1. Bilangan Kompleks
BILANGAN KOMPLEKS Sistem bilangan yang yang sudah dikenal sebelumnya sebelumnya yaitu sistem bilangan real, tetapi sistem sistem bilangan bilangan real ternyata masih belum cukup untuk menyelesaikan menyelesaikan semua bentuk bentuk persam persamaan aan.. Oleh Oleh karena karena itu, itu, perlu perlu suatu suatu jenis jenis bilang bilangan an baru yang yang disebu disebutt bilang bilangan an kompleks. kompleks.
Pengert Pengertian ian bilangan bilangan kompleks, kompleks, bidang kompleks kompleks dan sifat aljabar bilangan bilangan
komp komple leks ks yang yang diur diurai aika kan n dala dalam m bab bab ini ini diha dihara rapk pkan an dapa dapatt menj menjad adii dasa dasarr untu untuk k mempelajari mempelajari bab-bab bab-bab selanjutnya. selanjutnya. Oleh karena karena itu, setelah membaca membaca Bab I, mahasiswa mahasiswa diharapkan dapat
mengerti definisi bilangan kompleks.
mengerti sifat aljabar dan tafsiran geometri bilangan kompleks.
menuliskan bilangan kompleks dalam bentuk kutub, eksponen, pangkat dan akar.
1.1 Pengertian Pengertian Bilangan Bilangan Kompleks Kompleks engapa perlu bilangan kompleks !
• •
x 2
x ∈ ℜ
−1 = 0 mempunyai penyelesaian dengan
x 2
.
+ 1 = 0 ⇔ x 2 = −1
x ∈ ℜ tidak mempunyai penyelesaian jika
.
x 2 Sehi Sehing ngga ga
perl perlu u
meng mengid iden enti tifi fika kasi si
suat suatu u
bila bilang ngan an
+1 = 0
sehi sehing ngga ga
mempunyai
penyel penyelesa esaian ian.. Selanj Selanjutn utnya ya perlu perlu dikemb dikembang angkan kan suatu suatu sistem sistem bilang bilangan an yaitu yaitu bilang bilangan an kompleks.
Defnisi Bilangan Kompleks
Bilangan kompleks z " "
•
merupakan pasangan berurut
•
.
meru merupa paka kan n
x , x , y ∈ ℜ
.
i
x + iy
bila bilang ngan an yang yang berb berben entu tuk k
= ( 0,1) = − 1
dan z = x + iy #itulis "
$ika
dengan
z = ( x, y ) #itulis "
z = ( x, y )
x , x , y ∈ ℜ
( x, y )
. .
= x + iy maka
1
dengan
1. Bilangan Kompleks
x = Re ( z ) % bagian riil z ,
y
= Im ( z ) % bagian imajiner z ,
= −1
i2
i % satuan imajiner dan
.
&da beberapa hal yang perlu diperhatikan dalam bilangan kompleks yaitu C
'.
% himpunan bilangan kompleks
z z = x + iy , x, y ∈ ℜ & i 2
= −1
%
.
Re ( z )
=0
(. $ika
Im ( z )
≠0 maka z dinamakan bilangan imajiner murni.
dan
Re ( z )
≠0
). $ika
Im ( z )
=0 maka z merupakan merupakan bilangan riil.
dan
*. +esam +esamaan aan bilang bilangan an komp komplek leks. s.
z 1
= x1 + iy1
isalkan
z 1
z 2
= x 2 + iy 2
dan
.
= z 2
x1
= x2
jika dan hanya jika
Contoh 1
y1
= y2
dan
.
z = 10 − 2i a.
= 10
Re ( z )
Im ( z )
= −2
dan
.
z = −i b.
Re ( z )
=0
Im ( z )
= −1
dan
. □□
1.2 Bidang Kompleks
( x, y ) Bilang Bilangan an komple kompleks ks merupa merupakan kan pasang pasangan an berurut berurut
, sehing sehingga ga secara secara geomet geometri ri
( x, y ) dapat disajikan disajikan sebagai sebagai titik sumbu
riil
dan
sumbu y
pada bidang kompleks kompleks bidang bidang xy , , dengan dengan sumbu sumbu x sum sumbu bu
imaj imajin inai air r..
2
Sela Selain in
itu, itu,
bila bilang ngan an
komp komple leks ks
1. Bilangan Kompleks
z = x + iy
= ( x, y ) juga dapat disajikan sebagai ektor dalam bidang kompleks dengan titik
( x, y ) pangkal pada titik asal dan ujung ektor merupakan titik
.
y sumbu imajinair z = ( x, y ) = x + iy /
x sumbu riil
O 0ambar '. Bidang kompleks
1.3 Operasi Ala!ar Operasi aljabar pada bilangan kompleks sesuai dengan operasi aljabar pada bilangan riil.
Operasi Aljabar pada bilangan kompleks
z 1
= x1 + iy1
isalkan
a.
z 2 dan
b. c.
z 1 + z 2
= ( x1 + x 2 ) + i ( y1 + y 2 )
z 1 − z 2
= ( x1 − x 2 ) + i ( y1 − y 2 )
Pengurangan " Perkalian "
d.
