BILANGAN KOMPLEKS
Pengertian
Bilangan kompleks adalah bilangan yang dinyatakan dalam bentuk : Z = a + bi , Di mana :
a, b ∈ IR dan i =
−1
a disebut bagian riil ditulis Re z = a B disebut bagian imaginer Im z = b
Kesamaan
Dua bilangan kompleks a+ bi; dan + di; dikatakan sama ⇔ a = dan b = d! "ada bilangan kompleks tidak berlaku relasi < dan >! Operasi Aljabar
1! #uml #umlah ah dua dua bilan bilanga gan n kom komple pleks ks $a+ bi% + $+ di% = $a+ % + $b+ d%i &! 'eli 'elisih sih dua dua bila bilang ngan an kom kompl plek ekss $a+ bi% ( $+ di% = $a( % + $b( d%i )! *asil *asil gan ganda da dua dua bil bilan anga gan n komp komplek lekss $a+ bi% $+ di% = $a( bd% + $ad+ b%i ! *asil *asil bag bagii dua dua bila bilang ngan an kom kompl plek ekss
a + bi
=
c + di
$ac + bd %
c & + d &
+
$bc − ad %
c & + d &
i
Bentuk Kutub Bilangan Kompleks
Bilangan kompleks Z = a+ bi dapat dinyatakan dengan sebuah titik pada sebuah bidang yang yang dise disebu butt bidang kompleks. 'umb 'umbu u sebag sebagai ai sumbu riil dan sumbu sumbu - sebagai sebagai sumbu imaginer dan bidang .- dinamakan bidang kompleks!
Bilangan kompleks Z = a+ bi pada bidang kompleks di/akili oleh titik " $a,b%! "er/akilan ini disebut diagram Argand y " $a, b% r .
ϑ a
θ = sudut antara
b
sumbu 0 positi dengan
2 0 r=
a&
modulus atau nilai mutlak dari z,
OP
+ b & disebut
ditulis 'in θ =
b r
'udut θ disebut argumen dari Z 4aka Z = a + bi = r 3os θ + r 'in θ i = r $3os θ + i 'in θ % = r 3is θ #adi r 3is θ , merupakan bentuk kutub dari bilangan kompleks Z 'iat : #ika Z1 = r 1 $3os θ1 + i 'in θ1% Z& = r & $3os θ& + i 'in θ&% 4aka : Z1Z& = r 1r & 53os $θ1+θ&% + i 'in $ θ1+θ&%6 atau $r 1 3is θ1% $r & 3is θ&% = r 1 r & 3is $θ1+θ&% Bilangan Kompleks Sejodo !seka"an# $ konjugat
Z = a + bi kon7ugatnya adalah Z = a 8 bi 'iat( siat :
1! Z = Z &! #ika Z1 = a+ bi , Z & = + di, maka Z 1 + Z & = Z 1 + Z & )!
Z ∗ Z
=
Z
&
=
Z
&
! Z 1 Z & = Z 1 ∗ Z & 9!
Z 1 Z 1 = Z & Z &
"ada bilangan kompleks berlaku hukum(hukum sebagai berikut: 1! *uku *ukum m kom komutat utati i Z1 + Z& = Z& + Z1 Z1 . Z& = Z& . Z1 &! *uku *ukum m asos asosia iati ti $Z1 + Z&% + Z) = Z1 +$ Z& + Z)% $Z1 . Z&% . Z) = Z1 .$ Z& . Z)% )! *uku *ukum m dist distri ribu buti ti $Z1 + Z&% . Z) = Z1 Z) + Z& Z) %eorema %e orema &e Moi're
ntuk setiap bilangan rasional n berlaku : 5 r $3os θ + i 'in θ%6n = r n $3os nθ + i 'in nθ%
Z
, 3os θ =
a r
husus untuk r = 1, maka : 53os θ + i 'in θ6n = 3os n θ + i 'in nθ% Penarikan Akar
3os θ = 3os $θ + k! )< %
Ζ
'in θ = 'in $θ + k! )< % , k ∈ 0 + iy = r $3os θ + i 'in θ%
= r 53os $ θ + k! )<% + i 'in $ θ + k! )< %6 #adi
n
x + iy != r 53os $ 1>n
ϑ + k ∗ )<=
=
% + i 'in $
n
ϑ + k ∗ )<=
=
n
%6
k = , 1, &, ?, $n(1%
SOAL( PEN)ELESAIAN
1! Dapa Dapatk tkan an ben bentu tuk k kutu kutub b dari dari Z = () () + )i "enyelesaian : r=
$ −)% & + ) & = ) &
'in θ =
) ) &
=
1 &
−)
& 3os θ =
=−
) &
1 &
&
→ θ = 1)9=
#adi : () + )i = ) & $3os 1)9 + i 'in 1)9 % = ) & 3is 1)9 &! Dapa Dapatk tkan an nilai ilai $ ) + i%< "enyelesaian : a + bi = r $3os θ + i 'in θ% )
r= 'in )
+ i = r $3os θ + i 'in θ% $ ) % & + 1& = θ
=
b r
=
1 &
=&
Cos θ =
a r
=
) &
=
1 &
)
→ θ = )= =
+ i = &$3os ) + i 'in )%
#adi $ ) + i%< = 5&$3os ) + i 'in )%6< = &<$3os 1@ + i 'in 1@% = &<$(1 + % = (&< )! Dapa Dapatk tkan an sem semua ua aka akarr dari dari
)
−1
"enyelesaian : )
− 1 = ) − 1 + =i r =
Cos θ =
a r
=
−1 1
$ −1% & + = & = 1
= −1 → θ = 1@==
'in
θ
b
=
r
1
= = ==
)
1@= = + k ∗ )<= = 1@= = + k ∗ )<= = − 1 = $−1%1 ) = 11 ) 3os $ % + i 'in $ % , k = =,1,& ) )
k=
1
1
&
&
⇒ Z 1 = os <= = + i sin <== = +
)i
= = k = 1 ⇒ Z & = os 1@= + i sin 1@= = −1
k=
1
1
&
&
⇒ Z ) = os )=== + i sin )=== = −
)i
SOAL(SOAL LA%I*AN 1! &! )!
*itunglah − 1 + i *itungkah + & + & ) i *itunglah $ 9 + i%A
!
Dapatkan bentuk kutub dari Z = (9 + 9i
9!
Dapatkan semua akar dari
9
−1+ ) i
MA%+IKS Pengertian
4atriks adalah datar bilangan yang disusun dalam sebuah empat persegi pan7ang dan diatur diatur dalam dalam baris( baris(bar baris is dan kolom kolom(ko (kolom lom!! Bilang Bilangan(b an(bila ilanga ngan n dalam dalam matrik matrikss disebu disebutt elemen $unsur% matrik! ntuk menun7ukkan menun7ukkan letak elemen, elemen, suatu elemen matriks perlu diberi indeks! 3ontoh : matriks 2 berordo m 0 n $ditulis 2m0n%
2m0n =
a11 a &1 am1
a1&
a1n
a &&
a& n = 5ai76, i = 1, &,?, m
am & a mn
7 = 1, &,?,n m adalah banyak baris dari matriks 2 n adalah banyak kolom dari matriks 2 ai7 adalah elemen matriks 2 pada baris ke(i dan kolom ke(7 2m0n = 5ai76m 0 n 2I 0 n $matriks baris, ektor baris%, 2m 0 I $matriks kolom, ektor kolom% Operasi Matriks
1! Dua ma matrik riks 2= 2= 5a 5ai76 dan B = 5b i76 dikatakan sama $2=B% 7ika 2 dan B berordo sama dan 5ai76 = 5bi76 , ∀ i, 7 &! #uml #umlah ah dua dua mat matri riks ks 2= 5ai76 dan B = 5b i76 yang berordo sama adalah matriks 3 = 5 i76 dengan i7 = ai7 + bi7 , ∀ i, 7 )! 'eli 'elisi sih h dua dua mat matri riks ks 2= 5ai76 dan B = 5b i76 yang berordo sama adalah matriks 3 = 5 i76 dengan i7 = ai7 ( bi7 , ∀ i, 7 ! perkal perkalian ian bilan bilangan gan k denga dengan n matri matrik k 2 =5ai76 , $k . 2% adalah matrik B = 5bi76 dengan b i7 = k! ai7 , ∀ i, 7 9! "erk "erkal alia ian n matr matrik ikss 2m0n dan B p 0 C terdeinisi bila n = p n
2 ! B adalah matriks 3 = 5i76m 0 n dengan i7 = ai1 b17 + ai& b&7 +?+ain bn7 =
∑a
ik
bkj
k =1
"erkalian matriks tidak bersiat komutati, 2B ≠ B2 Beberapa ,enis Matriks
1! 4atriks 4atriks Bu7ur Bu7ur 'angkar 'angkar : matrik matrik yang yang 7umlah 7umlah baris baris dan kolomny kolomnyaa sama &! 4atriks 4atriks diagon diagonal al : matrik bu7ur bu7ur sangka sangkarr yang semua semua elemen elemen di luar elemen elemen diago diagonal nal utamanya nol, sedangkan elemen diagonal utamanya tidak semuanya nol )! 4atriks 4atriks skalar skalar : matrik matrik diagon diagonal al yang yang semua semua elemen elemen diagonal diagonal utamanya utamanya sama sama ! 4atriks 4atriks satua satuan n : matrik matrik skalar skalar yang yang semu semuaa elemenn elemennya ya satu satu 9! 4atriks 4atriks segi segitig tigaa atas : matr matrik ik bu7ur bu7ur sangk sangkar ar denga dengan n ai7 = , i > 7
matrik 2 dengan dengan menukarkan baris(baris men7adi kolom(kolom dan sebaliknya!
2=
a11
a &1
a1)
a1&
2t =
a &)
a&&
a11 a 1& a1)
a &1
a &) a &&
4isal matriks 2, B, dan 3 mempunyai ordo maka operasi matriks dapat diker7akan, maka berlaku : 1! 2 + B = B + 2 $*ukum $*ukum komu komutati tati untuk untuk pen7um pen7umlaha lahan% n% &! 2 + $B + 3% 3% = $2 + B% B% + 3 $*ukum $*ukum asosiat asosiati i untuk untuk pen7u pen7umla mlahan han%% )! 2 $B3% $B3% = $2B% $2B%3 3 $*ukum $*ukum asos asosiat iati i untuk untuk perk perkalia alian% n% ! 2$B + 3% = 2B 2B + 23 23 dan $B + 3%2 = B2 + 32 $*ukum $*ukum distribut distributi% i% &eterminan Matriks
'etiap 'etiap matrik matrikss bu7ur bu7ur sangka sangkarr dapat dapat dikait dikaitkan kan dengan dengan suatu suatu bilang bilangan an riil yang yang disebu disebutt determinan matriks A ditulis det $2% atau
Det $2% =
A
a11 = a &1 an1
a1& a && an&
A
dimana :
a1n
a nn
a&n
Deinsi : 2 = 5a116 = det 2 = a11 = a11
a11 2 =! =! a &1 a11 a &1 2= a)1
a1&
, A = a11a&& − a1& a&1
a && a1& a && a)&
a1)
a))
a &) , A
= a11a && a)) + a1& a&) a)1 + a1) a &1a)& a1) a && a)1
− a11a&) a)& − a1& a &1a)1
Deinisi Minor elemen aij -ang ditulis Mij adalah determinan yang diperoleh dari matrik 2 dengan
menghilangkan baris ke(i dan kolom ke(7!
a11 2 = a&1 a)1
a1& a&& a)&
a1)
a))
a&)
411 =
Koaktor elemen a ij ditulis
1+1 11 411 = 411 , 11 = $(1% & +) &) 4&) = 4&) &) = $(1%
a && a )&
a &)
= a&& a)) − a &) a)&
a))
i7i7 = $(1%i + 7 4i7
Siat(Siat &eterminan
1! Bila Bila semua elemen elemen pada pada suatu baris baris > kolom dari dari suatu determ determina inan n nol maka nilai nilai det!
a11
a1&
=
itu sama dengan nol! a &1
a &&
=
a )1
a )&
=
==
&! ilai determin determinan an tidak berubah berubah 7ika baris diganti diganti dengan dengan kolom kolom atau sebalikny sebaliknyaa A = A t
)! Bila dua dua baris $kolom $kolom%% ditukar ditukar tempatny tempatnyaa maka nilai nilai det! men7adi men7adi negati negati dari nilai nilai det! semula a11
a1&
a1)
a1&
a11
a1)
a &1
a &&
a &) = − a &&
a &1
a &)
a)1
a )&
a))
a )1
a ))
a )&
! Bila dua dua baris baris $kolom% $kolom% dari suatu det! det! sama, sama, maka maka nilai det! det! itu sama sama dengan dengan nol! nol! a11
a11
a1)
a &1
a &1
a )1
a )1
a &) = a ))
9! Bila setiap setiap elemen elemen dalam suatu baris $kolom $kolom%% dari suatu suatu det! det! dikalikan dikalikan dengan dengan bilangan bilangan k maka nilai det! yang ter7adi terkalikan k! A =
a11
a1&
a &1
a &&
⇒
k a11
k a1&
a &1
a &&
= k A
a1&
a1)
a &1
a &&
a &)
a)1
a )&
a))
a11
=
a &1 a )1
+ c1& b&& + c && b)& + c )& b1&
a1) a &) a))
=
a11
b1&
a1)
a &1
b&&
a &)
a )1
b)&
a))
+
a11
c1&
a1)
a &1
c &&
a &)
a)1
c )&
a ))
A! #ika suatu suatu baris $kolo $kolom% m% dari suatu suatu det! det! dikalikan dikalikan dengan dengan bilang bilangan an k kemudian kemudian hasilny hasilnyaa ditambahkan pada baris $kolom% yang lain maka nilai det! yang ter7adi sama dengan nilai det! semula!
