Distribución normal
La distribución de probabilidad continua más importante en todo el campo de la estadística, es la la distribución normal , debido a que en la práctica muchos fenómenos, industriales, científicos, o de la vida diaria pueden describirse por esta distribución. También mediante esta distribución se obtienen aproximaciones a otras leyes de probabilidad. Definición una variable aleatoria contínua !, se dice que está distribuida normalmente, con media " #$% & " & %' y varian(a )* + , si su función de densidad de probabilidad está dada por
-otación una notación muy usada para la distribución normal es,
ue se lee /la variable aleatoria ! se distribuye normalmente con media " y varian(a 012. La 3ráfica de la distribución normal está dado en la fi3.4.5.6. 7ara una me8or comprensión daremos al3unas pautas 3enerales de cómo se obtiene esta 3ráfica.
son de inflexión. 9ntonces la 3ráfica de f es cóncava hacia arriba en & $%, "$0+, cóncava hacia aba8o en &"$0, "+ y &", ":0+, cóncava hacia arriba en & ":0, %+
;na propiedad importante de la distribución normal es su simetría respecto a la recta ! < ". 9n efecto
La función de distribución acumulada de la variable aleatoria ! distribuida normalmente está dada por,
9sta inte3ral no puede calcularse directamente, sin embar3o, se puede representar por el área sombreada en la fi3. 4 .5 .* y su valor se determina con la ayuda de tablas como se verá en la sección 4 .5 .*. La 3ráfica de la función de distribución acumulativa se representa en la fi3ura 4 .5 .5.
La media y la varianza de la distribución normal están dadas por
7ues esta inte3ral es la densidad de probabilidad normal con media " < y varian(a 01 < 6. #9l valor de la inte3ral es 6'. 7or lo tanto 9 #!' < : " < " La varian(a
=nte3rando por partes, se tiene
9s decir, los dos parámetros que determinan completamente la distribución normal son su media y su varian(a. Los valores medios pueden representarse en las 3ráficas de las funciones de densidad como se muestra en la fi3. 4.5.>. ?emos visto que la función de densidad normal es simétrico respecto a su media.
La varian(a es una medida de la variabilidad o dispersión de la variable aleatoria. @ mayor varian(a, mayor variabilidad. 9sto puede demostrase 3ráficamente en la fi3. 4 .5 .A. La desviación estándar, puede usarse para locali(ar los puntos de inflexión de la función de densidad. ?emos visto que los puntos de inflexión corresponden a "$0 y ":0.
6.3.4 TEOREMA CENTRAL DEL LIMITE
9l teorema central del límite, es uno de los conceptos más importantes en estadística. 9ste teorema 8ustifica la importancia de la distribución normal. T9BC9@ >.5.5 E9-TC@L D9L L==T9 Fea !6, !*,G., !n una sucesión de variables aleatorias independientes con
Fi Hn < ! 6 : !* : . : !n , entonces ba8o ciertas condiciones 3enerales, la variable aleatoria In definida por
tiene una distribución aproximadamente -#,6', cuando n es 3rande. 9s decir si Jn es la función de distribución de I n , se tiene
Las Kcondiciones 3eneralesK mencionado en el teorema, son resumidos informalmente como si3ue los términos ! tomados
individualmente, contribuye con una cantidad despreciable a la variación de la suma, y no es probable que un simple término ha3a una 3ran contribución a la suma. Bbserve que la variable aleatoria
puede ser aproximada por
;na variable aleatoria distribuida normalmente, cualquiera que sea la distribución de las !i. 9sta es una buena ra(ón para la importancia de la distribución normal en estadística. 9n muchos problemas la variable aleatoria que se considera, se pueden considerar como la suma de n variables aleatorias independientes, y por lo tanto, su distribución puede aproximarse por la distribución normal. eremos ahora un caso especial del teorema central del límite, cuando cada !i tiene la misma distribución. T9BC9@ >.5.> Fean !6 , !* , . . . , !n, n variables aleatorias independientes, idénticamente distribuidas con #media y varian(a comMn y finitas'. Fi Hn < !6 : !* : . . . : !n . 9ntonces la variable aleatoria
Donde
tiene aproximadamente una distribución -#,6'. 9s decir, para todo ( pertenece a =C se tiene que
9N97LB 6 La vida de cierto foco electrónico tiene una distribución exponencial con media " < *5 días. Tan pronto como un foco se quema, es reempla(ado por otro. OEuál es la probabilidad que durante un aPo se necesitan más de *A focosQ FBL;E=Bida Mtil del i$ésimo foco # i < 6,*,. . . , *A' , denota la suma de los tiempos en que los *A focos se queman. !i es una variable aleatoria con distribución exponencial, cuya media es
9N97LB * La lon3itud a que se puede estirar sin ruptura un filamento de -y=on es una variable aleatoria exponencial con media de A, pies. OEuál es la probabilidad #aproximada' que la lon3itud promedio de 6 filamentos este comprendida entre >,RA y A,AA piesQ FBL;E=B!i < lon3itud a que se puede estirar un filamento de -ylon sin ruptura.
