Distribución exponencial La distribución exponencial es el equivalente continuo de la distribución geométrica discreta. Esta ley de distribución describe procesos en los que: Nos interesa saber el tiempo hasta que ocurre determinado evento, sabiendo que, el tiempo que pueda ocurrir desde cualquier instante dado t , hasta que ello ocurra en un instante t f f , no depende del tiempo transcurrido anteriormente en el que no ha pasado nada. Ejemplos de este tipo de distribuciones son:
El tiempo que tarda una partícula radiactiva en desintegrarse. El conocimiento de la ley que sigue este evento se utiliza en Ciencia para, por ejemplo, la datación de fósiles o cualquier materia orgánica mediante la técnica del carbono 14, C 14; El tiempo que puede transcurrir en un servicio de urgencias, para la llegada de un paciente; En un proceso de Poisson donde se repite sucesivamente un experimento a intervalos de tiempo iguales, el tiempo que transcurre entre la ocurrencia de dos sucesos consecutivos sigue un modelo probabilístico exponencial. Por ejemplo, el tiempo que transcurre entre que sufrimos dos veces una herida importante.
Concretando, si una v.a. continua función de densidad es
X
distribuida a lo largo de
, es tal que su
se dice que sigue una distribución exponencial de parámetro
Figura: Función de densidad, f , de una
.
,
.
Un cálculo inmediato nos dice que si x >0,
luego la función de distribución es:
Figura: Función de distribución, F , de
, calculada como el área que deja por debajo de sí la función de densidad.
Para calcular el valor esperado y la varianza de la distribución exponencial, obtenemos en primer lugar la función característica para después, derivando por primera vez
y derivando por segunda vez, Entonces la varianza vale
APLICACIONES Ejemplo 1 Se sabe que el tiempo de espera una persona que llama a un centro de atención al público para ser atendido por un asesor es una variable aleatoria exponencial con μ = 5 minutos. Encuentre la probabilidad de que una persona que llame al azar en un momento dado tenga que esperar: f(x) = F(x)= a. A lo sumo 5 minutos.
P(X < 5) = F(5) = 1- e-1 = 1 -0.3679 = 0.6321=63.21%
b. Al menos 10 minutos.
P(X > 10) = 1- F(10) = 1 – [1-e-2] = e-2 = 0.1353=13.53% c. Entre 3 y 10 minutos.
P(3 < X < 10) = F(10) – F(3) = [1-e-2] - [1-e-0.6] = e-0.6 - e-2 = 0.4135=41.35% Ejemplo 2
Se sabe que el kilometraje, en miles de kilómetros, que un autobús recorre antes de que se someta a una reparación del motor sigue una distribución exponencial con μ = 80. a. Si se tiene una flota de 300 autobuses, ¿cuántos se esperaría que se sometieran a reparación antes de los 60, 000 Km? R/ 158 b. ¿Cuál es la probabilidad de que un autobús recorra más de 100,000 Km. antes de someter el motor a reparación? R/ 28.65%
Ejemplo 3 La Internet Magazine supervisa a los proveedores de servicios de internet y proporciona estadísticas de su desempeño. El tiempo promedio para descargar una página Web para PSI gratuitos es aproximadamente 20 segundos para páginas web europeas. Suponiendo que el tiempo para descargar una pagina web sigue una distribución exponencial. a. Cual es la probabilidad de que tome menos de 10 segundos en descargar una pagina. b. Cual es la probabilidad que tome más de 30 segundos en descargar una pagina. c. Cual es la probabilidad que tome entre 10 y 30 segundos.
Ejemplo 4 El tiempo entre llegadas de vehículos a una intersección particular sigue una distribución de probabilidad exponencial con una media de 12 segundos. a. Dibuje esta distribución de probabilidad exponencial. b. Cual es la probabilidad de que el tiempo entre la llegada de vehículos sea de 12 segundos. c. Cual es la probabilidad de que el tiempo sea de 6 segundos o menos. Ejemplo 5 El periodo de vida en años de un interruptor eléctrico tiene una distribución exponencial con un promedio de falla de μ=2 años ¿cual es la probabilidad de que al menos ocho de 10 de tales interruptores, que funcionan independientemente, fallen después del tercer año? Si el promedio de fallos es 2 años sabemos que E(X)=1/λ Por lo tanto 2=1/λ y λ=1/2=0.5 las fórmulas de la exponencial es f(x) = λ*exp(-λ*x) P(X<=x) = F(x) = 1-exp (-λ*x) La probabilidad que un interruptor falle después de 3 años es P(X>3) = 1-P(X<=3) =
1-F(3) = 1- ( 1-exp(-0.5*3) ) = 0.2231 Es decir que la probabilidad que un interruptor falle es p=0.2231=22.31% Ejemplo 6
El tiempo que se dedica a atender al público en el mostrador de información de una biblioteca. El tiempo que se dedica a atender al publico en el mostrador de información de una biblioteca puede representarse por medio de una distribución exponencial que tiene un tiempo medio de atención de 5 minutos. Cual es la probabilidad de que el tiempo de atención al público sea de más de 10 minutos.
