FISIKA MATEMATIKA 1 " BILANGAN KOMPLEKS "

MATERI PERKULIAHAN
FISIKA MATEMATIKA 1

"BILANGAN KOMPLEKS"
DOSEN PEMBIMBING:
Sri Hartini, M.Sc

Oleh Kelompok 2
Hana Pertiwi
Marlina
Mahmudah
M. Hafiz Ridho
Nor Hanifah


PROGRAM STUDI PENDIDIKAN FISIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN IPA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS LAMBUNG MANGKURAT
BANJARMASIN
2017
BAB II
BILANGAN KOMPLEKS
az2+bz+c=0
Penyelesaian:
z=-b±4ac-b22a
Deskriminan d=b2-4ac
Jika D < 0, maka akar negatif (jika d bernilai negatif, maka dinyatakan dengan bilangan imajiner.
-1=i (Bilangan Imajiner)
Contoh :
-16=4-1=4i
-25=5-1=5i
i2=-1 . -1=-1
4i . 5i=20i2=20
Bilangan kompleks adalah bilangan yang terdiri dari bagian real dan bagian imajiner
z=x+iy
x : bagian real, Re (z) = x
y : bagian Imajiner Im (z) = y
Untuk memplot bilangan kompleks pada suatu bidang dapat dilakukan pada bidang kompleks atau diagram Argand.
Bidang kompleks dapat digunakan koordinat kartesius dan koordinat polar.
Pada koordinat kartesius sumbu x disebut sumbu real dan sumbu y disebut sumbu imajiner.

Hubungan koordinat kartesius dan polar
r=x2+y2, r2=x2+y2
sinθ=yr, y=rsinθ
cosθ= xr, x=rcosθ
tanθ=yx, θ=arctanθ
x+iy=rcosθ+i rsinθ
=r (cosθ+i sinθ)
INGAT:
Persamaan Euler
eiθ=cosθ+isinθ
x+iy=rcosθ+i rsinθ
=r (cosθ+i sinθ)
=r eiθ

Contoh soal :
Titik (1,3) pada koordinat kartesius jika dinyatakan dalam bentuk polar adalah…
Jawab :
r=x2+y2=12+32=1+3
=4=2
sinθ=yr, y=2sinθ
cosθ= xr, x=2cosθ
tanθ=yx= 31=3
tanθ=3 x+iy=2cos60o+i 2sin60o
θ=arctan3 =2 .12+i 2 .123
θ=60o=π3 =1+i 3
Koordinat polar adalah P r,θ=P (2,π3)
x+i3=2cosπ3+i 2sinπ3
=2eiπ3
Kompleks Konjugate
Z=x+iy= rcosθ+i rsinθ
=r (cosθ+i sinθ)
=r eiθ
Z* atau Z adalah bilangan konjugate
Z*= Z=x-iy= rcos(-θ)+i r(-sinθ)
=r (cosθ-i sinθ)
=r e-iθ
Contoh :
Z= -i, Z*= i
Z=5+7i, Z*= 5-7i
Aljabar pada Bilangan Kompleks
Contoh :
1+i2=1+i1+i
=1+2i+i2
=1+2i-1=2i
2+i3-i × 3+i3+i= 6+5i+i29-3i+3i-i2= 6+5i-19+1= 5+5i 10
=12+12i
Absolute z
z=x+iy r= x2+y2
z=r=x2+y2
z . z* =x+iyx-iy
=x2+iyx-iyx-i2y2=x2-i2y2=x2+y2
z=r=x2+y2= z . z*

Absolute z
Contoh Tentukan nilai absolute z dari 5+3i1-i
Jawab :
z="z . z*
z=5+3i1-i . 5-3i1+i=5-35i+35i-9i21+i-i-i2
=5+91+1=142= 7
Absolute z dari 5+3i1-i adalah 7

