Bab 5 Fungsi Kompleks PDF

Sistem Bilangan Kom leks Bilangan Kompleks Kurva dan Daerah Limit dan Fungsi Kompleks Fungsi Elementer 1

Notasi Sebuah bilangan kompleks dapat disajikan dalam dua bentuk : 1.

z = x + iy

2.

z = ( x , y )

x adalah bagian riil dan y bagian bagian imaginernya imaginernya dan bisa dituliskan sebagai Re z = x ,

Im z = y

Contoh bilangan kompleks : 2+3i, : 2+3i, i,1–i , 3

Re (2 + 3i ) = 2

Im (2 + 3i ) = 3

Im (1 − i ) = −1

Handoutt Matematika Handou Matem atika Teknik Teknik 2, 2 , D3 Teknik Telekomu Telekomunikasi nikasi IT I T Telkom Telkom Bandun Bandung g

2

Bidang Kompleks Keterangan Suatu bilangan kompleks bisa digambarkan dalam suatu

Y (Imagin (Imaginer) er) - axis axis y1

o z = x1 + i y1

bidang kompleks seperti menggambarkan menggambarkan suatu titik pada bidang kartesius XY.

x1

X (Real )-axis

Sumbu x : sumbu riil Sumbu y: sumbu imaginer


3

Operasi – Operasi dalam bilangan kompleks Bila z1 = x1 + i y1 dan z2 = x2 + i y2 1. Penjumlahan z1 + z2 = x1 + x2 + i ( y1 + y2 ) 2. Perkalian

z1 . z 2 = x1 x2 − y1 y2 + i ( x1 y2 + x2 y1 ) 3. Pembagian

z1 z 2

=

x1 + iy1 x2

+ iy2

=

( x1 + iy1 )( x2 − iy2 ) x1 x2 + y1 y2 x2 y1 − 1 y2 = +i 2 2 ( x2 + iy2 )( x2 − iy2 ) x2 2 + y2 2 x2 + y2

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung

4

Operasi – Operasi dalam bilangan kompleks Contoh Diketahui z 1 = 1+i dan z 2 = 2–2i , Pen umlahan

z1 + z2

= 1+ 2 + i(1− 2 ) = 3 − i

Perkalian

z1 . z 2 = 1.2 − ( 1. − 2 ) + i ( 1. − 2 + 2.1 ) = 4 Pembagian z1 1.2 + ( 1. − 2 ) =

z 2

2

2

2 + (− 2 )

+i

2.1 − (1. − 2 ) 2

2

2 + (− 2 )

=

0 8

+

4 8

i=

1 2


i 5

Sifat – sifat operasi 1. Komutatif z1 + z2 = z2 + z1 z1 . z2 = z2 .z1 2. Assosiatif

z1 + z2 + z3

=

z1 + z2

+

z3

z1 ( z2 z3 ) = ( z1 z2 ) z3 3. Distributif

z1 ( z2 + z3 ) = z1 z2 + z1 z3 4. Identitas / lainnya 0 + z = z + 0 = z

z + ( − z ) = ( − z ) + z

z .1 = z =0


6

Bilangan Sekawan Definisi Bila z = x+iy maka sekawan dari z dinotasikan dengan z yang

Y (Imaginer-axis) y1

z = x − iy

x1

Bila dikaitkan dengan nilai z dan z. maka bagian riil dan imaginer bisa dinyatakan sebagai

x =

1 2

( z + z ) dan y =

z

o

1 2i

–y1

o

z

( z − z )


7

Soal−soal latihan 1. Diketahui z1 = 2 + i , z2 = 3 − 4i Hitung a. z1 z2 .

z1 + z2

c. ( z1 + z2 )2

e.

2. Tentukan 1 a. Re 1−i

b.

c.

z1

d.

Re Im

z1 z2

2−i 1+ i

(1 − i )6


8

Soal−soal latihan 3. Tentukan a.

Re z

2

+ iz

b.

Im z

2

+ 2 z + i

c.

Im z z 4. Bila z = –1–i a.

( z z )2

b.

( z + z )2

c.

