DISTRIBUCIONES CONTÍNUAS Exponencial y Uniforme

Lic. Vicente Sánchez y Ramírez Distribuciones Distribuciones continuas ______________________________________________________________________________ _______________________________________ ____________________________________________________ _____________

DISTRIBUCIONES DISTRIBUCIONES CONTINUAS. 4. Distribución exponencial. 4.1 Introducción.

Las aplicac aplicacione iones s de la distribu distribución ción exponencia exponenciall son aquella aquellas s donde donde se aplica aplica el proceso Poisson. Recuerde que la distribución Poisson se emplea para calcular la probabilidad de números específicos de “eventos” durante un periodo de tiempo o espacio en particular. En muchas ocasiones el tiempo o cantidad de espacio es la variable aleatoria. La relación entre la distribución exponencial y el proceso Poisson es muy simple. La distribución Poisson se desarrolló como una distribución de un solo parámetro , donde λ era el número promedio de eventos por unidad de “tiempo o espacio ”. Considérese ahora la variable aleatoria descrita por el tiempo o espacio que se requiere para que ocurra el primer evento. Por ejemplo si un proceso Poisson tiene una media de siete ocurrencias respecto a un intervalo, entonces el espacio entre las ocurrencias en lo referente a este intervalo será 1/7. Si las llamadas para un servicio son en promedio seis llamadas por hora, entonces el tiempo promedio entre llamadas será 1/6 de hora, o lo que es lo mismo 10 minutos (60 x 1/6 = 10). Si se tienen 20 llamadas por hora en un conmutador, entonces el tiempo promedio entre entre llamada llamadas s será β = 60 / 20 = 3 minutos. Si se tienen cinco fugas en un gasoduc gasoducto to por cada cada 20 kilómetr kilómetros, os, entonces entonces el espacio espacio promedio promedio entre fugas es β = 20 / 5 = 4. Donde β es el tiempo o espacio promedio entre dos eventos Poisson.

4.2 Función de probabilidad de la distribución exponencial.

Definición. La variable aleatoria continua X tiene una distribución exponencial, con parámetro , si su función de densidad es:

F ( x ) =

1 −x / β e β

Para x > 0

La distribución exponencial se caracteriza por un parámetro β que representa el lapso promedio de tiempo entre dos eventos independientes Poisson. En el contexto de la confiabilidad, β recibe el nombre de tiempo promedio entre fallas y 1/ β es la frecuencia de falla o sea λ.

4.3 Características de la distribución exponencial 1

Lic. Vicente Sánchez y Ramírez Distribuciones continuas ___________________________________________________________________________________________

Dentro de las características más importantes de esta distribución podemos citar: La variable aleatoria de esta distribución es el tiempo o espacio determinado entre dos eventos consecutivos en un proceso Poisson. Esta distribución se aplica: (1) sólo a valores positivos de x, y (2) sólo a situaciones en los que los valores más pequeños de x sean más probables que los mayores. El parámetro que define esta función de distribución es λ, que es el promedio de eventos por unidad de tiempo o espacio. La media y la varianza de la distribución exponencial son E(x) = µ = β y V(x) = σ2 = β2

La probabilidad de que la variable aleatoria X tome un valor mayor que x, es: P ( X  x) = e

−λ x

Por lo tanto la función de distribución acumulada para X es: P ( X ≤ x) = 1 − P ( X x)

=1 − e−λ x

Visto gráficamente es:

P(X>x) = e-λx P (X≤x) = 1 - e -λx

Ahora, con objeto de que se reconozca la presencia de la distribución exponencial, puede derivarse la distribución acumulada anterior para obtener la función de densidad: −λ F ( x) = λ e x

La cual es la función de densidad de la distribución exponencial con

=1/

.

2


4.4 Ejemplos de aplicación de la distribución exponencial. Ejemplo 1. Sea x una variable aleatoria que se distribuye exponencialmente con parámetro λ = 1/5, encuentre:

a) Su función de probabilidad. 1

( −1 / 5 ) x Como F ( x) = λ e −λ x , entonces F ( x) = e

5

b) La probabilidad de que x sea menor que dos. P ( x 2) =1 − P ( x 2)

= 1 − e −(1 / 5) 2 = 0.3297 c) La probabilidad de que x sea mayor que tres. P ( x 3) = e

−(1 / 5) 3

= 0.5488

d) La probabilidad de que x se encuentre entre uno y cuatro. P (1 ≤ x ≤ 4) = P ( x ≤ 4) − P ( x ≤ 1)

