BAB 4. INTEGRAL KOMPLEKS 4.1 Integral Garis Kompleks Misalkan z (t ) : D C adalah fungsi kompleks dengan domain riil b
z (t )dt , dimana z(t ) x(t ) iy(t ) dapat dengan mudah
D [a, b] , maka integral
a
dihitung, yaitu
b
b
b
a
a
a
z (t )dt = x(t )dt i y(t )dt . Sebagai
1
contoh [(t 1) it 2 ]dt 0
3 i . 2 3 b
Masalah kita adalah bagaimana menghitung
f ( z )dz , dimana fungsi
f :DC
a
dengan D C . Misalkan f (z) fungsi kompleks pada sub himpunan dari himpunan bilangan kompleks dan C lintasan yang dinyatakan dengan z (t ) x(t ) iy (t ) , t , b
maka pendefinisian dari
f ( z )dz sama dengan pendefinisian pada integral fungsi a
riil pada suatu interval.
b = zn z1
z2
z n1
z0 a
36
Misal P menyatakan partisi pada lintasan terbuka C, yaitu P {a z 0 , z1 ,..., z n b} dan z k* [ z k 1 , z k ], k 1,2,..., n , maka jumlah Riemann
yang bersesuaian dengan partisi P adalah n
S ( P ) f ( z k* )z k , dengan z k z k z k 1 . k 1
Jika terdapat bilangan kompleks L sedemikian sehingga untuk sebarang bilangan
0 terdapat sebuah partisi P dari lintasan C sehingga berlaku S ( P) L ,
maka fungsi f(z) dikatakan terintegral pada lintasan C dengan nilai integralnya adalah L. Dengan kata lain lim S ( P ) L .
n
Nilai limit ini dinamakan integral garis f(z) sepanjang kurva C, ditulis
f ( z)dz L . Jika C tertutup biasa ditulis dengan f ( z)dz . C
C
Sifat-sifat integral kompleks : 1. Linier, yaitu
[k1 f ( z) k2 g ( z)]dz k1 f ( z)dz k2 g ( z)dz C
C
C
2. Jika C terdiri dari dua bagian kurva C1 dan C2 maka,
f ( z )dz f ( z)dz f ( z)dz . C
C1
C2
3. Jika z 0 dan z1 adalah ujung-ujung lintasan, maka z1
z0
z0
z1
f ( z)dz f ( z)dz
4. Jika f(z) terbatas, f ( z ) M dengan M bilangan positif, maka
f ( z)dz C
f ( z ) dz ML dengan L adalah panjang kurva.
C
37
4.2 Menghitung integral kompleks Integral bergantung lintasan Misalkan z (t ) : [ , ] C . Lintasan C dapat dipartisi dengan mempartisi inteval
[ , ] menjadi n buah sub interval t0 t1 ... tn . Dengan demikian {a z ( ), z (t1 ), z (t 2 ),..., z ( ) b} merupakan partisi dari lintasan C. Jumlah
Riemann yang bersesuaian dengan lintasan C adalah n
S ( P) f ( z (t k* ))( z (t k ) z (t k 1 )) k 1
yang dapat ditulis dalam bentuk n
S ( P) f ( z (t k* )) k 1
( z (t k ) z (t k 1 )) (t k t k 1 ) . t k t k 1
Untuk n diperoleh n
f ( z (t k* )) n
lim S ( P) lim
n
k 1
( z (t k ) z (t k 1 )) (t k t k 1 ) t k t k 1
f ( z (t )) z' (t )dt
Jadi integral f(z) pada lintasan C dapat dinyatakan dengan
f ( z )dz C
f ( z (t )) z ' (t )dt .
Untuk menghitung integral lintasan di atas dilakukan cara sebagai berikut : 1. Nyatakan lintasan C dalam z (t ) x(t ) iy (t ) , t 2. Cari turunan, z’(t). 3. Substitusikan z(t) ke dalam f(z). 4. Integralkan.