( z i − z i )2


9

Bentuk Polar Bilangan kompleks juga bisa dinyatakan dalam bentuk polar yaitu dalam parameter r dan θ dengan hubungan sebagai berikut :

x = r Cosθ y = r Sinθ r

: disebut modulus z, r juga dinotasikan dengan | z |

θ

: disebut argumen z, biasa disingkat dengan arg z

Jadi z bisa dituliskan dalam bentuk :

z = r cosθ + i(r sinθ ) = r (cosθ + i sinθ )


10

Bentuk Polar Gambar iy

• z1

r1

θ1 θ2

x

r2 • z2 Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung

11

Bentuk Polar Dari hubungan x,y terhadap r dan θ maka r dan θ dapat dinyatakan dalam bentuk :  y  2 2 θ arc tg = r = x + y    x , (0,0) sedangkan θ merupakan sudut z yang diukur dari sumbu x positif dan θ tidak terdefinisi pada z = 0. Nilai prinsipil θ didefinisikan pada

− π < θ ≤ π

Karena sifat dari θ yang berulang ,seringkali kita hanya menggunakan nilai θ pada selang tersebut.


12

Operasi Perkalian dan Pembagian Untuk mempermudah dapat digunakan sifat operasi sebelumnya untuk mendapatkan hasil operasi dalam bentuk polar. Diketahui z1 = r 1Cosθ 1 + ir 1 Sinθ 1

Perkalian Pembagian

z1 . z 2 z1 z 2

=

dan

z 2 = r 2 Cosθ 2 + ir 2 Sinθ 2

= r 1 r 2 [Cos( θ 1 + θ 2

r 1 r 2

) + i Sin( θ 1

+ θ 2

)]

[Cos( θ 1 − θ 2 ) + i Sin( θ 1 − θ 2 )]

Hasil operasi diatas menggunakan sifat Sin( θ 1 ± θ 2 ) = Sinθ 1Cosθ 2 ± Cosθ 1 Sinθ 2 Cos( θ 1 ± θ 2 ) = Cosθ 1Cosθ 2 m Sinθ 1 Sinθ 2 Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung

13

Operasi Perkalian dan Pembagian Contoh 1 Tentukan nilai prinsipil dari argumen 1+i dan –1–i beserta modulusnya.

Jawaban 2

2

Modulus 1+i = 1 + i = 1 + 1 =

2

Argumen 1+i = arc tg(y|x) = arc tg (1) =

π 4

Modulus –1–i = − 1 − i = ( −1 )2 + ( −1 )2 =

2

Argumen = arc tg (y|x)= arc tg (1) = − 3π

4


14

Bentuk Polar Jawaban (lanjutan) Untuk menghindari kesalahan penentuan argumen, dapat

iy

untuk menggambarkan titik – titik tersebut.

2

• 1+i

π /4

x

2 –3/4π • –1–i


15

Bentuk Polar Contoh 2 Diketahui z 1 = 1–i, z 2 = –1+i a. Gambarkan kedua bilangan kompleks tersebut dalam bidang kompleks b. Tentukan modulus dan nilai prinsipil argumen dari kedua bilangan kompleks tersebut c. Sajikan kedua bilangan kompleks tersebut bentuk polar


16

Bentuk Polar Jawaban a. Gambar dalam bidang kompleks iY

Dalam gambar tersebut terlihat z1 : di kuadran 4 z2 : di kuadran 2. Dengan rumus arc tg kedua

Z2 -2

1

-1 -1

1 2 Z1

X

-2

bilangan kompleks akan menghasilkan nilai yang sama yaitu arc tg (–1). Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung

17

Operasi Perkalian dan Pembagian Jawaban (lanjutan) 2

b. | z1 | =

1

2

+ ( −1 ) =

2 , | z2 | =

2

( −1 )

2

+1 =

2

Sedan kan untuk nilai θ da at kita tentukan den an karena keduanya merupakan sudut istimewa. Untuk z1 , θ1 = 315o (nilai prinsipilnya − ¼ π )

sedangkan

θ2 = 135o ( nilai prinsipilnya ¾ π )

c. z1 =

 

 π  + i Sin − π   , z    2 4 4    

2  Cos −

=

 

 3π  + i Sin 3π      4    4 

2  Cos


18

Operasi Perkalian dan Pembagian Contoh 3 Diketahui z1 = 1 + i dan z2 =

3 +i

a. Tentukan modulus (z 1z 2) dan nilai prinsipil argumen (z 1z 2) z b. Tentukan modulus 1 dan nilai prinsipil argumen z1 z 2 z2 Jawaban Jika dituliskan bentuk polar z1 =

(

2 cos π

4

+ i sin π

4

dan z 2 = 2 (cos π /6 + i sin π /6 )


19

Operasi Perkalian dan Pembagian Jawaban (lanjutan) a.



