BILANGAN KOMPLEKS Makalah Ini disusun Guna Memenuhi Tugas Tug as Mata Kuliah Analisis Komples Semester Genap Tahun Akademik 2011/2012 Dosen pengampu: Dr. Kartono, M.Si. Rombel 5
Oleh: Kelompok 2 Rif’an Alif N urrohman
(4101409017)
Irmawan
(4101409147)
JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG 2012
Kompetensi Dasar Menguasai konsep sistem bilangan kompleks, nilai mutlak bilangan kompleks, akarakar bilangan kompleks .Tujuan
Pembelajaran
1. Mahasiswa dapat menentukan hasil kali dan hasil bagi bilangan kompleks dalam bentuk eksponen. 2. Mahasiswa dapat menentukan nilai akar pangkat dari bilangan kompleks. 3. Mahasiswa dapat memahami beberapa konsep dasar regions dalam bidang kompleks.
PEMBAHASAN 1. Hasil Kali dan Hasil Bagi Bilangan Kompleks Misalkan z1
r 1 e
i 1
dan z 2
r 2 e
i 2
dengan
||,
|| .. a.
Perkalian
Bukti Jelas
= Jadi,
.
Dari pernyataan di atas kita dapatkan
Jadi b.
Pembagian
Jelas Jadi Dari pernyataan di atas kita dapatkan Jadi c.
Invers bilangan kompleks Invers sebarang bilangan kompleks z Jelas Jadi
i
yaitu
.
Dari pernyataan di atas kita dapatkan Jadi
r e
.
Contoh Tentukan Arg z jika diketahui
√ .
Penyelesaian:
√ ( ) √ Karena nilai maka kita dapatkan . Jelas
2. Pangkat dan Akar Bilangan Kompleks Bentuk pangkat bilangan kompleks
Diketahui z
r e
i
, maka
Jadi z n
(r e
Jika
1,
(e
r
i n
)
e
i n
)
n i n , n 0, 1, 2, e
r
maka bentuk pangkat di atas menjadi z n i n
, n 0,
(cos i sin ) n
1, 2,
(e
i n
)
e
i n
, atau
. Selanjutnya dapat ditulis dalam bentuk
cos n i sin n yang disebut Rumus Moivre .
Bentuk akar dari bilangan kompleks Definisi:
sama dengan sama jika dan hanya jika dan , dengan Dua bilangan kompleks tak nol
Berdasarkan sifat perpangkatan bilangan kompleks kita punya
( ) Misalkan , akar pangkat n dari bilangan kompleks z ditulis atau √ . Jika diberikan bilangan kompleks z 0 dan n bilangan bulat positif, maka diperoleh n buah akar untuk yaitu √ √
Dengan k = 0, 1, 2, 3, …, n-1.
Contoh: 1. Tentukan semua nilai akar pangkat 2 dari 1. Penyelesaian:
. Jadi Dalam soal ini,
Semua akar pangkat 2 dari 1 adalah
3. Regions dalam Bidang kompleks Pada bagian ini,kita akan membicarakan tentang himpunan dari bilangan komplek satu titik dalam bidang z. Yang menjadi dasar utama adalah konsep
Jika , dan , maka jarak dan dinyatakan sebagai: | | = jarak dari titik ke titik
dalam lingkungan .
a) Lingkungan
dan , maka 1) { | | }: Lingkungan dari lingkungan berjari-jari Untuk suatu bilangan kompleks dan suatu bilangan , yang disebut kitar titik dengan radius adalah himpunan titik z yang jaraknya dari kurang dari , yang diberi notasi . Jadi { | | }. Secara geometri adalah cakram berpusat di dan beradius tidak termasuk titik – titik pada lingkaran
Diketahui
yang membatasinya.
| |
{ | | }: lingkungan dari
2)
tanpa
. Lingkungan ini terdiri dari semua titik z dalam lingkungan kecuali untuk titik
dari
itu sendiri.
b) Titik Dalam (Interior Point) Titik
disebut titik interior himpunan S jika terdapat suatu kitar yang
merupakan sub himpunan dari S.
titik interior S )
(
Dapat di definisikan sebagai berikut :
p : titik dalam dari A
{ | }
:
titik dalam bukan titik dalam
:
:
bukan titik dalam
c) Titik Luar (Eksterior Point)
disebut titik eksterior himpunan S jika titik interior himpunan Sc
Titik
Dapat di definisikan sebagai berikut:
titik eksterior s d) Titik Batas Titik
disebut titik perbatasan himpunan S jika setiap kitar
memuat
c
anggota S dan anggota S .
titik batas S
bukan titik interior S dan eksterior S.
{ } Jadi titik perbatasan S bukan titik interior S dan bukan titik eksterior S. Titik terasing himpunan S adalah suatu titik perbatasan S.
:
titik dalam
:
titik batas
:
titik luar
e) Titik Limit Definisi :
adalah titik limit dari A Jika {} Akibat : {} bukan titik limit dari A, jika {} { | }
:
titik limit
:
titik limit
:
bukan titik limit
f) Himpunan Buka Himpunan S dikatakan terbuka jika semua anggota S adalah titik interior S. ( S terbuka )
( z, z S
z
Dapat didefinisikan sebagai :
titik interior S)
himpunan terbuka jika merupakan titik dalam dari S.
g) Himpunan Tutup Himpunan F dikatakan tertutup jika F memuat semua titik limitnya. ( F tertutup )
h) Himpunan terhubung Himpunan terbuka S dikatakan terhubung jika setiap dua titiknya dapat dihubungkan oleh garis polygon atau garis patah, yang terdiri atas pangkal garis yang cacahnya berhingga dan yang seluruhnya terletak didalam S. S terhubung
garis polygon berhingga
garis tersebut
termuat di S.
i) Domain Domain adalah himpunan yang terbuka dan terhubung.
0
1
2
j) Region (daerah) Suatu region adalah himpunan terbuka yang tidak kosong atau himpunan ini ditambah dengan sebagian atau seluruh titik perbatasannya.
DAFTAR PUSAKA
Churchill, RuelV. Dan Brown, James Ward . 1990 .Complex Variables and Application,, edisi ke-7 . New York :McGraw-Hill Publishing Company .
Martono, Koko . 1964 .Peubah Kompleks . Jakarta :Erlangga .
R,Soemantri . 1994 .Fungsi Variable Kompleks .Yogyakarta :Perpustakaan Jurusan Matematika UNNES.
Dedy, Endang, dkk. 2001. FUNGSI VARIABEL KOMPLEKS. Bandung :JICA.