Latihan!
Plot bilangan kompleks berikut pada bidang kompleks dan tentukan konjugatenya!
i-1
-4i
2 (cosπ6+isinπ6)
cosπ-isinπ
Sederhanakan bilangan kompleks 3+i2+i
Tentukan nilai absolute z dari 5-2i5+2i
Jawab :
i-1 x=-1 , y=1
r=x2-y2 tanθ=yx=1-1=-1
r=(-1)2-12=2 θ=arctan-1=135°=34π
z=x+iy=rcosθ+irsinθ
=2cos34π+i2sin34π
=2 (cos34π+isin34π)
=2 ei3π4
-4i x=0 , y=-4
r=x2-y2 tanθ=yx=-40
r=(0)2--42 θ=arctan-40=270°=32π
r=16 =4
z=x+iy=rcosθ+irsinθ
=4cos32π+i4sin32π
=4 (cos32π+isin32π)
=4 ei3π2

2(cosπ6+isinπ6) π6=180°6=30°
2(cosπ6+isinπ6)=2(cos 30°+isin30°)
=2 (123+i12)
=3+1
Konjugate
z=3+i
z*=3-i
cosπ-isinπ π=180°
=cos180°-isin180° r= x2+y2
=-1-i(0) = (-1)2+02
=-1 =1=1
3+i2+i 3+i2+i×2-i2-i=6-3i+2i-i24-2i+2i-i2=6-i-i24-i2
=7-i4+1=7-i5
z="z . z*"
z=5-2i5+2i . 5+2i5-2i=25+10i-10i-4i225-10i+10i-4i2=25-4i225-4i2
=25-425-4=2929=1=1



Deret Kompleks Tak Hingga
Deret Parsial Kompleks (hingga suku ke-n)
Menyelidiki deret kompleks yang konvergen atau tidak (pakai uji rasio) Sn=Xn+Yn
Menyelidiki deret kompleks yang konvergen atau tidak (pakai uji rasio)
Xn dan Yn real
Deret akan konvergen jika :
S=Xn+iYn=limn Sn
Ujilah deret
n 1 (1+i)n2n
ρ=an+1an=(1+i)n+12n+1(1+i)n2n=(1+i)n+12n+1 . 2n(1+i)n
=(1+i)n(1+i)12n . 21 . 2n1+in=1+i2
z=1+i2 . 1-i2=1-i+i-i24=1-i24=24=22
Syarat konvergen ρ<1 22<1 Deret Konvergen

Deret Kompleks dan Lingkaran Kekonvergenan
Deret Kompleks
anzn
Tentukan lingkaran kekonvergenan dari deret kompleks berikut
1+iz+z22!+iz33!+…

n 1 iznn!
ρn=izn+1n+1!×n!izn=izn iz n!n+1! izn=iz n!n+1!
ρ=limn ρn
=limn iz n(n-1)n+1 n(n-1)=limn izn+1=0
Syarat konvergen ρ<1 Deret Konvergen

Euler's Formula
Persamaan Euler
eiθ=cosθ+isinθ
Pada bilangan kompleks berlaku :
z1 . z2=r1eiθ1. r2eiθ2=r1r2ei(θ1+θ2)
z1z2=r1r2ei(θ1+θ2)
ex=1+x+x22!+x33!+…
ez=1+z+z22!+z33!+…
z=x+iy
eiθ=1+iθ+(iθ)22!+(iθ)33!+…
=1+iθ-θ22!-iθ33!+θ44!+…
=1-θ22!+θ44!+…+iθ-iθ33!+…
sinx=x-x33!+x55!+…cosx=1-x22!+x44!+…sinθ=θ-θ33!+θ55!+…cosθ=1-θ22!+θ44!+… =1-θ22!+θ44!+…+iθ-θ33!+…
sinx=x-x33!+x55!+…
cosx=1-x22!+x44!+…
sinθ=θ-θ33!+θ55!+…
cosθ=1-θ22!+θ44!+…
eiθ =cosθ+isinθ







Temukan nilai
2eiπ6
eiθ=cosθ+isinθ
Bentuk polar 2eiπ6 r=2
θ=π6=1806=30°
2eiπ6=2.cos30°+isin30°
=2.123+i12
=3+i

Power and Roots of Complex Numbers
Persamaan De Moivre
Zn=reiθn=rneinθ
eiθn=cosθ+isinθn+cosnθ+isinnθ
Z1n=reiθ1n=r1neiθn=nr cosθn+isinθn
Contoh
Carilah 38
Penyelesaian :
38= 813 x=8
y=0