 π π 

 π π 

z 1 z2 = 2 2 Cos +  + i Sin +   4 6   4 6   =

2 2 Cos  + i Sin  12 12











sehingga modulus (z1z2) = 2 2 dan argumen (z1z2) = 5π 12 π π  2  π π   π  i Sin π  b. z1 = 2 Cos  −  + i Sin −  = Cos   +   z 2 2  2  12  4 6   4 6     12  sehingga modulus

z1 z 2

=

2 2

dan argumen

z1 z 2

=

π 12


20

Bentuk pangkat dan akar Dari hasil operasi perkalian bentuk polar dapat diperoleh bentuk pangkat bilangan kompleks zn yaitu : z

n

=

r .r ...r [Cos(θ + θ + ... + θ ) + i Sin(θ + θ + ... + θ )]

=

r Cos nθ + i Sin nθ

n

Bentuk pangkat ini lebih dikenal dengan nama rumus De Moivre. Dari bentuk pangkat ini juga bisa diturunkan bentuk akar n z yang diperoleh dengan cara sebagai berikut :


21

Bentuk pangkat dan akar Diketahui bentuk akar bilangan kompleks :

n

z

=W

W memiliki bentuk polar : W = R[Cos β + i Sin β ], sedangkan z = r [Cosθ + i Sin . θ ] { nilai R dan β inilah yang akan dicari berdasarkan nilai r dan θ }. Dari persamaan W = n z

maka diperoleh persamaan Wn = z.

Dari rumus De Moivre yaitu

W n

= R

n

[Cos n β + i Sin nβ ] = z

maka didapatkan persamaan :

R n = r

n β = θ + 2π k

k : bulat


22

Bentuk pangkat dan akar Nilai R dan β bisa diperoleh 1

R = r =

n

θ + 2π k

k : bulat

n Bila kita mencoba memasukkan nilai k mulai dari 0,1,2,... akan didapatkan bahwa nilai β akan kembali periodik untuk k = n , yang berarti nilai W akan sama untuk k = 0 dan k = n , akan sama untuk k = 1 dan k = n+1 dan seterusnya..


23

Bentuk pangkat dan akar Karena yang diinginkan adalah nilai W yang berbeda saja maka θ + 2π k untuk k = 0,1,...,n−1 β = n

Jadi akar − akar dari adalah w1, w2, ...,wn dimana untuk k = 0 − − > w1 = r n  Cos



k = 1 −−> w2

=

1

r n  Cos

M

k = n−1 −−> wn

 

n

=

1

 

+ i Sin

θ + 2π

r n  Cos

n



n 

+ i Sin

θ + 2π 

θ + 2(n − 1)π n

n

 

+ i Sin

θ + 2(n − 1)π 


n

  24

Bentuk pangkat dan akar Khusus untuk kasus n =2 yaitu akar kompleks yang berbentuk 2 z. selain

menggunakan

rumusan

sebelumnya

juga

bisa

menggunakan rumus berikut : 2

z

= ±



| z | + x 2

+ ( sign y ) i

| z | − x 2

 

dengan ketentuan sign y = 1 jika y ≥ 0 dan sign y = −1 jika y < 0 . Rumusan ini peroleh dengan menggunakan sifat

 θ  Cos θ = 2Cos   − 1  2  2

dan

2

 θ 

Cos θ = 1 − 2 Sin    2 


25

Bentuk pangkat dan akar Contoh a. Tentukan akar − akar dari

3 − 4i

b. Tentukan semua nilai z yang memenuhi

z

2

− 2 z + i = 0

c. Tentukan semua nilai z yang memenuhi z 3 + 1 = 0

Jawaban a. | z | = 5, x = 3 , y < 0 −−> sign y = −1 2

z

 5+3

= ±



2

−i

5−3 

= ± (2 − i )  2 


26

Bentuk pangkat dan akar Jawaban (lanjutan) b. Dengan rumus abc z =

2 ± 4 − 4i

=

2 ± 2 1− i

Karena masih mengandung bentuk akar maka bentuk akar tersebut harus disederhanakan dulu. Misalkan w1 dan w2 adalah akar – akar dari memiliki r =

2

1

dan θ = − π 4 1

1− i

, dimana 1–i

maka R = 20.25

Untuk k = 0 −−> β = − π 8


27

Bentuk pangkat dan akar Jawaban (lanjutan) b. Diperoleh nilai w1   π  w1 =

2  Cos −

 π     = 1 ,19(0 ,92 − 0 ,38i )

 + i Sin −

Untuk k = 1 −−> β= π diperoleh

w2

=

 

