OPERASI BILANGAN KOMPLEKS BENTUK POLAR DAN RECTANGULAR Operas Ope rasii Bil Bilang angan an Komp omplek leks s Ben Bentuk tuk Pol Polar ar dan Rect ectang angula ularr- Bagi maha mahasisw siswa a Teknik T eknik Elektro operasi bilangan komplek kompleks s merupakan hal yang sangat penting untuk dipelajari, terutama sekali karena digunakan pada rangkaian listrik di bagian Rangkaian Tunak T unak Sinusoidal. Bagi Bagi sobat dsyech yang mau belajar belajar baca teorinya berikut ini! ini!
Bilangan Kompleks Bilangan Bila ngan Kompl ompleks eks merup merupaka akan n suat suatu u bila bilangan ngan yang mem memilik ilikii ko kompon mponen en nyata dan komponen imaginer. apat dituliskan " # a $ jb imana, a # bilangan nyata b # bilangan nyata j # bilangan imajiner
Secara grafis dapat dilihat pada gambar 1, bilangan nyata terdapat pada sumbu nyata (X) dan bilangan imajiner terdapat pada sumbu imajiner (Y). Bentuk representasi ini disebut bentuksudut bentuksudut siku (rectangular). (rectangular).
%ambar &
Keterangan ' # garis g aris yang terbentuk dari titik awal ke titik " ( # sudut yang terbentuk dari garis ' dengan sumbu nyata )
Bilangan Kompleks Bentuk Polar !aso"# !aso"# Bentuk Polar merupakan merupakan bilangan kompleks yang diturunkan d ari bentuk rectangular *sudut *sudut siku+. a # '.cos dan b # '.sin " # a $ jb " # ' cos $ j ' sin " # ' *cos $ jsin+ -ersamaan bentuk polar nya nya yaitu
Mengu$a% $entuk Su&ut Siku Rectangular Rectangular # ke $entuk !aso" Polar Polar # &an se$alikn'a
da beberapa persamaan pokok yang harus diha/al untuk melakukan perubahan pada bila bi langa ngan n
kom ompl plek eks, s, ya yait itu u
sebaliknya.
meru me ruba bah h
Berikut
bent be ntuk uk rectangular rectangular k ke persamaan0
1
1 Trans/ormasi bentuk Polar ke ke Rectangular
1
1Trans/ormasi bentuk Rectangular ke ke Polar
2eliha 2el ihatt
persa per samaa maan n
trans/ tra ns/or orma masi si
bent be ntuk uk polar polar maupun maupun
bentuk ben tuk rectangular ke ke polar ya yang ng
nya
terl te rlal alu u
bany ba nyak ak
menyulit meny ulitkan kan kita untuk mengh mengha/al a/alnya. nya. Tetap etapii tidak sesu sesulit lit yang dili dilihat, hat, pers persamaa amaan n terse ter sebut but sa sanga ngatt mud mudah ah dih diha/a a/all den dengan gan ca cara ra mem memaha ahami mi per persam samaan aan re recta ctangul ngular ar berdasar ber dasarkan kan leta letak k 3uadr 3uadran an pada ko koordi ordinat nat kar kartesi tesius. us. -er -ersama samaan an bentu bentuk k rec rectang tangular ular untuk masing1masing 3uadran dapat dilihat pada gambar dibawah ini
4 3uadran pada koordinat kartesius
3uadran 5
3uadran 55
Quadran III
3uadran 5" Pen(umla%an) Pe"kalian &an Pem$agian Bilangan Kompleks
