BENTUK KUTUB (POLAR) BILANGAN KOMPLEKS
OLEH :
YANDI ARLUKMA (11184202162)
MUHAMAD ULINNUHA (11184202095)
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN (STKIP) PGRI TULUNGAGUNG TAHUN 2014
BENTUK KUTUB(POLAR) BILANGAN KOMPLEKS
Selain dinyatakan dalam bentuk z = x+iy = (x,y), bilangan kompleks z dapat dinyatakan pula dalam bentuk koordinat kutub atau Polar, yaitu z = (r,).
Jika P(x,y) adalah suatu titik di bidang kompleks, maka secara geometri dinyatakan sebagai berikut :
y
y
r = "z"
0,0 x x
x= r cos θ
y= r sin θ
dimana
"z" = r = x2+ y2
θ disebut amplitude atau argumen dari z
karena θ = arc tan yx sehingga
(arg z = arc tan yx dimana -π < θ π)
Hal ini mengakibatkan:
z= x + iy
z= r cos θ + r i sin θ
z= r cos θ + r i sin θ dinamakan bentuk kutub bilangan kompleks.
r dan θ dinamakan koordinat kutub.
Cis singkatan dari cos + i sin θ, maka
z = r cis θ
atau denagn rumus Euler, dapat dinyatakan z = reθi
Contoh:
Nyatakan dalam bentuk polar:
1. 1 + i
Penyelesaian:
r = 1+ 12 = 2
θ = arc tan 11
θ = 450 = π4
maka z = 2 (cos π4+ i sin π4 ) = 2 cis π4 = 2 eπi4
Operasi Perkalian , Pembagian dan Teorema De'Moivre
Operasi Perkalian
Telah kita ketahui bahwa bilangan kompleks dalam bentuk kutub adalah
z = r(cos + i sin ).
Jika z1 = r1(cos 1 + i sin 1) dan z2 = r2(cos 2 + i sin 2), maka kita peroleh hasil perkalian keduanya sebagai berikut :
z1 z2 = [r1(cos 1 + i sin 1)][r2(cos 2 + i sin 2)]
z1 z2 = r1 r2 [(cos 1 cos 2 - sin1sin 2) + i (sin 1 cos 2 + cos 1sin 2)]
z1 z2 = r1 r2 [cos (1 + 2 ) + i sin (1 + 2)]
Dari hasil perkalian tersebut diperoleh:
Arg (z1 z2) = 1 + 2 = arg z1+ arg z2
Sedangkan untuk perkalian z1 z2 z3. . . . zn
Jika diketahui:
z1 = r1(cos 1 + i sin 1)
z2 = r2(cos 2 + i sin 2)
.
.
.
zn = rn(cos n + i sin n), untuk n asli,
maka secara induksi matematika, diperoleh rumus perkalian
z1 z2 … zn = r1 r2 …rn[cos (1 + 2+…+n) + i sin (1 + 2+…+n)] .
Akibatnya jika, z = r(cos + i sin ) maka
zn = rn (cos n + i sin n )
Operasi Pembagian
Sedangkan pembagian z1 dan z2 adalah sebagai berikut:
Setelah pembilang dan penyebut dikalikan dengan
sekawan penyebut, yaitu r2(cos 2 - i sin 2), maka
diperoleh :
z1z2 = r1r2 [cos (1 - 2 ) + i sin (1 - 2)]
Dari rumus di atas diperoleh:
arg z1z2 = 1-2 = arg z1 – arg z2.
Akibat lain jika z = r(cos + i sin ),
maka:
untuk :
Setelah pembilang dan penyebut dikalikan sekawan
penyebut, maka didapat :
Teorema De'Moivre (Pangkat bilangan kompleks)
Khusus untuk r = 1 maka :
(cos + i sin )n = cos n + i sin n, n bilangan positif.
Akar Bilangan Kompleks
Bilangan kompleks z adalah akar pangkat n dari bilangan kompleks w, jika zn = w, dan ditulis z = w1n
Jika z = (cos +i sin) akar pangkat n dari bilangan kompleks w = r(cos+i sin), maka dari zn = w
diperoleh: n(cosn +i sinn) = r(cos+i sin),
sehingga n = r dan n= +2k , k bulat.
Akibatnya dan
Jadi, akar pangkat n dari bilangan kompleks
w = r(cos+i sin) adalah:
z = r1n[cos θ+2kπn + i sin θ+2kπn ]
untuk k = (1,2,3 ..... n-1)
dan untuk n = bilangan asli.
