BAB 2 FUNGSI KOMPLEKS Sebelum membahas fungsi kompleks, berikut ini diberikan beberapa konsep dan istilah yang akan banyak digunakan dalam pembahasan selanjutnya.
2.1 Daerah di Bidang Kompleks Bagian berikut ini kita akan membahas beberapa kurva dan daerah penting dan sejumlah konsep terkait yang akan sering kita gunakan. Lingkaran C dengan pusat z 0 dan berjari-jari R, C : z z 0 R , merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak R dari z 0 . y R . z0
x Lingkaran satuan, adalah lingkaran berjari-jari satu dan berpusat di titik asal, direprentasikan dengan z 1 . Cakram lingkaran, adalah interior lingkaran C, yaitu z z 0 R , atau lebih tepat disebut cakram lingkaran terbuka dan disebut juga lingkungan dari z 0 . Cincin lingkaran terbuka atau anulus terbuka, adalah daerah antara dua lingkaran sepusat dengan jari-jari R1 dan R2, direprentasikan dengan
R1 z z 0 R2 . Himpunan titik-titik pada bidang kompleks berarti sembarang koleksi titik-titik pada bidang kompleks. Sebuah himpunan S dikatakan terbuka jika setiap titik di dalam S mempunyai suatu lingkungan yang seluruhnya terletak di dalam S.
11
Suatu himpuan S dikatakan terhubung jika sebarang dua titik di dalam himpunan ini dapat dihubungkan dengan suatu garis patah-patah yang terdiri atas terhingga banyaknya ruas garis yang seluruhnya terletak di dalam S. Domain adalah himpunan terbuka yang terhubungkan. Komplemen himpunan S adalah himpuan semua titik yang tidak terletak di dalam S. Titik Batas himpunan S adalah titik yang setiap lingkungannya mengandung titiktitik di dlam S maupun di luar S. Wilayah atau region adalah sebuah himpunan yang terdiri atas sebuah domain ditambah sebagian atau seluruh titik batasnya.
2.2 Fungsi Kompleks Perhatikan fungsi f : I C , dengan I merupakan sub himpunan bilangan real dan C himpunan bilangan kompleks. Maka fungsi f ini merupakan fungsi bernilai kompleks. Fungsi ini merupakan bentuk penyederhanaan fungsi yang memetakan sub himpuan bilangan real ke bidang, atau lebih dikenal sebagai fungsi bernilai vektor. Sebagai contoh, diberikan fungsi f (t ) cost i sin t , 0 t 2 , maka kurva dari fungsi kompleks ini berupa lingkaran satuan, yaitu lingkaran yang berpusat di pusat koordinat dan berjari-jari satu. Jelaskan! Sedangkan fungsi
g (t ) t it 2 , 1 t 1 , akan berupa parabola y x 2 , dari x = – 1 sampai x = 1, seperti gambar berikut.
Selanjutnya akan dibahas tentang fungsi kompleks dengan domain bilangan kompleks. Misalkan S merupakan sub himpunan bilangan kompleks dan fungsi f
12
pada S adalah aturan yang menetapkan setiap z di dalam S dengan tepat satu unsur di C dan dituliskan sebagai
f :S C . z w f (z ) . Pada rumus di atas, z adalah bilangan kompleks, jadi S merupakan domain definisi fungsi f dan himpunan yang merupakan seluruh nilai fungsi f disebut sebagai range (jangkauan) dari f. Sedangakn w adalah juga bilangan kompleks, sehingga dapat ditulis sebagai w = u + iv , yang bergantung pada bilangan kompleks z = x + iy. Jadi w dapat ditulis sebagai w f ( z ) u ( x, y ) iv ( x, y ) .
f(z)
z x iy
Domain
w f ( z ) u ( x, y ) iv ( x, y )
Range
Dengan demikian fungsi kompleks f(z) ekuivalen dengan pasangan fungsi u ( x, y ) dan v( x, y ) yang keduanya bergantung pada dua peubah x dan y. Himpunan S disebut daerah asal (domain) dari f, ditulis Df dan f(z) disebut nilai dari f atau peta dari z oleh f. Range atau daerah hasil (jelajah) dari f ditulis Rf, yaitu himpunan f(z) untuk setiap z anggota S.