&. -enjumlahan alam operasi pen(umla%an bilangan kompleks menggunakan bentuk Rectangular pen(umla%an bilangan "& # a& $ jb& dan "0 # a0 $ jb0 "& $ "0 # *a& $ a0+ $ j*b& $b0+ 6ontoh 7umlahkanlah 7umlahkanla h bilangan kompleks kompleks dibawah ini # 8 $ j9 , B # 4 : j; 7awab $ B # *8 $ 4+ $ j*9 : ;+ $ B # < : j8
0. -erkalian =ntu =n tuk k
oper op eras asii pe"kalian bi bila lang ngan an
kom ompl plek eks s
bentuk Polar '& # a > & dan '0 # b > 0 '& * '0 # *a * b+ > *& $ 0+ 6ontoh ?akukan perkalian pada bilangan kompleks berikut '& # &9 > 8@@ , '0 # 0@ > 49 @
lebi le bih h
muda mu dah h
jik ji ka
men engg ggun unak akan an
7awab '& * * ' '0 # *&9* *&9*0@+ > *8@ @ $ 49@+ '& * '0 #
8@@
<9 @
>
8. -embagian -ada operasi pem$agian bilangan kompleks lebih mudah menggunakan bentuk Polar , sama halnya saat operasi perkalian dan 6ontoh ?akukan ?akuka n pembagian untuk bilangan kompleks berikut # &9 > 8@ @ , B # 0@ > 49 @ 7awab
Conto% Soal Penggunaan Bilangan Kompleks Pa&a Rangkaian List"ik ala a lam m
meny me nyel eles esai aika kan n
soal so al ra rangk ngkai aian an li list stri rik k
kita ki ta ha haru rus s
meng me ngua uasa saii
peru pe ruba baha hanA nA
trans/ormasi bentuk bilangan kompleks * rectangular ke ke polar atau atau sebaliknya+, karena untuk menyelesaikan satu soal rangkaian listrik akan membutuhkan perubahan bentuk bilangan kompleks agar dapat melak melakukan ukan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Berikut contoh soal serta penyelesaiannya agar pembaca dapat lebih memahami penggunaan bilangan kompleks pada rangkaian listrik.
itunglah besar arus 5 yang mengalir p ada rangkaian -enyelesaian
Ubahlah bilangan polar dibawah ini ke dalam bentuk rectangular 1. 5,6 ∟ 90° 2. 0,385 ∟ 210,6° 3. !,5 ∟ 182° . !,1 ∟ 5° 5. 189 ∟ 30,21° 6. 10 ∟ 125° !. 3,!5 ∟ 62,!° 8. 81,3 ∟ 1,81° 9. 33,5 ∟ 16!,!3° 10. 20 ∟ 60° "en#ele$aian 1. 5,6 ∟ 90° % & 'real( % r 'co$ )( % 5,6*'co$ 90( % 0 # 'imaginer( % r '$in )( % 5,6*'$in 90( % 5,6 2.
5,6 ∟ 90° = 0 + j5,6 = j5,6 0,385 ∟ 210,6° %
& 'real( % r 'co$ )( % 0,385*'co$ 210,6( % +0,33139 # 'imaginer( % r '$in )( % 0,385*'$in 210,6( % +0,19598 0,385 ∟ 210,6° = −0,33139 − j0,19598 3.
!,5 ∟ 182° % & 'real( % r 'co$ )( % !,5*'co$ 182( % +!,!106 # 'imaginer( % r '$in )( % !,5*'$in 182( % +1,65!!3 47,5 ∟ 182° = −47,47106 − j1,65773
4.
!,1 ∟ 5° % & 'real( % r 'co$ )( % !,1*'co$ 5( % 5,08! # 'imaginer( % r '$in )( %!,1*'$in 5( % 5,08! 7,14 ∟ 45° = 5,04874 + j5,04874
5.
189 ∟ 30,21° % & 'real( % r 'co$ )( % 189*'co$ 30,21( % 163,3313 # 'imaginer( % r '$in )( % 189*'$in 30,21( % 95,09928 189 ∟ 30,21° = 163,33134 + j95,09928
6.
10 ∟ 125° % & 'real( % r 'co$ )( % 10*'co$ 125( % +235,1663 # 'imaginer( % r '$in )( %10*'$in 125( % 335,8523 410 ∟ 125° = −235,16634 + j335,85234
7.
3,!5 ∟ 62,!° % & 'real( % r 'co$ )( % 3,!5*'co$ 62,!( % 1,!199 # 'imaginer( % r '$in )( % 3,!5*'$in 62,!( % 3,33231 3,75 ∟ 62,7° = 1,71994 + j3,33231
8.
