4.4. Distribución Uniforme La distribución Uniforme La distribución Uniforme es el modelo (absolutamente) continuo más simple. Corresponde al caso de una variable aleatoria que sólo puede tomar valores comprendidos entre dos extremos a y b, de manera que todos los intervalos de una misma longitud (dentro de ( a, b)) tienen la misma probabilidad. ambi!n puede expresarse como el modelo probabil"stico correspondiente a tomar un n#mero al a$ar dentro de un intervalo ( a, b). %e la anterior definición se desprende que la función de densidad debe tomar el mismo valor para todos los puntos dentro del intervalo ( a, b) (y cero fuera del intervalo). &s decir,
'ráficamente
La función de distribución se obtiene integrando la función de densidad y viene dada por
'ráficamente
Propiedades del modelo Uniforme . *u esperan$a vale ( b + a)-. *u varian$a es (b a)--
¿Qué es una variable aleatoria uniforme? &s la variable que tiene igual oportunidad de tomar cualquier valor dentro de un intervalo especificado a lo largo de una escala continua.
¿Qué es la distribución uniforme de probabilidad? Una función de densidad de probabilidad para una variable aleatoria, que es igualmente probada que tome cualquiera de los valores dentro de un intervalo dado.
¿Cuál es la distribución de probabilidad rectangular cuál es su relación con la distribución uniforme de probabilidad? Una variable aleatoria uniforme distribuida tiene igual probabilidad de tomar cualquier valor dentro de un intervalo especificado, ab, a lo largo de una escala continua. Cuando se grafica la función de densidad probabilidad se ve que es un rectángulo/ esta distribución de probabilidad, por lo tanto, tambi!n se llama distribución de probabilidad rectangular.
¿Cómo medimos la probabilidad en la distribución de probabilidad uniforme? La probabilidad se mide una ve$ más por el área arriba del intervalo de valores x, que es de inter!s. *i se acumulan valores de x de i$quierda a derec0a se obtiene la fórmula de probabilidades uniformes acumulativas menores que
%e otra forma 1(23x) 4 5 s" x3a, pero p(23x) 4 s" x6b
¿Cuáles son las medidas de resumen para la función de densidad de probabilidad uniforme?
La variable aleatoria cuya función de densidad de probabilidad está distribuida constantemente entre un intervalo y otro recibe el nombre de distribución uniforme. La función de densidad de probabilidad uniforme se expresa como sigue
4.! Distribución "#ponencial. Las distribuciones exponenciales se utili$an como modelo para representar tiempos de funcionamiento o tiempos de espera. *u función de densidad que depende de un parámetro 7 es de la forma f(x)47e87x La media de esta distribución es 7 y la desviación t"pica tambi!n es 7
Distribución e#ponencial $parte %& &s parte de la familia de las distribuciones de variables aleatorias continuas. &sta distribución tiene una amplia aplicación en las teor"as de l"neas de espera. *irve para calcular la probabilidad del tiempo que debe transcurrir para que un evento suceda. Los requisitos que se deben cumplir para la utili$ación de este tipo de distribución son
•
Los eventos son independientes. La probabilidad de ocurrencia de eventos en el intervalo de tiempo que transcurre es independiente de la probabilidad de ocurrencia o no ocurrencia en intervalos pasados.
•
La probabilidad de un evento debe darse en una unidad o intervalo determinado.
La función de densidad de probabilidad exponencial se expresa como sigue
f ( x )= P ( x ≥ x )=
{
λ x
λe parax > 0 y λ > 0 0 ,deotraforma
Una fórmula simplificada es la siguiente 9 (x) 4 : e
:; x
D'()*'+UC',- "P/-"-C'01. $Parte 2& < pesar de que la distribución =ormal puede utili$arse para resolver muc0os problemas en ingenier"a y ciencias, existen a#n numerosas situaciones que requieren diferentes tipos de funciones de densidad, tales como la exponencial y la gamma y algunas otras como la >eibull, etc., de momento solo trataremos sobre el uso de la exponencial. ?esulta que la exponencial es un caso especial de la distribución gamma, ambas tienen un gran n#mero de aplicaciones. Las distribuciones exponencial y gamma @uegan un papel importante tanto en teor"a de colas como en problemas de confiabilidad. &l tiempo entre las llegadas en las instalaciones de servicio y el tiempo de falla de los componentes y sistemas el!ctricos, frecuentemente involucran la distribución exponencial. La relación entre la gamma y la exponencial permite que la distribución gamma s e utilice en tipos similares de problemas. La variable aleatoria x tiene una distribución exponencial, con parámetroβ, si su función de densidad es
f ( x )
=
1
x β
x
−
β
, x > 5
/ f(x) 4 5 en cualquier otro caso
donde β > 5 La media y la variancia de la distribución exponencial son
µ=β
y
σ - = β-
?elación con el proceso de 1oisson. Las aplicaciones más importantes de la distribución exponencial son aquellas situaciones en donde se aplica el proceso de 1oisson, es necesario recordar que un proceso de 1oisson permite el uso de la distribución de 1oisson. ?ecu!rdese tambi!n que la distribución de 1oisson se utili$a para calcular la probabilidad de n#meros espec"ficos de AeventosB durante un per"odo o espacio particular. &n muc0as aplicaciones, el per"odo o la cantidad de espacio es la variable aleatoria. 1or e@emplo un ingeniero industrial puede interesarse en el tiempo entre llegadas en una intersección congestionada durante la 0ora de salida de traba@o en una gran ciudad. Una llegada representa el evento de 1oisson. La relación entre la distribución exponencial (con frecuencia llamada exponencial negativa) y el proceso llamado de 1oisson es bastante simple. La distribución de 1oisson se desarrolló como una distribución de un solo parámetroλ, donde λ puede interpretarse como el n#mero promedio de eventos por unidad de AtiempoB. Consid!rese a0ora la variable aleatoria descrita por el tiempo que se requiere para que ocurra el primer
evento. ediante la distribución de 1oisson, se encuentra que la probabilidad de que no ocurran en el espacio 0asta el tiempo t está dada por
ε −λ ( λ t )0 t
p( 0 ,λ t )
=
0!
ε − λ
t
=
3 ε
=
2.718
<0ora puede utili$arse lo anterior y 0acer que 2 sea el tiempo para el primer evento de 1oisson. La probabilidad de que el per"odo 0asta que ocurre el primer evento de 1oisson exceda x es la misma que la − λ x
probabilidad de que no ocurra un evento de 1oisson en x . &sto #ltimo por supuesto está dado por ε resultado,
. Como
− λ x
1(2 ≥ x ) 4 ε
&ntonces, la función de distribución acumulada para x es − λ x
1 (5≤ 2 ≤ x ) 4 8 ε
<0ora, con ob@eto de que se recono$ca la presencia de la distribución exponencial, puede derivarse la distribución acumulada anterior para obtener la función de densidad f( x ) 4 λε
−
λ x
λ La cual es la función de densidad de la distribución exponencial con
1 =
β .
=ótese que la media de la distribución exponencial es el parámetro β , el rec"proco del parámetro en la distribución de 1oisson. &l lector debe recordar que con frecuencia se dice que la distribución de 1oisson no tiene memoria, lo cual implica que las ocurrencias en per"odos de tiempo sucesivos son independientes.
4. Distribución 5amma $"rlang& Una variable aleatoria 2 asociada a un experimento aleatorio tiene una distribución '<< si se caracteri$a por las siguientes propiedades