= (1 − e −(1 / 5) 4 ) − (1 − e−(1 / 5)1 ) = 0.5507 – 0.1813 = 0.3694

e) El valor esperado de la variable aleatoria x. Sabemos que E(X) = β y λ =

1

β

, despejando β =

1

λ

por lo tanto β =

1 1/ 5

=5

f) La desviación estándar de la variable aleatoria x. Si σ 2 = β 2 entonces

2 σ =

2 5 , por lo tanto σ = 52 = 5

Ejemplo 2. Suponga que el tiempo que tardan en recibir su orden después de hacerla en un gran restaurante promedia 10 minutos. Suponga también que ese tiempo que espera en ser atendido se distribuye exponencialmente.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que su tiempo de espera sea mayor de 10 minutos?

Datos:

β = 10 λ = 1 / 10 = 0.1 pedidos promedio por minuto. La probabilidad requerida es P (x > 10) 3


P (x > 10) = e-λx = e-0.1(10) = 0.3678 b) Obtenga la probabilidad de que su tiempo de espera sea de 10 minutos o menos. La probabilidad solicitada es P (x ≤ 10), la cual es: P (x ≤ 10) = 1 – P (x > 10) = 1 – e -0.1(10) = 1 – 0.3678 = 0.6322 c) Encuentre la probabilidad de que su tiempo de espera sea de tres a cinco minutos. P (3 ≤ x ≤ 5) = P (x ≤ 5) – P (x ≤ 3) = (1 – e -0.1(5)) - (1 – e -0.1(3)) = 0.3935 - 0.2592 = 0.1343 d) ¿Cuál es el tiempo promedio que tardan en recibir su orden después de hacerla en este restaurante? Si µ = β y λ = 1 / β, despejando β tenemos que β = 1 / λ = 1 / (1 / 10) = 10.

Ejemplo 3. Considere el proceso Poisson en el que llegan cuatro aviones por hora a un aeropuerto. Entonces el tiempo promedio entre llegadas consecutivas de los aviones es 1/4 de hora, o sea 15 minutos.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya tiempos de más de ¼ de hora entre llagadas? Datos:

β = 60 / 4 =15 minutos. λ = 1 / 15 = 0.06667 llegadas promedio por minuto. La probabilidad requerida es P (x > 15). P (x > 15) = e-0.06667(15) = e -1.00005 = 0.3679 b) ¿Cuál es la probabilidad de tener tiempos menores de un décimo de hora entre llegadas? La probabilidad requerida es P (x < 6 minutos). P (x < 6) = 1 – e -0.06667(6) = 1 – 0.6703 = 0.3296 c) ¿Cuál es la probabilidad de que haya tiempos entre un décimo y un cuarto de hora entre llegadas (es decir, entre 6 y 15 minutos)? 4


P (6 < x < 15) = P (x < 15) – P (x < 6) = [ 1 – e-0.06667(15) ] - [ 1- e-0.06667(6) ] = 0.6321 – 0.3297 = 0.3024 Ejemplo 4. En un experimento de laboratorio se utilizan 10 gramos de polonio. Sabiendo que la duración media de un átomo de esta materia es de 140 días, ¿cuántos días transcurrirán hasta que haya desaparecido el 90% de este material?

Datos:

β = 140 λ = 1 / 140 La probabilidad de que x días hayan transcurrido hasta que desaparezca el 90% es: P (X ≤ x) = 1 – e-λx El tiempo que transcurre hasta que el 90% del material radioactivo se desintegra es el percentil 90, D 90, de la distribución exponencial. Por lo que ahora hay que encontrar es la variable aleatoria x de la función de distribución. Si 1 – e-λx = 0.90 y λ = 1 / 140, por lo que sustituyendo valores tenemos: 1 – e-(1/140)x = 0.90 1 – e-x/140 = 0.90, despejando x. -e-x/140 = 0.90 – 1 -e-x/140 = -0.10 [-e-x/140 = -0.10] (-1) e-x/140 = 0.10 Resolviendo por logaritmos tenemos: -x /140 Log. e = Log. 0.10 -x /140 (0.434294481) = -1 -x /140 = -1 / 0.434294481 -x /140 = - 2.302585093 -x = - 2.302585093 (140) -x = - 322.36 x = -322.36 / -1 x = 322. 36 días. Ejemplo 5. Se ha comprobado que el tiempo de vida de cierto tipo de marcapasos sigue una distribución exponencial con media de 16 años. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona a la que se le ha implantado este marcapasos se le deba reimplantar otro antes de 20 años? Si el marcapasos lleva funcionando correctamente cinco años en el paciente.