4isal det 2 =
A
a11
a1&
a1)
= a &1
a &&
a &)
a )1
a )&
a ))
+ k a1) a &1 + k a &) a )1 + k a )) a11
a1&
a1)
a &&
a &)
a)&
a))
=
a11
a1&
a1)
a &1
a &&
a &)
a )1
a )&
a ))
= A + k
+
k a1)
a1&
a1)
k a &)
a &&
a &)
k a))
a)&
a ))
a1)
a1&
a1)
a &)
a &&
a &)
a))
a )&
a ))
= A
In'ers Matriks
Deinisi : matriks bu7ur sangkar 2 dan B sedemikian hingga B2 = 2B = I dengan I matrik satuan maka B dikatakan iners matriks 2 atau 2 iners B! Iners matrik 2 ditulis, ditulis, 2(1! 4etode mendapatkan iners matrik :
1!
a11 4isal 2 = a &1 am1 A −1 =
a1&
a1n
a&&
a& n =
a ij
i = 1, &, ?, n
7 = 1, &, ?, n
am & amn
Adj ! A t , A ≠ = , Adj A = [ K ij ] K ij = kofaktor elemen a ij A
2d7 2 =
K 11 K &1 K 1n
K 1& K 1n
K nn
K && K n & K & n
Iners matrik ordo & 0 & : 4isal 2 =
a c
b
d
A
−1
=
1 K 11
A K 1&
d − b 1 = K && ad − bc − c a K &1
&! .per .perasi asi Bari Bariss Ele Eleme ment nter er $.B $.BE% E% matriks 2 dengan operasi baris direduksi men7adi matriks I $identitas%, bersamaan dengan itu operasi tersebut dilakukan pada I $identitas% untuk memperoleh 2 (1 Pemakaian Matriks ( s-stem persamaan linier !SPL#
a1101 + a1&0& + ? + a1n0n = b1 a&101 + a&&0& +?!+ a&n0n = b& ????!
an101 + an&0& + ?+ amn0n = b) a11 a1& a1n 4isal : 2 =
a &1 a n1
a && an&
a nn
a&n
4aka '"F di atas dapat ditulis :
=
x1 x & xn
B=
b1 b & bn
a11 a &1 a n1
a1& a && an &
a1n
a nn
a&n
x1 x = & xn
b1 b atau 2 = B & bn
Bila 2 mempunyai mempunyai iners, maka : 1 A − ∗ AX
= A −1 B
$ A −1 ∗ A% X = A −1 B I X = A − B 1
−1
X = A B
( Sistem persamaan linier dengan metode m etode /+AME+ a1101 + a1&0& + ? + a1n0n = b1 a&101 + a&&0& +?!+ a&n0n = b& ????!
an101 + an&0& + ?+ amn0n = b) a11 a1& a1n misal ∆ =
a &1 a n1
∆ ∗ X n = ∆ n →
a && an &
X n =
∆n ∆
a nn
a&n
,∆≠=
Metode /ramer
( SPL dengan satu persamaan lebi perhatikan '"F berikut berikut a10 + b1y = 1??????I a&0 + b&y = &??????II a)0 + b)y = )??????III umumnya '"F tersebut tidak konsisten $tidak punya solusi tunggal% "andang persamaan I G II dan misalkan
∆=
a1
b1
a&
b&
≠ = maka terdapat sepasang akar, yaitu 0 = ∆ 1 , y = ∆ & ∆
∆
'upaya akar(akar tersebut memenuhi persamaan III haruslah :
− a) ∆1 − b) ∆ & + c) ∆ = = ( SPL dengan satu persamaan kurang perhatikan '"F berikut berikut : a10 + b1y + 1z = d1 a&0 + b&y + &z = d& dapat ditulis a10 + b1y = d1 ( 1z a&0 + b&y = d& ( &z d 1 − c1 z
misalkan
∆=
a1
b1
a&
b&
≠=
b1
a1
0 = d & − c & z b&
y = a&
∆
− c1 z d & − c & z ∆ d 1
Dalam hal ini 0 dan y dinyatakan seara linier dengan z, z dapat diberi nilai sebarang bilangan nyata! 'atu nilai untuk z terdapat satu nilai untuk 0 dan satu nilai untuk y! #adi '"F tersebut mempunyai pasangan akar yang tak terbatas banyaknya! ( SPL *omogen 4isal :
a1101 + a1&0& + ? + a1n0n = a&101 + a&&0& +?!+ a&n0n = ????!
an101 + an&0& + ?+ amn0n = setiap '"F homogen punya solusi nol yaitu 0 1 = , 0 & = , ?, 0 n = $disebut solusi triial% H 'uatu 'uatu system system n persam persamaan aan linier linier homoge homogen n dengan dengan n bilang bilangan an yang yang tidak tidak diketah diketahui ui mempunyai solusi non triial 7ika dan hanya 7ika determinan koeisien sama dengan nol SOAL( PEN)ELESAIAN
1 1! 3ari 3arilah lah ine iners rs mat matri rik k 2 = & )
)
& )
1
1
&
)
"enyelesaian : A = −1@, K 11 = 1
K 11 K A −1 = − 1@ &1 K 1)
K 1&
1
K && K &)
1
= 9 K 1& = −1 = − M 1&
&
K 1) = −A
− 9 1@ 1 1@ A 1@ A 1@ − 9 1@ K )& = 1 1@ K )) A 1@ − 9 1@ 1 1@ K 1n
&! 3ari 3arilah lah nil nilai ai dar darii '"F '"F ber berik ikut ut : 01 + )0& + 0) = < &01 + 0& + 0) = 01 + &0& + &0) = 9 "enyelesaian :
)
1
A = &
1
1 = −< ≠ =
1
&
&
A
−1
−
= 1 = −) −< )
&
= − & = 1 & − & − 1 &
A
−9
& )
−A < 9 <
− 1 ) 1) 1 )
− 1 ) < 1 & ) = − A < 1 ) = = , x1 = 1, x & = =, x) = & X = A B = 1 & − 1 & 9 < 1 ) 9 & )! 3arilah nilai 0 , y dan dan z dari dari '"F di ba/ah ba/ah dengan dengan menggu menggunakan nakan metode metode 3ramer 3ramer &0 ( y + z = 9 0 + )y 8 &z = (1 A0 + y + z = @ −1
&
1
∆= 1
)
A
1
1
−1
1
9
∆1 = − 1
)
@
x =
−1
∆1 ∆
=
19 9
− & = $< + 1+ + 1% − $&1 − 1 − +% = 9 ≠ = &
− & = 19 , ∆ & = 1
1
1
=)
y =
A
∆& ∆
=
− )=
9
= −<
9
−1 @
z =
1
&
− & = −)= , ∆ ) = 1 1
∆) ∆
A
=
− )9
9
= −A
! 2pakah '"F berikut berikut konsisten konsisten,, bila bila konsist konsisten! en! 'elesaikan! 'elesaikan! 0 + y+ z = 0 + y +)z = & &0 ()y (9z = @ )0(&y(@z =
−1 ) 1
9
− 1 = −)9 @
"enyelesaian : 1
1
1
=
=
=
1
=
1
1
)
&
−&
−&
)
&
&
−) −&
−9 −@
@
A
&
@
11
<
−9 −@
)
=
+
−&
−&
= 1∗ A 11
+
&
=
=
&
&
@ = 19
1=
@ = &∗
<
+
1=
+
19
19
1=
19
1=
==
$ SPL konsisten%
Jin7au ) pers! pertama 1
1
1
∆= 1
1
)
−)
−9
&
x =
∆1
=
∆
&= 1=
=
&
= 1= ≠ =
=
1
1
1
=
1
1
1
=
∆1 = &
1
)
= &= ∆ & = 1
&
)
= −)= ∆ ) = 1
1
& = 1=
−)
−9
&
@
−9
@
y =
∆& ∆
=
− )=
1=
z =
= −)
∆)
=
∆
1=
&
−)
=1
1=
9! 3arilah 3arilah nilai nilai 0 , y dan dan z dari dari '"F '"F di ba/a ba/ah h &0 ( &y + z = < ⇔ &0 8 &y = < 8 z &0 +)y + 9z = 1 &0 + )y = 1 (9z "enyelesaian : ∆= x =
x
=
&
−&
&
)
= 1=
1 < − z ∆ 1= − 9 z
1K 9
−
11 9
−& )
a y
=
1 $)@ − && z % 1=
+
1
9
9
= −
y =
1 & ∆ &
< − z 1= − 9 z
=
1 $@ − & z % 1=
a z = a , a ∈
∆= &
∆=
−1 −&
&
)
&
−&
&
)
−) − < = = 7adi '"F tersebut mempunyai solusi non triial, tr iial, yaitu −1
= 1= x =
1 < z ∆ z
−&
=
)
1 ∗ &= z = & z 1=
y =
1 & ∆ &
< z z
=
1 $ −1= z % = − z 1=
7adi 0 = &a , y = (a , z = a , a ∈ R SOAL 0 SOAL
) − 1 ) dengan menggunakan operasi baris elementer 1! 3ari 3arila lah h ine iners rs mat matri rik k 2 = 1 = & 9 − $.BE% & < < &! 3ari 3arilah lah ine iners rs mat matri rik k 2 = & A < & A A 1 )! 3ari 3arilah lah ine iners rs mat matri rik k 2 = = 1
=
1
1
1
1
=
! Dengan metode metode 3ramer 3ramer arilah arilah nilai nilai 0 , y dan z dari '"F berikut berikut : 0 + y +z = < 0 + &y + )z = 1
@
0 +y + Kz = )<
PE+S)A+A%AN MA%EMA%IKA 1. AL,A AL,ABA BA+ + &AN &AN 23NG 23NGSI SI Pendauluan 4
onstanta > parameter : lambang yang me/akili anggota tertentu dalam semesta pembiaraan! "eubah > ariable
: lambang yang me/akili anggota tak tertentu dalam semesta pembiaraan
"eubah dan konstanta merupakan lambang > symbol, sedangkan lambing itu sendiri adalah unsur bahasa bukan unsur matematika! 3ontoh : H& H, Hµ, H9& H9& adalah adalah symbo symboll > lamban lambang g untuk untuk menun7 menun7ukk ukkan an unsure unsure tertent tertentu u dari dari matematika L 'iti adalah symbol tetapi tidak menun7ukkan unsure dari matematika Pertidaksamaan
"ertid "ertidaks aksama amaan an satu peubah peubah adalah adalah bentuk bentuk matema matematika tika dengan dengan satu satu peubah peubah real yang yang disertai relasi urutan < , > , ≤ , atau ≥! 'iat relasi urutan : 'emesta ' = himpuna bilangan Real $R% 1! 0 > dan y > ⇒ 0 + y > dan 0y > &! 0 < dan y < ⇒ 0 + y < dan 0y > )! 0 > dan y < ⇒ 0y M ! 0 M y dan a ∈ R ⇒ 0 + a M y + a 9! 0 M y dan a N ⇒ a0 M ay a M ⇒ a0 N ay
1 1 N y x 1 1 N y x
Pertidaksamaan Pertidaksamaan -ang memuat m emuat nilai mutlak
Deinisi :
x = x , x ≥ =
− x , x < =
'iat 8siat nilai mutlak : 1!
x ≥ =
&!
xy
)!
x y
=
=
A!
y
x
@!!
y
!
x + y ≤ x + y
9!
x − y ≥ x − y
K!
