DISTRIBUCION DISTRIBUCION EXPONENCIAL La distribución exponencial es el equivalente continuo de la distribución geométrica discreta. Esta ley de distribución describe procesos en los que interesa saber el tiempo hasta que ocurre determinado evento; en particular, se utiliza para modelar tiempos de supervivencia. Un ejemplo es el tiempo que tarda una partícula radiactiva en desintegrarse. El conocimiento de la ley que sigue este evento se utiliza, por ejemplo, para la datación de fósiles o cualquier materia orgánica mediante la técnica del carbono 14. Una característica importante de esta distribución es la propiedad conocida como “falta de memoria”. Esto significa, por ejemplo, que la probabilidad de que un individuo de edad t sobreviva x años más, hasta la edad x+t, es la misma que tiene un recién nacido de sobrevivir hasta la edad x. Dicho de manera más general, el tiempo transcurrido desde cualquier instante dado t0 hasta que ocurre el evento, no depende de lo que haya ocurrido antes del instante t0. La distribución exponencial se puede caracterizar como la distribución del tiempo entre sucesos consecutivos generados por un proceso de Poisson; por ejemplo, el tiempo que transcurre entre dos heridas graves sufridas por una persona. La media de la distribución de Poisson, lambda, que representa la tasa de ocurrencia del evento por unidad de tiempo, es el parámetro de la distribución exponencial, y su inversa es el valor medio de la distribución. También se puede ver como un caso particular de la distribución gamma(a,p), con a=lambda y p=1. El uso de la distribución exponencial ha sido limitado en bioestadística, debido a la propiedad de falta de memoria que la hace demasiado restrictiva para la mayoría de los problemas. Campo de variación: 0
Parámetros: lambda: tasa, lambda > 0 Mientras que la distribución de Poisson describe las llegadas por unidad de tiempo, la distribución exponencial estudia el tiempo entre cada una de estas llegadas. Si las llegadas son de Poisson el tiempo entre estas llegadas es exponencial. Mientras que la distribución de Poisson es discreta la distribución
exponencial es continua porque el tiempo entre llegadas no tiene que ser un número entero. Esta distribución se utiliza mucho para describir el tiempo entre eventos. Más específicamente la variable aleatoria que representa al tiempo necesario para servir a la llegada. Ejemplos típicos de esta situación son el tiempo que un medico dedica a una exploración, el tiempo de servir una medicina en una farmacia, o el tiempo de atender a una urgencia. El uso de la distribución exponencial supone que los tiempos de servicio son aleatorios, es decir, que un tiempo de servicio determinado no depende de otro servicio realizado anteriormente ni de la posible cola que pueda estar formándose. Otra característica de este tipo de distribución es que no tienen "edad" o en otras palabras, "memoria". Por ejemplo. Supongamos que el tiempo de atención de un paciente en una sala quirúrgica sigue una distribución exponencial. Si el paciente ya lleva 5 horas siendo operado, la probabilidad de que esté una hora más es la misma que si hubiera estado 2 horas, o 10 horas o las que sea. Esto es debido a que la distribución exponencial supone que los tiempos de servicio tienen una gran variabilidad. A lo mejor el próximo paciente operado tarda 1 hora porque su cirugía era mucho más simple que la anterior.
Esta distribución se utiliza como modelo para la distribución de tiempos entre la presentación de eventos sucesivos. Existe un tipo de variable aleatoria que obedece a una distribución exponencial la cual se define como EL TIEMPO QUE OCURRE DESDE UN INSTANTE DADO HASTA QUE OCURRE EL PRIMER SUCESO Se dice que una variable aleatoria continua tiene una distribución exponencial con parámetro λ > 0 si: o su función de densidad es:
su esperanza o valor esperado
Su varianza
La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza
Su función de distribución acumulada es:
Sea X una distribución exponencial, entonces: P(X > a+t | X > a)=P( X >t ) Supongamos que la duración de cierto componente en estado sólido X es exponencial. Entonces la probabilidad de que X dure t unidades después de haber durado a unidades es la misma que la probabilidad de que X dure t unidades cuando X estaba nuevo.
Ejemplo No. 1: Suponga que el tiempo de respuesta X en cierta terminal de computadora en línea (el tiempo transcurrido entre el fin de la consulta del usuario y el principio de la respuesta del sistema a esa consulta) tiene una distribución exponencial con tiempo esperado de respuesta igual a 5 s. a. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de respuesta sea a lo sumo 10 s? b. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de respuesta esté entre 5 y 10s?
Datos: E ( X ) = 1 / λ = 5 s :. λ = 0,2 a. Obteniendo la distribución acumulada: o F(10)=1- e ^ - ( 0.2 * 10 )= 1 – e ^ -2 =0,8646 P(X<=10)=F(10)=0,86 o b. La probabilidad de que el tiempo de respuesta esté entre 5 y 10s es: P (5 <= X <=10) = F(10) – F(5) = ( 1 - e ^ -2) – ( 1 - e ^ -1) =0,233
Ejemplo No. 2:
Suponga que la vida de cierto tipo de tubos electrónicos tiene una distribución exponencial con vida media de 500 horas. Si X representa la vida del tubo (tiempo q dura el tubo).
a) Hallar la probabilidad que se queme antes de las 300 horas.
b) ¿Cuál es la probabilidad que dure por lo menos 300 horas?
c) Si un tubo particular ha durado 300 horas. ¿cuál es la probabilidad de que dure otras 400 horas?
Solución