Contoh 1. Tentukan
f ( z)dz jika
f ( z ) ( x y) iy dari z = 0 ke z = 1 + i , jika
C
C adalah : a. Garis lurus yang menghubungkan z = 0 ke z = 1 + i.
38
b. Parabola y x 2 . c. Ruas garis dari z = 0 ke z = 1 , kemudian dari z = 1 ke z = 1 + i.
Penyelesaian.
a. Dalam kasus ini lintasan C adalah z (t ) t it , 0 t 1 dan z ' (t ) 1 i . Dengan demikian integral menjadi
1
f ( z )dz f (t it )(1 i )dt
C
0
1
[2t it ](1 i )dt 0 1
[t i3t ]dt 0
1 3 i. 2 2
b. Dalam kasus ini lintasan C adalah z (t ) t it 2 , 0 t 1 , z ' (t ) 1 2ti , dan f ( z (t )) (t t 2 ) it 2 . Dengan demikian integral
menjadi 1
f ( z )dz [(t t C
2
) it 2 ](1 2ti )dt
0 1
[t i (t 2t 2 )dt 0
1 3 i. 3 2
39
c. Dalam kasus ini lintasan C terdiri dua bagian , katakan C1 : z(t) = t,
0 t 1 dan C2 : z (t ) 1 it , 0 t 1 . Pada C1 , z ' (t ) 1, dan f ( z (t )) t . Dengan demikian integral menjadi 1
1
f ( z)dz tdt 2 .
C1
0
Pada C 2 , z ' (t ) i , dan f ( z (t )) (t it ) . Dengan demikian integral menjadi 1
1 1 C f ( z)dz 0 (t it )dt 2 2 i. 2 Jadi
1
f ( z)dz f ( z)dz f ( z)dz 2 i.
C
C1
C2
Selanjutnya misalkan ingin ditentukan batas atas nilai mutlak integral, maka perlu dicari bilangan M sehingga
f ( z ) M untuk semua z C dan panjang lintasan
L. Misalkan untuk C pada kasus (a) kita punyai dan L 2 sehingga
f ( z)dz C
f ( z ) dz 10 .
C
Dari contoh 1 di atas terlihat bahwa nilai integral akan berbeda untuk lintasan yang berbeda.
Integral bebas lintasan Terdapat suatu keadaan khusus, bahwa integral lintasan tidak bergantung terhadap bentuk lintasannya, artinya nilai integral akan sama walaupun lintasanya berbeda asalkan ujung-ujungnya sama. Dalam hal ini integral dikatakan bebas lintasan, yang akan dijelaskan sebagai berikut.
40
Misalkan D merupakan sub himpunan dari himpunana bilangan riel dan fungsi z (t ) : D C terdiferensial di t. Selanjutnya misalkan fungsi g ( z ) u( x, y) iv( x, y) terdiferensial di z(t).
Selanjutnya perhatikan bahwa g ( z (t )) u( x(t ), y(t )) iv( x(t ), y(t ))
dan d [ g ( z (t ))] du dx du dy dv dx dv dy . i dt dx dt dy dt dx dt dy dt
Dengan menerapkan persamaan Cauchy Riemann, diperoleh d [ g ( z (t ))] du dx dv dy dv dx du dy i dt dx dt dx dt dx dt dy dt dv dx dy du i i dx dt dt dx g ' ( z (t )) z ' (t ).
Kenyataan di atas dapat digunakan untuk menghitung integral lintasan sebagai berikut. Misalkan F : D C dengan F ' ( z ) f ( z ) di D. Misalkan juga a dan b di dalam D dan C D kontur/lintasan dari a ke b. Maka
f ( z )dz f ( z (t )) z ' (t )dt, dimana z(t ) : [ , ] C , C
z (t ) x(t ) iy (t ) merupakan representasi lintasan C. Telah diketahui bahwa d F ( z (t )) F ' ( z (t )) z ' (t ) f ( z (t )) z ' (t ) , sehingga dt
d
f ( z )dz f ( z (t )) z ' (t )dt dt F ( z (t ))dt
C
= F ( z ( )) F ( z ( )) = F (b) F (a) .