Contoh 1 : a)
w=z+1–i
b)
w = 4 + 2i
c)
w = z2 – 5z 3 z f(z) = 2z 1
d)
13
Contoh 1(a),1(b),1(c) adalah fungsi kompleks dengan domain semua titik pada bidang Z. Sedangkan contoh 1(d) adalah fungsi kompleks dengan domain semua 1 titik pada bidang Z , kecuali z = . 2 Jika z = x + iy, maka fungsi w = f(z) dapat diuraikan menjadi w = u(x,y) + iv(x,y) yang berarti Re(w) dan Im(w) masing-masing merupakan fungsi dengan dua variabel real x dan y. Apabila z = r(cos + i sin), maka w = u(r, ) + iv(r, ). Contoh 2: Tuliskan f(z) = 2z2 – i dalam bentuk u dan v ! Penyelesaian. Misal z = x + iy, maka fungsi w = f(z) = 2z2 – i = 2(x + iy )2 – i = 2(x2+2xyi-y2) – i = 2(x2-y2) + i(2xy-1). Jadi u = 2(x2-y2) dan v = 2xy-1.
Contoh 3. Jika z = r(cos + i sin), tentukan u dan v jika f(z) = z2 + i Penyelesaian. f(z) = z2 + i = [r (cos+i sin)]2 + i = r2[cos2 - sin2 + 2isin cos] + i = r2 (cos2 - sin2) + r2i sin2 + i = r2 (cos2 - sin2) +(1+r2sin2)i berarti u = r2(cos2 - sin2) dan v = 1+r2sin2) .
2.2.1 Komposisi Fungsi Diberikan fungsi f(z) dengan domain Df dan fungsi g(z) dengan domain Dg. Jika Rf Dg , maka ada fungsi komposisi (g f) (z) = g (f (z)), dengan domain Df. 14
f z
g
g f ( z) ( g f )( z)
f (z )
gf
Tidak berlaku hukum komutatif pada (g f ) (z) dan (f g)(z). Contoh 4. Misal f(z) = 3z – i dan g(z) = z2 + z –1 + i, maka ‣
Jika Rf Dg , maka (g f) (z) = g (f (z)) = g(3z – i) = (3z – i)2 + (3z – i) –1 + i = 9z2 – 6iz – 1 + 3z – i – 1 + i = 9z2 – 3z – 2 – 6iz
‣
Jika Rg Df , maka (f g) (z) = f (g (z)) = f(z2 + z –1 + i) = 3z2 + 3z – 3 + 3i – i
Karena 9z2 – 3z – 2 – 6iz ≠ 3z2 + 3z – 3 + 3i – i. Jadi
(g f) (z) (f g)(z) atau (g f) (f g) (tidak komutatif).
2.2.2. Interpretasi Geometris Untuk setiap variabel bebas z = x + iy anggota domain ada satu dan hanya satu variabel tak bebas w = u + iv yang terletak pada suatu bidang kompleks. Masing-masing variabel terletak pada suatu bidang kompleks, z pada bidang Z dan w pada bidang W. Karena pasangan (z,w) mengandung 4 dimensi, maka kita tidak dapat menggambarkannya pada satu sistem. Tetapi kita dapat melihat gambaran dari w = f(z). Caranya dengan memandang fungsi f tersebut sebagai pemetaan
15
(transformasi) dari titik di bidang Z ke titik di bidang W dengan aturan f. Untuk suatu titik z maka f(z) disebut peta dari z. Contoh 5. Diketahui fungsi w = 2z – 1 + i. Untuk setiap variabel bebas z = x + iy didapat nilai w = (2x – 1) + (2y + 1)i. Misalnya untuk z1 = 1 + i , dan z2 = 2 – 3i , berturut-turut diperoleh : w1 = 1 + 3i , dan w2 = 3 – 5i. Gambar dari z1, z2, w1 , dan w2 dapat dilihat pad gambar berikut.
V
Y bidang Z
3
1
O
w1
bidang W
z1
1
2
3
X
O
1
3
U
z2 5
w2
Contoh 6. Diketahui fungsi w = z2. Dengan menggunakan z = r (cos + i sin), maka diperoleh w = z2 = r2 (cos2 + i sin2). Jika sebuah lingkaran pusat O berjari-jari r pada bidang Z, maka dapat dipetakan ke bidang W menjadi sebuah lingkaran pusat O berjari-jari r2. Daerah 0 arg z dipetakan menjadi daerah 0 arg w 2. Gambar keduanya dapat dilihat di bawah ini.