9ntonces,
4.6 DISTRIBUCION
UNIFORME
D9J=-=E=B- 4.6.6 Fea ! una variable aleatoria contínua, que toma todos los valores de un intervalo S a,b , donde a y b son nMmeros reales y a < b. Fi la función de densidad de probabilidad de ! está dada por
Fe dice que ! se distribuye uniformemente en el intervalo S a , b . La 3ráfica de la función de densidad se muestra en la fi3ura 4. 6. 6. ;na variable aleatoria continua uniformemente distribuida, representa la analo3ía a los resultados i3ualmente posibles en el sentido si3. 7ara cualquier sub $ intervalo S c , d , donde a < c < d < b, la P [ c < x < d] es la misma para todo los sub $ intervalos que tienen la misma lon3itud.
Fólo depende de la lon3itud del intervalo y no de la ubicación del intervalo. La función de distribución acumulativa está dado por
que se puede escribir así
Fu 3ráfica está representado en la fi3. 4 .6 .*
La media y la varianza de la distribución uniforme son
EJEMPLO 1 Fea
! una variable aleatoria distribuida uniformemente en el intervalo S , 4. Ealcular 7SU! $ u l + * . FBL;E=B- Desde que la variable aleatoria ! si3ue en una distribución uniforme en el intervalo S D ,4 , la función de distribución acumulativa es
La esperan(a de ! es
EJEMPLO Fea
! una variable aleatoria distribuida uniformemente con media " < 6 y varian(a 01 < > V5. ?allar 7 S! & . FBL;E=B- Fupon3a que ! si3ue una distribución uniforme en el intervalo Sa ,b 9ntonces,
Cesolviendo el sistema de ecuaciones #6 ' y #* ' se obtiene a < -1 y b<5. La función de distribución acumulativa de ! es
Los microbuses de cierta línea van a un horario estricto con intervalo de W minutos. ;n EJEMPLO !
pasa8ero lle3a de imprevisto a un determinado paradero. F i ! es la variable aleatoria que representa el tiempo de espera del pasa8ero. ?allar #a' la función de densidad de la variable aleatoria !. #b' la función de distribución de !. #c' la probabilidad que espere al microbus menos de A minutos. #d' la probabilidad que espere más de * minutos. #e' la probabilidad que espere exactamente R minutos. FBL;E=B- La variable aleatoria ! está definida por ! #X' < tiempo #en minutos' que debe esperar el pasa8ero. 7uesto que, el pasa8ero lle3a en cualquier instante al paradero, y todos los instantes son i3ualmente posibles #equiprobables', la variable aleatoria ! si3ue una distribución uniforme en un intervalo S a,b de lon3itud b-a = W Eonsiderando a < y b < W, la función de densidad de ! es
(b) la función de distribución acumulativa es
#c' Fea el evento @ K el pasa8ero espera menos de A minutosK @ es equivalente a que la variable aleatoria ! está comprendido entre y A minutos. 9s decir
(d) 9l pasa8ero espera más de * minutos
(e) 7 S! < R < , porque ! es una variable aleatoria continua.