Perhatikan bahwa integral hanya bergantung pada titik a dab b dan tidak peduli pada bentuk lintasan C. Integral ini dinamakan integral bebas lintasan (path
41
independent). Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa integral suatu fungsi analitik untuk suatu litasan C di dalam pada domain terhubung sederhana D dari titik a ke titik b adalah
f ( z)dz F (b) F (a) C
dengan F ' ( z ) f ( z ) untuk z di D. Dengan demikian jika C adalah lintasan tertutup maka
f ( z)dz 0 . C
Contoh 2. Tentukan
z
2
dz , jika C adalah kurva y x 2 dari z = 1 + i ke z = 2 + 4i.
C
Penyelesaian. Kita tahu bahwa f ( z ) z 2 adalah fungsi seluruh, jadi analitik untuk semua z dan F ( z )
1 3 z . Jadi 3
z C
2
dz
1 (2 4i ) 3 (1 i ) 3 3
14 18i . 3
Soal latihan : Tentukan
f ( z)dz jika C
1. f ( z ) y x 3ix 2 , C garis dari 0 ke 1 + i 2. f ( z ) z , C parabola y x 2 dari 0 ke 1 + i. 3. f ( z )
1 , C lingkaran jari-jari 2 pusat 0 arah positif (berlawanan z
arah jarum jam). 4. f ( z ) z 2 z , C lintasan dari 0 ke 1 kemudian dari 1 ke 1+ 2i. 5. f ( z )
z2 , C lingkaran jari-jari 2 pusat 0 arah positif. z
42
2
6. f ( z ) ze z , C garis dari 0 ke 1 + i 7. f ( z ) z 3 2 z 2 5 z 1 , C parabola y x 2 dari 0 ke 1 + i. 8. f ( z ) cos z , C setengah lingkaran z dari z i ke z i . 9. f ( z ) z sin z , C sebarang lintasan dari z = 0 ke z i . 10. f ( z ) sin 2 z , C setengah lingkaran z dari z i ke z i .
4.3 Teorema Cauchy - Goursat
Pada bagian sebelumnya telah dibahas bahwa integral garis fungsi kompleks f(z) bergantung pada ujung-ujung dan bentuk lintasannya. Tetapi jika f(z) analitik maka pada domain terhubung sederhana D maka integral tidak akan bergantung pada bentuk lintasannya dan nilainya nol jika lintasannya tertutup. Pada bagian ini akan dibahas untuk lintasan tertutup. Integral pada lintasan tertutup sederhana sering disebut dengan integral kontur. Ada beberapa definisi yang akan sering digunakan dalam pembahsan ini. -
Lintasan tertutup sederhana, adalah lintasan yang tidak memotong atau menyinggung dirinya sendiri (gambar 1)
(a)
(b)
(c)
Gambar 1. Lintasan tertutup, (a) sederhana, (b) sederhana, (c) tidak sederhana
-
Domain terhubung sederhana, adalah jika setiap lintasan tertutup sederhana dalam domain tersebut melingkungi hanya titik-titik dalam domain. Sedangkan domain yang lainnya disebut domain terhubung berganda (Gambar 2)
43
(a)
(b)
(c)
Gambar 2. Domain terhubung, (a) sederhana, (b) ganda dua, (c) ganda tiga
Teorema Cauchy-Goursat Jika f(z) analitik di dalam suatu domain terhubung sederhana D, maka untuk setiap lintasan tertutup sederhana di dalam D berlaku
f ( z)dz 0 . C
C
D
Gambar 3. lintasan tertutup sederhana C di dalam D
Dengan kata lain integral kontur fungsi kompleks tidak tergantung lintasan yang dilewatinya. Contoh 3.
f ( z)dz 0 untuk sebarang lintasan tertutup C jika
f (z) adalah fungsi
C
seluruh, misal f (z) = sin z, f (z) = e z . Contoh 4. Tentukan
f ( z)dz jika C
f ( z)
1 z 4 2
dan C linngkaran satuan arah
positif. Penyelesaian.