a > = , x ≤ a ⇔ − a ≤ x ≤ a
⇔ x & ≤ a & x ≥ a ⇔ x ≥ a ata! x ≤ − a
⇔ x & ≥ a & x = y ⇔ x = ± y
⇔ x & = y & x − y = y − x
5. 23N 23NGS GSII &AN &AN G+A2IK A2IK &einisi : suatu ungsi dari himpunan 2 ke himpunan B ditulis : 2 → B adalah suatu
aturan yang mengaitkan setiap unsur di 2 dengan tepat satu unsur di B! 4isal suatu Haturan atau H pengaitan yaitu : 2 → B, bila mempunyai siat:
∀ 01, 0& ∈ 2 , 01 → $01% ∈ B, 0& → $0&% ∈ B dan 01 = 0& ⇒ $01% = $0&% 4aka mendeinisikan suatu ungsi dari 2 ke B 3ontoh : 4isal 2 : himpunan empat dadu
2 = O D 1, D&, D), DP
B : himpunan mata dadu
B = O 1, &, ), , 9,
'uatu lemparan menentukan suatu ungsi dari 2 ke B 2 D1 D& D) D
B 2 disebut Domain $daerah asal%
1 & ) 9
B disebut 3o( Domain $daerah ka/an% Q $2% = O1, ), 9P disebut range $daerah hasil%
2ungsi Bernilai +iil !N-ata#
Qungsi bernilai > berharga riil bila : R → R Ma6am 0 ma6am 2ungsi 1. 2ung 2ungsi si Pangk angkat at 4 y = $0% = x , α ∈ , x ≥ = α
5. 2ung 2ungsi si Eks Ekspo pone nens nsia iall 4 y = a x , a > = , a ≠ 1 a 7. 2ung 2ungsi si Loga Logari ritm tma a 4 y = log x , a > = , x > =
2ungsi Periodik8 2ungsi Ganjil8 2ungsi Genap
R = himpunan bilangan riil
Qungsi periodik ⇔ ℑF → $0 + F% = $0%
→ F = &π
3ontoh : $0% = sin 0
g $0% = os )0 → F = &π>) h $0% = 0 + 1 , ≤ 0 M ) dan h $0 + )% = h $0%, ∀0 → F = ) Qungsi genap ⇔ $(0% = $0%, graiknya simetri terhadap sumbu y 3ontoh : $0% = os 0 $0% = &0 8 0& + K $0% = , = konstan konstan Qungsi gan7il ⇔ $(0% = ( $0% 3ontoh : y = 0 $0% = 0) 8&0 $0% =
+ ) x + & x − ) x + + x
)
Qungsi( ungsi yang telah kita biarakan adalah ungsi satu peubah! raik ungsi satu peibah ada di R & $ruang dimensi dua%!
2ungsi lebi dari satu peuba
Deinisi 'uatu ungsi n peubah ialah suatu pemetaan dari R n ke R ditulis : R n → R atau : $01, 0&, ?, 0n% ∈ R n → 5$01, 0&, ?, 0 n%6 ∈ R!
SOAL 0 PEN)ELESAIAN
1! 'ele 'elesai saika kan n perti pertida daksa ksama maan an 0 & 8 0 8 < M "enyelesaian : x
&
− x − < < = ⇔ $ x + &%$ x − )% < =
I!
)
(&
0 M 0 + &
(&
(&M0M)
M 0+&N
08)M
08)M
08)N
$0 + &%$0 ( )% N $0 + &%$0 ( )%M $0 + &%$0 ( )% N II! $ 0 +
((((( +++++++++++ ++ (& (((((((((((((((++++ ) +++ (((((((((( ++++
(&
)
&% $0 ( )%
0N) 0+&N
$0 + &%$0 ( )%
#adi *" : O0 − & <
x < )P
&! 'ele 'elesai saika kan n perti pertida daksa ksama maan an
& x − 9 x − &
≤1
"enyelesaian :
⇔ & x − 9 x − &
≤1 ⇔
⇔ *" : O0
(((((((((((((( ++++ + ) ((((( +++++++++++ ++ &
& x − 9
−1 ≤ = x − & & x − 9 − $ x − &% x − & x − ) ≤= x − &
+ + + ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ++++ ) &
≤=
& < x ≤ )P
)! 'elesai saiakan x ) $ x + 1% & $ x − &% > =
*" : O0 x < −1 ata! − 1 < x < = ata! ! 'elesaikan
+++ +++ (((((( +++++ & (1
"enyelesaian : x > &P
& x + 1 < )
"enyelesaian : & x + 1 < ) ⇔ −) < & x + 1 < ) ⇔ −+ < & x < & ⇔ −& < x < 1
9! Dapa Dapatk tkan an himp himpun unan an penye penyele lesai saian an "enyelesaian :
& x + ) ≤ x − )
(<
+
(
+
& x + ) ≤ x − ) ⇔ $ & x + )% & ≤ $ x − )% & ⇔ x & + 1& x + K ≤ x & − < x + K ⇔ ) x & + 1@ ≤ =
⇔ ) x $ x + <% ≤ =
*" : O0
− < ≤ x ≤ =P
x −1
tanpa menggunakan tanda nilai mutlak
"enyelesaian : *arga nol ungsi : 0 = dan 0 = 1 0M
= ≤ x < 1 x ≥ 1 1
081M & x = −& x
x − 1 = − x + 1
081M & x = & x
x − 1 = − x + 1
y = & x + x − 1 = −)x + 1
y=0+1
& x = & x
x − 1 = x + 1
y = )0 (1
081S
− ) x + 1 , x < = #adi y = & x + x − 1 = x + 1 , = ≤ x < 1 ) x − 1 , x ≥ 1
LIMI% 23NGSI &einisi
Limit f $ x% = L x →a
⇔ ∀ ∈ > = ∃δ > = → f $ x% − L <∈ , !nt!k = < x − a < δ ⇔ ∀ ∈ > = ∃δ > = → = < x − a < δ ⇒ f $ x % − L <∈
Limit Sepiak Limit f $ x% = L disebut limit kiri ditulis Limit f $ x% x →a −
x → a
= L
$0 M a% Limit f $ x% = L disebut limit kanan ditulis Limit f $ x% x →a +
x → a
= L
$0 N a% #ika Limit f $ x% ada ⇔ limit kiri = limit kanan x → a
+umus 0 rumus &asar Limit f $ x% Bila Limit x → a
= A dan Limit " $ x% = B maka : x → a
1!
Limit k = k , k = kons tan
&!
Limit x = a
x → a x → a
k ! f $ x% )! Limit x → a
= k ! Limit f $ x% = k ! A x → a
$ f $ x %± " $ x %% = lim it f $ x % ± lim it " $ x% = A ± B ! Limit x→ a x→a x→a f $ x% ∗ " $ x% = lim it f $ x% ∗ lim it " $ x % = A ∗ B 9! Limit x →a x →a x → a
Limit x → a
1 f $ x %
=
1 lim it f $ x %
=
1 A
, A ≠ =
x → a
A!
f $ x% Limit x →a " $ x%
Limit Limit f $ x%
=
x→a
Limit " $ x%
=
A B
, B ≠ =
x→a n
@! K!
= A n , n < ∞ Limit [ f $ x %] = Limit f $ x % x → a x → a Limit n f $ x% = n Limit f $ x% = n A , A > = n
x→ a
x →a
Limit " $ x %
→ [ f $ x %] = Limit f $ x% = A B 1! Limit x → a x → a Limi t ln f $ x % = ln Limi t f $ x % = ln A , A > = 11! Limit x → a x → a Limit 2ungsi Geometri Sin a$ x − x= % Sin x =1 1! Limit ! Limit x→= x →= b$ x − x= % x
" $ x %
x
a
&!
Limit Lim it
x =1 Sin x
9! Limit x →=
)!
Limit Limi t
x =1 t" x
x → =
x → =
b$ x − x= % Sin a$ x − x= % t" a$ x − x= % b$ x − x= %
= =
=
a b b a
a b
,b≠= ,a
≠=
,b≠=
t" x
! Limit x →=
x
=1
b$ x − x = %
A! Limit x →=
b
=
t" a$ x − x= %
a
,a
≠=
SOAL(PEN)ELESAIAN
$& x + <% = Lim & x + Lim < = & Lim x + < = & ∗ ) + < = 1& 1! Lim x →) x →) x →) x →) &9 − x & &! Lim x → +
)!
Lim x →)
=
Lim $&9 − x & % =
& − &A $ x − )%$ x + ) x + K% K Lim = = & x →) $ x − )%$ x + )% & x − K
x
)
&−
&
! Lim x →∞
=)
K
x →+
& x − x − 1 ) x & − x − &
= Lim x →∞
− x 9! Lim x ∗ & = Lim x →∞
x →∞
+ − x
x
1
−
x & = & 1 ) )− − & x x
=
&x
1 x 1
= $+ − x %$) + x
& & + 9% $+ − x %$) + x + 9 % = Lim = Lim
&
& = Lim ) + x x →&
A! Lim
Sin 9 x
x → =
@! Lim
= Lim x → =
x
1 − Cos x
x →=
x
&
Sin 9 x 9 x
x →=
x
<
∗ 9 = 1∗ 9 = 9
& Sin
= Lim
+9 =
&
&
x
&
&
=
&
+
Sin
$ Lim
x
x →=
x
& %&
1
1
&
&
= ∗1& =
&
K! Lim $ x − 1%t" x →1
π x
&
Sin $ x − 1% = Lim x →1
= x − @
1! Lim x → <+
x −
→ s!b!
11! Lim x →=
1 + x
<
= Lim y → &
x = y
1 + x − 1 )
1 + x − 1
= y <
, x
Cos
&
x
π
− Sin
y − @ )
y − &
y →1
$ x − 1% = Lim x →1
x
π
&
= Lim y → &
y ) − 1 y & − 1
→ = ⇒ y →1
∗ Sin
$ x − 1%
y ) − & ) y − & &
x → <+ ⇒ y → & ,
= Lim
Sin
& $ x − 1%
Lim x→1
π
Lim
= Lim y →1
&
x→a
=
) &
π
&
x
=
& 1
− π
&
−
&
x − a
n
=
m n
∗a
$ y − 1%$ y & + y + 1% $ y − 1%$ y + 1%
m− n
=
x π
&
Sin x %
$ x − 1% = Lim x →1
∗1 = −
$ &% = )
m m x − a n
Sin$
π
π
) &
& π
Sin
π
&
π
&
x
$1 − x%
SOAL(SOAL
1! Lim x →∞
&! Lim x→∞
$ x + 1%
x + 1 ) x + 1 &
1 + x
x →=
−
x→&
1 − x
t" π x
$
& 9 x − &=
A &=
% 1 $ % &
x→ ∞
π
π
& ) x − 9 x − &
& @! Lim x$ x + 1 − x%
$1%
x
$ % x → −& x + & & Sin x − Cos x Lim π x → x − + +
! Lim
A! Lim
$ % &
$Cos x%
#
# →=
)
x − 1
Sin $ x + #% − Sin x
$−1%
&
)! Lim
9!
&
K! Lim
Sin x − Sin α
$ &%
1! Lim x + →
$Cos α %
x − α
x→∞
) − 9 + x
1 $− % )
1 − 9 − x
KON%IN3I%AS S3A%3 23NGSI &einisi 4 Qungsi $0% dikatakan kontinu di titik 0 = 0 bila : $I% $0% ada
$II%
Lim f $ x % ada
$III%
Lim f $ x% = f $ x = %
x → x=
x → x=
Bila paling sedikit ada satu syarat yang tidak dipenuhi maka dikatakan $0% diskontinu di 0 = 0! &einisi 4 1! Qungsi Qungsi $0% $0% dikataka dikatakan n kontinu kontinu pada $a,b% 7ika $0% kontinu kontinu ∀ x ∈ $ a, b%
&! Qungsi Qungsi $0% kontin kontinu u pada 5a,b6, 5a,b6, 7ika 7ika $0% kontin kontinu u pada $a,b% $a,b% dan kontinu kontinu di 0 = a G di 0 =b Siat( siat ungsi kontinu
( #ika $0% dan g$0% kontinu di 0 = 0 , maka $0% T g$0% , $0%U g$0% g$0% dan kontinu
di
0
=
0 !