16
bidang W
bidang Z
r2
r
2
2.3 Limit dan kekontinuan 2.3.1 Limit Fungsi Pengertian limit dan kekontinuan fungsi kompleks secara esensi sama dengan pengertian limit dan kekontinuan fungsi real.
y
y
z
. z0
x
f(z) .l
x
Suatu fungsi f(z) dikatakan mempunyai limit l untuk z mendekati z 0 jika untuk sebarang > 0 terdapat bilangan positif
sehingga untuk 0 z z0
berlaku f ( z) l dan ditulis sebagai
lim f ( z) l .
z z0
17
Perlu diperhatikan bahwa : 1. Titik zo adalah titik limit domain fungsi f. 2. Titik z menuju zo melalui sebarang lengkungan K, artinya z menuju zo dari segala arah. 3. Apabila
z
menuju
zo
melalui
dua
lengkungan
yang
berbeda,
mengakibatkan f(z) menuju dua nilai yang berbeda, maka limit fungsi f tersebut tidak ada untuk z mendekati zo. Contoh 7. Buktikan bahwa :
2 z 2 3z 2 lim 5 z 2 z 2 Bukti: Misalkan diberikan bilangan > 0, kita akan mencari > 0 sedemikian, sehingga:
0 | z 2 | |
2 z 2 3z 2 5 | , untuk z 2 z 2
Lihat bagian sebelah kanan (konsekuen) Dari persamaan kanan diperoleh:
2 z 2 3z 2 (2 z 1)( z 2) 5 5 z2 ( z 2)
(2 z 1 5)( z 2) ( z 2)
2( z 2) z2
2
Hal ini menunjukkan bahwa
2
telah diperoleh.
Bukti Formal : Jika diberikan > 0 , maka terdapat
2
, sehingga untuk z 2, diperoleh
18
2 z 2 3z 2 5| z2 (2 z 1)( z 2) | 5| ( z 2) | 2( z 2) | 2
0 | z 2 | |
Jadi |
2 z 2 3z 2 5 | z2
apabila 0 | z 2 |
2
2 z 2 3z 2 5. z 2 z 2
Terbukti lim
2.3.2 Teorema Limit Teorema 1 : Jika fungsi f mempunyai limit untuk z menuju zo , maka nilai limitnya tunggal. Bukti: Misal limitnya w1 dan w2, maka
f ( z ) w1 w1 f ( z ) f ( z ) w2
2
2
w1 f ( z ) f ( z ) w2 w1 f ( z ) f ( z ) w2
2
2
sehingga w1 w2 jadi w1 w2 Teorema 2 : Misalkan z = (x,y) = x+iy dan f(z) = u(x,y) + iv(x,y) dengan domain D. Titik z o = (xo,yo) = xo+iyo di dalam D atau batas D. Maka
lim f ( z) xo iyo
z zo
jika dan hanya jika lim u( x, y) xo z zo
dan
lim v( x, y) yo .
z zo
Teorema 3 : Misalkan fungsi f dan g limitnya ada. lim f(z) = a dan lim g(z) = b, maka
19
1. lim (f(z) + g(z)) = a + b (untuk z → zo) 2. lim (f(z) . g(z)) = a . b (untuk z → zo) 3. lim (f(z) / g(z)) = a / b (untuk z → zo) Tugas : Buktikan ketiga teorema limit tersebut ! Contoh 8. Hitunglah : lim z i
z 2 1 z i
Penyelesaian.
lim z i
z2 1 ( z i)( z i) lim z i z i z i lim ( z i) z i
2i Contoh 9. Jika f ( z)
2 xy x2 i . Buktikan x2 y 2 y 1
lim f ( z) tidak ada ! z0
Penyelesaian. Kita tunjukkan bahwa untuk z menuju 0 di sepanjang garis y = 0, maka
lim f ( z)
z 0
lim
( x,0)(0,0)
f ( z) lim x2i 0 x0
Sedangkan di sepanjang garis y = x,
lim f ( z)
z 0
lim
( x, x)(0,0)
f ( z) lim (1 x 0
x2 i) 1 x 1
Karena dari dua arah nilainya berbeda, maka terbukti
lim f ( z) tidak ada. z0
2.3.3 Kekontinuan Fungsi Definisi : Misalkan fungsi f(z) terdefinisi di D pada bidang Z dan titik zo terletak pada interior D, fungsi f(z) dikatakan kontinu di zo jika untuk z menuju zo, maka lim f(z) = f(zo). Jadi, ada tiga syarat fungsi f(z) kontinu di zo, yaitu :
20
1. f ( zo ) ada 2. lim f ( z ) ada z zo
3. lim f ( z ) f ( zo ) z zo
Fungsi f(z) dikatakan kontinu pada suatu daerah R, jika f(z) kontinu pada setiap titik pada daerah R tersebut.