44
Titik singular dari f ( z)
1 z2 4
f ( z)
1
adalah z 2i terletak di luar C. Jadi
z 4 2
analitik pada dan di dalam C, sehingga
f ( z)dz 0 . C
Teorema Cauchy-Goursat pada domain berganda Sebuah anulus adalah daerah cincin, termasuk domain terhubung ganda dua, terdiri dari dua kurva tertutup, C dan K( Gambar 4a). Jika arah kontur dibalik, hasil integral akan menjadi negatifnya. Untuk kurva tertutup arah positif adalah arah yang menyebabkan daerah integrasi berada di sebelah kiri lintasan integrasi. Itulah sebabnya arah lintasan integrasi haruslah ditentukan pada integral kontur fungsi kompleks. C
K
(a)
(b)
Gambar 4. Lintasan integrasi ganda dua
Integrasi menyusuri kurva batas daerah anulus ini dapat dipecah menjadi 4 integral dengan kontur masing-masing C’, 1, 2, dan –K’ (+K’ didefinisikan searah dengan C). Kontur C’ adalah kontur C setelah terbelah oleh celah lintasan 1 dan 2 yang masuk dan keluar di antara C dan K. Demikian pula kontur K’ adalah kontur K sesudah diberi celah tersebut di atas (Gambar 4). Celah harus dibuat sedemikian kecil agar C’C dan K’ K. Nilai integral ini adalah
f ( z)dz f ( z)dz f ( z)dz f ( z)dz f ( z)dz C
C'
1
K '
2
45
Jika diamati jelaslah bahwa 1 = - 2 sehingga kedua integralnya saling menghilangkan.Untuk f(z) yang bersifat analitik di daerah anulus ini berlaku teorema Cauchy-Goursat :
f ( z)dz f ( z)dz f ( z)dz 0 . C
K '
C'
Karena C’C dan K’ K ,maka diperoleh
f ( z)dz f ( z)dz . C
K
(Dalam hal ini perhatikan bahwa lintasan C dan K memiliki arah yang sama).
Jadi di dalam daerah analitiknya, kontur tertutup integral kompleks boleh mengecil tanpa mengubah nilai integral itu sendiri. Sifat ini dapat diperluas pengertiannya jika anulusnya memiliki banyak lubang, katakanlah lubang K1, K2, ... , Kn (Domain berganda n), sehingga diperoleh
f ( z)dz f ( z)dz f ( z)dz ... f ( z)dz. C
Contoh. Hitunglah
K1
K2
Kn
z 3
z 2 z dz , dengan C lingkaran pusat 0, berjari-jari 3 arah
C
positif. Penyelesaian. Perhatikan bahwa fungsi f ( z )
z 3 z z 2
3 2 tidak analitik di z = 0 z z 1
dan z = 1. Kedua titik tersebut ”dibuang” dengan membentuk lingkaran dengan pusat di titik tersebut (gambar 5).
C
K1
K2 -1
0
46
Gambar 5.
Dengan demikian f(z) analitik di dalam domain yang dibatasi oleh C, K1, K2 sehingga diperoleh z3
3
2
3
2
z 2 z dz z z 1 dz z z 1 dz
C
K1
=
K2
3
2
3
2
z dz z 1dz z dz z 1
K1
K1
K2
.
K2
Menurut teorema Cauchy – Goursat maka integral suku pertama dan keempat di ruas kanan adalah nol. Sehingga diperoleh
z 3
z 2 z dz 4i 6i 2i .
C
Soal Latihan 1. Buktikan teorema Cauchy-Goursat. 2. Misalkan C daerah persegi dengan titik –titik sudut x 10, y 10 arah positif. Tentukan
1
z dz.