.leh
karena
itu,
setiap
ungsi
peah
f $ x % , g$0% V " $ x %
rasional
$0%
=
a = x + + a1 x n −1 + a & x n − & + !!! + a n b= x m + b1 x m −1 + b& x m −& + !!! + bm akan kontinu di mana(mana, keuali pada nilai 0 yang membuat penyebut men7adi nol! ( Bila kontinu pada $a, b% maka mempunyai ma0! mutlak $global% G min mutlak pada $a,b%! 5Jeorema 5Jeorema ka7adian 4aks G4in6 ( Qungsi dikatakan mempunyai ma0! mutlak pada R 7ika f $ x1 % ∈
→ f $ x1 % ≥ f $ x% , ∀ x ∈ mempunyai ma0 mutlak di 0 1untuk $01%
( Qungsi mempunyai min! mutlak pada R 7ika ∃ x ∈ → . $ x % ≤ f $ x%, ∀ x ∈ & & ( Bila kontinu pada interal yang tidak tertutup atau dideinisikan pada $a,b% tetapi mempunyai titik(titik diskontinu pada $a, b% maka adanya ma0 G min mutlak tidak di7amin! SOAL(PEN)ELESAIAN
1! *itung *itunglah lah maks maksimu imum m dan minim minimum um mutla mutlak k pada pada $0% $0% = 0 & + &0 &0 8 ) = $0+)% $0(1% , 0 ∈ 5(, 6 "enyelesaian : ma0! mutlak = $% = 1<+@()=&1 , min mutlak = $(1% = 1(&() = ( tps 0 , tps y , titik balik
dy dx
== &1
( ()
1
( &! *itung *itunglah lah maks maksimu imum m dan minim minimum um mutla mutlak k pada pada $0% = 9 , 0 ∈ 5(&, )6 "enyelesaian : y mempunyai maks G min mutlak sebab ∃ a ∈ $−&, )% → f $ a % ≥ f $ x%, ∀ x ∈ $ −& ,) 9 dan
∃ b ∈ $ −&, )% → f $b % ≤ f $ x %, ∀ x ∈ $ −& ,)%
(&
)
0
)! *itung *itunglah lah maks maksimu imum m dan minim minimum um mutla mutlak k pada pada $0% $0% = 0 & , 0 ∈ 5(&, &6 "enyelesaian : -
(&
&
ti d a
k a d a m a k s m u tl a k s e b a b ti d a k a d a x1 ∈ $ −&,&%
→ f $ x1 % ≥ f $ x%, ∀ x ∈ $−&,&%
4inimum mutlak ada yaitu $0% = x & ∈ $−&, &% → f $ x & % ≤ f $ x %, ∀ x ∈ $−&, &% ! *itung *itunglah lah maksim maksimum um dan dan minim minimum um mutl mutlak ak pada pada h$0% h$0% = 0, 0 ∈ 5, )6 "enyelesaian : y
)
/ala /alaup upun un h kont kontin inu u pada $,)%, tapi h tidak memp mempun unya yaii maks maks mutl mutlak ak G min mutlak pada $, )%
0
9! 'eli 'elidk dkii un ungs gsii $0 $0%% = 0& + 1 apakah kontinu di 0 = & "enyelesaian : $i% ilai ungsi di 0 = & adalah $&% = & & + 1 = 9 $ada% & $ada% Limit x + 1 = 9 $ii% ilai limit : Limit x →&
f $ x% , maka ungsi $0% kontinu di 0 = & $iii% arena $&% = Limit x → &
x & − 1< x −
apakah kontinu di 0 =
− 1< = = $tak tentu% +−+ = x & − 1< $ x + +%$ x − +% Limit = =@ $ii% Limit x →+ x → + x − + x − +
$i% ilai ungsi $% =
+&
f $ x% , maka $0% diskontinu di 0 = $iii% arena $% ≠ Limit x → + A! $0% =
1 , x ≤ = dan & x − b , = < x < & berapa nilai b agar $0% kontinu W x − &
"enyelesaian : $% = −
"erhatikan untuk 0 =
Limit f $ x % = Limit x → = −
x → =
1 x − &
=−
1
1 &
Limit f $ x% = Limit $& x − b% = −b
&
x →=
+
x →=
f $ x% ada #ar!sla# Limit f $ x% = Limit f $ x% yaitu 2gar Limit x →= x →=
f $=% = −
1 &
f $ x% = − = Limit x →=
1 &
−
x →=
+
1
1
& 1
&
− = −b ⇒ b =
$ kontinu di 0 = bila b =
&
%
SOAL(SOAL
1! 2pakah 2pakah kont kontinu inu di di 0 = & W 7ika 7ika tidak tidak 7elask 7elaskan an alasan alasanny nyaW aW ) x − @ , x ≠ & a! $0% = 0&(&0+& ! $0% = x − & 1& , x = & b! $0% =
@ x − &
&! Di titik titik(tit (titik ik mana mana,, 7ika 7ika ada, ada, $0% $0% diskon diskontin tinuW uW 1 & x + ) a! $0% = & ! $0% = & + + x x − x − < b! $0% =
& x + A
x + 9
)! Qun Qungsi di ba/ah a/ah ini ini tid tidak terd terde ein inis isii pada ada suat suatu u titi titik k tert terten entu tu,, bagai agaim mana ana mendeinisikan agar kontinu di titik ituW t − 1 x & − K a! $0% = b! $0% = t − 1 x − )
%3+3NAN !&E+I9A%I2# &einisi 4
Jurunan ungsi di titik 0 = 0 adalah ungsi X dengan X$0 % = Lim
f $ x = + ∆ x % − f $ x = %
∆ x→=
∆ x
,
bila limit ini ada! Bila limit ini ada maka dikatakan terdierensial atau dierensiabel di 0 = 0! dy d 5 f $ x %6 = Jurunan ungsi y = $0% ke peubah 0 ditulis yX = $0% atau dengan dy dan d0 dx dx disebut dierensial! #ika x= + ∆ x = x maka ∆ x = x − x = $∆ x → = ⇒ x → x= % f $ x = + ∆ x% − f $ x = % f $ x % − f $ x = % f Y $ x = % = Lim ⇔ f Y $ x = % = Lim ∆ x → = x → x= x − x = ∆ x Ke6epatan Sesaat 'ebuah benda " 7atuh mulai dari keadaan diam dan dalam /aktu t detik
" 7atuh se7auh 1
= @ m det & −1 1<$1,9% & − 1< = = m det t = 1 sampai t = 1,9 → rata(rata = 1,9 − 1 eepatan rata(rata = rata(rata =
t = 1 sampai t = 1,1 → rata(rata =??????= )&,< m det t = 1 sampai t = 1, 1 → rata(rata = ?????= )&,1< m det
m det $ kece$a tan sesaat % ∆t → = ⇒ %rata − rata = )& #adi eepatan sesaat di 0 f $ x= + ∆t % − f $ x = % & = Limit %rata = Limit ∆t → = ∆t → = ∆t
'etiap ungsi yang kontinu di 0 = belum tentu mempunyai turunan di titik tersebut! %eorema 4 mempunyai turunan di 0 ⇒ kontinu di 0 ontraposisi : diskontinu di 0 ⇒ tidak punya turunan di 0 %eorema 4 Bila mempunyai turunan di 0 = 0 maka kontinu di 0 = 0 5X$0% ada ⇒ kontinu di 0 6 +umus %urunan 2ungsi Aljabar Bila u, , / ungsi dari peubah 0 yang dierensia bel maka : d 5! ± ' ± &6 d! d' d& dc = =, c = kons tan = ± ± 1!
&! )! ! 9!
dcx
=c
dx d 5c!! 6
dx dx n dx d! n dx
A! d! dx
=c
= nx
@!
n −1
= n! n −1
d 5! ∗ ' 6
+'
d!
= !'
d&
± !&
d!
−!
=!
dx d 5!!'!&6
dx
K! d ! 5 6= dx '
'
d' dx
dx
dx
'
dx
d' dx
± '&
d! dx
d' dx
&
d! dx
%urunan 2ungsi Bersusun Bila y = $0%, u = g$%, = h$0% dimana , g, h ungsi yang dierensiabel, maka dy dx
=
dy d!
∗
d! d'
∗
d' dx
%urunan 2ungsi Logaritma : Eksponensial #ika u, ungsi dengan peubah 0 yang dierensiabel maka :
1! &!
d a 1 d! 5 log ! 6 = dx ! ln a dx
d a 1 $ log x % = dx x ln a
d
1 d!
d
! dx
dx
dx
5ln ! 6 =
$ln x% =
1 x
)! ! 9!
d dx d
dx d
5a ! 6 = a ! ln a
5e ! 6 = e !
d!
d
dx
dx d
d!
dx ' d! 5! ' 6 = ! ' 5 dx ! dx
dx d
+ d' ln ! 6 dx
dx
$a x %
= a x ln a
$e x %
= ex
$ x x %
= x x 51 + ln x6
%urunan 2ungsi Goniometri Bila u ungsi dari 0 yang dierensiabel, maka d d! $ Sin ! % = Cos ! 1! dx dx
&! )! ! 9!
d dx d
dx
d dx d dx d dx
$Cos ! % = − Sin !
$t" ! %
d! dx
= Sec & ! d! dx
$Ct" ! % = − Co se & ! $ Sec ! %
d!
= Sec ! ∗ t" !
$Co se ! %
dx d! dx
= − Co se ! ∗ ct" !
d! dx
%urunan 2ungsi Parameter #ika 0 = $t%, y = g$t% , dengan , g ungsi yang mempunyai turunan, t parameter, maka dy dx
=
dy dt dx dt
=
d " $t % dt d f $t % dt
%urunan 2ungsi Implisit 'etiap ungsi dalam bentuk eksplisit y = $0% dapat diubah men7adi bentuk implisit Q$0,y% =
$sebaliknya $sebaliknya belum tentu%! tentu%! ntuk mendapatkan mendapatkan
dy dx
dari Q$0, y% = , ungsi tersebut
diturunkan ke peubah 0 dan peubah y dengan mengingat y merupakan ungsi 0, sbb : ∂ ( $ x, y % − ∂ ( $ x, y % + ∂ ( $ x, y % ∗ dy = = ata! dy = ∂ x ∂ ( $ x, y % dx dy dx dx ∂ y Di mana : ∂ ( $ x , y % = deria deriati ti positi positi terhada terhadap p 0 dari dari ungsi ungsi Q$0,y Q$0,y%, %, yang yang dipero diperoleh leh dengan dengan dx menganggap y kontinu ∂ ( $ x, y % = turunan parsiil terhadap y dari Q$0,y%, diari dengan menganggap 0 konstan! dy
%urunan %ingkat %inggi Jurunan ungsi y = $0% pada umumnya masih merupakan ungsi 0, berarti masih dapat diturunkan ke(0 lagi! dy df $ x % = = y Y = f Y $ x% disebut turunan tingkat satu ke(0 dx dx d dy d & y $ %= = y[ = f [ $ x % disebut turunan tingkat dua ke(0 dx dx dx &
n −1
n
d d y d y $ n−1 % = n dx dx dx
= y $ n % = f $ n% $ x% disebut turunan tingkat n ke(0
SOAL(PEN)ELESAIAN
1! Dengan Dengan dein deinisi isi arila arilah h turunan turunan ung ungsi si $0% $0% = , = konstan konstan "enyelesaian : f $ x + ∆ x% − f $ x % c−c = === = = = Lim Lim Lim X$0% = Lim ∆ x →= ∆ x →= ∆ x ∆ x →= ∆ x ∆x →= ∆ x &! $0% =
x = x , x ≥ =
= − x , x < =
apakah $0% kontinu di 0 = W 7ika ya, apakah X$0% adaW
"enyelesaian
Lim f $ x% = Lim− x = = x →=−
x →=
∴ kontinu di 0 =
Lim f $ x% = Lim x = = sehingga Lim f $ x % = = = f $ x % x→= +
x →=
x →=
2pakah X$0% adaW =+#− = # f $= + #% − f $=% = Lim = Lim f Y $ x % = Lim # →=
Lim #→=
# #
# →=
#
tidak ada sebab Lim+ # →=
# #
# →=
#
= Lim # →=
# #
#
= 1 G Lim− # →=
# #
= Lim #→=
−#
= −1
#
)! $0% = $)0(&%& , X$0%W "enyelesaian : $0% = K0& 8 1&0 1&0 + maka X$0% = 1@0(1 ! Dapatkan
dy
dari y = log $1+ 0 &%
dx
"enyelesaian : dy dx
=
1
∗
$1 + x % ln 1=
9! Dapatkan
&
dy
dy dx
$1 + x & %
=
& x $1 + x % ln 1= &
& x log e
=
1 + x &
dari y = 'in $&0 )% dan y = tg 0(tg 0
dx
"enyelesaian : d dx
d dx
$ Sin & x ) %
= Cos & x ) ∗
d dx
$ & x ) %
= < x & Cos & x )
$t" x − ct" x% = Sec x − $−$Co se x %% = &
dy dx
1
&
&
Cos x
+
1 &
Sin x
&
=
dari 0 = a$t 8 sin t% , y = a$1(os t%
"enyelesaian : dx dt dy
dt
= a $1 − Cos t %
= aSin t
A! Dapatkan
dy dx
dy
dy dt
a Sin t
Sin t
→ dx = dx dt = a $1 − Cos t % = 1 − Cos t dari 0) + y ) ( )a0&y =
"enyelesaian : Q$0,y% = 0 ) + y ) ( )a0&y
Cos x + Sin x &
Cos x ∗ Sin x &
&
=
+ &
Sin & x
∂ ( $ x, y % = ) y & − 1& ax & y ) ∂ y
∂ ( $ x, y % = ) x & −
@! Jentukan
dx & "enyelesaian: dy dx
dari y =
d & y dx &
a + x &
$a + x %$& x% − x $& x% &
=
x &
&
$a + x % &
=
&
=
& x$a + x
&
− x & %
$a + x % &
&
=
&ax $a + x & % &
d dy d &ax &$a & − )ax & % $ %= $ %= & ) dx dx dx $a + x & % & $a + x %
SOAL(SOAL
1! $0% = 0& , 0 M 0 ,0S dy
&! Dapatkan
dx
2pakah $0% kontinuW Berapa X$%W
dari :
a! y = $0&()%& b! y = 9 x & ! y = $0&()%&)
! y = 0$&0(1%$)0+&% g! y = $)0 & + &% 1 + 9 x & h! y = &u, u = $0 &+1% , 0 = $&t )(1%
d! y = $)0(1%$&0+9% e!
