Distribuciones continuas:
5.7 Una universidad espera recibir, para el siguiente año escolar, 1600 16000 0 soli solici citu tude des s de ingr ingres eso o al prim primer er año año de lice licenc ncia iatu tura ra.. Se supone supone que las califc califcaci acion ones es obten obtenida idas s por por los aspira aspirante ntes s a las prue prueba ba SA SA se pued pueden en calc calcul ular, ar, de mane manera ra adec adecua uada da,, por por una una distribuci! distribuci!n n normal normal con media media "50 # desviaci!n desviaci!n est$ndar est$ndar 100. Si la univ univers ersid idad ad deci decide de admi admiti tirr al %5& %5& de todo todos s los los aspi aspiran rante tes s que que obteng obtengan an califc califcaci acione ones s m$s altas en la prueba prueba SA, SA, 'cu$l 'cu$l es la m(nima califcaci!n que es necesario obtener en esta prueba para ser admitido por la universidad). μ* "50 + * 100 160000.%5* -000 * 0.6/ x − 950
0.68=
100
68= x −950 68 + 950 = x
1018= x
espuesta 101/ 5." 2a demanda mensual de cierto producto A tiene una distribuci!n normal con una media de %00 unidades # desviaci!n est$ndar igual a -0 unidades. 2a demanda de otros producto 3 tambi4n tiene una dist distri ribu buci ci!n !n nor normal mal con con medi media a de 500 500 unid unidad ades es # desv desvia iaci ci!n !n est$nd est$ndar ar igual igual a /0 unidad unidades. es. Un comer comercia ciante nte que vende vende estos estos productos tiene en su almac4n %/0 unidades de A # 650 de 3 al comieno de un mes, 'cu$l es la probabilidad de que, en el mes, se vendan todas las unidades de ambos productos) uede suponerse la independencia entre ambos eventos. roducto A * %00, + * -0, 89%00, -0: P ( A A ≥ 280 )=1 − P ( A A ≤ 280 )
(
1− P ( A A ≤ 280 )=1− P Z ≤
280 −200 40
)
A 1− P ( A
≤280 )=1− P ( Z ≤ 2 ) 1− P ( Z ≤ 2 )= 1−0.9772 P ( A A ≥ 280 )=1 − P ( Z ≤ 2 )= 0.0228
roducto 3 * 500, + * /0, 89500, /0: P ( B ≥ 650 )=1− P ( A ≤ 650 )
(
1− P ( A A ≤ 650 )=1− P Z ≤
650 −500 80
A ≤ 650 )=1− P ( Z ≤ 1.88 ) 1− P ( A 1− P
0.969 9 ( Z ≤ 1.88 )=1−0.969
)
P ( A ≥ 650 )= 1− P ( Z ≤1.88 ) =0.0301 P ( A ∩ B ) =0.0288 × 0.0301 P ( A ∩ B ) =0.00069
espuesta 0.0006" 5.11 ;n una tienda de descuento la demanda diaria de acumuladores para autom!vil se calcula mediante una distribuci!n normal con una media de 50 acumuladores que tienen una desviaci!n est$ndar de 10. ;n dos d(as consecutivos se venden /0 # 75 acumuladores respectivamente. Si estos d(as son t(picos, 'qu4 tan probable es, ba
(
1− P ( X ≤ 80 ) =1− P Z ≤
80 − 50 10
)
75−50 10
)
P ( X ≥ 80 )=1− P ( Z ≤ 3 ) P ( X ≥ 80 )=1−0.9987 P ( X ≥ 80 )=0.0013
P ( X ≥ 75 ) =1− P ( X ≤ 75 )
(
1− P ( X ≤ 75 ) =1− P Z ≤
P ( X ≥ 75 ) =1− P ( Z ≤ 2.5 ) P ( X ≥ 75 ) =1−0.9938 P ( X ≥ 75 ) =0.0062
P ( A ∩ B ) =0.0013 × 0.0062 P ( A ∩ B ) =0.00000 8
espuesta 0.00000/ la ocurrencia es mu# poco probable. 5.1= Un >abricante de escapes para autom!viles desea garantiar su producto durante un per(odo igual al de la duraci!n del ve?(culo. ;l >abricante supone que el tiempo de duraci!n de su producto es una variable aleatoria con una distribuci!n normal, con una vida promedio de = años # una deviaci!n est$ndar de 6 meses. Si el costo promedio por unidad es de @10, 'cu$l puede ser el costo total de reemplao para los primeros dos años, si se instalan 1000000 unidades) *= +*1%
( )
P ( X ≤ 2 )= P Z ≤
2 −3 1 2