 7 π  + i Sin 7 π   = 1 ,19(− 0 ,92 + 0 ,38i )     8   8  

2  Cos

Jadi nilai z yang memenuhi persamaan adalah z =

2 + 2.[1,19 ( 0,92 - 0,38 i) ] 2

=

2,09 + 0,38i


28

Bentuk pangkat dan akar Jawaban (lanjutan) b. Atau

i − 2.[1,19 ( 0,92 - 0,38 i)]

−

2 3

,

,

3

c. z + 1 = 0 −−> z = −1 −−> z = 3 − 1 ( bentuk akar pangkat 3 )

Bilangan kompleks −1 akan memiliki r = 1 dan θ = π dan misalkan w1,w2 dan w3 adalah akar − akar dari

Untuk k = 0 diperoleh = w1

 

= 1 Cos

π 3

+ i Sin

π 

3

−1

1

maka 3

i = + 3  2 2


29

Bentuk pangkat dan akar Jawaban (lanjutan) c. Untuk k = 1 diperoleh 2

 

π + 2π

π + 2π 

3

3

−



Untuk k = 2 diperoleh w3

 

= 1 Cos

π + 4π 3

+ i Sin

π + 4π 

Jadi akar – akarnya adalah

3

1 2

1

3

i = − 2 2 

+

3 2

i ,−1 dan

1 2


−

3 2

i 30

Soal−soal latihan 1. Hitung a.

z

b.

z

.

z − 1 z + 1

en u an mo u us , semua argumen an n a pr ns p argumen dari bilangan kompleks berikut a. 1+ i

d.

–1–i

b. −5

e.

3i

c. 1 − i 3

f.

0


31

Soal−soal latihan 3. Diketahui z = 3 − i ,tentukan a. Re(z 5 )

b. Im(z 7 )

4. Tentukan z yang memenuhi persamaan a. z

+

b. z 4

+1= 0

z +

=

5. Sajikan dalam bentuk bentuk − bentuk akar berikut a.

−i

b.

3

i


32

Kurva dan Daerah dalam Bidang Kompleks Definisi | z–a| : Jarak antara z dan a. Lingkaran C dg jari-jari r dan pusat a dpt disajikan dlm bentuk |z–a| = r Daerah ini disebut : cakram buka dg pusat a or lingkungan a. |z- a |≤r : sebuah cakram tertutup dg pusat a r 1< | z − a | ≤ r 2 : annulus terbuka atau cincin buka yaitu daerah diantara dua lingkaran dg jari2 r1 dan r2


33

Kurva dan Daerah dalam Bidang Kompleks

C : |z a|=r Cakram buka dg pusat a a

r


34

Kurva dan Daerah dalam Bidang Kompleks Definisi Himpunan S disebut terbuka jika setiap titik di S memiliki cakram buka yg keseluruhan titiknya masuk didalam S. Himpunan terbuka S disebut tersambung jika utk sembarang 2 titik di Sdpt dihubungkan oleh sejumlah ruas garis yg terletak di S juga Himpunan terbukadan tersambung disebut domain ( fungsi kompleks)

S

Himp. terbuka

Himp. tertutup

Himp. tertutup


Himp tersambung terbuka 35

Kurva dan Daerah dalam Bidang Kompleks Contoh Buatlah pers. “ cakram buka di 1+ i dg radius 2, kemudian gambar dlm bidang kompleks

Persamaannya adalah

z − (1 + i ) < 2


36

Soal−soal latihan 1.

2.

3.

Buatlah persamaan grafik beserta gambarnya dari pernyataan berikut a.

Cakram tertutup pusat ( 1,1) dan jari − jari 2

b.

Cakram terbuka pusat 3 − 4i dengan jari − jari 3

Gambarkan rafik dari a.

|z|>2

b.

| z + 1 −i | < 3

c.

Re z > 3

d.

arg z < π /2

Dari nomor 1 dan 2, tentukan mana yang merupakan domain fungsi kompleks


37

Turunan Fungsi Kompleks Diketahui fungsi kompleks yang berbentuk : f ( z ) = u ( x , y ) + i v( x , y )

Fungsi ini menunjukkan fungsi kompleks yang ekuivalen dengan , , − pada dua variabel riil x dan y. Limit fungsi lim f ( z ) = L Z → Zo

Ini memgandung pengertian bahwa untuk semua z yang dekat dengan zo maka nilai f(z) akan dekat dengan nilai L.