= ( x1 + iy1 ) ( x 2 + iy 2 ) = ( x1 x 2 − y1 y 2 ) + i ( x1 y 2 + x 2 y1 )
Pembagian "
z 1 z 2
= z 1 z 2−1 =
+ y1 y 2 +i 2 2 x 2 + y 2
x1 x 2
Perlu diperhatikan "
− z negatif z .
z = x + iy $ika
z −1 (.
.
Penjumlahan "
z 1 z 2
'.
= x 2 + iy 2
− z = − x − iy maka
.
=1
z kebalikan z
3
x 2 y1 − x1 y 2 x 2
2
+ y 2
2
, z 2
≠0
1. Bilangan Kompleks
z −1
z = x + iy $ika
Siat Operasi Aljabar
=
x x 2
+ y 2
−i
y x 2
+ y 2
maka
.
a. 1ukum komutatif
z 1 + z 2 z 1 z 2
= z 2 + z 1
= z 2 z 1
b. 1ukum asosiatif
( z 1 + z 2 ) + z 3 = z 1 + ( z 2 + z 3 ) ( z 1 z 2 ) z 3 = z 1 ( z 2 z 3 ) c. 1ukum distributif
z 1 ( z 2
+ z 3 ) = z 1 z 2 + z 1 z 3 0 = 0+0i
d. 2lemen netral dalam penjumlahan
z + 0 = 0 + z = z 1 =1+ 0 i e. 2lemen netral dalam perkalian
z .1 = 1. z = z
1." Mod#l#s dan Bilangan Kompleks Seka$an Penyajian bilangan kompleks sebagai ektor dapat digunakan untuk mengembangkan konsep nilai mutlak bilangan riil pada bilangan kompleks.
Defnisi modulus (nilai mutlak)
•
z = x + iy odulus nilai mutlak
x 2
didefinisikan sebagai
+ y 2
bilangan riil non negatif
x 2
z
odulus z %
dan ditulis sebagai
%
.
( x, y )
z Secara geometri,
+ y 2
menyatakan jarak antara titik
4
dan titik asal.
1. Bilangan Kompleks
z 1
= x1 + iy1
isalkan
z 1
= x 2 + iy 2
z 2 dan
z 2
z 1 . $arak antara
dan
didefinisikan dengan
− z 2 = ( x1 − x2 ) 2 + ( y1 − y 2 ) 2 .
z − z 0
= R menyatakan bilangan kompleks z yang bersesuaian
Selanjutnya, persamaan
z 0 dengan titik-titik pada lingkaran dengan pusat
Defnisi bilangan kompleks sekaan
dan jari-jari R.
z = x + iy
•
Bilangan
kompleks
sekawan
dari
z = x − iy didefinisikan sebagai bilangan kompleks
.
z = x − iy Secara geometri, bilangan kompleks sekawan
( x − , y ) dinyatakan dengan titik
( x, y ) dan merupakan pencerminan titik
Contoh !
3 − 4i
=
32
terhadap sumbu riil.
+ (−4) 2 = 5
a.
.
z + 3 − 3i
=2
b.
z 0 menyatakan lingkaran dengan pusat
R
=2
dan jari-jari
.
z = 3 − 4 i c. $ika
Siat "odulus dan Bilangan Kompleks Sekaan
z = 3 + 4 i maka
. □□
=
z 1
e ( z )
≤
Re ( z )
≤
z
m ( z )
≤
Im ( z )
≤
z
z 1 z 2
z 1 z 2
=
z 2
z 1 z 2
5
= ( 3,−3)
1. Bilangan Kompleks
= z =
z
z
1
+ z 2 = z 1 + z 2
1
− z 2 = z 1 − z 2
z
1 2
= z 1
z 2
z 1 = z 2 z 2 z 1
e ( z )
=
z + z
Im ( z )
=
z − z
2
2i
, z = z
2
z 1 + z 2
≤
z 1
++
z n
+
z 2
Pertidaksamaan Segitiga :
z 1
+ z 2 ≥
z 1
−
z 2
z 1
− z 2 ≥
z 1
−
z 2
z 1 + z 2
+ + z n ≤
z 1
+
z 2
.
1.% Bent#k K#t#!
Bentuk kutub bilangan kompleks
z = x + iy Bilangan kompleks
( r ,θ ) kutub
z = x + iy
.
isalkan
dapat disajikan dalam koordinat y = r sin θ x = r cosθ dan maka
dapat dinyatakan dalam bentuk kutub
z = r cos θ + i r sin θ = r ( cos θ + i sin θ )
= r cisθ
6
1. Bilangan Kompleks
dengan z
r % modulus nilai mutlak % arg z θ % argumen dari z % y arc tg , x ≠ 0 x % .
y
x 2
z
+ y 2
%
.
/ z % x+ iy
r θ
x
2π Nilai argumen dari z (arg z ) tidak tunggal tetapi merupakan kelipatan
(sesuai dengan
arg z kuadran dimana titik z berada). Sedangkan, nilai utama ( principal value) dari
ditulis
− π < Arg z ≤ π
Arg z dengan
adalah tunggal.
arg z = Arg z + 2nπ , n = 0,
± 1, ± 2,
Jelas,
. Perlu diperhatikan bahwa :
z = r ( cos θ − i sin θ )
z = r ( cosθ + i sin θ )
= r cis ( − θ )
= r cisθ
arg z = −θ
arg z = θ
Operasi aljabar bentuk kutub dan siat argumen
z 1
= r 1 ( cosθ 1 + i sin θ 1 )
Misalkan
z 2 dan
r 1
= z 1 , r 2 = z 2 , arg z 1 = θ 1 , arg z 2 = θ 2
dengan Perkalian a.
z 1 z 2
.
