metematika dengan menggunakan rumus Euler yang menyatakan hubungan (ungsi kompleks eksponen dengan bentuk cosinus dan sinus sebagai berikut > inx
e =cos nx + i sin nx Dari persamaan ini dapat dinyatakan bahawa cosinus adalah bagian real dan sinus bagian imajiner atau
e
inx
x dan ℑ(¿)=sin nx
ℜ ( einx )=cos ¿
KESIMPULAN
Bilangan real :rasional atau pecahan; tidak selalu menyelesaikan masalah yang ada dalam matematika, misalnya untuk menyelesaikan x
2
+ 1 =0. +leh sebab itu untuk pertama
kalinya Euler mengenalkan bilangan baru dengan simbol :i; yang besarnya dinyatakan 2
sebagai
i =−1 . Kemudian /aus memperkenalkan pula bilangan dalam bentuk
x + iy
yang digunakan dalam persamaan aljabar dengan koe(isien 7 dan y berupa bilangan real.
+ Bilanagn x iy adalah bilangan yang merupakan penggabungan antara bilangan real 7,y dengan bilangan imajiner :khayal;
i = √ −1
yang dikenal dengan bilangan kompleks.
Bilangan kompleks adalah sepasang bilangan real :7,y; yang ditulis dalam bentuk
z =( x , y ) atau z = x + iy dengani = √ −1, 7 disebut bilangan real dari < =ditulis >6e *m
10 DAFTAR PUSTAKA
Mudjiarto, 6oswati. %&&. Matematika isika **. Bandung > Aniersitas !endidikan *ndonesia. "oemantri, 6. #22. ungsi Gariabel Kompleks. Yogyakarta > Departemen !endidikan Dan Kebudayaan.
11