38

Turunan Fungsi Kompleks Pengertian dekat dengan z0 adalah bilangan kompleks yang terletak didalam cakram buka dengan pusat z0 dengan jari – jari yang sangat kecil. Z → Zo

0

f(z ) dikatakan differensiabel dititik z0 (f ′ (z 0 ) ) bila f ( z0 + ∆ z ) − f ( z0 ) = f ' ( z0 ) ada lim ∆ Z →0 ∆ z

atau lim Z → Zo

f ( z ) − f ( z0 ) z − z0

=

f ' ( z0 )

ada


39

Turunan Fungsi Kompleks Contoh 1 Apakah | z | memiliki turunan dititik (0,0) ? Jawaban z

Maka lim Z →0 ,0

= z = x + iy

| x + iy | − | 0 + 0 |

lim

=

x + iy − ( 0 ,0 )

Z →0 ,0

| x + iy | x + iy

Anggap x = 0 konstan maka | iy |

| iy |

lim lim = 1 dan Y →0 iy Y →0 iy −

+

= −1

Karena limitnya tdk ada, |z| tdk memiliki turunan


40

Turunan Fungsi Kompleks Contoh 2 Periksa apakah 2 turunannya

+ i 2 y

memiliki turunan? Kalau punya tentukan

Jawaban f ( z ) = f ( x , y ) = 2 x + i 2 y f ' ( z ) = lim

∆ Z →0

=

lim

∆ Z →0

f ( z + ∆ z ) − f ( z )

∆ z f ( x + iy + ∆( x + iy )) − f ( x + iy )

∆( x + iy )


41

Turunan Fungsi Kompleks Jawaban (lanjutan) f ' ( z )

=

lim

∆ Z →0

=

lim

∆ Z →0

f ( x + ∆ x + i( y + ∆ y )) − f ( x + iy )

∆( x + iy )

2 x + 2∆ x + 2i ( y + ∆ y )) − 2( x + iy ) ∆ ( x + iy )

=

2

Jadi f ( z ) = 2 x + i 2 y memiliki turunan yaitu sama dengan 2


42

Turunan Fungsi Kompleks Contoh 3 Diketahui f ( z ) = 3 z 2 + 2 z , tentukan f ' (1 + i ) ?

Jawaban Bila f(z) disajikan dalam variabel z saja maka selain menggunakan definisi turunan yang telah dibahas sebelumnya maka bisa juga f(z) diturunkan secara langsung dengan aturan penurunan biasa. Jadi f ' ( z ) = 6 z + 2 sehingga

f ' (1 + i ) = 6(1+ i) + 2 = 8+ 6i


43

Soal latihan 1. Tentukan dari fungsi − fungsi berikut 2

a.

f ( x , y ) = x

b.

f ( z ) = z

c.

f ( z ) = Re z + 1

2

+ 3 x − y

2

+ 3z

2. Dengan menggunakan definisi turunan, tunjukkan bahwa x + iy tidak differensiabel dititik i x + ( 1 − i ) y


44

Soal latihan 3. Tentukan f ′ (1+i ) dari fungsi − fungsi berikut 3

a.

f ( z ) = (2 z − 1)

b.

f ( x , y ) = x − y z f ( z ) = z − 1

c.

2

2

− x + i (2 xy − y )


45

Fungsi analitik Definisi f(z) dikatakan fungsi analitik pada suatu domain D jika f(z) terdefinisi

dan memiliki turunan ( differensiabel ) disemua titik di D. f(z) analitik di titik a bila f(z) analitik dilingkaran buka dengan pusat a.

Bila f(z) analitik disemua titik dibidang kompleks maka f(z) disebut juga fungsi entire .


46

Fungsi analitik Contoh Diketahui

f ( z ) =

z + 2 z

2

+1

Apakah f ( ) analitik di daerah berikut a. P : z < 1 b. Q : z + 1 − i < 1 ,5 c. R : z − 1

<

2


47

Fungsi analitik Pertama akan dilihat pada titik − titik berapa f (z ) menjadi tidak analitik.

f ( z ) =

z + 2 2

z + 2

=

z

z −

Jadi f (z ) tidak analitik dititik −i dan i. Untuk melihat apakah f (z ) akan analitik di daerah P,Q atau R cukup dengan melihat apakah titik −i dan i terletak didalam P, Q atau R dan untuk mempermudah akan ditunjukkan dalam gambar berikut


48

Fungsi Analitik a. Titik −i dan i diluar P , maka f (z ) analitik di P b. Titik i di dlm Q, maka f (z ) tdk

point i

Q

analitik di Q c. Titik −i dan i diluar R, maka f (z ) analitik di R


•

• • •

R point −i

49

Tes keanalitikan fungsi kompleks Bila suatu fungsi kompleks disajikan dalam bentuk .