Teorema 4 : Jika f(z) = u(x,y) + iv(x,y), f(z) terdefinisi di setiap titik pada daerah R, dan zo = xo+ i yo titik di dalam R, maka fungsi f(z) kontinu di zo jika dan hanya jika u(x,y) dan v(x,y) masing-masing kontinu di (xo,yo).
Teorema 5 : Andaikan f(z) dan g(z) kontinu di zo, maka masing-masing fungsi : 1. f(z) + g(z) 2. f(z) . g(z) 3. f(z) / g(z), g(z) 0 4. f(g(z)); f kontinu di g(zo), juga kontinu di zo. Contoh 10.
z2 4 , z 2i z 2 i Fungsi f(z) = , apakah kontinu di 2i 3 4 z, z 2i Penyelesaian f(2i) = 3 + 4(2i) = 3 + 4i, sedangkan untuk z mendekati 2i, lim f(z) = z + 2i,
sehingga lim f ( z ) f (2i) . Jadi f(z) diskontinu di z = 2i. z 2 i
Contoh 11. Dimanakah fungsi g ( z)
z 2 1 kontinu ? z 2 3z 2
Penyelesaian.
21
Perhatikan bahwa g(z) diskontinu di z = 1 dan z = 2. Jadi g(z) kontinu
di daerah z z 2 .
2.4. Turunan Diberikan fungsi f yang didefinisikan pada daerah D dan zo D. Jika diketahui bahwa nilai lim
z zo
f ( z ) f ( zo ) ada, maka nilai limit ini dinamakan z zo
turunan atau derivatif fungsi f di titik zo. Dinotasikan : f ’(zo) Jika f ’(zo) ada, maka f dikatakan terdiferensial atau differensiable di zo. Dengan kata lain : f ' ( zo ) lim
z 0
f ( zo z ) f ( z o ) f lim . z 0 z z
Jika f terdiferensial di semua titik anggota D, maka f dikaakan terdifferensial pada D.
Contoh 12 Buktikan f(z) = z2 terdiferensiasi pada ℂ Penyelesaian Diambil sembarang titik zo ℂ
f ' ( zo ) lim
z zo
f ( z ) f ( zo ) z zo
z 2 zo2 z zo z z o ( z zo )( z zo ) lim z zo z zo 2 zo lim
Karena zo sembarang maka f (z) = z2 terdeferensial pada ℂ.
22
Teorema 6 Jika f fungsi kompleks dan f ' (zo) ada, maka f kontinu di zo. Bukti : Diketahui f ' (zo) ada Akan dibuktikan f kontinu di zo. Perhatikan bahwa untuk setiap z z0 berlaku
f ( z ) f ( z0 )
f ( z ) f ( z0 ) ( z z0 ) ( z z0 )
sehingga diperoleh
f ( z ) f ( z0 ) lim ( f ( z ) f ( z0 )) lim ( z z0 ) z zo z zo ( z z0 ) f ( z ) f ( z0 ) lim lim ( z z0 ) z zo z zo ( z z0 ) f ' ( z0 ) 0 0
lim f ( z) lim f ( z0 ) 0
z z0
z z0
lim f ( z) f ( z0 ) 0
z z0
lim f ( z) f ( z0 )
z z0
Karena lim f ( z) f ( z0 ) maka f kontinu di zo. z z0
Sebaliknya belum tentu benar. Artinya, suatu fungsi kontinu disuatu titik tetapi ia tidak terdiferensial di titik tersebut.
Contoh 13 Buktikan f(z) = | z|2 kontinu di seluruh bidang kompleks tetapi terdifferensial hanya di z = 0.
Bukti : f(z) = | z|2 = x2 + y2
berarti u(x, y) = x2 + y2 dan v(x, y) = 0
Jelas bahwa u dan v kontinu pada ℂ, maka f(z) kontinu pada ℂ
23
f ' (0) lim
z 0
f ( z) f (0) | z |2 zz lim lim 0 z 0 z z 0 z z 0
Jadi f terdiferensial di z = 0. Untuk menunjukkan bahwa f terdiferensial hanya di z = 0, maka harus ditunjukkan f tidak terdiferensial di setiap z 0. Hal ini ditunjukkan pada Contoh 14 di bagian sesudah ini.