SOLUCION Sea t el tiempo de atención en minutos: La tasa de atención es λ = 1/5=0.2 por minuto y la función de densidad es: f(t)=λe-λt
f(x)
0.2
0.0
10
20
x
P(t>10)= 1 – P(t<10) 1 – F(10) = 1 - (1-e –(0.20)(10)) = 0.1353 Por lo tanto, la probabilidad de que el tiempo de atención sea más de 10 minutos es 13.53%.
Ejemplo 7 En Gran Bretaña, una fabrica de 2000 asalariados tiene un numero semanal medio de accidentes con baja igual a λ = 0.4 y el numero de accidentes sigue una distribución de Poisson. Cual es la probabilidad de que el tiempo que transcurre entre los accidentes sea de menos de 2 semanas. SOLUCION P (t<2) = F(2) = 1 – e-λt = – 0.8 1 e- = 0.5507 Por lo tanto, la probabilidad de que transcurran menos de 2 semanas entre los accidentes es de alrededor de 55%
Distribución Weibull La distribución de Weibull complementa a la distribución exponencial y a la normal, se usa cuando se sabe de antemano que una de ellas es la que mejor describe la distribución de fallos o cuando se han producido muchos fallos (al menos 10) y los tiempos correspondientes no se ajustan a una distribución más simple. La distribución de Weibull, que recibe su nombre del investigador sueco que la desarrolló, se caracteriza por considerar la tasa de fallos variable, siendo utilizada
por su gran flexibilidad, al poder ajustarse a una gran variedad de funciones de fiabilidad de dispositivos o sistemas. La distribución de Weibull nos permite estudiar cuál es la distribución de fallos de un componente clave de seguridad que pretendemos controlar y que a través de nuestro registro de fallos observamos que éstos varían a lo largo del tiempo y dentro de lo que se considera tiempo normal de uso. La distribución de Weibull se representa normalmente por la función acumulativa de distribución de fallos F (t):
Siendo la función densidad d e probabilidad:
La tasa de fallos para esta distribución es:
Las ecuaciones (1), (2) y (3) sólo se aplican para valores de (t - t 0) ≥ 0. Para valores de (t - t 0) < 0, las funciones de densidad y la tasa de fallos valen 0. Las constantes que aparecen en las expresiones anteriores tienen una interpretación física:
es el parámetro de posición (unidad de tiempos) 0 vida mínima y define el punto de partida u origen de la distribución. η es el parámetro de escala, extensión de la distribución a lo largo, del eje de los tiempos. Cuando (t - t 0) = η la fiabilidad viene dada por: R (t) = exp - (1) ß = 1/exp 1ß = 1 / 2,718 = 0,368 (36,8%) Entonces la constante representa también el tiempo, medido a partir de t 0 = 0, según lo cual dado que F (t) = 1 - 0,368 = 0,632, el 63,2 % de la población se espera que falle, cualquiera que sea el valor de ß ya que como hemos visto su valor no influye en los cálculos realizados. Por esta razón también se le llama usualmente vida característica. ß es el parámetro de forma y representa la pendiente de la recta describiendo el grado de variación de la tasa de fallos. t0
F(x)= F(x)= 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 x 5 6 7 8 9 . . . . . 0 0 0 0 0
1 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7 . 8 . 9 . 1 1 1 1 1 1 1 1 1
BIBLIOGRAFIA 1. Estadística para Administradores y Economía, Paul Newold, Carlson, Thorne, 6ª edición, Editorial Pearson. 2. Probabilidad y estadística para Ingenieros, walpole, Myers, 6ª. edición, Edit. Prentice Hall. 3. Probabilidad y Estadistica para ingenieros, William w. hines, Douglas C. Montgomery, 3ª. Edicion, Edit. Cecsa. 4. Metodos Cuantitativos, Anderson, sweeney, William, 9ª Edicion, Edit. Thomson http://www.youtube.com/watch?v=bOtw7gCESsI
5. http://www.hrc.es/bioest/estadis_1.html 6. http://colposfesz.galeon.com/est501/distfrec/mettab/mettab.htm 7. http://www.monografias.com/trabajos11/numind/numind.shtml