= r 1r 2 cis (θ 1 + θ 2 ) = z 1 z 2 cis (θ 1 + θ 2 )
arg z 1 z 2
= arg z 1 + arg z 2 .
( z 2 ≠ 0) b.
= r 2 ( cosθ 2 + i sin θ 2 )
Pembagian
7
1. Bilangan Kompleks
z 1
=
z 2
r 1 r 2
cis(θ 1
− θ 2 ) =
z 1 z 2
cis(θ 1
− θ 2 ) .
arg
z 1 z 2
= arg z 1 − arg z 2 .
z = r e
c.
Iners sebarang bilangan k!mpleks 1 1 z −1 = = cis( − θ ) z r . 1 arg = − arg z z .
z =
Contoh #
i θ "aitu
(1 + i) (1 + i 3 )
−1+ i
z
#iketahui
. $entukan bentuk kutub dari z dan
.
Penyelesaian :
Menggunakan si%at argumen diper!leh :
( 2 cis z =
π
4
) (2 cis
2 cis
π
3
)
3π
π π 3π π = 2 cis + − = 2 cis − 4 3 4 6
4 .
π 6
z = 2 cis
. □□
z = r ( cosθ + i sin θ )
z = x + iy Selain dalam bentuk umum
dan bentuk kutub
, bilangan
z k!mpleks
Bentuk ekspon en
&uga dapat din"atakan dalam bentuk eksp!nen.
z = x + iy 'entuk eksp!nen bilangan k!mpleks
z = r e
e dengan
i θ
"aitu
i θ
= cos θ + i sin θ dinamakan
8
rumus $uler.
1. Bilangan Kompleks
Operas i aljabar bentuk ekspon en
z 1
= r 1 e i θ 1
z 2
Misalkan
= r 2 e i θ 2
dan
.
Perkalian
= r 1 r 2 e i θ 1 e i θ 2 = r 1 r 2 e i (θ 1 + θ 2 )
z 1 z 2
Pembagian
z 1
=
z 2
r 1
e
r 2
i (θ 1 − θ 2 )
z = r e Iners sebarang bilangan k!mpleks
z −1
Bentuk pangka t
1
1
z
r
= =
e
"aitu
− i θ
z = r e Misalkan
i θ
i θ , maka menggunakan aturan pangkat seperti pada
bilangan riil diper!leh
z n
= (r e i θ ) n = r n e i nθ
n = 0,
± 1, ± 2,
,
%umus "oi&re
z n
r = 1 Jika
= ( ei θ ) n = ei nθ
, maka bentuk pangkat di atas men&adi
(e
i θ n )
= e i n θ
atau
n = 0,
± 1, ± 2,
,
(cos θ + i sin θ ) n
,
. Selan&utn"a dapat ditulis dalam
= cos nθ + i sin nθ
bentuk
"ang disebut Rumus Moivre .
1.& Bent#k Akar
Bentuk akar
z = r cisθ Misalkan
1 z n
z , akar pangkat n dari bilangan k!mpleks
n z atau
ditulis
z ≠ 0 . Jika diberikan bilangan k!mpleks
9
dan n bilangan
1. Bilangan Kompleks
1 z n bulat p!siti%, maka diper!leh n buah akar untuk
z = n r cos k
θ
+ 2k π + i n
sin
θ
+ 2k π n
"aitu
k = 0, 1, 2,
, ( n − 1)
,
.
Secara ge!metri, n buah akar tersebut merupakan titiktitik sudut segi n
n r beraturan pada suatu lingkaran dengan pusat titik dan &ari&ari
Contoh '
.
3 − 8i $entukan semua akar dari
dan gambarkan akarakar tersebut
dalam bidang k!mpleks. Penyelesaian :
r = z
z = −8 i Misalkan
z k
=8
, maka
= 3 − 8i = 3 8
θ
= arctg
−8 0
=−
π
2
dan
,
π − π + 2k π − + 2k π + i sin 2 cos 2 3 3
k = 0, 1, 2. ,
Sehingga diper!leh
z 0
= 38
π − π − + π π 2 2 + i sin cos = 2cos (− ) + i sin( − ) = 3 3 6 6
3 −i .
z 1
π π = 2 cos ( ) + i sin( ) = 2 i 2 2
.
z 2
7π 7π = 2 cos ( ) + i sin( ) = − 6 6
3 −i .
10
1. Bilangan Kompleks
y z 1 *
x
. □□
z 0
z 2
%ingkasan z = x + iy 'ilangan k!mpleks
z = r e eksp!nen
z = r cisθ mempun"ai bentuk kutub
i θ
θ
, dengan
= arg z .