81,3 ∟ 1,81° % & 'real( % r 'co$ )( % 81,3*'co$ 1,81( % !8,59911 # 'imaginer( % r '$in )( % 81,3*'$in 1,81( % 20,!816 81,3 ∟ 14,81° = 78,59911 + j20,78146
9.
33,5 ∟ 16!,!3° % & 'real( % r 'co$ )( % 33,5*'co$ 16!,!3( % +32,!3!6 # 'imaginer( % r '$in )( % 33,5*'$in 16!,!3( % !,11938 33,5 ∟ 167,73° = −32,73476 + j7,11938
10.
20 ∟ 60° % & 'real( % r 'co$ )( % 20*'co$ 60( % 10 # 'imaginer( % r '$in )( % 20*'$in 60( % 1!,32051 20 ∟ 60° = 10 + j17,32051
Ubahlah bilangan rectangular dibawah ini ke dalam bentuk polar 1. +1 + 1 2. 8 + 0 0,5 ,5 3. 10 - 20 20 . 33 - 1 1,5 ,55 5 5. 21 + 5 5 6. 32 !. 38 380 0 + 10 10 8. 1, 1,3 3 - 5, 5,1 1 9. + +2, 2,3! 3! 10. 132 + 3,3 3,3! ! "en#ele$aian 1. +1 r )
'ab$( 'angle(
% %
+ '&/-#/( tan⁻'#&(
% %
1 '1/-1/( % tan⁻'+1+1( %
% 1,121 +135
−1 − j1 = 1,41421 ∟ −135°
2. 8 r )
'ab$( 'angle(
% %
+ '&/-#/( tan ⁻'#&(
8 − j0,5 = 8,01561 ∟ −3,57633°
% %
0,5 '8/-0,5/( tan⁻'+0,58(
% %
% 8,01561 +3,5!633
3. 10 r )
'ab$( 'angle(
'&/-#/( tan⁻'#&(
% %
20 '10/-20/( tan⁻'2010(
% %
% 22,36068 63,395
% %
10 + j20 = 22,36068 ∟ 63,43495°
. 33 r )
'ab$( 'angle(
'&/-#/( tan⁻'#&(
% %
%
1,55 '33/-1,55/( tan⁻'1,5533(
% %
5 '21/-5/( tan⁻'+521(
%
% 33,03638 2,68919
% %
33 + j1,55 = 33,03638 ∟ 2,68919°
5. 21 r )
'ab$( 'angle(
+ '&/-#/( tan⁻'#&(
% %
% 9,6588 +6,9831
% %
21 − j45 = 49,65884 ∟ −64,9831°
6. 32 r )
'ab$( 'angle(
% %
'&/-#/( tan ⁻'#&(
% %
'32/-0/( tan⁻'032(
% %
% 32 0
32 = 32 ∟ 0° = 32
!. 380 r )
'ab$( 'angle(
+ '&/-#/( tan⁻'#&(
% %
10 '380/-10/( tan⁻'+10380(
% %
%
% 380,13156 +1,50!
% %
% 15,30!3 19,695
%
380 − j10 = 380,13156 ∟ −1,50744°
8. 1,3 r 'ab$( ) 'angle(
'&/-#/( tan ⁻'#&(
% %
5,1 '1,3/-5,1/( tan⁻'5,11,3(
% %
14,43 + j5,1 = 15,30473 ∟ 19,46495°
9. +2,3! r 'ab$( ) 'angle(
%
'&/-#/( tan ⁻'#&(
%
% %
'0/-2,3!/( % tan⁻'+2,3!0(* %
% 2,3! +90
−j2,37 = 2,37 ∟ −90°
10. 132 r )
'ab$( 'angle(
% %
+ '&/-#/( tan⁻'#&(
% %
132 − j3,37 = 132,04301 ∟ −1,46246°
3,3! '132/-3,3!/( tan⁻'+3,3!132(
% %
% 132,0301 +1,626