2.5 Syarat Chauchy-Riemann Syarat yang diperlukan agar fungsi f terdiferensial di zo = xo + i yo adalah syarat Chauchy-Riemann, yang menghubungkan derivatif-derivatif parsial tingkat pertama dari fungsi bagian real dan fungsi bagian imajiner dari f.
Teorema 7 (Syarat Chauchy-Riemann) Jika f(z) = u(x, y) + i v(x, y) terdifferensial di zo = xo + i yo, maka u(x, y) dan v(x, y) mempunyai derivatif parsial pertama di (xo, yo) dan di titik ini dipenuhi persamaan Cauchy–Riemann
u v u v dan x y y x derivatif f di zo dapat dinyatakan dengan
f ' ( z0 ) ux ( x0 , y0 ) i vx ( x0 , y0 )
Jika persamaan C-R tidak dipenuhi di (xo, yo) maka f(z) = u(x, y) + i v(x, y) tidak terdiferensial di zo = xo + i yo
Contoh 14 Buktikan f(z) = | z|2 tidak terdifferensiasi di z 0
Bukti : f(z) = | z|2 = x2 + y2 sehingga u(x, y) = x2 + y2 v(x, y) = 0
24
Diperoleh Persamaan Cauchy–Riemann
u u 2 x dan 2y x y v v 0 dan 0 x y u v 2x 0 x y
u v 2y 0 y x Dua persamaan terakhir (persamaan C-R) tidak dipenuhi jika x 0 atau y 0, Oleh karena itu f tidak terdeferensial di z 0 Catatan: Syarat C-R hanya syarat perlu untuk keterdifferensialan dan bukan menjadi syarat cukup.
Contoh 15 Diketahui fungsi f dirumuskan dengan f(z) =
x 3 (1 i) y 3 (1 i) x2 y2
dan f(0) = 0,
tidak terdifferensial di 0, memenuhi C-R
Bukti: u=
x3 y3 dengan u(0, 0) = 0 x2 y2
v
x3 y3 dengan v(0, 0) = 0 x2 y2
u ( x,0) u (0,0) 1 x0 x u (0, y) u (0,0) u y (0, 0) lim 1 y 0 y u x (0, 0) lim
25
v( x,0) v(0,0) 1 x sudah ada ralat v(0, y) v(0,0) v y (0,0) lim 1 y 0 y v x (0,0) lim
x0
Jadi persamaan Cauchy – Riemann telah dipenuhi, tetapi
f ( z) f (0) x 3 (1 i) y 3 (1 i) f ' (0) lim lim z 0 z 0 ( x 2 y 2 )( x iy ) z Didekati sepanjang garis y = 0 lim
x3 (1 i) = 1 + i. x3
Didekati sepanjang garis y = x lim
2ix 3 i . 3 1 i 2(1 i) x
x 0
x 0
Jadi lim
z 0
f ( z ) f (0) tidak ada, sehingga f tidak terdifferensial di 0 meskipun z
persamaan C-R dipenuhi di (0,0).
Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa : i. Syarat perlu f (z) = u(x, y) + iv(x, y), zo = xo + i yo
f ' (z) ada maka u x , u y , v x , v y ada di ( x0 , y0 ) dan berlaku Persamaan C-R, yaitu : u x v y dan v x u y dan f ' (z0) = ux(x0, y0) + i vx(x0, y0).
ii. Syarat cukup u(x, y), v(x, y), ux(x, y), vx(x, y), uy(x, y), vy(x, y) kontinu pada persekitaran zo = xo + i yo dan di (xo, yo) dipenuhi C-R. maka f ' (zo) ada.
Contoh 16 Buktikan f (z) = ex(cos y + i sin y) terdiferensial untuk setiap z dalam ℂ Bukti : u(x,y) = excos y
ux(x,y) = excos y uy(x,y) = -exsin y
v(x,y) = exsin y
vx(x,y) = exsin y.
26
vy(x,y) = excos y Perhatikan bahwa u x , u y , v x , v y ada dan kontinu di setiap (x,y) ℂ. Dan dipenuhi persamaan C-R : ux = vy dan uy = -vx dipenuhi di (x,y) ℂ, dan ada persekitaran dimana keenam fungsi kontinu dan C-R dipenuhi di (x,y).Jadi f’(z) ada z ℂ dan f ’(z) = ux(x, y) + i vx(x, y) = ex cos y + i ex sin y.