C
3. Tentukan
1
z 1 dz , dengan C sebarang lingkaran berpusat di z =
1 arah
C
positif. 4. Tentukan
1
z 1 dz , dengan C sebarang lingkaran berpusat di z = – 1 arah
C
positif. 5.
Tentukan
1
z 2 1 dz , dengan C ellips 4 x
2
y 2 36 arah positif.
C
6. Tentukan
1
z 2 1 dz , dengan C lingkaran
x 2 10 x y 2 0 arah positif.
C
47
7. Tentukan
7z 2
( z 1)( z 2) dz , dengan C lingkaran
z
C
3 arah positif. 2
4.4 Rumus integral Cauchy Misalkan fungsi f(z) analitik di dalam suatu daerah yang memuat lintasan tertutup sederhana C arah positif, dan misalkan z0 titik interior C. Karena f analitik maka f kontinu di z0 sehingga untuk setiap bilangan positif
0 terdapat 0 sehingga jika z z0 maka f ( z ) f ( z0 ) . Misalkan 0 sedemikian sehingga dan lingkaran K {z : z z0 } berada di dalam C. C
K z0
Gambar 5. Integral Cauchy
Fungsi
f ( z) analitik di daerah antara C dan K. Maka menurut teorema Cauchy z z0
f ( z)
f ( z)
z z0 dz z z0 dz .
C
K
Perhatikan bahwa
K
f ( z) dz lim 0 z z0
2
0
f ( z0 eit ) it ie dt eit 2
= if ( z0 ) dt 0
= 2if ( z0 ) .
48
Jadi
f ( z)
f ( z)
z z0 dz z z0 dz = 2if ( z0 ) .
C
K
atau
f ( z)
z z0 dz 2if ( z0 )
C
atau f ( z0 ) =
1 f ( z) dz . 2i C z z0
yang biasa disebut Rumus Integral Cauchy.
Contoh 6.
2z
( z 1)( z 4) dz , Jika C :
Tentukan
z 2 arah positif.
C
Penyelesaian. Perhatikan bahwa integran tidak analitik di z = 1 dan di z = – 4. Dari kedua titik ini, yang berada di dalam C adalah z = 1. Jadi z = 1 merupakan titik interior dari C, sehingga integran dapat ditulis dengan f ( z )
f ( z) z 1
2z . z4
Sekarang fungsi f(z) ini analitik pada dan di dalam lintasan C, sehingga dengan menggunakan rumus integral Cauchy, diperoleh
2z
f ( z)
4
( z 1)( z 4) dz = z 1 dz 2if (1) 5 i.
C
C
Turunan fungsi analitik Secara umum, jika z0 adalah titik interior pada C maka bentuk integral Cauchy menjadi f ( z0 ) =
1 f ( z) dz dengan z di dalam C. 2i C z z0
49
Selanjutnya rumus tersebut dapat diperumum dengan mencari turunannya hingga tingkat ke-n. Dalam rumus integral Cauchy, turunan fungsi f di titik z0 adalah
f ' ( z0 )
1 f ( z) dz . (tunjukkan!) 2i C ( z z0 )2
Turunan keduanya adalah
2! f ( z) dz . 2i C ( z z0 )3
f ' ' ( z0 )
Hingga diperoleh turunan ke-n adalah
f ( n) ( z0 )
n! f ( z) dz . 2i C ( z z0 )n 1
Yang biasa ditulis dalam bentuk
f ( z)
(z z
C
0)
n 1
dz
2i ( n) f ( z0 ) . n!
Uraian di atas dapat dnyatakan dalam teorema berikut
Teorema. Jika f(z) analitik pada dan di dalam suatu kurva tertutup sederhana C, maka
f ( n) ( z0 ) ada untuk setiap bilangan bulat n, dan dinyatakan dalam rumus f ( n) ( z0 )
n! f ( z) dz . 2i C ( z z0 )n 1
Hal ini mengakibatkan jika suatu fungsi analitik di suatu titik maka turunan untuk semua tingkatnya , f’, f’’, ... , juga analitik di titik tersebut.
