MODULUS BILANGAN KOMPLEKS
Agusti Agustina na Pradja Pradjanin ningsi gsih, h, M.S M.Si. i. Juru Jurusa san n Ma Mate tema mati tika ka FMIP FMIPA A UN UNEJ EJ
[email protected]
Bilangan kompleks secara geometris dapat digambarkan sebagai titik ( x ,y ) pada bidang cartesian. Sumbu x = sumbu real & sumbu y = sumbu imajiner
Bilangan kompleks dapat dipandang sebagai vektor ( x,y) dengan titik pangkal (0,0) dan titik ujung ( x,y)
Definisi : MODULUS Jika z = x+i y bilangan kompleks maka modulus z = z didefinisikan z x yi
x
2
y
2
Jadi z bilangan real positip/nol. Arti geometri z adalah panjang vektor ( x, y) = jarak dari titik asal 0 terhadap titik z =( x, y)
S I F A T M O D U L U S
(1) Jika z, z1, dan z2 bilangan
kompleks, maka berlaku sifat
1. z
2
z z
2. z z 3. z Re( z )
Re( z )
4. z Im( z )
Im( z )
5. z 1 z 2
z 1 z 2
S I F A T M O D U L U S
(2) Jika z, z1, dan z2 bilangan
kompleks, maka berlaku sifat
6.
z 1 z 2
z 1 z 2
, z 2
0
7. Ketaksamaan segitiga a. z 1 z 2
z 1
z 2
b. z 1 z 2
z 1
z 2
c. z 1 z 2
z 1
z 2
BUKTI 1. z
2
2
x
2
x yi
( x yi) ( x yi)
z 2. z x yi
2
y
2
2
2
x y
2
z z
x
2
y
2
x ( y)i
z x yi
z
x
2
( y)
2
3. karena x 2 & y 2 bil. positip x 2 y 2 z x yi
x
2
y
2
x
2
x
x
2
Re( z )
z Re( z )
2
2
4. karena x & y bil. positip x z x yi
x
2
y
2
z Im( z )
y
2
2
2
y y
y
2
Im( z )
5. z 1 z 2
( x1 iy1 ) ( x2 iy2 )
( x1 x2 y1 y2 ) i ( x1 y2 x2 y1 )
( x1 x2 y1 y2 )
2
x1 x2
( x12 y12 ) ( x22 y22 )
2
2
2
2
2
z 1
2
2
y1 y2 2 x1 x2 y1 y2 x1 y2 x2 y1 2 x1 x2 y1 y2
2 2 x1 y1
(
2
( x1 y2 x2 y1 )
2
2 2 x2 y2
) (
z 1 z 2
)
z 2
6.
z 1 z 2
x1 y1i x2
y 2i
x2
y2i
x2
2
y2
2
( x1 x2 y1 y2 ) 2 ( x2 y1 x1 y2 ) 2 2
x1 x2
2
y1
2
2
y2
( x2
y2i
( x1 x2 y1 y2 ) ( x2 y1 x1 y2 )i
( x2
y2i
x2
x1 y1i x2
( x1
2
( x2
2
y1
2
y2
)
2
)
2 2
y2 ) 2
2
x2 y 2
2
y1
2
x1
2
y2
2
2 2
( x1
2
)
( x1
2
( x2
2
y1
y1
( x2 2
y 2
)
2
)
x1 y1i x2
y2i
z 1 z 2
2
2
)( x2 y 2
2
y2
2 2
)
2
)
7a. z 1 z 2
2
z 1 z 2 z 1 z 2
z 1 z 2 z 1 z 2 z 1
2
z 1
2
2
z 1 z 1 z 1
2
2
z 2
2
2
z 2
z 1 z 2
2
2 Re( z 1 z 2 ) 2 z 1 z 2
2
z 2
(sekawan5)
z 2 z 1 z 1 z 2
2
z 2
z 2
2
(modulus1)
z 1
2
z 2
(modulus 3)
z 2
(modulus 5)
2 z 1
z 2
(modulus 2)
z z
2
1
z 1 z 2 z 1 z 2
(sekawan2)
2 z 1
2
2
z 1 z 2
z 1
z 2
7b. z 1 z 1 z 2 z 2 z 1
z 1 z 2 z 2 z 1 z 2
7c. z 2 z 2
z 1
z 1 z 2
z 1 z 2 z 1
(modulus 7a)
z 2
z 2
z 1 z 2 z 1
z 2
z 1
z 2
z 1 z 2 z 1 ;
( -z z )
z 1
- z 1 z 2
z 1 z 2
modulus 7b......... ........(ii)
z 1 z 2
z 1
z 2
.........(i)
dari (i) dan (ii)
- z 1 z 2
z 1
z 2
z 1 z 2
z 1
z 2
z 1 z 2
A K I B A T
z 1=( x1, y1) dan z2=( x2, y2) 1. Jika maka z 1 z 2 adalah jarak antara z 1 dan z 2 pada bidang z.
2. Jika z , z 1=( x1, y1) dan r bil real positip maka adalah z z 1 r M persamaan lingkaran dgn pusat O ( x1, y1) & jari jari r. D 3. Jika z , z 1=( x1, y1) dan r bil real U adalah z z 1 r L positip maka U daerah lingkaran dgn pusat ( x1, y1) & S jari jari r
BUKTI 1 z 1 z 2
z 1 z 2
( x1 y1i ) ( x2 y2i )
( x1 x2 ) ( y1 y2 )i
2
( x1 x2 )
( y1 y2 )
2
y z 1
y1
| z 1 - z 2 | y2
z 2 x1
x2
x
BUKTI 2 z z 1
r ( x yi) ( x1 y1i )
( x x1 ) ( y y1 )i
r
( x x1 ) 2 ( y y1 ) 2
( x x1 )
2
2
( y y1 )
r
r
2
r
r y1
( x1 , y1 )
x1
BUKTI 3 z z 1
r ( x yi) ( x1 y1i)
( x x1 ) ( y y1 )i
r
( x x1 ) 2 ( y y1 ) 2
( x x1 ) 2 ( y y1 ) 2
r
r
2
r
r y1
( x1 , y1 )
x1
Sketsa dan arsir daerah berikut
1. z z i 2. 2 z i
4
3. z z 2
misal z x yi z i ( x yi) i x ( y 1)i z z i 2
x y y
2
2
x
2
y
2
x
2
x ( y 1)
2
y 2 y 1
2
( y 1)
2
2
2 y 1 y
1 2
y =1/2
Jadi
z z i
merupakan garis lurus
misal z x yi 2 z i 4 2 z i
2
2
(2 x) 4 x
2
(2 y 1)
2 x (2 y 1)i
4 (2 x)
4 y 4 y 1 16
4( x 0)
2
4( x 0)
2
2
4( y y) 1 16
y
4
1 2 1 2 4
1 16
persamaan lingkaran pusat di (0,1/2) dgn jari-jari 2
4 2
(2 y 1) 16
2
2 1 2 4( x 0) 4 y 2 16 2 1 2 ( x 0) y 2 4
2
misal z x yi maka z z 2
x 2
2
y
x y
2
2
x yi
( x yi) 2
( x 2)
( x 2)
2
2
y
y 2
2 2
x y
4 x 4 x 1
2
y
-1
x
2
x 4 x 4 y
2