Datos:

β = 16 λ = 1 / 16 5


P (x ≤ 20) En la duración que se espera que tenga el objeto, no influye en nada el tiempo que en la actualidad lleva funcionando. Es por eso que se dice que la distribución exponencial “no tiene memoria”. P (x ≤ 20) = 1 – e -(1/16)20 = 1 - 0.286504796 = 0.7135

4.5 Ejercicios propuestos de la distribución exponencial

1. La cantidad de tiempo durante el que funciona una cámara de vigilancia sin que se le reponga, es una variable aleatoria con distribución exponencial con β = 50 días. Determine la probabilidad de que una cámara: a) Tenga que ser repuesta en menos de 40 días. R = 0.5507 b) Tenga que ser repuesta en al menos 40 días. R = 0.4493 2. Si una máquina falla en promedio una vez cada dos años, encuentre la probabilidad de que la máquina no falle durante el siguiente año. R = 0.6065 3. Una refinadora de azúcar tiene tres plantas de proceso, y reciben azúcar morena a granel. La cantidad de azúcar que puede procesar una planta en un día se puede representar mediante una función exponencial con un promedio de cuatro toneladas para cada una de las plantas. Si las plantas trabajan en forma independiente, calcular la probabilidad de que sean exactamente dos de las tres plantas las que procesen más de cuatro toneladas en un día determinado. La probabilidad de que se procesen más de cuatro toneladas en un día es R = 0.3679 La probabilidad de que sean exactamente dos las que procesen más de cuatro toneladas es R = 0.2560 4. Suponga que un sistema tiene cierto tipo de componente cuyo tiempo de falla en años está dado por la variable T, distribuida exponencialmente con tiempo promedio de falla igual a cinco años. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos continúen funcionando después de ocho años? La probabilidad de que un componente continúe funcionando después de ocho años según la exponencial es R = 0.20 La probabilidad de que al menos dos componentes continúen funcionando mediante la binomial es R = 0.2627 5. El tiempo que transcurre antes de que una persona sea atendida en una cafetería es una variable aleatoria que tiene una distribución exponencial con una media de cuatro minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona sea atendida antes de que transcurran tres minutos, en al menos cuatro de los seis días siguientes? La probabilidad de que una persona sea atendida antes de tres minutos en un día cualesquiera según la exponencial es R = 0.5276 6


La probabilidad de que sea atendido en al menos cuatro de los seis días siguientes es R = 0.3975. 6. Considere a un fabricante de equipo aéreo para mediciones de distancia (DME). La experiencia pudiera demostrar que las fallas en unidades DME pueden ser descritas por un proceso Poisson, y que una unidad falla un promedio de cuatro veces por cada 100,000 horas de uso. a) Cuál es la probabilidad de que una unidad opere sin falla más de 50,000 horas. b) Cuál es la probabilidad de que una unidad opere sin falla hasta 20,000 horas. Ra = 0.1353 y R b = 0.5507

5. Distribución uniforme. 5.1 Introducción.

La distribución uniforme es aquella en que la variable aleatoria X toma cualquier valor en un intervalo entre dos puntos, de tal manera que cada uno tiene la misma probabilidad de ocurrir. Esta función de distribución también es conocida como rectangular. Como ejemplos de esta distribución podemos citar: el tiempo de llegada de un autobús, el tiempo de maduración de una cosecha, el tiempo que tarda en procesarse un crédito, las ventas diarias en un supermercado, la tasa de inflación al año etc.

5.2 Función de probabilidad de la distribución uniforme.

Si el recorrido de la variable aleatoria X, está comprendido en un intervalo continuo y cerrado (a, b), entonces la función de densidad uniforme esta dada por: F ( x) =

1 b −a

Para a ≤ x ≤ b

5.3 Características de la distribución uniforme.

Dentro de las características más relevantes de esta distribución podemos citar: Una variable aleatoria tiene igual probabilidad de tomar cualquier valor dentro de un intervalo especificado a lo largo de una escala continua. La altura precisa de la función de distribución uniforme se obtiene por el cociente F ( x) =

1 b −a

La esperanza o media de la variable aleatoria X y su varianza están definidas por: 7

Lic. Vicente Sánchez y Ramírez Distribuciones continuas ___________________________________________________________________________________________ a +b (b − a) 2 E ( x) = µ = V ( x) = σ 2 = 2 12

Los parámetros que definen su función de densidad son a y b.