Contoh 7. Tentukan
z3 3
( z 2)3 dz , jika
C : z 3 arah positif.
C
Penyelesaian. Dalam hal ini f ( z ) z 3 3 , z0 = 2, dan n = 2. Dengan menggunakan rumus integral Cauchy yang telah diperumum, diperoleh,
50
z3 3
( z 2)3 dz =
C
2i f ' ' (2) = 12 i. 2
Contoh 8. Tentukan
cos z
( z i)
2
dz , untuk sembarang kontur yang melingkungi titik i
C
(berlawanan arah jarum jam). Penyelesaian Dalam hal ini f ( z ) cos z , z0 = i, dan n = 1. Dengan menggunakan rumus integral Cauchy yang telah diperumum, diperoleh, cos z
( z i)
2
C
dz =
2 i f ' ( i ) = –2 i sin i = 2 sinh 1!
Contoh 9 Tentukan
z 4 3z 2 6 ( z i)3 dz , untuk sembarang kontur yang melingkungi titik –i C
(berlawanan arah jarum jam). Penyelesaian Dalam hal ini f ( z ) z 4 3z 2 6 , z0 = –i, dan n = 2. Diperoleh,
z 4 3z 2 6 ( z i)3 dz = –18 i C
Contoh 10 Tentukan
ez ( z 1)2 ( z 2 4) dz , untuk sembarang kontur yang melingkungi 1, C
tetapi tidak melingkungi 2i (berlawanan arah jarum jam).
Penyelesaian Dalam hal ini f ( z )
ez , z0 = 1, dan n = 1. z2 4
51
Diperoleh,
ez 6 e C ( z 1)2 ( z 2 4) dz = 25 i
Teorema Morera Jika f(z) kontinu di dalam suatu domain D yang terhubung sederhana dan
f ( z) dz 0 C
untuk setiap lintasan tertutup dalam D, maka f(z) analitik di dalam D. Giacinto Morera (1856-1909), matematikawan Itali yang bekerja di Genoa dan Turin
Misalkan C suatu lingkaran dengan jari-jari r dan berpusat di z0 . Jika f ( z ) M di C, maka f ( n ) ( z0 )
n! 2
f ( z)
(z z )
C
n 1
dz
0
n! 1 M n 1 2 r . 2 r
atau f ( n ) ( z0 )
n! M r
(Ketidaksamaan Cauchy).
Untuk mengenali pentingnya ketidaksamaan ini, marilah kita terapkan untuk membuktikan teorema tentang fungsi menyeluruh berikut.
Teorema Liouville Jika nilai mutlak suatu fungsi menyeluruh f(z) terbatas untuk semua z maka f(z) konstan.
Bukti:
52
Menurut asumsi f (z ) terbatas, misalkan f ( z ) K untuk semua z. Berdasarkan Ketidaksamaan Cauchy f ' ( z )
K . Karena ini berlaku untuk semua r, maka r
dapat diambil r sangat besar sehingga f ' ( z ) 0 . Oleh karenanya f(z) konstan.
Soal Latihan 1. Hitunglah
g ( z)dz , jika C
sin z
a. g ( z )
z 3z 2 2
b. g ( z )
z ( z 2 9) 2
, C : z 1 arah positif
,C : z 2 2 .
2z2 z 2 c. g ( z ) ,C : z 3 . z2
2. Hitunglah
z
( z 2 4) dz , jika C seperti pada gambar berikut.
C
(a)
(b)
3. Jika C adalah kontur tertutup dalam arah positif dan g ( z0 )
2z2 2
(z z
C
2 0)
dz .
Hitunglah g ( z0 ) jika (a). z0 di dalam C dan (b). z0 di luar C 4. Jika a bilangan ral positif, hitung integral
ez
z 2 a 2 dz
dalam arah positif,
C
jika
53
a. C : z 2a
b. C : z ai a .
54