& x + 1 x − 9
y=
)! Dapatkan a!
b! ! d!
dy dx
)
dt
=W
dari :
y = Lo" $ x
&
+ ) x + +%
e! y = ln
1 + x &
y = ln $0 &(&0 + 9% y = ln)0
1 − x & ! y = 0 ! e)0+1 g! y = 9 ) x
y = ln5ln$ln 0%6
h! y = $e% e
! Dapatkan
dy dx
y = 3os)90 Sin x + Cos x b! y = Sin x − Cos x y = 'e )
9! Jentukan
dy dx dy dx
&
&
x
dari :
a!
!
dy
x
! y =
Co se & x
Sec x + 1 9! y = ln Sec x − 1
dari 0 = e t 3os t , y = e t 'in t dari :
a! y)( )y + &a0 = b! 0 8 0y) +& y 8 0 +11 = ! y = 3os $0y%
d! y& + 0& = 1 e! e y = 0 + y
A! Jentukan
d 1) y
dari y = 0 ln 0 W dx 1) @! Jentukan y$n% dari y = 0 e 0 W & K! Jentukan y$n% dari y = x + 1
23NGSI SIKLOME%+I &AN 23NGSI *IPE+BOLIK 23NGSI SIKLOME%+I Pengertian
Qungsi Qungsi siklometri siklometri adalah kebalikan kebalikan ungsi goniometri! goniometri! .leh karena karena itu deriati ungsi ungsi siklometri dapat diperoleh dengan memanaatkan siat ungsi goniometri! +umus(rumus turunan ungsi siklometri
1! &! )!
d dx
d dx
d dx
$arc Sin ! %
=
1 1− ! 1 &
$ arc Cos ! %
=−
$arc t" !% =
1 1+ !
∗
1− !& &
∗
d!
!
dx
∗ d! dx
d! dx
d
$arc ct" ! % = −
dx d $arc se ! % 9! dx
1 1+ ! 1
&
∗
d!
dx d! = ∗ ! ! & − 1 dx d 1 d! ∗
23NGSI *IPE+BOLIK +umus 0 rumus ungsi iperbolik
1! 'inh 0 =
− e x − e x
&
! tgh 0 =
Cos# x Sin# x
=
+ e − x e x − e − x
e x
&! 3osh 0 = )! tgh 0 =
+ e − x
e x
& Sin# x
Cos# x
=
9! 'eh 0 = e x e x
− e − x + e − x
1 Cos# x
=
1
Sin# x
& e
x
=
+ e − x & e x − e − x
*ubungan ungsi(ungsi iperbolik
1! 3osh&0 8 'inh&0 = 1 &! 'inh 'inh &0 = & 'inh 'inh 0 3os 3osh h0 )! 3osh &0 = 3o 3osh &0 + 'inh &0 = 1+ & 'inh &0 = & 3osh &0 8 1 ! 'inh 'inh $0 T y% y% = 'inh 'inh 0 3osh 3osh y T 3osh 3osh 0 'inh 'inh y 9! 3osh 3osh $0 T y% y% = 3osh 3osh 0 3osh 3osh y T 'inh 'inh 0 'inh 'inh y t"# x ± t"# y
A! tgh $0 T y% =
ct"# x ct"# y ± 1 ct"# x ± ct"# y
%urunan ungsi iperbolik
arena arena ungsi ungsi hiperb hiperboli olik k didei dideinis nisika ikan n dari dari ungsi ungsi ekspon eksponens ensial ial maka maka sesuai sesuai dengan dengan turunan ungsi eksponensial, dapat diperoleh rumus(rumus turunan ungsi hiperbolik! Bila u ungsi dari 0, maka : 1! &! )!
d dx d dx d
dx
$ Sin# ! %
= Cos# !
$Cos# ! %
= Sin# !
$t"# ! %
= Sec# & !
d!
!
dx d!
9!
dx d!
dx
d dx d dx d dx
$ct"# ! %
= −Co se # & ! d!
$ Sec# ! %
= − Sec# ! ∗ t"# ! d!
dx
dx
$Co se # ! %
= − Co se # ! ∗ ct"# !
SOAL( PEN)ELESAIAN
1! Jentukan
dy dx
dari y = ar 'in
x a
"enyelesaian : d
x 5arc Sin 6 = dx a d
&!
)
$arc ct" % = dx x
1 x 1 − $ %& a 1 − ) 1+ $ %& x
∗
d x $ %= dx a
d ) ∗ $ % dx x
a a&
=−
1
− x &
x & x
&
+K
∗ = a
∗
−) x
&
=
1 a&
− x &
) x
)
+K
d! dx
)! d dx
$ arc ct" $
1 + x 1 − x
%% =
1
−
&
1 + x 1 − x
1+
=
−
d 1 x ∗ $ + % dx 1 − x
=−
$1 − x % & $1 − x%
& &
$1
− & x + x % + $1 + & x + x &
&
%
=
&
+ $1 + x%
&
$1 x % $1 x %$ 1% ∗ − − +& − $1 − x%
−& 1 =− & &$1 + x % 1 + x &
SOAL(SOAL
x
1! y = ar! 3os
a
@! y =
1 )
arc ct"
K! y = ar tg
)! y = 0 ar! 'in &0
1! y = ar 'in
a + x 1 − ax
9! y = ar 'in
Sin x
1 x
A! y = ar 'in 19! Jentukan a!
dy dx
x
11! y =
1+ x&
x + x
+
x arc sin x 1 − x
&
++ −+ + ln
sin x
1 − x &
1! y = ar tg ) + 9 os x
dari :
y = 'inh 0 )
y = ar ar sin sin $tgh $tgh 90% 90%
%EO+EMA +OLLE &einisi 4
x
1− x&
b! y = tgh)&0 !
&
arc Cos x
1&! y = ar 'e 1)! y =
1 − x &
e x − e − x
&! y = ar! 3ose &0
! y = ar tg
) x
#ika kontinu pada 5a, b6 dan dierensiabel pada $a, b% serta $a% = $b% = ! 4aka
∃ c ∈ $a, b% → f Y $c % = = 3ontoh : $0% = 0) 8 0& (&0, 0 ∈ 5, &6 $% = $&% = @ 8 8 = 4enurut teorema Rolle,
∃ c ∈ $=, &% → f Y $c % = =
X$0% = )0& 8 &0 8 &,
⇔ ) x & − & x − & = =
X$0% =
&±
01,& = 01 =
1 )
+1
)
+ + ++
1
1
)
)
= ±
<
∈ $=,&% , 0& =
A
1 )
−1
)
A
A
∉ $=,&% , = 0 1 =
1 )
+
1 )
A
%EO+EMA LAG+ANGE !%. Nilai +ata(rata# &einsi 4
#ika
$0%
kontinu
∃ c ∈ $a, b% → f Y $c% =
pada
5a,
b6
dan
dierensiabel
pada
$a,
b%
maka
f $b% − f $a% b−a
3ontoh : 3arilah bilangan yang di7amin Jeorema Jeorema Fagrange untuk ungsi $0% = & "enyelesaian : 1
X$0% = & ∗ x
−
1 &
&
=
1 x
kontinu pada 51,6 dan dierensiabel pada $a, b%
∃ c ∈ $1, +% → f Y $c% = f Y $c% = 1 c
f $b% − f $a% b−a
f $+% − f $1% + −1
&
K
)
+
= ⇒c=
=
+−& + −1
=
& )
x
pada 51, 6
PENGG3NAAN %3+3NAN 2ungsi Monoton8 2ungsi Naik dan 2ungsi %urun &einisi 4
4isal terdeinisi pada interal I!
∀ x1 , x& ∈ I , x1 < x& ⇒ f $ x1 % ≤ f $ x& %
Qungsi dikatakan monoton naik, 7ika
Qungsi dikatan monoton turun, 7ika
Qungsi dikatakan monoton 7ika monoton naik atau monoton turun
∀ x1 , x& ∈ I , x1 < x& ⇒ f $ x1 % ≥ f $ x& %
%eorema 4
Bila kontinu pada I dan dierensiabel dalam I, maka $i%
X $0% N , ∀ x ∈ I ⇒ f naik $ada I
$ii%
X $0% M , ∀ x ∈ I ⇒ f t!r!n $ada I
Maksimum dan Minimum +elati !Maks : Min Lokal# &einisi 4
Qungsi dikatakan mempunyai maksimum relati di 0 1 , 7ika
∃ r 1 > = → f $ x% ≤ f $ x1 %, ∀ x ∈ $ x1 − r 1 , x1 + r 1 %
Qungsi dikatakan mempunyai minimum relati di 0 & , 7ika
∃ r & > = → f $ x% ≤ f $ x& %, ∀ x ∈ $ x& − r &
, x&
+ r &1 %
*arga maksimum relati dan minimum relati disebut 7uga harga ekstrim ungsi! Bila disekitar 0 X$0% bertanda sama X$0%N untuk 0 M 0 dan 0 N 0 atau X$0% M untuk 0 M 0 dan 0 N 0 , maka tidak mempunyai maksimum relatie atau minimum relatie di titik 0! %eorema %itik kritis
4isalkan terdeinisi pada interal I yang memuat 0 , bila 0 adalah titik ekstrim, maka 0 haruslah suatu titik kritis, yakni 0 berupa salah satu : a!
Jitik tik u7u u7un ng dari dari I
b! Jitik stationer dari $X$0 $X$ 0% = % !
Jitik itik sing singul ular ar dari dari $X$0 $X$0% tidak ada%
/embung dan /ekung Suatu Kur'a
&einisi 4
a! 'uatu kura y = $0% disebut ekung ke atas !embung ke ba/ah # bila busur kura selalu terletak di atas garis(garis singgung di titik(titik pada kura tersebut!
b! 'uatu kura y = $0% disebut embung embung ke atas !ekung ke ba/ah # bila busur kura selalu terletak di ba/ah garis(garis singgung di titik(titik pada kura tersebut!
Bentuk lain deinisi di atas $ Pur6ell % : Deinisi : 4isal dierensiabel pada selang terbuka I #ika X naik maka ekung ke atas #ika X turun maka ekung ke ba/ah %eorema 4
X naik $$0% N % → min, ekung ke atas X turun $$0% M % → maks, ekung ke ba/ah %I%IK BELOK &eini &einisi si 4 Jitik belok adalah suatu titik di mana busur kura berubah dari embung ke
ba/ah men7adi ekung ke ba/ah, atau sebaliknya! $ada perubahan keekungan%! "ada titik belok, garis singgung tidak selalu se7a7ar sumbu 0, maka suatu kura y = $0% mempunyai titik belok di 0 = 0 , bila : $i%
$0% = dan
$ii%
$0% V dan X$0 % ada → syarat perlu
untuk menari titik belok, dapat dimulai dengan mengenali titik(titik dengan $0% = $dan di mana mana $0% $0% tidak tidak ada%, ada%, kemudi kemudian an diperik diperiksa sa apakah apakah titik(t titik(titi itik k tersebu tersebutt benar( benar(ben benar ar merupakan titik belok!