f ( z ) = U ( x , y ) + i V ( x , y )

Maka untuk menentukan apakah fungsi tersebut analitik pada sua u aera

ma a

a arus menge a u er e

u u apa a

fungsi kompleks tersebut terdefinisi dan memiliki turunan di daerah D tersebut. Untuk mengetahui apakah fungsi kompleks tersebut terdefinisi atau tidak mungkin tidak begitu rumit, sedangkan untuk menentukan turunannya mungkin memerlukan waktu yang lebih lama.


50

Tes keanalitikan fungsi kompleks Ada cara yang lebih pendek untuk menentukan keanalitikan dari fungsi ini yaitu menggunakan persamaan Cauchy−Riemman . Bila fungsi kompleks f ( z ) = U ( x , y ) + i V ( x , y ) analitik disuatu oma n , ma a a an er a u persamaan auc y− emman.

U x

= V y

V x

= −U y

Untuk setiap titik didalam D Turunan f (z ) didefinisikan dengan f ' ( z ) = U x + iV x


51

Tes keanalitikan fungsi kompleks Bila fungsi kompleks disajikan dalam bentuk polar . ( z ) = U (r ,θ ) + iV (r ,θ ) analitik disuatu domain D, maka akan f berlaku persamaan Cauchy−Riemman

U r = V θ r

V r = − U θ r

Untuk setiap titik didalam D Turunan f (z) didefinisikan sebagai

f ' ( z ) = e −iθ (U r + iV r )


52

Fungsi analitik Contoh 1 Apakah

f ( z ) = x

3

3

+ y + i x

2

2

y − y x

analitik?

Jika ya tentukan turunannya

Jawaban Akan dipeiksa apakah memenuhi persamaan Cauchy-Riemman U x

=

3 x 2

V y

2

= x − 2 yx

Ternyata U x ≠ V y jadi tidak memenuhi PCR Sehingga f (z) tidak analitik dan tidak memiliki turunan


53

Fungsi analitik Contoh 2 Apakah f ( z ) = 4 x 2 − 4 y 2 − 4 x + 1 + i (8 xy − 4 y )

analitik?

Jika ya tentukan turunannya

Jawaban Akan dipeiksa apakah memenuhi persamaan Cauchy-Riemman U x = 8 x − 4 V x = 8 y U y

= −8 y

V y

=

8 x − 4

Ternyata memenuhi PCR yaitu U x

= V y

dan V x

= −U y

Sehingga f (z) analitik dan turunannya adalah f ' ( z ) = 8 x − 4 + i(8 y ) Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung

54

Fungsi Harmonik dan Sekawan Harmonik Definisi Jika f ( z ) = U ( x , y ) + i V ( x , y) sebuah fungsi analitik pd domain D, maka u(x,y) dan v(x,y) akan memenuhi pers. Laplace ∇

2

u

= U xx + U yy = 0

∇

2

v

= V xx + V yy = 0

(∇ : Nabla)

Suatu fungsi 2 peubah (riil) yg memenuhi pers. Laplace disebut fungsi Harmonic ( u,v : harmonic function) u : fungsi sekawan harmonis v v : fungsi sekawan harmonis u


55

Fungsi Harmonik dan Sekawan Harmonik Contoh 1 Bila U ( x , y )adalah bagian Riil f (z ) yang analitik, tunjukkan bahwa U = x 2 − y 2 − y harmonik ? kemudian tentukan Sekawan Harmoniknya !

Jawaban 2

∇ u = U xx + U yy =

2−2 =0

Jadi U merupakan fungsi Harmonik.


56

Fungsi Harmonik dan Sekawan Harmonik Jawaban (lanjutan) Dihitung turuanan parsial terhadap x dan y.