Syarat C-R Pada Koordinat Kutub Jika f(z) = u(x,y) + i v(x,y) dapat diilustrasikan dalam koordinat kartesius maka dengan menggunakan hubungan x = r cos dan y = r sin , diperoleh z = r cos + i sin , sehingga f(z) = u(r, ) + i v(r, ) dalam sistem koordinat kutub. Teoreama 8. Jika f(z) = u(r, ) + i v(r, ) terdiferensial dan kontinu pada suatu kitar (ro, o) dan jika dalam kitar tersebut ur, u, vr, v ada dan kontinu di (ro, o) dan dipenuhi
1 1 Persamaan C-R yaitu: u r v dan v r u , r 0 . r r maka f’(z) ada di z = zo dan f’(z) = (cos o – i sin o) [ur(ro, o) + i vr(ro, o)].
Contoh 17. Diketahui f(z) = z -3, tentukan f’(z) dalam bentuk kootdinat kutub. Penyelesaian. f(z) = z -3 = r -3 (cos 3 - i sin 3), maka : u = r -3 cos 3 , sehingga ur = -3r-4 cos 3 dan u = -3r -3 sin 3, v = -r -3 sin 3 , sehingga vr = 3r -4 sin 3 dan v = -3r-3 cos 3 keenam fungsi ini kontinu dan syarat C-R dipenuhi untuk semua z 0 Jadi f(z) = z -3 terdiferensial untuk z 0 Dengan demikian f ‘(z) dalam koordinat kutub adalah :
27
f’(z) = (cos – i sin ) (-3r-4 cos 3 + i 3r-4 sin 3) = cis(-) (-3r-4) cis(-3) = -3r-4 cis(-4).
Aturan Pendiferensialan Jika f(z), g(z) dan h(z) adalah fungsi- fungsi kompleks serta f’(z), g’(z) dan h’(z) ada, maka berlaku rumus-rumus :
1. 2. 3. 4. 5.
dc d(z) 0, 1 dz dz d cf ( z ) cf ' ( z ) dz d f ( z ) g ( z ) f ' ( z ) g ' ( z ) dx d f ( z ) g ( z ) f ' ( z ) g ( z ) f ( z ) g ' ( z ) dx d f ( z) f ' ( z) g ( z) f ( z) g ' ( z) dx g ( z ) g ( z)2
dz n 6. nz n1 dz 7. Jika h( z ) g[ f ( z )] maka h' ( z ) g '[ f ( z )] f ' ( z ) biasa disebut dengan komposisi dw dw d (aturan rantai) . . dz d dz 2.6 Fungsi Analitik Definisi Fungsi f dikatakan analitik di zo, jika ada r > 0 sedemikian, hingga f ’(z) ada untuk setiap z N(zo, r), persekitaran zo. Fungsi yang analitik untuk setiap z ℂ dinamakan fungsi utuh (entire). Contoh 18 1. f(z) = f ( z )
1 analitik kecuali di z = 0. z
2. f(z) = x3 + i y3 diperoleh : u = x3 ; v = y3 sehingga ux = 3x2 ; vx = 0 ; uy = 0 ; vy = 3y2 dengan menggunakan persamaan C – R:
28
3x2 = 3y2 y = x dan uy = – vx = 0 persamaan C – R dipenuhi dan kontinu di garis y = x berarti f ’(z) ada hanya di y = x. Jadi f(z) tidak analitik dimanapun karena untuk setiap titik anggota ℂ tidak ada persekitaran sehingga f mempunyai turunan di setiap titik anggota persekitaran tersebut.
Sifat sifat fungsi analitik Misalnya f dan g analitik pada D, maka : 1. f g merupakan fungsi analitik 2. fg merupakan fungsi analitik 3. f / g merupakan fungsi analitik dengan g 0 4. h = g ∘ f merupakan fungsi analitik 5. berlaku aturan L’hospital yaitu :
lim
z z0
f ( z) f ' ( z) , dengan g ( z ) 0 g ' ( z ) 0 g ( z) g ' ( z)
2.7. Titik Singular Definisi Titik z1 disebut titik singular dari f jika f tidak analitik di z1 tetapi untuk setiap persekitaran dari z1 memuat paling sedikit satu titik dimana f analitik. Jenis kesingularan f(z) atau titik singular antara lain:
1. Titik singular terisolasi Titik zo dinamakan titik singular terisolasi dari f(z) jika terdapat 0 demikian sehingga lingkaran | z – zo | = hanya melingkari titik singular lainnya. Jika seperti itu tidak ada, maka z = zo disebut titik singular tidak terisolasi.