P ( X ≤ 2 )= P ( Z ≤ − 2 )
P ( X ≤ 2 )= 0.0228 0.0228 × 10 $ × 1000000 Unidades= $ 228000
espuesta @%%/000 5.15 Un peri!dico llev! a cabo una encuesta entre -00 personas seleccionadas aleatoriamente, en un estado, sobre el control de armas. Be las -00 personas, %%0 se pronunciaron a >avor de un estricto control. a: 'Cu4 tan probable resulta el ?ec?o de tener %%0 o m$s personas a >avor del control de armas, si a poblaci!n de ese estado se encuentra dividida en opini!n de igual manera) Distribuida uniforme a=1 b = 400
f ( x )= f ( x )=
1
b −a 1 399
f ( x )=0.002506
b: Sup!ngase que se encuesta a %000 personas teniendo la misma proporci!n de 4stas a >avor del control de armas que la del inciso anterior. 'D!mo cambiar(a su respuesta al inciso a:). Distribuidauniforme a =1 b =2000
f ( x )= f ( x )=
1
b −a 1 1999
f ( x )=0.000500
c: Si el nEmero de personas encuestadas es de 10000, 'cu$l es la probabilidad de tener una ocurrencia di>erente a la del inciso b:) Distribuida uniforme a=1 b =10000
f ( x )= f ( x )=
1
b −a 1 9999
f ( x )=0.000100
espuesta a: 0.0%506 b: ≅0 c:≅0 5.17 una organiaci!n llev! a cabo una encuesta entre 1600 personas, seleccionadas de manera aleatoria de toda la poblaci!n del pa(s, para conocer su opini!n con respecto a la seguridad en las plantas de energ(a nuclear. Be este grupo, el 60& opin! que las plantas de energ(a nuclear tienen mu# poca seguridad. Don base en
estos resultados 'eFiste alguna ra!n para dudar que la poblaci!n en general tiene una opini!n neutral con respecto a este asunto) f ( x )=
1 =0,000625 1599
( )= 0.000625 × 0.4
40 de f x
p=0.00025
espuesta Si , la probabilidad de ocurrencia es virtualmente 0 1 de cada -000 personas. 5.1" Sea G una variable aleatoria con distribuci!n uni>orme sobre el intervalo 9a, b:. a: 'Du$l es la probabilidad de que G tome un valor que se encuentre en una desviaci!n est$ndar de la media). μ=
σ =
a+ b 2
√
2
( b− a )
2 √ 3
12
μ + σ =
− =b a
a + b b− a
+
2
2 √ 3
√ 3 ( b −a ) √ 3 2 √ 3
√ 3 ( a + b ) + μ + σ =
μ + σ =
√ 3 ( a + b ) + √ 3 ( b −a )
μ + σ =
√ 3 ( 2 b )
2 ×3
6
μ + σ √ 3 = =0.5774 p= b 3
b: 'uede tomar G un valor que se encuentre a dos desviaciones est$ndar de la media). μ + 2 σ ≤b μ−b ≤ −2 σ a +b 2
−b ≤
a−b 2
≤
b− a
√ 3
−( a−b ) √ 3
a−b 2
+
a −b
√ 3
≤0
1
1
2
√ 3
(a −b )( +
)≤ 0
( a −b ) 1.7735 ≤ 0 a −b ≤ 0 a≤b
espuesta a: 0.577- b: no 5.%1 Sea G una variable aleatoria con distribuci!n uni>orme sobre el intervalo 9a, b:. Si E(X)=10 # Var(X)= 1%, encontrar los valores de a # de b. a +b 2
= E ( X )=10
a + b =20 a =20−b (b −a )2 12
=12
( b −20 + b )2= 144 2 b−20 =12 2 b=32 ; b =16 a =20−b =20 −16= 4
espuesta a* -, b*16 5.%= Sea G una variable aleatoria con distribuci!n beta # par$metros H* = # I* 1. a: Jrafcar la >unci!n de densidad de probabilidad. b: Kbtener la media, la variana, la desviaci!n media, el coefciente de asimetr(a # la curtosis relativa. c: 'Du$l es la probabilidad de que G tome un valor que se encuentre dentro de una desviaci!n est$ndar a partir de la media) ' A dos desviaciones est$ndar) d: Beterminar los cuantiles de esta distribuci!n. espuesta b: ;9G: * 0.75, Lar9G:*0.0=75, B.M.9G: * 0.15/%, H =9G:* N0./607, H-9G:* =.0"5% c: 0.667", 0."5%= d: 0.6=, 0.7"=7, 0."0/6 5.%" Sea G una variable aleatoria con distribuci!n gama con H* % # O* 50. a: 'Du$l es la probabilidad de que G tome un valor menor al valor de la media) μ= !