*arga Ekstrim Suatu 2ungsi $i% $i% 'yara 'yaratt perl perlu u adan adanya ya har harga ga ekst ekstrim rim $rel $relati ati% % pad padaa suat suatu u ung ungsi si ada adala lah h X$0% X$0% =
$ii% $ii%
'yarat 'yarat ukup ukup adany adanyaa harga harga ekstrim ekstrim $relati $relati% % pada pada suat suatu u ungs ungsii adal adalah ah $0 $0%% V , , dan bila : a! $0 $0%% M , , ter ter7a 7adi di maks maksim imum um b! $0% N , ter7adi minimum ASIM%O%
aris l disebut asimtot dari kura $graik% ungsi 7ika 7arak titik 2 $0, y% pada kura tersebut ke garis l mendekati nol untuk 2 semakin 7auh dari titik asal ϑ 1! #ika Lim f $ x% = ±∞ ata! Lim f $ x% = ±∞ maka garis 0 = a adalah asimtot tegak dari x →a
+
x → x
−
y = $0%!
f $ x% ata! Lim f $ x% ada $misal sama dengan b%, maka garis y = b asimtot &! #ika Lim x → +∞ x → −∞ datar dari ! )! 2sim 2simto tott mir mirin ing g : y = a0 a0 + b a = Lim x →∞
f $ x % x
,
$ f $ x% − ax% b = Lim x →∞
Menggambar graik graik ungsi - ; !<#8 -ang sering dilakukan 4 1! 4enyelid 4enyelidiki iki daerah daerah deinisi, deinisi, titik(t titik(titi itik k diskonti diskontinu, nu, untuk untuk nilai nilai 0 yang yang mana $0% = ,
$0% N , $0% M ! &! 4enent 4enentuka ukan n X$0%, untuk untuk nilai nilai 0 yang yang mana mana X$0% = , X$0% tidak tidak ada, ada, X$0% N , X$0% M )! 4enent 4enentuka ukan n harga harga ekstrim ekstrim ungsi ungsi $maks $maks G min%, min%, untuk untuk 0 yang mana mana $0% maks maks dan $0% min! ! 4enari 4enari turun turunan an $0% $0% 7ika perlu perlu,, untuk untuk 0 yang mana mana $0% $0% = , $0% $0% N , $0% M , X$0% tidak ada! Jentukan daerah di mana graik embung ke atas> ke ba/ah serta titik belok bila ada! 9! 4enent 4enentuka ukan n asimtot asimtot $data $datar>te r>tegak gak>mi >mirin ring% g% bila bila ada
0 y
SOAL(PEN)ELESAIAN
1! $0% = x & ) , x ∈ 5−1, &6 apakah mempunyai titik belok di 0 = 0 W "enyelesaian :
&
X$0% =
)
x −1 )
&
−
$0% =
−
X$0% =
→ f Y $=% tidak ada
x − + )
K @
&A
→ f [ $=% tidak ada
x −A )
→ f [ Y $=% tidak ada
0 = bukan titik belok 'yarat perlu adanya titik belok di 0 adalah $0% = dan X$0% V , X$0 % ada atau ditulis $2 ⇒ B % $0% = dan X$0 % V , dan X$0 % ada ⇒ 0 = 0 adalah titik belok &! $0% =
1 <
x ) − & x apakah $, % merupakan titik belok W
"enyelesaian : X$0% =
1 &
x &
− & , $0% = 0 , X$0% = 1
$, % adalah titik belok sebab : $% = X$% V $X$% = 1% dan X$% ada "ernyataan 2 ⇒ B belum tentu berlaku, demikian sebaliknya B ⇒ A )! $0% = x 1 ) + & di mana kah titik belok ungsi tersebut W "enyelesaian : −& 1= 1 X$0% = , $0% = 9 , HX$0% = & ) &A x @ ) ) x K x ) Dalam hal ini $!&% adalah titik belok, /alaupun X$%, $% dan X$% tidak ada! "ada ontoh no! ) : $(1% N , $&% M atau $0% N , 0 M → ekung ke atas $0% M , 0 N → ekung ke ba/ah → ada perubahan keekungan 0 = merupakan titik belok & ) ! $0% = x , x ∈ 5−1, &6 apakah ungsi tersebut mempunyai maksimum dan minimum baik relati maupun mutlak W "enyelesaian :
∴
X$0% X$0% =
& )
x −1 )
→ f Y $=% tidak ada! ntuk menari harga ekstrim perlu diperiksa titik
yang diduga men7adi ekstrim, yaitu : di 0 = (1 → $(1% = $−1% & ) = ) $−1% & = 1 0 = → $ $% = 0 = & → $&% = ) & & = ) = 1,9K Qungsi mempunyai min relatie di 0 , bila :
maks! mutlak di 0 = & min mutlak di 0 = min relati di 0 =
∃ r > = → f $ x% ≥ f $ x = %, ∀ x ∈ $ x = − r , x= + r % 9! $0% =
1 x + )
, x ∈ 5 −9, 96
apak apakah ah ung ungsi si terse tersebu butt memp mempun unya yaii maks maksim imum um dan dan
minimum baik relati maupun mutlak W "enyelesaian :
X$0% = $(9% =
−
1 x + ) 1
−9+)
→
f Y $ −)% tidak ada
= − 1 , $% = &
1 )
, $()% tidak ada, $9% =
1 9+)
=
1 @
dalam ontoh no! 9
ini maksimum dan minimum baik relati maupun mutlak tidak ada! )
∴
1
X$
&
% = ) N , X$ −
1 &
% = () M
A! 'elidi 'elidiki ki dan dan gambar gambar graik graik kura kura y = 0 +
1 x
"enyelesaian : & & 1 1 x − 1 x & + 1 −) & x = y=0+ = , y = 1 − & = , y = & x )) x x x titik diskontinu di 0 = tanda yX = $0 &(1% = $0 + 1%$0 (1% 'yarat perlu ada ekstrim : yX = x & − 1 & = = ⇔ x − 1 = $ x + 1%$ x − 1% = = ⇔ x = 1 ata! x = −1 & x untuk 0 = 1 → y = $1% = 1 + 1 1 = & $1, &% 0 = (1 → y = $(1% = 1 + − 1 − 1 = (& $(1, (&% 2simtot : Lim f $ x% = ∞ $tidak ada% → asimtot datar tidak ada x →∞
&
Lim x→=
+
x + 1 x
&
=∞
Lim x→=
−
x + 1 x
= −∞ maka
0 = asimtot tegak
a = Lim
f $ x%
x→∞
x
= Lim x
x
→∞
&
+1
x
x &
= 1 , b = Lim $ x →∞
+1
x
1
− 1 ∗ x% = Lim == x → ∞ x
"ersamaan asimtot miring y = 0
Masala Praktis 1! #umlah #umlah dua bilangan bilangan positi positi sama dengan dengan <! Jen Jentuk tukan an bilangan bilangan(( bilang bilangan an tersebut tersebut
sehingg sehinggaa hasil hasil kali kali bilang bilangan an pertam pertamaa dengan dengan pangka pangkatt tiga tiga bilang bilangan an kedua kedua adalah adalah maksimal! "enyelesaian : 4isalkan bilangan itu 0 dan y , maka 0 + y = < atau 0 = < 8 y 2kan diari 0y) maksimal $y% = 0y) = $< ( y%y ) = <y ) 8 y
0 S , 0 \
X$y% = 1@y & 8 y) = $1@ 8 y%y & $y% = )<y 8 1&y & = $)< 8 1&y%y 'yarat ekstrim = X$y% = $1@= − + y % y &
= = ⇔ 1@= − + y = = ata!
y&
==
⇔ 1@= = y ata! y & = =
⇔ y1 = +9 , y & = =,
y)
==
0 = < 8 y = < 8 9 = 19 $9% = $)< 8 1&U9% U 9 = $)< ( 9%9 = (@1 M $ter7adi maksimum% 7adi bilangan yang diari adalah 9 dan 19 &! otak otak segi empat empat dibuat dibuat dari dari selembar selembar papan, papan, pan7a pan7ang ng & m dan lebar lebar K m dengan dengan memotong berbentuk bu7ursangkar pada keempat sudutnya dan melipat ke atas sisi( sisinya seperti pada gambar! 3ari ukuran kotak yang olumenya maksimum dan berapa olumenya W "enyelesaian :
& m
0 K8 &0
K m & 8 &0
0 0 4isal 0 = sisi bu7ur sangkar yang dipotong
= olume kotak yang ter7adi
= 0$K ( &0%$& 8 &0% = &1<0 8 <<0 & + 0)
x ∈ 5 =, ,96
0 tidak boleh lebih keil nol atau lebih besar ,9
'yarat ekstrim : d' dx
d' dx
== d'
= &1< − 1)& x + 1& x &
dx
==
⇔ x = K ,
x=&
K ∉ 5=, +,96
& = 1& $1@ − 11 x + x %
= 1&$K (0%$& ( 0% terdapat ) titik kritis, yaitu 0 = , 0 = & dan 0 = ,9 $% = $,9% = $&% = &
∴ kotak mempunyai olume maksimum pada 0 = & sebesar & m dan ukurannya : )
pan7ang = &(&0 = & 8 &$&% = & m lebar
= K 8 &0 = K( &$&% = 9 m
tinggi
= 0 = & m
7i 7i turu turuna nan n kedu keduaa :
d & ' dx &
= &+ x − 1)&
untuk 0 = & →
d & ' dx &
=
+@ − 1)& < = → ter7adi
maks!
SOAL 0SOAL
Jentukan untuk ungsi(ungsi berikut $bila ada% titik(titik diskontinu, titik ekstrim, interal di mana kura naik G turun , titik belok, embung ekung, asimtot dan gambarlah &
1! y = 0 8 &0 + ) &! y =
1 )
x )
− & x & + )x + 1
&
)! y = (0 + &0 ! y = ) x 9
− 1&9 x & + &1<= x
− ) x + & x + ) x + & & &
9! y =
x
& &
x A! y = $ x − 1% & $ x + %
@! y =
@ x
&
−+
@! Dike Diketa tahu huii kur kura a y = 0) + <0& 8 &0 +@ tentukan koordinat titik beloknya! beloknya! K! #umlah #umlah dua bilang bilangan an positi positi sama sama dengan dengan 2! Jentu Jentukan kan bilanga bilangan(b n(bilan ilangan gan tersebut, tersebut, sehingga : a! hasil hasil kali kali kedu keduaa bila bilanga ngan n maks maksimu imum m b! hasil kali kuadrat bilangan pertama dengan pangkat tiga bilangan kedua adalah maksimum! 2 = &; 1&; 1; @ 1! Jentu Jentukan kan dimensi dimensi suatu suatu kebun kebun berben berbentuk tuk segi segi empat empat siku(s siku(siku iku terluas terluas yang yang dapat dapat dipagari dengan ka/at berduri sepan7ang 1& m!
PENE+APAN PENE+ APAN &E+I9A &E+ I9A%I2 %I2 PA&A LIMI% Bentuk 0 bentuk tak tentu 4 #ika suatu harga harga tertentu tertentu diberikan diberikan kepada peubah peubah bebas 0, mengakibat mengakibatkan kan bentuk bentuk ungsi ungsi
men7adi : = ∞ ; ; = ∗ ∞ ; ∞ − ∞; = = ; ∞ = ; 1∞ maka bentuk ini disebut bentuk tak tentu! = ∞
1! Bentuk
= ∞ dan = ∞
2ndaik 2ndaikan an ungsi ungsi $0% $0% dan g$0% g$0% berhar berharga ga tungga tunggall dan dier dierensi ensiabe abell pada pada inter interal al = < x − a < # ,
$i% $ii%
sedangkan g$0% ≠ = , maka bentuk
f $ x % berbentuk : " $ x %
= untuk 0 = a , bila $a% = dan g$a% = = ∞
∞
untuk 0 = a, bila $a% =
∞ dan g$a% = ∞
Dengan menggunakan rumus 3auhy, maka : Lim x → a
f $ x % " $ x %
= Lim x → a
f Y $ x % " Y $ x %
limit limit ini ada bila bila hasil hasil bagi bagi deria deriati ti ungsi ungsi(un (ungsi gsi tidak tidak
berbentuk tak tentu lagi! Bila hasil bagi deriatie ungsi mempunyai bentuk tak tentu lagi, lagi, maka maka ara di atas dilaku dilakukan kan sekali sekali lagi, lagi, sesuai sesuai dengan dengan Jeorem eoremaa FX*ospit *ospital al Bernoulli, yaitu : Bila
f $ x % = mempunyai mempunyai salah satu bentuk bentuk atau " $ x % =
∞
∞
untuk 0 = a $a berhingga berhingga atau
tak hingga hingga%, %, dan bila bila $0% $0% dan g$0% g$0% mempun mempunya yaii deria deriati tiee untuk untuk semua semua tingka tingkat, t, termasuk tingkat(n maka Lim x → a Lim x → a
f Y $ x % " Y $ x %
; Lim
f $ x % " $ x %
sama dengan salah satu pernyataan(pernyataan :
f [ $ x % " [ $ x %
x → a
; Lim x → a
f [ Y $ x % " [ Y $ x %
; !!!!; Lim x → a
f $ n % $ x % " $ n % $ x %
, yang tidak lagi mempunyai bentuk tak tentu! Perlu diingat 4 hati(hati dalam pemakaian Jeorema FX*ospital Bernoulli yaitu harus
teliti apakah persyaratan(persyaratan yang diminta terpenuhi, 7ika tidak maka kita akan melakukan kesalahan(kesalahan! &! Bentuk = ∗ ∞ Bila ungsi $0%!g$0% $0%!g$0% berbentuk = ∗ ∞ untuk 0 = a, dimana $a% = dan g$a% =
∞,
f $ x% " $ x% dapat diari dengan 7alan mengubah bentuk di atas men7adi maka aka Lim x → a salah satu bentuk di ba/ah ini, yaitu : f $ x % " $ x % ata! 1 " $ x % 1 f $ x %
yang yang masing(mas masing(masing ing berbentu berbentuk k
= da dan =
∞
∞
untuk 0 = a
sehingga memenuhi syarat Jeorema FX*ospital! FX*ospital! )! Bentuk ∞ − ∞ Bila $0% dan g$0% men7adi
∞ , untuk 0 = a $atau x → ∞ %, maka $0%(g$0% mempunyai
$ f $ x% − " $ x%% , bentuk $0% ( g$0% harus diubah bentuk ∞ − ∞ ! ntuk menari menari Lim x → a
1
dulu men7adi bentuk :
" $ x %
−
1 f $ x %
1
yang mempunyai bentuk
f $ x % − " $ x %
emudian digunakan Jeorema FX*ospital!
