BILANGAN KOMPLEKS Pendahuluan Motivasi awal diperkenalkanya bilangan kompleks adalah tidak adanya bilangan real yang memenuhi persamaan ଶ 1 ൌ 0. Denga Dengann keterba keterbatasa tasann ini, himpu himpunan nan semu semuaa bilangan real R kiranya perlu diperluas menjadi himpunan yang mencakup bilangan yang memenuhi ଶ 1 ൌ 0 tersebut tersebut,, sehingga sehingga muncul muncul istilah himpunan himpunan bilangan bilangan kompleks kompleks C yang lebih luas dari R, dengan diperkenalkannya satuan imajiner yang tidak lain adalah ൌ √ െ1. െ1. Bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk , di mana , bilangan real dan ൌ √ െ1 െ1 atau ଶ ൌ െ1, െ1, deng dengan an menyatakan satuan khayal (imajiner). Dari bilangan kompleks ൌ , dan berturut-turut dinamakan bagian real bilangan dan bagian imajiner bilangan kompleks dan biasanya dinotasikan dengan ൌ Re( ) dan ൌ Im( ). Selanjutnya dua bilangan kompleks ଵ ଵ dan ଶ ଶ dikatakan sama jika dan hanya jika ଵ ൌ ଶ dan ଵ ൌ ଶ. Bilangan real dapat dipandang sebagai bilangan kompleks dengan menuliskan ൌ ൌ 0 , dengan ൌ 0. Jika dari dari bilangan bilangan kompleks kompleks diambil ൌ 0, sehingga sehingga bilangan tersebut tersebut menjadi menjadi dinamakan bilangan imajiner sejati. Bilangan kompleks sekawan (konjugat) dari bilangan kompleks ൌ adalah bilangan kompleks ҧ ൌ െ . Nilai mutlak (modulus) suatu bilangan kompleks ൌ didefinisikan sebagai | | ൌ | | ൌ ඥ ଶ ଶ . Operasi Aljabar Bilangan Kompleks Operasi aljabar yang berlaku pada bilangan kompleks dapat dilakukan sebagaimana operasi aljabar yang berlaku pada bilangan real, dengan menggantikan ଶ dengan െ1 bilaman bentuk ini muncul. Operasi-operasi tersebut adalah ( )( )ൌ ൌ( )( ) 1 Penjumlahan ( )െ( )ൌ െ െ ൌ( െ )( െ ) 2 Pengurangan ( )( ) ൌ 3 Perkalian ଶ ൌ ( െ )( ) 4 Pembagian െ െ െ ଶ ൌ · ൌ ଶെ ଶ ଶ െ ( )( െ ) െ ൌ ൌ ଶ ଶ ଶ ଶ ଶ ଶ
Penyajian Bilangan Kompleks Selain penulisan yang sudah kita kenal, bilangan kompleks dinyatakan dalam berbagai bentuk penulisan, di antaranya :
ൌ
seringkali
a Pasangan Terurut Terurut
: Bilangan kompleks ൌ dalam bentuk pasangan terurut dapat dituliskan sebagai ( , ). b Diagram Argand : Bilangan kompleks ൌ berpadanan dengan titik ( , ) (Bidang Kompleks) ൌ sumbu-imajiner ( , )
ൌ sumbu real
c Bentuk Kutub
Jarak antara dua titik ଵ ൌ ଵ ଵ dan ଶ ൌ ଶ ଶ pada bidang kompleks diberikan oleh | ଵ െ ଶ| ൌ ඥ ( ଵ െ ଶ)ଶ ( ଵ െ ଶ )ଶ : Misalkan titik ( , ) adalah titik di bidang kompleks yang berpadanan dengan bilangan kompleks ൌ , seperti pada gambar berikut ( , )
maka diperoleh hubungan ൌ cos dan ൌ sin dengan ൌ ඥ ଶ ଶ ൌ | | ൌ | | dinamakan modulus atau nilai mutlak dari ൌ dan dinamakan amplitudo atau argumen dari , yaitu sudut antara garis dengan sumbuെ positif. Dengan demikian diperoleh ൌ ൌ cos sin ൌ (cos sin ) yang dinamakan bentuk kutub dari ൌ . Bentuk ൌ (cos sin ) kadang disingkat penulisannya menjadi ൌ .
: Dari deret tak hinggaஶfungsi ሺ ሻ ൌ ௫, yaitu ௫ ൌ ൌ 1 ଶ ଷ 1! 2! 3! ୀ ! jika diambil ൌ , maka diperoleh ఏ ൌ 1 ଶ ଶ ଷ ଷ ସ ସ 2!ଶ ଷ3! ସ 4! ହ ൌ 1 െ 2! െ 3! 4! 5! െ 6! െ 7! ଶ ସ ଷ ହ ൌቆ1െ 2! 4! െ 6! ቇ ቆ െ 3! 5! െ 7! ቇ ஶ ஶ ଶ ଶାଵ ሺെ1ሻ ሺ2 ሻ! ሺെ1ሻ ሺ2 1ሻ! ൌ ୀ ୀ ൌcos sin Dengan demikian diperoleh ൌ ൌ ሺcos sin ሻ ൌ ఏ. Selanjutnya dari penulisan ini dipunyai ҧ ൌ െ ൌ ሺcos െ sin ሻ ൌ ିఏ. Pangkat & Akar Pangkat Bilangan Kompleks Misalkan ଵ ൌ ଵ ଵ ൌ ଵሺcos ଵ sin ଵሻ dan ଶ ൌ ଶ ଶ ൌ ଶሺcos ଶ sin ଶሻ maka berlaku 1. ଵ · ଶ ൌ ଵ ଶሾcosሺ ଵ ଶሻ sinሺ ଵ ଶሻሿ 2. ଵଶ ൌ ଵଶ ሾcosሺ ଵ െ ଶሻ sinሺ ଵ െ ଶሻሿ Jika persamaan ሺ1ሻ diperluas untuk buah bilangan kompleks ଵ, ଶ, , maka diperoleh ଵ · ଶ · · ൌ ଵ ଶ ሾcosሺ ଵ ଶ ሻ sinሺ ଵ ଶ ሻሿ dan jika diambil ଵ ൌ ଶ ൌ ൌ ൌ maka diperoleh ൌሾ ሺcos sin ሻሿ ൌ ሺcos sin ሻ yang dinamakan Rumus de’ Moivre Selanjutnya suatu bilangan dinamakan akar pangkat dari bilangan kompleks ൌ ൌሺcos sin ሻ, jika ൌ atau ൌ ଵൗ d
Rumus Euler
Menurut rumus de’ Moivre ଵൗ ൌሾ ሺcos sin ሻሿଵൗ ൌ ଵൗ cos൬ 2 ൰ sin൬ 2 ൰൨, dengan ൌ 0,1,2, , െ 1 yaitu diperoleh sebanyak ് 0.
nilai berlainan untuk
ଵൗ ,
yaitu
akar berlainan dari asalkan
Akar Pangkat dari Satu Penyelesaian persamaan ൌ 1, dengan adalah bilangan asli dinamakan akar pangkat dari 1 dan diberikan oleh 2 2 ൌ cos sin ,dengan ൌ 0,1,2, , െ 1 Selanjutnya jika dimisalkan adalah 1, ω, ωଶ ,
, ω୬ିଵ .
2 2 ൌ cos sin , maka akar pangkat dari 1 tersebut