μ=2 × 50 =100 " ( P ( X < 100 )= P ( X ≤ 100 )=
100 ) 50
# ( 2 )
" ( 2 ) 1.188 = =0.594 2 # ( 2)
=
b: 'Du$l es la probabilidad de que G tome un valor ma#or de dos desviaciones est$ndar con respecto a la media) σ =√ !=70.71
(
" P ( X ≥ μ+ 2 σ ) =1− P ( X ≤ 241.42 )= 1−
241.42 50
# ( 2 )
)= − (
" 4.82 )
1
# ( 2 )
=1− 0.9534 =0.0466
c: 'Du$l es la probabilidad de que G tome un valor menor al de su moda) Moda*HONO " ( P ( X ≤ ! −! )= P ( X ≤ 100 −50 ) = P ( X ≤ 50 )=
50 ) 50
# ( 2 )
" (1 ) =0.2642 # (2)
=
espuesta a: 0.5"- b: 0.0-66 c: 0.%6-%. 5.=1 2a edad a la que un ?ombre contrae matrimonio por primera ve es una variable aleatoria con distribuci!n gamma. Si la edad promedio es de =0 años # lo mas comEn es que el ?ombre se case a los %% años, encontrar los valores de los par$metros H # O para esta distribuci!n. μ= ! =30 moda =! −! =22 30−! =22 != 8 =
30 =3.75 8
espuesta H* =.75, O* /. 5.=7 ;l tiempo de duraci!n de un sistema se encuentra aproFimado por una distribuci!n de Peibull con H* % # O* 50. a: Kbtener la media # los deciles de esta distribuci!n.
( )=
E ( X )=!# 1 +
[ = [ = [
d 1=!
d2 !
d3 !
ln
ln
ln
( (
(
1 2
1 1−0.1 1 1−0.2 1 1−0.3
50 # ( 1.5 ) =50 × 0.8862 =44.3113
] )] = )] = 1
) = 50 × 0.32=16.23 2
1 2
50 × 0.32=23.62
1 2
50 × 0.32 =29.86
[ = [ = [ = [ = [ = [
d 4 =!
d5 !
d6 !
d7 !
d8 !
ln
ln
ln
ln
ln
( (
( (
(
] )] = )] = )] = )] = )] = 1
1
) =50 × 0.32 =35.74 2
1−0.4
1
1
2
1−0.5
50 × 0.32 = 41.63
1
1
2
1− 0.6
50 × 0.32= 47.86
1
1
2
1−0.7
50 × 0.32= 54.86
1
1
2
1− 0.8
1 d 9 ! ln ( 1− 0.9
1 2
50 × 0.32 = 63.63
50 × 0.32 =75.87
b: Kbtener la confabilidad de este sistema en t* 75. espuesta a: ;9G: * --.=11= 16.%= %=.6%, %"./6, =5.7-, -1.6=, -7./6, 5-./6, 6=.6=, 75./7 b: 0.1055.=" Sea G una variable aleatoria con distribuci!n eFponencial. a: 'Du$l es la probabilidad de que G tome un valor ma#or que la media) *O 9GQ: P ( X > ! ) =1 − P ( X ≤ ! ) −!
P ( X > ! )=1 −1 + e ! =0.3679
b: 'Du$les son las probabilidades de que G tome un valor que se encuentre en un intervalo igual a una desviaci!n est$ndar, primero , # en un intervalo igual a dos desviaciones est$ndar de la media) P ( X ≤ μ+ σ )= P ( X ≤! + ! ) P ( X ≤ μ+ σ )= P ( X ≤ 2 ! ) −2 !
P ( X ≤ 2 ! )=1 −e
!
= 0.8647
P ( X ≤ μ+ 2 σ ) = P ( X≤ ! + 2 ! ) P ( X ≤ μ+ 2 σ ) = P ( X ≤ 3 ! ) −3 !
P ( X ≤ μ+ 2 σ ) =1−e
!
P ( X ≤ μ+ 2 σ ) =0.9502
espuesta a: 0.=67" b: 0./6-7, 0."50% 5.-1 Un dispositivo tiene una >recuencia de >alla constante ?9t: * 10 N % por ?ora.. a: 'Du$l es la confabilidad del dispositivo para t * %00 ?oras). b: Si 500 de estos dispositivos >allan de manera independiente, 'cu$l es el nEmero esperados de >allas entre 4stos, despu4s de %00 ?oras) espuesta a: 0.1=5= b:-==