U x

=

2 x

U

= −2

−1

Dengan menggunakan PCR maka V y = U x = 2 x

V x

= −U y =

2 y + 1

Kita dapat memulai dari salah satu persamaan Vy atau Vx . Misalkan akan mulai dari Vy maka V y = 2 x Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung

57

Fungsi Harmonik dan Sekawan Harmonik Jawaban (lanjutan) Dengan mengintegralkan terhadap y

V = 2 x d = 2 x + h x Dengan menurunkan terhadap x diperoleh V x = 2 y + h' ( x ) Dari PCR sudah diperoleh persamaan V x = −U y = 2 y + 1 Dengan menggabungkan dua persamaan Vx : 2 y + h' ( x ) = 2 y + 1 Maka h' ( x ) = 1 sehingga h( x ) = x + c Jadi sekawan harmoniknya adalah V = 2 xy + x + c Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung

58

Fungsi Harmonik dan Sekawan Harmonik Contoh 2 DiketahuiV ( x , y ) = 2 xy adalah bagian imaginer dari suatu fungsi analitik f ( z ) . Tentukan f ( z )

Jawaban Pembuktian bahwa V ( x , y ) = 2 xy adalah fungsi Harmonik yaitu fungsi memenuhi persamaan Laplace tidak perlu dilakukan karena berdasarkan soal bahwa f ( z ) sudah analitik sehingga V ( x , y ) sudah tentu fungsi Harmonik.


59

Fungsi Harmonik dan Sekawan Harmonik Jawaban (lanjutan) Dengan menggunakan PCR maka

U x

= V y =

U y

= −V x = −2 y

2 x

Misalkan akan mulai dari U x maka U x = 2 x Dengan mengintegralkan terhadap terhadap x

U = ∫ 2 x dx = x 2 + h( y ) Dengan menurunkan terhadap y diperoleh U y = h' ( y )


60

Fungsi Harmonik dan Sekawan Harmonik Jawaban (lanjutan) Dari PCR sudah diperoleh persamaan

U y = −V x = −2 y

Dengan menggabungkan dua persamaan Vx : Jadi nilai h( y ) adalah

h( y ) = − y 2 + c

Sekawan harmonik V ( x , y ) = 2 xy U = x

2

− y

2

h' ( y ) = −2 y

adalah

+c

Sehingga f ( z ) adalah

f ( z ) = U ( x , y ) + i V ( x , y )

2

= x − y

2

+ c + i(2 xy )


61

Soal Latihan Diketahui f ( z ) = u( x , y ) + i v( x , y )

adalah fungsi yang analitik

Tentukan sekawan harmonik dari fungsi – fungsi berikut 1.

u = x

4.

v = e x Sin y

2.

u = xy

5.

v = xy

3.

u = x 3 − 3 xy 2

6.

v = − Sin Sinh y


62

Fungsi Elementer Ada tiga fungsi elementer yang dibahas yaitu 

Fungsi eksponensial



Fungsi trigonometri.

Fungsi – fungsi elementer ini akan disederhanakan menjadi bentuk bilangan kompleks yang standar yaitu .

z = x + iy


63

Fungsi Eksponensial Fungsi ini memiliki bentuk e z . Untuk mengubah e z kedalam bentuk x + iy maka dapat dilakukan dengan cara memecah z dalam x + iy kemudian mengguna an rumus u er un u menye er ana an en u z

x +iy

e =e

x

=e

(Cos y + i Sin y )

x

=e

e .

x

Cos y + i e Sin y

Bila dijumpai persamaan berbentuk e z = z2 ,untuk menentukan nilai z 1 maka z 2 dapat diubah terlebih dulu menjadi z = r 2 eiθ 1

2

sehingga persamaannya menjadi e z = r 2 eiθ 1


64

Fungsi Eksponensial Dengan meng-ln-kan kedua ruas didapatkan persamaan

z1 = ln r 2 + iθ Bentuk ini sudah sesuai dengan bentuk standarnya s tandarnya

Periodisitas e z adalah 2π i ,ini berarti z

z + 2π ik

e =e

untuk k = 0,1,2 ,… ,…

Daerah pokok adalah − π < y ≤ π dan − ∞ < x < ∞


65

Fungsi Eksponensial Contoh 1 Tentukan bagian riil dan imaginer dari

π e −1+ i

Jawaban π e −1+ i

=e

−1

(Cos π + i Sin π ) = −

Jadi bagian riilnya adalah − 1 e dan bagian imaginernya = 0.

1 e


66

Fungsi Eksponensial Contoh 2 Tentukan z yang memenuhi persamaan e z = i

Jawaban Modulus i = 1 dan argumen i = z

Persamaan e = i

π

.