11
, dan bentuk
1. Bilangan Kompleks
(. 3450SI &5&6I7I+ f ′( z )
3ungsi f(z) disebut analitik di titik z 0 apabila
ada di semua titik
pada suatu lingkungan z 0. 4ntuk menguji keanalitikan suatu fungsi kompleks
w
= f(z) = u (x,y) + iv (x,y) digunakan persamaan 8auchy 9 :iemann. Sebelum mempelejari persamaan 8auchy-:iemann akan diperkenalkan terlebih dahulu pengertian tentang limit fungsi dan turunan fungsi pada bilangan kompleks. Oleh karena itu, setelah membaca Bab (, mahasiswa diharapkan dapat
engerti definisi fungsi analitik
enghitung nilai limit dari fungsi kompleks
enentukan kekontinuan fungsi
encari turunan fungsi
enentukan fungsi analitik dan fungsi harmonik
2.1 Fungsi Peubah Kompleks
12
1. Bilangan Kompleks
Defnis isalkan S himpunan bilangan kompleks. 3ungsi kompleks f pada S i
z ∈ S
adalah aturan yang mengawankan setiap
dengan biangan
kompleks w . 5otasi w = f(z). #alam hal ini, S disebut domain dari f dan z dinamakan ariabel kompleks. isalkan w = u + iv adalah nilai fungsi f di z = x + iy , sehingga u + iv = f(x + iy). asing-masing bilangan riil u dan v bergantung pada ariabel riil x dan y , sehingga f(z) dapat dinyatakan sebagai pasangan terurut dari ariabel riil x dan y , yaitu f(z) = u(x,y) + iv(x,y). $ika koordinat polar r dan θ pada x dan y digunakan, maka u + iv = f(re iθ), dimana w = u + iv dan z = re iθ. Sehingga f(z) dapat ditulis menjadi f(z) = u(r,θ) + iv(r,θ).
Contoh
Misalkan w = f(z) = z 2 +3z. $entukan u dan v serta hitung nilai dari f pada z = 1 + 3i . N"atakan &uga u
1
dan v dalam bentuk p!lar. Penyelesaian:
Misal z = x + iy , sehingga
f ( z ) = f ( x + iy ) = ( x + iy ) 2 u Jadi
= x 2 + 3 x − y 2
+ 3( x + iy ) = x 2 + 3 x − y 2 + i (2 xy + 3 y )
v = 2 xy + 3 y dan
.
f ( z ) = f (1 + 3i ) = (1 + 3i ) 2
+ 3(1 + 3i ) = −5 + 15i
+ntuk z = 1 + 3i maka
.
Jadi u(1,3) = - dan v(1,3) = 1 . Jika k!!rdinat p!lar digunakan dimana z = rei! , maka
f ( z ) = f (re iθ ) = (re iθ ) 2
+ 3(re i ) = r 2 e 2i + 3re i = r 2 cos 2θ + ir 2 sin 2θ + 3r cos θ + 3ir sin θ = r 2 cos 2θ + 3r cosθ + i(r 2 sin 2θ + 3r sin θ ) θ
13
θ
θ
1. Bilangan Kompleks
u
= r 2 cos 2θ + 3r cosθ
Jadi
v dan
= r 2 sin 2θ + 3r sin θ .
2.2 Pemetaan ' (rans)ormasi Sifat-sifat dari fungsi bernilai riil dapat dilihat dari grafik fungsinya. 7etapi untuk w = f(z), dimana w dan z bilangan kompleks, tidak ada grafik yang menyatakan fungsi f karena setiap bilangan z dan w berada di bidang bukan di garis bilangan.
Defnisi Transorma si
+orespondensi antara titik-titik di bidang-z dengan titik-titik di bidang-w disebut pemetaan atau transformasi dari titiktitik di bidang-z dengan titik-titik di bidang w oleh fungsi f .
Pemetaan dapat berupa"
•
7ranslasi ; pergeseran
•
:otasi ; perputaran
•
:efleksi ; pencerminan
Sebagai c!nt!h, pemetaan
•
w = z + 1 = (x+1) +iy , dimana z = x + iy , mentranslasikan menggeser setiap titik z satu satuan ke kanan.
w = iz = r ex iθ +
•
2
π
, dimana z = rei! dan i = ei"#2 , mer!tasi memutar
setiap titik takn!l z ke kanan dari pusatn"a berlawanan arah &arum & am.
•
w = z = x − iy
mere%leksikan mencerminkan setiap titik z = x + iy pada sumbu riil.
2.3 Limit Secara umum de%inisi limit dalam k!mpleks sama dengan de%inisi limit pada bilangan riil dalam kalkulus. -alau pada bilangan riil bila x mendekati x $ han"a mendekati sepan&ang garis riil sedangkan pada bilangan k!mpleks bila z mendekati z $ akan mendekati dari semua arah dalam bidang k!mpleks.
14
1. Bilangan Kompleks
Defnisi Limit
!im f ( z ) = w0
z → z 0
dibaca sama dengan w> <, dan didefinisikan sebagai berikut" !im f ( z ) = w0
z → z 0
⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∋ 0 < z − z 0 < δ berlaku
f ( z ) − w0
< ε .