= untuk 0 = a =
! Bentuk = = ; ∞ = ; 1∞ " $ x % Diketahui ungsi 5 f $ x %6 ungsi ini akan berbentuk salah satu dari ketiga bentuk di
ba/ah, untuk sesuatu harga 0 = a yang yang tertentu! $a%
Bila $a% = dan g$a% = , akan berbentuk
$b%
Bila $a% = 1 dan g$a% =
$%
Bila $a% =
∞ , akan berbentuk 1
∞
∞ dan g$a% = , akan berbentuk ∞ " $ x %
5 f $ x%6 ntu ntuk k men menar arii Lim x→ a
=
" $ x % , bentuk 5 f $ x %6 diubah diubah dulu men7ad men7adii bentuk bentuk
Lim 5 " $ x %! ln f $ x %6
Lim 5 f $ x %6 " $ x % = e x
5 f $ x%6 " $ x % = c " $ x % ln f $ x % sehin sehingg ggaa
→a
x → a
! Qung Qungsi si g$0% g$0%
∗ ln
$0% $0% memp mempun uny yai bent bentuk uk = ∗ ∞ untu ntuk 0 = a! #ad #adi dala dalam m hal ini, ini, dia diari ri dulu ulu Lim O " $ x% ∗ ln f $ x%P x →a
SOAL( PEN)ELESAIAN
1! *itung Lim x → )
− @1 x − )
x +
"enyelesaian : f $ x % = berbentuk untuk 0 = ) " $ x % =
$0% = 0 8 @1 , $)% = g$0% = 0 8 ) , g$)% = 7adi Lim
− @1 + x ) = Lim = 1=@ x →) x − ) 1
x +
x →)
&! Jentukan Lim
Sin x − x x )
x →=
"enyelesaian : Bentuk Limit
= =
Sin x − x
x →=
x
)
= Limit x →=
= Limit x →=
Cos x − 1 ) x
&
− Cos x <
= $bent!k % =
=−
= Limit x→=
1 <
)! 2pakah 2pakah ontoh ontoh diba/ah diba/ah ini salah salah atau atau bena benarW rW Limit x →=
1 − Cos x x
&
+ ) x
= Limit Limit x →=
Sin x & x + )
Cos x
= Limit x →=
&
=
1 &
− Sin x < x
= $masi# berbent!k % =
"enyelesaian : 1 − Cos x 'alah, yang benar Limit & x →= x + ) x
!
= Limit x →=
Sin x & x + )
==
x & *itung Limit x x →∞ e
"enyelesaian : ntuk 0 =
x
∞ ,
e
&
x Limit x x→∞ e
Limit = Limit x→∞
&
x
berbentuk
& x
$
x
e
∞
∞
, maka
& & ∞ % = Limit x = == x →∞ e ∞ ∞
&
x ∗ ln x 9! *itung Limit x → = "enyelesaian : ntuk 0 = , 0 & ln 0 berbentuk = ∗ ∞ → diubah ke bentuk Limit x & ln x x → =
= Limit x → =
ln x 1 x &
$
π
π
Sin x 1 − Cos x Cos x
$∞ − ∞ % = Limit
− Cos x == = Limit x → & − Sin x π
x
x $bentuk = = % A! *itung Limit x →= "enyelesaian :
x ln x $= ∗ ∞% Diari dulu Limit x→= =
x → =
ln x 1 x
= Limit x → =
1 x
− 1 x &
x
x = e = = 1 7adi Limit x →= $ x + 1% @! *itung Limit x → "enyelesaian :
ct" x
∞
∞
yaitu :
x & ∞ % Limit 1 x Limit = x →= = − == x → = & ∞ − & x )
Sec x − t" x = Limit
Limit
= atau =
$bentuk 1∞ %
= Limit − x = = x → =
x →π &
1 − Sin x Cos x
= $ % =
Diari
:
Limit ct" x! ln $ x + 1% $bent!k ∞ ∗ =% = Limit x →=
ln $ x + 1%
x →=
$berbent!k
1 ct" x
1
= Limit x +&1 x →= Sec x $ x + 1% #adi Limit x →
ct" x
=1
= e1= e
$t" x % os x $berbentuk ∞ = % K! *itung Limit x → & π
"enyelesaian : ln t" x
ln t" x
= Limit Cos ln t" x = Limit Diari dulu : Limit x → & x → & 1 Cos x x → & Sec x π
π
Limit
1 t" x ∗ Sec & x
x →π &
Limit $t" x% 7adi Limit x →π &
os x
Sec x t" x
π
= Limit x →π &
Sec x
= Limit
&
Cos x
x →π &
t" x
Sin & x
= e= = 1 SOAL 0 SOAL
− & x & − x + & ) x − A x + <
)
1!
x Limit Limit
&!
Limit
)!
1 − &Cos x + Cos & x Limit x →= x +
!
Limit Lim it
9!
x Limit Limit
x →1
x → =
x → =
x →∞
t" x − x x − Sin x
x →=
1&! Limit $ & x →1 x
ln t" A x ln t" & x
&
$ x% 1)! Limit x →=
−1
x 1
−
x − 1
)
19! Limit Limit $& − x% x →1
1 $1− x %
& y t" π y A! Limit x → ∞
1A! Limit $Cos & x%
x →π &
1 ln x
π
1K! Limit $t"
1 1! Limit $ x →= x
&! Limit $ xCt" x%
π
−1
&
$Ct" x% 1@! Limit x →∞
$1 − t" x % Sec & x K! Limit x → + ex
) x
x →=
Limit $ Sec ) x! Cos 9 x %
1
%
1 t" π x &
$ x % 1
−
%
sin x
t" & x! Co se + x
@!
&
9 ln & x
$Ct" x% 1! Limit x →=
− + x & + x − 1 ) ) x + & x + A
1
& 11! Limit $Co se x −
%
x →1
x →=
x
π
+
%
t"
x
&
1 x
&
= =
% = Limit x →=
ln $ x + 1% t" x
= $ % =
IN%EG+AL %AK %EN%3 &einisi 4 Integral tak tentu dari suatu ungsi pada interal tertutup 5a,b6 adalah ungsi Q sedemikian
hingga QX$0% =
d( $ x % dx
= f $ x%, ∀ x ∈ 5a, b6 Q disebut antideri'atif dari pada 5a,b6!
#ika Q dan keduanya adalah integral tak tentu dari pada interal I, maka Q$0% dan $0% hanya berselisih suatu konstan!
3ontoh : #ik #ika $0% $0% =
0 , maka aka
antideriati dari , karena
Q$0% $0% = &0 & d( $ x % dx
msing(masing adalah + 9 dan $0% = &0 & + 1= msing(masing
= f $ x% dan
d) $ x% dx
= f $ x%
Notasi 4
#adi kalau Q suatu antideriati dari maka
∫ f $ x %dx = Q$0% + ,
= konstanta integrasi , $0% disebut integran
Siat(siat integral tak tentu
1!
∫ df $ x % = f $ x % + c
&!
∫ kf $ x%dx = k ∫ f $ x%dx, k = kons tan
)!
∫ $ f $ x% ± " $ x%%dx = ∫ f $ x%dx ± ∫ " $ x%dx 2kibat siat no!) n n ai f i $ x% dx = ∑ ai ∫ f i $ x%dx ∫ ∑ i =1 i =1
+umus(+umus &asar Integral
x
n +1
1!
∫ x
&!
∫ x
)!
∫ e
!
∫
9!
∫ Cos xdx = Sin x + c
∫ Sin xdx = − Cos x + c Sec xdx = t" x + c ∫ Sec
@!
∫ Co se xdx = − Ct" x + c
K!
∫ Sec x t" xdx = Sec x + c
n
dx =
dx x
n +1
+ c, n ≠ −1
= ln x + c
dx = e x + c
=
a x dx
a x ln a
+ c, a > =, a ≠ 1
&
&
1!
∫ Co se x Ct" xdx = − Co se x + c dx
11!
∫ 1 − x
1&!
∫ 1 + x
1)!
dx
∫ x
&
&
= arc Sin x + c
= arc t" x + c
dx x − 1 &
= arc Sec x + c
IN%EG+AL PA+SIAL PA+SIAL Bila integran merupakan pergandaan ungsi u$0% dengan X$0%, dapat diselesaikan dengan menggunakan integral parsial!
∫ ! d' = !!' − ∫ ' d!
Rumus :
/ON%O*4
1!
∫
ln xdx
= x ln x − ∫ x! 1 dx = x ln x − ∫ dx = x ln x − x + c x
u = ln 0, du =
&!
∫ e
x
os xdx
=
1 dx , d = du ⇒ =0 x
1 &
e x $ Sin x + Cos x % + c
0
u = e , du = e 0d0 , d = os 0 d0 , = sin 0 )!
∫
x os & x dx =
1
$ & x sin & x + os & x % + c
u = 0 , du = d0 , d = os &0 d0 d0 , = !
∫ x
&
1 &
sin &0
sin xdx = − x & os x + & x sin x + & os x + c
u = 0& , du = &0 , d = sin0 d0 , = (os 0 9!
1
∫ arc t" xdx = x arc t" x − & ln$1 + x u = ar tg 0 , du =
1 1 + x
&
&
%+c
dx , d = d0 , = 0
SOAL(SOAL
'elesaikan dengan integral parsial 1!
∫ x
&
ln xdx
&!
∫ x
&
e x dx
)!
∫ x
)
os x dx
!
∫ $ln x %
9!
∫ arc sin x dx
&
dx
IN%EG+AL %+IGONOME%+I
+umus Pendukung
1!
Sin & x + Cos & x
&!
1 + t" & x = Sec & x
)!
1 + ct" & x = Co se & x
!
Sin & x =
9!
Cos & x
Sin x Cos x =
=
1 & 1
&
=1
A! Sin x Cos y
& 1 @! Sin x Sin y = 5Cos $ x − y % − Cos $ x + y %6 & 1 K! Cos x Cos y = 5Cos $ x − y % + Cos $ x + y %6 & & 1 1! 1 − Cos x = & Sin x & & 1 11! 1 + Cos x = & Cos x &
$1 − Cos & x%
$1 + Cos & x % 1 &
= 1 5 Sin$ x − y % + Sin$ x + y %6
1&! 1 ± Sin x = 1 ± Cos$
Sin & x
π
&
− x%
/ON%O* SOAL 1
1
1
1!
∫ Sin x dx = ∫ & $1 − os & x%dx = & x − Sin & x + c
&!
∫ Cos
)!
∫ Sin x dx = ∫ Sin x!Sin x dx = ∫ $1 − Cos x%Sin x dx = − ∫ $1 − Cos x% d os x
&
&
) x dx =
)
1
1
&
&
&
− os x + 1 os ) x + c
= !
1
∫ & $1 + os < x%dx = & x + 1& sin < x + c
)
xCos x dx = ∫ Sin xCos xCos x Cos Cos x dx = ∫ Sin x$1 − Sin x% Cos Cos x dx ∫ Sin xCos &
)
=
&
&
&
1
1
&
∫ $ Sin x − Sin x%d Sin x = ) Sin x − 9 Sin x + c &
)
9
9! 1
1
∫ Sin ) x Sin & x dx = ∫ & ( Cos $) x − & x% − Cos $) x + & x% ) dx = & ∫ $Cos x − Cos 9 x%dx =
1 &
Sin x −
1 1=
Sin 9 x + c
∫ t" x dx = ∫ t" x t" x dx = ∫ t" x$Sec +
&
&
&
&
− 1%dx =
∫ t" x Sec x dx − ∫ t" x dx &
&
&
1
∫ t" x d t" x − ∫ $ Sec x − 1%dx = )t" x − ∫ Sec x dx + ∫ dx &
=
1
=
)
&
)
&
t" ) x − t" x + x + c
A!
∫ Sec
+
& x dx =
∫ Sec 1
=
&
&
& x!Sec & & x dx =
t" & x +
1
∫ Sec
&
& x$1 + t" & & x%dx =
1
1
∫ Sec
&
& x dx +
t" & x d t" & x = t" & x + t" & x + c & ∫ & < &
)
SOAL(SOAL
1!
∫ t"
&!
∫ ct"
)!
∫ ct" ) x os ec
!
∫ os
9!
∫ os
+
∫ sin
+
A!
