Penerapan Bilangan Kompleks Pada Fisika

PENERAPAN PENERAPAN BILANGAN KOMPLEKS DALAM FISIKA F ISIKA

Himpu Himpunan nan bilang bilangan an yang yang terbesar terbesar di dalam dalam matema matematik tikaa adalah adalah himpun himpunan an  bilangan kompleks. Himpunan bilangan real yang kita pakai sehari-hari merupakan himpunan bagian dari himpunan bilangan kompleks ini. Secara umum bilangan kompleks terdiri dari dua bagian : bagian real dan bagian imajiner (kha (khay yal). al). Bagi Bagian an khay khayal al berc bercir irik ikan an hadi hadirn rny ya bila bilang ngan an khay khayal al i yang didefinisikan sebagai i =√ −1

Dan persamaan bilangan kompleksnya ialah:

z! " iy

Dalam fisika# konsep bilangan kompleks sangat penting untuk dipela$ari. Dalam mekanika kuantum# muncul konsep ini# misalnya untuk menentukan kaedah komutasi antara antara operat operator or koordi koordinat nat dan moment momentum. um. %aedah %aedah komuta komutasi si yang yang terkenal terkenal dalam dalam mekanika kuantum antara kedua operator tersebut dituliskan sebagai

 X ,

[ ¿ Px ]=i ´h ¿^

^

Dalam pembahasan mekanika# kita $uga dapat mengimplementasikan konsep  bilangan kompleks# misalnya penya$ian &ektor posisi partikel dalam dua dimensi# dimana dimana posisi posisi  x dan y dan  y  berturut-turut merupakan bagian real dan imaginer dari &ektor   posisi  z . Seleng Selengkap kapny nyaa hal ini akan akan disingg disinggung ung dalam dalam pasal pasal penerap penerapan an bilang bilangan an kompleks dalam fisika. Dalam fisika# bilangan kompleks dapat disa$ikan dalam beberapa bentuk.antara lain ialah: '. bentuk rectangular 

z  x " iy ( x  e( z ) - bagian real  (y  m( z ) - bagian ima$iner 

 bilangan kompleks dapat digambarkan pada bidang  Argand seperti tampak pada gambar di sebelah ini. Semua titik yang berada pada sumbu e(z) me*akili garis bilangan real.

+. bentuk polar   z  r , cos  " i sin    r cis  r   /z / - modulus bilangan kompleks   arg( z ) - argumen bilangan kompleks  Range utama argumen : 0 1 2rg( z ) 3 +p sehingga : arg( z )  2rg( z ) " k .+p Hubungannya dengan bentuk rectangular tampak dari gambar di bidang 2rgand :

4. bentuk eksponen  z  r ei

ᶱ  

Bentuk ini dapat diperoleh dari bentuk polar dengan mengingat hubungan fungsi trigonometri dengan eksponensial kompleks :

Bentuk yang sering dipakai adalah bentuk rectangular dan eksponensial. Bentukneksponensial banyak dipakai dalam operasi pemangkatan dan perkalian# $uga  pada kasus- kasus yang melibatkan fungsi-fungsi trigonometri seperti peristi*a erambatan gelombang# getaran# dan lain-lain. 5erlu ditambahkan bah*a di antara dua ilangan kompleks z ' dan z + hanya dikenal hubungan dengan pengertian :

5engertian lebih besar (6) atau lebih kecil (3) tidak ada dalam perbendaharaan kata himpunan bilangan kompleks

Dalam makalah ini akan di$elaskan penerapan bilangan kompleks pada fisika# misalnya pada mekanika# kelistrikan dan optika. 1.

Mekanika

Berikut ini akan disa$ikan beberapa contoh soal dalam mekanika yang menggunakan konsep bilangan kompleks. Contoh soal :

Sebuah partikel bergerak di dalam bidang ( x# y) sedemikian sehingga posisi ( x# y) sebagai fungsi *aktu t disa$ikan oleh persamaan

7arilah besar kecepatan dan percepatannya sebagai fungsi t . Jaa! :

Dari bentuk z  x " i y di atas# kecepatan kompleks dan percepatan kompleks  berturut-turut dirumuskan sebagai

%arena itu besar kecepatan dan besar percepatan masing-masing sama dengan:

8ntuk nilai z di atas:

Sehingga

Sehingga:

".

Masalah Kelist#ikan

Dalam teori arus listrik# $ika VR adalah tegangan antara u$ung-u$ung hambatan  R# dan I adalah arus yang mengalir pada hambatan tersebut maka berlaku hukum 9hm yang dirumuskan sebagai

VR =I R

Selain itu# kaitan antara arus I dan tegangan VL pada sebuah induktansi L adalah

sedangkan arus dan tegangan yang melalui sebuah kapasitor berkapasitansi C  dihubungkan melalui persamaan

Ditin$au sebuah rangkaian seri dengan tegangan bolak-balik V dan arus bolak-balik 

 I yang disa-$ikan pada gambar di samping ini. V dan I ber&ariasi terhadap *aktu yang diberikan oleh persamaan

 I= I 0 sin* t 

Dengan I diberikan pada persamaan di atas# tegangan yang melalui R# L dan C  adalah VR  RI t 0 sin* VL LI t * 0 cos* dan

sehingga tegangan total bernilai V VR "VL "VC