Secara geometri definisi di atas mengatakan bahwa untuk setiap lingkungan-ε dari w>, yaitu ?w - w>?@ ε ada suatu lingkungan-δ dari =>, yaitu > @ ?= - = >? @ δ sedemikian sehingga setiap titik = pada image w berada pada lingkungan-ε. Perhatikan 0ambar ' di bawah ini.
0ambar ' #alam hal ini
•
$ika limit tersebut ada, maka limitnya tunggal
•
z mendekati z 0 dari berbagai arah atau lintasan
•
$ika untuk lintasan yang berbeda, nilai f(z) untuk z menuju z 0 berbeda maka !im f ( z )
z → z 0
tidak ada
15
1. Bilangan Kompleks
•
f(z) tidak disyaratkan terdefinisi di z = z 0
Contoh 2
f ( z ) =
iz 2
!im f ( z ) =
, z < 1
isalkan
z →1
. Buktikan
i 2
.
B#kti* δ
= 2ε ∋ z − 1 < δ
&mbil ε > 0 sebarang. Pilih f ( z ) −
i 2
=
=
iz 2
z − 1 2
i
−
=
2
<
δ
2
i ( z − 1) 2
berlaku
=
i z − 1 2
=
1 z − 1 2
ε
= 2 = ε 2
f ( z ) −
i 2
< ε
$adi untuk setiap = dan ε positif berlaku
bila
0 < z − 1 < 2ε
, lihat gambar (. !im f ( z ) =
z →1
Sehingga menurut definisi limit terbukti
i 2
.
0ambar (
Contoh 3
f ( z ) =
isalkan
z
!im f ( z )
z → 0
z
. Buktikan
tidak ada.
B#kti* &kan ditunjukkan nilai limit dengan lintasan yang berbeda.
16
1. Bilangan Kompleks
•
Pendekatan sepanjang sb- x positif, dalam hal ini y = 0 . !im f ( z ) =
z →0
x + iy
!im
( x , y ) →( 0 , 0 )
x − iy
= !im ( x , 0 )
x + i.0 x − i.0
= !im 1=1 x →0 .
Pendekatan sepanjang sb-y positif, dalam hal ini x = 0 . !im f ( z ) =
z →0
x + iy
!im
( x , y ) →( 0 , 0)
x − iy
0+ . = !im = !im − 1 = −1 ( 0, y ) 0 − i. y y →0 i y
. Pendekatan sepanjang garis y = x . !im f ( z ) =
z →0
x + iy
!im
( x , x )→( 0 , 0 )
x − iy
x + i. x x(1 + i ) 1 + i = x!im = !im = x →0 x (1 − i ) →0 x − i. x 1− i
. +arena pendekatan sepanjang arah yang berbeda menghasilkan !im f ( z )
z → 0
nilai yang tidak sama maka
Teore ma 1
tidak ada.
&ndaikan f(z) = u(x,y) + iv(x,y), z 0 = x 0 + iy 0 , ω0 = u0 + iv 0 maka !im f ( z ) = ω 0 ⇔ !im !im u ( x, y ) = u0 dan v ( x, y ) = v0 z → z 0
( x , y ) → ( x 0 , y 0 )
( x , y ) → ( x 0 , y 0 )
Bukti" !im
( ⇐ )
( x , y )→( x0 , y0 )
u ( x, y ) = u 0
dan
!im
( x , y )→( x0 , y 0 )
v ( x, y ) = v0
isalkan
, artinya ε
∀ε > 0∃δ 1 , δ 2 ∋ u − u 0 < v − v0 δ
<
2
ε
2
,0 <
,0 <
( x − x0 ) 2 ( x − x0 ) 2
+ ( y − y0 ) 2 < δ 1
+ ( y − y 0 ) 2 < δ 2
= min( δ 1 , δ 2 )
Pilih +arena (u + iv) − (u 0
.
+ iv 0 ) =
(u − u 0 ) + i (v − v 0 )
≤ u − u 0 + v − v0
dan ( x − x 0 ) 2
+ ( y − y 0 ) 2 =
(u + iv) − (u 0
maka 0 < ( x + iy ) − ( x 0
( x − x0 ) + i ( y − y 0 ) ε
ε
2
2
+ iv0 ) < + = ε bila
+ iy0 ) < δ . 17
=
( x + iy ) − ( x0
+ iy 0 )
1. Bilangan Kompleks
!im f ( z ) = ω 0
z → z 0
$adi
. !im f ( z ) = ω 0
(⇒)
z → z 0
isalkan , artinya ∀ε > 0∃δ ∋ (u + iv) − (u 0 + iv0 ) < ε
0 < ( x + iy ) − ( x 0
+ iy0 ) < δ
bila Perhatikan bahwa u − u 0 ≤ (u − u 0 ) + i (v − v 0 ) v − v0
≤
(u − u 0 ) + i ( v − v 0 )
.
= (u + iv) − (u 0 + iv0 ) = (u + iv) − (u 0 + iv0 )
dan ( x + iy ) − ( x 0
+ iy 0 ) =
u − u0
( x − x 0 ) + i ( y − y 0 )
< ε
dan
v − v0
Sehingga 0<
=
( x − x 0 ) 2
+ ( y − y 0 ) 2
< ε bila
( x − x 0 ) 2
+ ( y − y0 ) 2 < δ .