∫ sin
)
) x se + ) x dx +
) x dx
∫ sin ) x sin 9 x dx
K!
∫ os + x os & x dx
1!
∫ t" x dx
x dx
11!
∫ t"
& x sin ) & x dx
1&!
∫ ct" x os ec x dx
+
) x dx
9
x dx
&
@!
&
x os x dx
9
)
& x se ) & x dx )
)
1)!
∫ t" x se
1!
∫ ct" x os ec
+
)
+
x dx 9
x dx
IN%EG+AL 23NGSI !PE/A*# +ASIONAL
∫ Sec
&
& x t" & & x dx
Polinom derajat derajat n dapat ditulis4 ditulis4 & n "n$0% = a= + a1 x + a & x + !!! + a n x , an
≠ = , n ≥ = , n ∈ Ζ + $ x%
#ika $0% dan D$0% masing(masin masing(masing g adalah polinom maka bentuk
*$ x%
disebut disebut ungsi
pe6a rasional! + $ x%
∫ *$ x% dx :
2kan dihitung
1! ala alau u $0 $0%% = DX$ DX$0% 0% maka aka
+ $ x %
∫ * $ x% dx = ln *$ x% + c
&! #ik #ika der deraa7at 7at $0 $0%% ≥ dera7at D$0% maka + $ x% *$ x%
= ,$ x% + ↓
$ x% *$ x%
↓
#asil ba"i
sisa
Di mana mana ]$0% ]$0% dan R$0% adalah adalah polinom, polinom, serta serta dera7at dera7at R$0% lebih lebih keil keil dera7at dera7at D$0% sehingga : + $ x %
$ x %
∫ * $ x% dx = ∫ , $ x % dx + ∫ * $ x %dx Langka(langka Langka(langka Memisakan
+ $ x% *$ x%
atas pe6aan parsial
"erlu diperhatikan :
Dera7at $0% M dera7at D$0%
oeisien suku pangkat tertinggi dari D$0% harus 'atu
$0% dan D$0% sudah tidak mempunyai mempunyai ator berserikat
Dalam memisah
+ $ x% *$ x%
atas peahan parsial dibedakan atas keadaan :
a! 'emua 'emua akar akar D$0% D$0% = real real dan berl berlain ainan, an, sehin sehingga gga + $ x% *$ x%
=
+ $ x% $ x − a%$ x − b%$ x − c %
dipeah men7adi
+ $ x% *$ x%
=
A $ x − a %
+
B $ x − b%
+
C $ x − c %
b! 'emua akar D$0% = real tetapi ada yang sama $ada aktor yang berulang% sehingga : + $ x% *$ x%
=
+ $ x% $ x − a% $ x − b%$ x − c% &
=
A $ x − a%
$D$0% dera7at n ⇒ ada n konstanta%
&
+
B $ x − b%
+
C $ x − c%
+
* $ x − d %
A, C , *
≠=
! D$0% = , , mempuny mempunyai ai akar tak real yang yang semuany semuanyaa berlainan! berlainan! 'ehingga 'ehingga : + $ x %
=
* $ x % + $ x%
=
*$ x%
+ $ x % $ x − a % & $ x − b%$ x − c%$ x & A $ x − a%
B
+
&
+
$ x − a%
C $ x − b%
+ a%$ x & + b% *
+
$ x − c%
+
.x + ( $ x
&
+ a%
+
)x + - $ x
&
+ b%
d! D$0% = mempun mempunyai yai akar akar tak real tetapi tetapi ada ada yang yang sama! sama! + $ x %
A
=
* $ x %
$ x − a%
+
&
B $ x − a %
+
C $ x − b%
+
* $ x − c%
+
.x + ( &
$ x + a %
&
+
)x + - &
+
$ x + a %
Ix + / $ x & + b%
Dalam hal khusus tidak perlu dipeah>dipisah, missal
∫ x
x
=
dx +1
+
1
&
d $ x %
& ∫ $ x
&
%
&
+1
1
=
&
arc t" x
&
+c
SOAL PEN)ELESAIAN
∫ x
1! *itung
x ) &
dx
+1
"enyelesaian : x 1 & x ) $ x % dx x − = dx = & & x + 1 x & + 1
∫
∫
∫ x
&! *itung
) x − 1 &
− x − <
−
1
1 & dx x = & x & + 1 &
∫
& x
−
1 &
ln$ x
&
+ 1% + c
dx
"enyelesaian : ) x − 1 x
&
− x − <
=
) x − 1 $ x + &%$ x − )%
=
A x + &
+
B x − )
)0(1 = 2$0()% + B$0+&% = $2 + B%0 + $()2 + &B% ⇒ 2 + B = ), ()2 + &B = (1 sehingga diperoleh A = 7adi ) x − 1
∫ x
&
− x − <
dx =
A
9
dx
9 x + &
x
∫ $ x − )%
)! *itung
∫
A
&
, B
+
@
=@
9
∫
dx
9 x − )
=
A 9
ln x + &
+
dx
"enyelesaian : x $ x − )%
#adi
&
=
A x − )
+
B $ x − )% &
, di$erole# A = 1 , B
=)
@ 9
ln x − ) + c
x
∫ $ x − )%
dx =
&
3atatan : dx
∫ $ x − a%
n
=
dx
dx
∫ x − ) + )∫ $ x − )%
)
= ln x − ) −
x − )
+c
−1 +c − $ n − 1%$ x − a % n 1
< x & − ) x + 1
∫ $ x + 1%$ x
! *itung
&
&
+ 1%
dx
"enyelesaian :
− ) x + 1 = $ + x + 1%$ x & + 1% < x &
A + x + 1
+
Bx + C x &
+1
< x & − ) x + 1 = A$ x & + 1% + $ Bx + C %$ x + 1% di$erole# A = & , B = 1 , C = −1
#adi < x & − ) x + 1
∫ $ x + 1%$ x =
1 &
&
+ 1%
ln + x + 1
9! *itung
dx =
+
1 &
x − 1 1 dx + dx = x & + 1 x + 1 &
∫
ln$ x &
&
∫
dx
∫ x + 1
+
1
& x dx
∫
& x & + 1
− ∫
dx
x & + 1
+ 1% − arc t" x + c
) x ) − & x & + 9 x − 1 dx $ x − &%$ x & + 1% &
∫
"enyelesaian :
− & x & + 9 x − 1 A Bx + C *x + C = + + & $ x − &% $ x & + 1% & $ x − &%$ x & + 1% & x + 1
) x )
) x )
− & x & + 9 x − 1 = A$ x & + 1% & + $ Bx + C %$ x − &% + $ *x + . %$ x & + 1%$ x − &%
diperoleh : 2 = 1 , B = (1 , 3 = , D = (1 , E = 1 #adi ) x ) − & x & + 9 x − 1 dx x dx $ x − 1% dx = − − dx & & & & $ x − &% $ x − &%$ x + 1% $ x + 1% x & + 1
∫
∫
∫
= ln x − & = ln x − &
−
+
∫
1 &
d $ x &
∫ $ x
&
1 &$ x
&
+ 1%
+ 1%
+ 1% & −
1 &
−
+ 1% dx + & ∫ x & + 1 x + 1
1 d $ x & &
ln$ x &
∫
+ 1% + arc t" x + c
IN%EG+AL %E+%EN%3 &einisi 4 d( $ x% #ik #ika dx
= f $ x% , maka selisih Q$b% 8 Q$a% disebut integral tertentu dari ungsi $0%
antara batas a dan b dan dinyatakan dengan lambang
b
b
a
a
∫ f $ x%dx = 5 ( $ x%6
= ( $b% − ( $ a %
3ontoh : &
&
@ 1 A x dx = 5 x 6 = − = ) ) ) ) 1 1
∫
1
&
)
Siat 0 Siat
#ika $0% dan g$0% kontinu pada 5a, b6, maka a
∫ f $ x%dx = =
1!
a a
a
b
∫ f $ x%dx = − ∫ f $ x%dx
&!
b
b
a
a
∫ k f $ x%dx = k ∫ f $ x% dx, k = kons tan
)!
!
b
b
b
b
a
a
a
∫ $ f $ x% ± " $ x%% dx = ∫ f $ x%dx ± ∫ " $ x% dx b
c
b
∫
∫
∫
a
a
c
9! f $ x% dx = f $ x% dx + f $ x % dx , c ∈ 5a, b6
Penggunaan Integral Luas &aera Bidang &atar 4isa 4isall ung ungsi si y = $0% $0% kont kontin inu u pada pada inte inter ral al a
≤ x ≤ b dan f $ x% ≥ = ∀ x ∈ $a, b% maka
b
∫ f $ x % dx ada! a
y
y
R &
b
1!
∫
R 1
L 1 = f $ x% dx a
a
b
a
0
b
&! L &
b
b
b
a
a
a
= ∫ ( f $ x % − " $ x% )dx = ∫ f $ x % dx − ∫ " $ x% dx
9olume Benda Putar
1! #ika #ika daer daerah ah yang yang dib dibat atas asii oleh oleh - = $0% , sb(0, garis 0 = a dan
a
b
0
0
garis 0 = b diputar mengelilingi sumbu 0 maka olume benda putar yang ter7adi adalah b
= π ∫ y & dx , y = f $ x%
% ox
a
y
d
&!
= π ∫ x & dy , x = f $ y %
% oy
0 =$y%
d
c
0
b
)!
= π ∫ ( $ f $ x%% & − $ " $ x%% & )dx
% ox
y = $0%
a
y = g$0%
a
Panjang Busur !Kur'a# b
"an7ang busur 2B adalah S =
∫ 1 + $ f $ x%%
&
dx
a
ura :
= f $t % , y = " $t %
x
a
b
S =
∫ ( f $ x%)
≤ t ≤ b b
&
+ ( " $ x%)
&
a
dt =
∫ a
, t = $arameter &
&
dx + dy dt dt dt
SOAL 0 PEN)ELESAIAN &
1! *itunglah
∫ x
)
dx
1
"enyelesaian : &
&
∫ x 1
)
1 1< − 1 = 19 dx = x + = + + + +
b
0
9
&! *itunglah
dx
∫
K− x
=
"enyelesaian : 9
∫ =
9
dx K − x
= ∫ $K − x%
−
1 &
9
dx
=
= −& ∫ d
K − x
= −&[
K − x
]
9 =
= −&[
K−9 − K−=
] = −&$& − )% = &
=
)! Jentu Jentukan kan luas luas daerah daerah R di ba/a ba/ah h kura kura y = 0& + 1 antara 0 = (1 dan 0 = & "enyelesaian : y
(1
&
&
L
0
&
= ∫ $ x −1
&
1 @ 1 K + 1%dx = x & + x = $ + &% − $− − 1% = + ) = < sat!an sat!an l!as ) ) ) −1 )
! Jentuk Jentukan an luas daerah yang yang dibatasi dibatasi oleh oleh sumbu sumbu 0 dan dan kura kura y = sin sin 0, = ≤ x ≤ &π "enyelesaian : L
= L1 + L& π
π
∫ $sin x − =%dx = −[ os x]
L1 =
=
= −$ −1 − 1% = &
y = sin 0
= $1 − $−1%% = &
&π
=
&π
L&
=
∫ $= − sin x%dx = [ os x]
&π π
π
L
sat!an l!as = L1 + L& = & + & = + sat!an
9! Jentuk Jentukaa pan7ang pan7ang ruas ruas garis garis antara antara 2$, 2$, 1% 1% dan B$9, 1)%
B$9, 1)%
"enyelesaian pers! garis 2B = y − 1
=
x − =
1) − 1 9 − = dy 1& dx
=
∫ =
y &
− y1
→ y − 1 =
=
1& 9
x − x1 x&
x
− x1
→ y =
2$, 1% 1& 9
1
x + 1
9
9
S =
y − y1
1+ $
dy dx
9
&
% dx
= ∫ 1 + $ =
1& 9
9
&
% dx
= ∫ =
1
dx
=
1) 9
9
∫
dx
=
=
1) 9 5 x6= 9
= 1)
"enyelesaian :
(r
r b
% ox
= π ∫ y
r
&
dx
= π ∫ $r − x &
%dx
− r
a
r
r
&
= &π ∫ $r − x &
=
&
1 %dx = &π r & x − x ) ) =
− 1 r ) = + π r ) ) )
) = &π r
SOAL(SOAL
1!
*itunglah
) x & − @ x + 1)
∫ $ x + )%$ x − 1%
&
dx
9
&!
*itunglah
dx x + 1 1
∫ +
)!
*itunglah
∫ x
&
+ x
$ & x + 1%dx
=
!
Jentukan Jentukan luas daerah antar kura y = 0 dan y = &0 8 0 &
9!
*itunglah luas daerah yang dibatasi oleh kura y = (0 +& dan kura y = 0 &
Jentukan olume benda putar bila daerah yang dibatasi oleh garis y = 0 dan parabola y = 0 & yang diputar mengelilingi sumbu 0!