2. Titik Pole (titik kutub)
29
Titik z = zo disebut titik pole tingkat n, jika berlaku lim ( z z0 ) n f ( z ) A 0 z z0
Jika n = 1, zo disebut sebagai titik pole sederhana.
3. Titik Cabang Dari fungsi bernilai banyak dapat menjadi titik singular.
4. Titik Singular dapat dihapuskan Titik singular zo disebut titik singular dapat dihapuskan dari f(z) jika
lim f(z) ada. z 0
5. Titik Singular Essensial Titik singular z = zo yang tidak memenuhi syarat titik singular pole, titik cabang atau titik singular yang dapat dihapuskan disebut titik singular essensial.
6. Titik Singular tak hingga Jika f(z) mempunyai titik singular di z = , maka sama dengan menyatakan f(1/w) mempunyai titik singular di w = 0.
Contoh 19 1. g(z) =
1 berarti titik z = i adalah titik pole tingkat 2 dari g(z). ( z 1) 2
2. h(z) = | z |2 tidak merupakan titik singular 3. k(z) = ln (z2 + z – 2) maka titik cabang adalah z1 = 1 dan z2 = –2 karena (z2 + z – 2) = (z – 1) (z + 2) = 0.
2.9 Fungsi Harmonik Jika f(z) = u(x, y) + i v(x, y) analitik pada D maka u dan v mempunyai derivatif parsial di semua orde yang kontinu pada D. Jadi dalam D berlaku C - R, ux = vy dan uy = –vx. Karena derivatif-derivatif parsial dari u dan v kontinu dalam D, maka berlaku vxy = vyx. Jika dalam ux = vy dan uy = –vx diderivatifkan parsial terhadap x dan y maka (x, y) D berlaku uxx + uyy = 0 30
vxx + vyy = 0. Jika f analitik pada D maka u dan v pada D memenuhi persamaan differensial Laplace dalam 2 dimensi.
2 f 2 f 0, x 2 y 2 u dan v dimana f(z) = u(x, y) + iv(x,y) analitik pada suatu domain maka f(z) dikatakan harmonik pada domain tersebut. Dua fungsi u dan v sedemikian sehingga f(z) = u(x, y) + iv(x, y) analitik dalam suatu domain dinamakan dua fungsi yang harmonik konjugat dalam domain itu.
Contoh 20 Diberikan u(x, y) harmonik pada D dan tentukan fungsi v yang harmonik konjugat dengan u = 4xy3 – 4x3y, (x, y) ℂ Penyelesaian: Misal konjugatnya adalah v(x, y). Jadi f(z) = u(x, y) + iv(x, y) analitik pada ℂ sedemikian sehingga berlaku C – R ux = vy dan uy = – vx . ux = 4y3 – 12x2y , vy = 4y3 – 12x2y uy= 12xy2 – 4x3,
v = y4 – 6x2y2 + g(x)
karena vx = –uy maka –12xy2 + g ' ( x ) = –12xy2 + 4x3 sehingga g ' ( x ) = 4x3 diperoleh g(x) = x4 + C Jadi v = y4 – 6x2y2 + x4 + C. Soal latihan: 1. Nyatakan hubungan/ implikasi antara fungsi seluruh (entire), fungsi analitik, fungsi diferensiabel, dan fungsi kontinu. 2. Diberikan f ( z ) xy ixy . a. Apakah f merupakan fungsi seluruh. b. Jika bukan fungsi seluruh, apakah f analitik di suatu titik.
31
c. Jika tidak analitik di suatu titik, apakah ada titik yang menyebabkan fungsi f terdiferensial di titik tersebut. 3. Diberikan u( x, y) 2x x3 kxy 2 a. Tentukan k agar u ( x, y ) merupakan fungsi harmonik b. Tentukan fungsi analitik f ( x, y) u ( x, y) i( x, y ) . 4. Tunjukkan bahwa u x 3 3xy 2 3x 2 3 y 2 1 merupakan fungsi harmonik dan tentukan fungsi analitik u + iv yang sesuai.
32