!im
( x , y ) →( x0 , y 0 )
u ( x, y ) = u 0
dan
!im
( x , y ) →( x0 , y0 )
v( x, y) = v0
$adi !im f ( z ) = A , !im g ( z ) = B
Teore ma 2
. z → z 0
z → z 0
&ndaikan
maka
!im ( f ( z ) + g ( z ) )
z → z 0
= A + B .
!im f ( z ) g ( z ) = AB
•
z → z 0
. !im
z → z 0
•
f ( z ) g ( z )
=
A B
.
2." Limit (ak +ingga dan Limit di (ak +ingga +adang-kadang suatu bidang kompleks memuat titik di tak hingga.Bidang kompleks yang memuat titik tersebut disebut bidang ko!"ek# yang di!er"ua#.
Teore
$ika z 0 dan w 0 titik-titik pada bidang z dan w , maka
18
1. Bilangan Kompleks ma 3
!im f ( z ) = ∞
jhj
z → z 0
1
!im
z → z 0
f ( z )
=0
' !im f ( z ) = w0
z →∞
1 = w 0 z
!im f
jhj
z →0
( !im f ( z ) = ∞
z → ∞
jhj
1
!im
z → 0
f (1 " z )
=0
) B#kti* !im f ( z ) = ∞
∀ε > 0∃δ ∋
z → z 0
f ( z )
>
1 ε
' isalkan , artinya bila 0 $ %z & z 0% $ ' ............AAAAAAAAAAAAA... 1 =0 !im z → z 0 f ( z ) &kan dibuktikan . 7itik w = f(z) berada di suatu lingkungan-ε ,yaitu %w% > ε dari * bila z ada di lingkungan 0 $ %z & z 0% dari z 0. $ ' Sehingga persamaan dapat ditulis menjadi 1 − 0 < ε f ( z ) bila 0 $ %z & z 0% . $ ' 1 !im =0 z → z 0 f ( z ) $adi . !im f ( z ) = w0 z →∞
( isalkan
∀ε > 0∃δ ∋
, f ( z ) − w0
< ε bila %z% >' .............C.
artinya
1 = w 0 z
!im f
z → 0
&kan dibuktikan . Pada persamaan C rubah z dengan z , maka akan
1 − w < ε 0 z
f
bila 0 $ %z & 0% $ ' .
diperoleh
1 = w 0 z
!im f
z → 0
$adi
. !im f ( z ) = ∞
z →∞
) isalkan
,
19
1. Bilangan Kompleks
∀ε > 0∃δ ∋
>
f ( z )
1 ε
bila %z% > ' AAAAA....CC.
artinya 1
!im
z → 0
f (1 " z )
=0
&kan dibuktikan . Pada persamaan CC rubah z dengan z , maka akan 1 − 0 < ε f (1 " z ) diperoleh bila 0 $ %z & 0% $ ' . 1 =0 !im z → 0 f (1 " z ) $adi .
2.% Kekontin#an
Defnisi Kontinu
3ungsi f(z) dikatakan kontinu di z = z 0 jika !im f ( z )
z → z 0
• •
ada f(z 0) ada !im f ( z ) = f ( z 0 )
z → z 0
• #engan kata lain f(z) kontinu di z = z 0 jika !im f ( z ) = f ( z 0 ) ⇔ ∀ε > 0
z → z 0
∃δ > 0 ∋ z − z 0 < δ berlaku
f ( z ) − f ( z 0 )
< ε .
3ungi kompleks f(z) dikatakan kontinu pada region jika f(z) kontinu pada tiap titik z dalam . isalkan f(z) = u(x,y) + iv(x,y) kontinu di z 0 = x 0 + iy 0 ,
⇔
⇔ u(x,y) dan v(x,y) kontinu di (x 0, y 0)
!im
( x , y )→( x 0 , y 0 )
u ( x, y ) = u ( x0 , y 0 )
dan
!im
( x , y ) →( x0 , y0 )
v( x, y ) = v( x0 , y 0 )
.
20
1. Bilangan Kompleks
Siat-siat ungsi kontinu
' 3ungsi konstan kontinu pada bidang kompleks ( $ika f dan g kontinu pada daerah maka f+g kontinu fg kontinu f.g kontinu z 0 ∈ D f/g #on$in% #ec%a!i &i
se'ingga g(z 0 ) 0.
2.& (#r#nan f ′( z 0 )
Defnisi 7urunan fungsi f di z 0, ditulis dengan
Turunan
didefnisikan
sebagai berikut" f ′( z 0 ) = !im
∆ z →0
f ( z 0
+ ∆ z ) − f ( z 0 ) ∆ z
jika limitnya ada. f ′( z ) =
5otasi untuk turunan f di z adalah
d dz
f ( z )
.
&turan turunan pada bilangan riil berlaku juga pada bilangan kompleks.
Aturan Turunan
d dz
(c ) = 0
'. d dz
( z ) = 1
(. d dz
[ c( f ( z )] = c f ′( z )
). d dz
( z n ) = nz n −1 , z ≠ 0, n ∈ Ζ
*. d dz
[ f ( z ) + g ( z )] = f ′( z ) + g ′( z )
D. d dz
[ f ( z ) g ( z )] = f ′( z ) g ( z ) + f ( z ) g ′( z )
E. 21
1. Bilangan Kompleks
d f ( z )
= dz g ( z )
f ′( z ) g ( z ) − f ( z ) g ′( z )
[ g ( z )] 2
F.