θ=θ0+2nπ n=1,2,3akar 1= θ1akar 2= θ+2nπ = θ+2πakar 3= θ+2nπ = θ+4πr=x2+y2=64=8tanθ=yx=08 θ=arctanθθ=0Z1n=reiθ1n =r1neiθn38=8eθ13 =813eθ3 =2 (Polar)=38cosθn+isinθn=21+iθ=2 (Kartesius)
θ=θ0+2nπ n=1,2,3
akar 1= θ1
akar 2= θ+2nπ
= θ+2π
akar 3= θ+2nπ
= θ+4π


r=x2+y2=64=8
tanθ=yx=08
θ=arctanθ
θ=0
Z1n=reiθ1n
=r1neiθn
38=8eθ13
=813eθ3
=2 (Polar)

=38cosθn+isinθn
=21+iθ
=2 (Kartesius)











38=8ei2π13 =813ei2π3 =2ei2π3Polar38cos2πn+isin2πn=2cos120+isin120=2-12+i123=-1+i3Kartesius θ= θ+2nπ
38=8ei2π13
=813ei2π3
=2ei2π3Polar
38cos2πn+isin2πn
=2cos120+isin120
=2-12+i123
=-1+i3Kartesius


= θ+2π
= 0+2π





38cos4πn+isin4πn=2cos240+isin240=2-12- i123=-1- i3Kartesius38=8ei4π13 =813ei4π3 =2ei4π3Polar
38cos4πn+isin4πn
=2cos240+isin240
=2-12- i123
=-1- i3Kartesius

38=8ei4π13
=813ei4π3
=2ei4π3Polar


Akar ke 3
θ= θ+2nπ
= 0+4π

PolarKartesiusJadi, 38= 22ei2π32ei4π3 2-1+i3-1- i3
Polar
Kartesius

NB:
Mencari akar tergantung pangkat akar ex: 38
Latihan :
tanθ=yx=0-64=0θ=arctanθθ=180°=πr=x2+y2r=-642+0r=4096=644-64=-6414
tanθ=yx=0-64=0
θ=arctanθ
θ=180°=π

r=x2+y2
r=-642+0
r=4096=64

x=-64
y=0

Z1n=reiθ1n
-6414=reiθ14=64eiπ14
=6414eiπ4=22 eiπ4=22 cosπ4+isinπ4=22 122+i122=2+i 2
=6414eiπ4
=22 eiπ4
=22 cosπ4+isinπ4
=22 122+i122
=2+i 2











reiθ14=64eiπ+2π14=64eiπ4+2π4
=22 ei3π4=22 cos3π4+isin3π4=22 -122+i122=-2+i 2
=22 ei3π4
=22 cos3π4+isin3π4
=22 -122+i122
=-2+i 2







=22 ei5π4=22 cos5π4+isin5π4=22 -122+i-122=-2-i 2reiθ14=64eiπ+4π14=64eiπ4+4π4
=22 ei5π4
=22 cos5π4+isin5π4
=22 -122+i-122
=-2-i 2









reiθ14=64eiπ+6π14=64eiπ4+6π4
=22 ei7π4=22 cos7π4+isin7π4=22 122-i122=2-i 2
=22 ei7π4
=22 cos7π4+isin7π4
=22 122-i122
=2-i 2







PolarKartesiusJadi, 38= 22 eiπ422 ei3π422 ei5π422 ei7π4 2+i 2-2+i 2-2-i 22-i 2
Polar
Kartesius


The Exponential and Trigonometric Functions
Fungsi trigonometik kompleks:
ez=ex+iy=exeiy=excosy+isiny
sinθ=eiθ-e-iθ2i cosθ=eiθ+e-iθ2
Berlaku untuk Z
sinZ=eiZ-e-iZ2i cosZ=eiZ+e-iZ2

Hyperbolic Functions
Persamaan hiperbolik:
sinhZ=eZ-e-Z2 coshZ=eZ+e-Z2
tanhZ=sinhZcoshZ sechZ=1coshZ
cothZ=1tanhZ cschZ=1sinhZ
siniy=isinhy cosiy=coshy
cosh2Z-sinh2Z=1 ddZcoshZ=sinhZ

Logarithms
W=lnZ=lnreiθ=lnr+lneiθ=lnr+iθ

Complex Roots And Powers
ab=ebln a ab=blna
Invers Trigonometric And Hyperbolic Function
W=cosZ=eiZ+e-iZ2
Z=arccosW
W=cosZ