EJEMPLO " Fuponer
que se obtienen barras de mantequilla de un cuarto de libra con una máquina a partir de peda(os más 3randes. Fe supone que los peda(os más 3randes son de densidad uniformeY si la lon3itud de cada barra es exactamente *RVW pul3adas, entonces la barra pesa Z libra. Fupon3a que la lon3itud real ! de una barra cortada por esta máquina tiene la misma posibilidad de estar comprendido en el intervalo entre 5.5A y 5.>A pul3adas. Fuponiendo que las lon3itudes de las barras cortadas por esta máquina son independientes. OEuál es la probabilidad que las > barras de un paquete determinado de mantequilla pesan cuando menos 6V> de libraQ Oue exactamente 5 pesen cuando menos 6V> de libraQ FBL;E=B- La variable aleatoria !, definida como la lon3itud de una barra cortada por la máquina, tiene una distribución uniforme en el intervalo S5.5A Y 5.>A . La función de distribución es
La probabilidad que una barra pese cuando menos 6V> libra, es i3ual a la probabilidad que la lon3itud de la barra sea cuando menos *RVW pul3adas. 9ntonces
#a' Fe extrae un paquete de > barras al a(ar. Teniendo en cuenta que las lon3itudes de las barras cortadas por la máquina son independientes, tenemos que
62 DISTRIBUCION EXPONENCIAL
D9J=-=E=B- 4 .* .6 Fea ! una variable aleatoria continua. Fe dice que ! tiene una distribución exponencial con parámetro real , si su función de densidad está dado por
donde el parámetro real !, es una constante positiva. La 3ráfica de la función de densidad se muestra en la fi3ura 4 .* .6.
!a #unción $% $istribución de la variable aleatoria ! con distribución exponencial es
La fi3ura 4 .* .* muestra la 3ráfica de J #x '
Eálculo de esperan(a #o media' de !.
@plicando inte3ración por partes
Eálculo de la varian(a de la variable aleatoria !.
@plicando el método de inte3ración por partes * veces obtenemos,
EJEMPLO 1
Fupon3a que la vida de cierto tipo de tubos electrónicos tiene una distribución exponencial con vida media de A horas. Fi ! representa la vida de un tubo #el tiempo que dura el tubo'. #a' ?allar la probabilidad que se queme antes de las 5 horasQ #b' OEuál es la probabilidad que dure por lo menos 5 horasQ #c' Fi un tubo particular ha durado 5 horas. OEuál es la probabilidad de que dure otras > horasQ SOLUCION
Fabemos que " < 6V[, entonces 6V[ < A, de donde [ < 6VA. La función de densidad de la variable aleatoria ! es,
La función de distribución es
Bbserve que, P [X > 700X > 300 ! P [X > 400" este es una propiedad de la distribución exponencial que se conoce como la de no t%n%r m%moria& 9n 3eneral, dado cualquier real a, b + , se tiene 9s decir, se cumple
EJEMPLO
9l A\ de los tubos producidos por cierta factoría son defectuosos. 9l tiempo de vida T de un tubo defectuoso es una variable aleatoria exponencial con media .A #aPos', mientras que el tiempo de vida T6 de un tubo no defectuoso es una variable aleatoria exponencial con media * #aPos'. OEuál es la probabilidad que un tubo esco3ido al a(ar dure #a' a lo más * aPosQ #b' a lo más > aPosQ , #c' menos de * aPosQ SOLUCION
Definimos la variable aleatoria ! y el evento D como si3ue ! #X' < tiempo de vida del tubo esco3ido al a(ar. D < el tubo esco3ido es defectuoso. D < el tubo esco3ido es no defectuoso. Debemos calcular 7 S! # * , 7 S! #> y 7S! & * ;sando el teorema de probabilidad total para los eventos S! # " , D y D] se tiene 7 S! # " < 7 SD 7 ST # " D : 7 SD] 7 ST6 & " D] < #.A' 7 ST & " : #.^A' 7 ST6 & " GG# 6' T y T6 son variables aleatorias exponenciales con parámetros [ < 6V" < 6V.A < * y < 6V"6 < _ < .A respectivamente. Las funciones de distribución de T y T6 son
Cespectivamente, la expresión #6' se escribe
Las probabilidades pedidas son
[6