Contoh 4
7entukan turunan dari fungsi berikut" . f(z) = (-z - + i) ( z − i )
f ( z ) =
z + i
(.
!ada
i
Pen,elesaian * '. #engan menggunakan aturan turunan * dan aturan rantai f ′( z ) = 5(2 z 2
+ i) 4 .4 z = 20 z (2 z 2 + i) 4
diperoleh
.
(. #engan menggunakan aturan turunan F diperoleh
f ′( z ) =
f ′( z ) g ( z ) − f ( z ) g ′( z )
[ g ( z )] 2
=
1( z + i ) − ( z − i )1
( z + i ) 2
=
2i ( z + i ) 2
Sehingga untuk z = i diperoleh f ′(i ) =
2i (i + i ) 2
=
2i 4i 2
=−
1 2
i
.
Aturan Rantai
isalkan f mempunyai turunan di z 0, dan g mempunyai turunan di f(z 0) . aka fungsi /(z) = gf(z)1 mempunyai turunan di z 0, dan " ′( z 0 ) = g ′ f ( z 0 ). f ′( z 0 ).
#engan kata lain, jika w = f(z) dan 2 = g(w) = /(z), maka menurut aturan rantai d# dz
=
d# dw dw dz
.
Contoh
7entukan
5
menggunakan aturan rantaiG
turunan
dari
fungsi f(z)
Pen,elesaian*
22
=
(-z -
+
i) dengan
1. Bilangan Kompleks
isalkan w = -z - + 3 dan 2 = w . aka menurut aturan rantai d# dz
=
d# dw dw dz
% (w 4)(4z) = -0z(-z - + i)4.
2.- Persamaan a#/0, iemann Persamaan 8auchy 9 :iemann merupakan persamaan yang sangat penting pada analisis kompleks. +arena persamaan ini digunakan untuk menguji w = f(z) = u (x,y) + iv (x,y) .
keanalitikan suatu fungsi kompleks
Defnisi Persamaan Cauh! Riemann
3ungsi f dikatakan analitik pada domain jika dan hanya jika turunan parsial pertama dari u dan v persamaan 8auchy 9 :iemann, yaitu u x
= v y
u y
= −v x
u x
=∂ ∂ x
u
u y
=∂ ∂ y
u
v x
dengan
Contoh "
memenuhi
=∂ ∂ x
v
v y
=∂ ∂ y
v
.
isalkan f(z) = z - = x - & y - + -ixy . &pakah f(z) analitik untuk semua z ! Pen,elesaian * f(z) analitik jika memenuhi persamaan 8auchy 9 :iemann, u x
= v y
u y
= −v x .
Perhatikan bahwa u = x - & y - dan v = -xy . aka u x = -x = v y dan uy = -y = v x . +arena memenuhi persamaan 8-: maka f analitik untuk semua z .
Teorem
isalkan f(z) = u (x,y) + iv (x,y) terdefinisi dan kontinu di suatu 23
1. Bilangan Kompleks
a4
lingkungan dari z = x + iy dan mempunyai turunan di z maka u x , v y , uy , v x ada dan memenuhi persamaan 8auchy - :iemann
u x
= v y
u y
= −v x .
Teorem
$ika dua fungsi kontinu yang bernilai riil u(x,y) dan v(x,y)
a5
mempunyai turunan parsial pertamanya kontinu dan memenuhi persamaan 8auchy 9 :iemann dalam domain maka fungsi kompleks f(z) = u (x,y) + iv (x,y) analitik di .
Contoh
&pakah f(z) = z 5 analitik!
#
Penyelesaian Perhatikan bahwa u = x 5 & 5xy - dan v = 5x -y & y 5. aka u x = 5x - & 5y - = v y dan
uy
= 6xy = v x . +arena memenuhi persamaan 8-: maka f analitik untuk semua z .
2. 4#ngsi Analitik
Defnisi $ungsi Ana%tik Teorema 5
3ungsi f(z) disebut analitik atau holomorfik atau reguler atau monogenik di titik z 0 apabila f7(z) ada di semua titik pada suatu lingkungan z 0. isal f(z) = u(x,y) + iv(x,y). &ndaikan i.
u x , v y , u y , v x kontinu di semua titik dalam lingkungan tertentu 8 dari titik z 0 u x
ii.
persamaan 8auchy- :iemann di setiap titik di 8
maka f(z) analitik di z 0.
24
= v y
u y
= −v x berlaku
1. Bilangan Kompleks
Contoh &
Buktikan f(z) = % z % - tidak analitik B#kti* +arena f hanya mempunyai turunan di z = 0 atau f7(z) tidak
ada pada persekitaran z = 0 . Beberapa hal yang perlu diperhatikan
•
$ika f(z) analitik pada setiap titik di himpunan S maka f(z) analitik pada S.
•
$ika f(z) analitik di seluruh bidang kompleks maka f(z) fungsi menyeluruh ;fungsi utuh entire function.