2 dapat diubah menjadi

π

z

i + 2π k 2

k = 0,1,2,…

e = 1e Bisa disederhanakan menjadi

 π + 2π k   2  

z = ln 1 + i

 π  2

=



+ 2π k  i

k = 0,1,2,…


67

Fungsi Logaritma Logaritma asli dari z dinotasikan dg ln z . Nilai ln z yg terkait dg nilai prinsipil argumen z dinotasikan dg Ln z . Misal W =ln z dg W =u + iv dan z dituliskan sbg reiθ ,maka kita akan dapatkan W

e

eu + iv

= z =

reiθ

eu = r

u = ln r

v = θ W = ln z = ln r + i (arg z ) Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung

68

Fungsi Eksponensial Contoh 1 Tentukan bagian riil dan imaginer dari Ln(− 1 + i )

Jawaban Modulus

−1+ i =

dan argumen

2

Ln(1 + i ) = ln 2 +

3π 4

−1+ i =

3π 4

i

Jadi bagian riilnya ln 2 dan bagian imaginernya

3π 4


69

Fungsi Eksponensial Contoh 2 Tentukan z yang memenuhi persamaan e z = i yang terkait dengan nilai prinsipil argumen z !

Jawaban Dari persamaan e z = i dapat disederhanakan menjadi

z = Ln i = Ln 1 +

π i 2

=

π i 2

Jadi nilai z yang memenuhi adalah

π i 2


70

Fungsi Eksponensial Contoh 3 Sederhanakan ln i dalam bentuk standar bilangan kompleks !

Jawaban Dengan menggunakan rumusan bentuk akar diperoleh akar- akar dari i adalah w1 dan w2 dengan modulus w1 = 1, modulus w2 = 1, π 5π argumen w1 = dan argumen w2 = . 4 4 Jadi bentuk standarnya adalah 5π 5π π π 1. ln i = ln 1 + i = i 2. ln i = ln 1 + i= i 4 4 4 4 Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung

71

Bentuk Pangkat Bentuk pangkat bil. kompleks didefinisikan sbg

z 2

z1

dimana z 1 dan z 2 keduanya adalah bilangan kompleks Kita dpt menyederhanakan bentuk pangkat ini dg fungsi eksponensial z

ln z1 2 z 2 z ln z1 z1 = e =e 2 misal z3 = ln z1 , maka z 2

z1

=

e

z 2 z3

=

x4 + iy 4

e

Dg rumus Euler x = e 4 (cos y4 + i sin y4 )


72

Bentuk Pangkat Contoh Sederhanakan (1+i) – i Jawaban Modulus

π 1 + i = 2 , ar umen 1 + i = 4

Dg penyederhanaan fungsi logaritma asli, kita peroleh π

ln (1 + i ) = ln 2 + i

4 π   − i . ln 2 + i  z 4  z1 2 = e  π

=e

4

π =e 4

−

i ln 2

(Cos (ln 2 )− iSin(ln 2 ))


73

Fungsi Trigonometri Fungsi trigonometri dapat dinyatakan dalam bentuk :

Cos z =

1

(e

iz

+e

−iz

)

Sin z =

1

(eiz − e iz ) −

Dengan mengubah fungsi trigonometri dalam bentuk seperti diatas dan dengan memanfaatkan fungsi - fungsi eksponen maka penyederhanaan dalam bentuk standar bilangan kompleks dapat dilakukan.


74

Fungsi Trigonometri Contoh 1 Hitunglah nilai Cos i

Jawaban Cos i =

1 2

(ei .i + e i .i ) = 1   1 + e  −

2  e


75

Fungsi Trigonometri Contoh 2 Tentukan z yang memenuhi persamaan Cos z = 2

Jawaban Dari rumusan Cos z diperoleh persamaan iz

iz

e + e− = 4 Misalkan R = eiz maka diperoleh persamaan R 2 − 4 R + 1 = 0 Dengan rumus abc diperoleh akar – akar persamaannya 4 ± 12 =2± 3 R = 2 Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung

76

Fungsi Trigonometri Jawaban (lanjutan) Untuk R = 2 + 3 diperoleh persamaan e iz = 2 + 3 Bisa disederhanakan sebagai i z = ln 2 + 3 Salah satu solusinya adalah z = −i ln(2 + 3 ) Untuk R = 2 − 3 e

iz

=

diperoleh persamaan

2− 3

Bisa disederhanakan sebagai i z = ln 2 − 3 Solusinya yang lain adalah z = −i ln 2 − 3 Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung

77

Soal Latihan 1. Tentukan nilai e

3 −i

2. Untuk z = 1 + i ,tentukan bagian riil dan imaginer dari a. .

e

e

− 3 z 2

3. Tentukan nilai z yang memenuhi a. e z = −2 z

b. e = −i 4. Hitung nilai ln(− 5 )


78

Bab 5 Fungsi Kompleks PDF

Recommend Documents