•
#aerah keanalitikan region of analycity bagi f adalah keseluruhan titik pada bidang datar yang membuat f analitik.
Contoh '
f ( z ) =
z 3 − z + 1 z 2
isalkan
+1
. &pakah f(z) analitik!
Penyelesaian" f7(z) ada di semua z kecuali di z - + = 0 atau z = 9 i. $adi f(z) analitik kecuali di z = 9 i. Defnisi Titik 7itik z 0 dinamakan titik singular bagi f jika dan hanya jika
Singu%ar
f gagal menjadi analitik pada z 0 tetapi setiap lingkungan z 0 memuat paling sedikit satu titik yang membuat f analitik.
Contoh 1(
f ( z ) =
isalkan
2 z + 1 z 3
+ z
. 7entukan titik singular dari f dan
tentukan dimana saja f(z) analitikG Penyelesaian" f7(z) ada di semua z kecuali di z 5 + z = 0 atau di z = 0 dan di z = 9 i . Sehingga titik singular dari f adalah di z = 0 dan
di z = 9 i.
f(z) analitik
di
semua z
kecuali di z 5 + z = 0 atau di z = 0 dan di z = 9 i .
25
1. Bilangan Kompleks
2.5 4#ngsi +armonik
Defnisi $ungsi )armonik
3ungsi riil :(x,y) yang mempunyai turunan parsial orde ' dan ( yang kontinu dan memenuhi persamaan 6aplace $ xx ( x, y ) + $ yy ( x, y ) = 0
disebut fungsi 1armonik.
Contoh 11
isalkan u(x,y) = x - & y - dan v(x,y) = -xy . &pakah u dan v fungsi harmonik! Pen,elesaian* Perhatikan bahwa" u x = -x
v x = -y
u xy = 0
v xy = -
uy = -y
v y = -x
uyx = 0
v yx = -
u xx = -
v xx = 0
uyy = -
vyy = 0
+arena u x = -x = v y , uy = -y = v x , u xx + uyy = - + (-) = 0 dan v memenuhi xx + v yy = 0 + 0 = 0 dimana u dan v persamaan 6aplace maka u dan v fungsi harmonik.
Defnisi $ungsi )armonik Seka*an
isalkan f(z) = u + iv. v disebut fungsi harmonik sekawan
Contoh 12
isalkan u(x,y) = y 5 & 5x -y . 7entukan fungsi harmonik
dari u jika u fungsi harmonik dan v fungsi harmonik.
sekawan dari u. Pen,elesaian* u x = 6xy dan uy = 5y - & 5x -. enurut persamaan cauchy 9 :iemann diperoleh 6xy = u x = v y.
∫
v( x, y ) = (−6 xy)dy
Sehingga atau
v x = 5y + ;7(x).
26
= −3 xy 2 + h( x)
AAA.'
1. Bilangan Kompleks
Syarat persamaan 8auchy 9 :iemann yang kedua harus dipenuhi, yaitu uy = v x. Sehingga
− 3 x 2 = −[ − 3 y 2 + h( x)] 3 y 2 − 3 x 2 = 3 y 2 − h( x) h′( x) = 3 x 2 h( x) = ∫ 3 x 2 dx = x 3 + c 3 y 2
..........AAAAAAAAAA(
#ari ' dan ( diperoleh v(x,y) = 5xy - + x 5 + < yang merupakan fungsi harmonik sekawan dari u.
Contoh 13
v
= ( x 2 − y 2 )
2
isalkan
. &pakah fungsi tersebut harmonik!
$ika ya, tentukan fungsi analitik sekawan dari f(z) = u (x,y) + iv (x,y). Pen,elesaian* &kan diselidiki apakah v merupakan fungsi harmonik atau bukan. Perhatikan bahwa" 5 v x = -(x & y )-x = 4x & 4xy
v y = -(x - & y - )(-y) = 4x - + 4y 5 v xx = -x & 4y dan v yy = 4x + -y .
v , tetapi tidak memenuhi xx dan v yy kontinu pada semua z persamaan 6aplace, yaitu v v yy = x - + y - = (x - +y - ) 0 . $adi v bukan fungsi xx + harmonik.
27
1. Bilangan Kompleks
Soal soal Lati0an f ( z ) = z +
'. 7uliskan
1 z
, z ≠ 0
fungsi
kedalam
bentuk
f(z) =
u(r,θ) + iv(r,θ).
(. isalkan a dan b konstanta kompleks. 0unakan definisi limit untuk membuktikan !im (az + %) = az 0
z → z 0
+%
a !im ( z 2
z → z 0
+ %) = z 0 2 + %
b ). Buktikan teorema ( pada bagian (.) !im z n
z → z 0
*. 0unakan induksi matematika untuk membuktikan
= z 0 n dimana n
bilangan asli. f ′( z )
D. 7entukan
pada persamaan
f ( z ) = (1 − 4 z 2 ) 3
a f ( z ) =
(1 + z 2 ) 4 z 2
, z ≠ 0
b
z 2 f ( z ) = z 0 E. isalkan u dan v bilangan riil dan misalkan
%i&a z ≠ 0 %i&a z = 0
. Buktikan
bahwa fungsi tersebut memenuhi persamaan 8auchy 9 :iemann pada z = (0,0).
28