La función de distribución de probabilidad uniforme es constante en el intervalo (a, b) como se ilustra a continuación.

F ( x) =1 /(b − a )

a

b

x

La probabilidad de que x tome un valor entre a y b de manera general se define por: b

∫

P (a ≤ x ≤ b) = f ( x) dx = 1 a

La probabilidad menor o igual a un cierto valor de manera particular la definimos por: P ( X  x )

=

x

−

a

b

−

a

si a < x < b

5.4 Ejemplos de aplicación de la distribución uniforme. Ejemplo 1. Sea X una variable aleatoria que se distribuye uniformemente en el intervalo (0, 4). Encuentre:

a) La función de densidad de probabilidad y la función de distribución de probabilidad. Si a = 0 y b = 4 por lo tanto la función de probabilidad será: f ( x ) =

1 4 −0

=

1 4

para 0 ≤ x ≤ 4

La función de distribución de probabilidad (figura) es.

8


F(x) = 1/4

0

1

2

3

4

x

b) La probabilidad de que x sea menor que dos. b

f ( x )dx por lo tanto: Sabemos que P ( a ≤ x ≤ b) = ∫ a P ( x ≤ 2) =

2

∫ 1 / 4dx = 1 / 4[ x] 0

2 0

= 1 / 4(2 − 0) = 1 / 2 = 0.5

De manera directa obtenemos esta probabilidad al multiplicar la base del rectángulo pertinente (2) por su altura correspondiente (1/4). c) La probabilidad de que x sea mayor que tres. P ( x 3) =

4

∫ 1/ 4dx = 1/ 4[ x] 3

4 3

= 1 / 4 = 0.25

d) La probabilidad de que x esté comprendida entre 2 y 3. P (2 ≤ x ≤ 3) =

3

∫ 1 / 4dx = 1/ 4[ x] 2

3

= 1 / 4 = 0.25

2

e) La longitud promedio del recorrido de x. E (X) =

µ =

0+4 2

=

2

f) La varianza de x. V (X) =

2 σ =

(4 − 0) 12

2

=

1.333

Ejemplo 2. Se sabe que la inflación del próximo año se encontrará entre el 5 y el 10%, donde todos los valores comprendidos entre 5 y 10% tienen la misma probabilidad.

Gráficamente podemos representar el problema anterior como se muestra a continuación. Dado que a = 5 y b = 10, la función de densidad de probabilidad de a a b se define por: 1 / (b – a) = 1 / (10 – 5) = 1/5.

9


f(x) = 1/5

0

5

6

7

9

10

a

x

b

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la inflación sea del 6% o menos? La probabilidad solicitada es el área sombreada con rallas horizontales de la gráfica anterior. P ( x 6) =

x − a

=

b −a

6 −5 10 − 5

=

1

= 0.2

5

Esta probabilidad puede obtenerse también de manera directa al multiplicar la base del rectángulo pertinente (que mide 1) por su altura: 1 (1 / 5) = 0.2 b) ¿Cuál es la probabilidad de que la inflación sea de más del 6%? La probabilidad de inflación de más del 6%, es el área sombreada con rayas verticales más el área blanca de la gráfica. P ( x 6) = 1 − P ( x 6)

P ( x 6) = 1 −

6 −5 10 − 5

=1−

1 5

= 0.8

c) ¿Cuál es la probabilidad de que la inflación sea entre 7 y 9%? La probabilidad requerida es el área sombreada con rayas verticales en la gráfica. P (7  x 9) = P ( x 9) − P ( x 7) P (7  x 9) =

9 −5 10 − 5

−

7 −5 10 − 5

=

4 5

−

2 5

= 0.4

d) ¿Cuál es la media y la desviación estándar de la variable aleatoria? µ =

5 + 10 2

= 7.5

Valor visualmente obvio en la gráfica presentada, la varianza se calcula por: σ

2

=

(10 − 5) 2 12

=

2.083

10

Lic. Vicente Sánchez y Ramírez Distribuciones continuas ___________________________________________________________________________________________ Por lo tanto la desviación estándar será σ = 2.083 =1.443

Ejemplo 3. Considere un vuelo para llegar a la ciudad de México a la 1:30 de la tarde, pero que es igualmente probable que llegue en cualquier momento entre la 1:10 y la 1:55. Obtenga la probabilidad de que:

a) El avión llegue a tiempo o antes. Si a = 1:10 y b = 1:55, entonces la probabilidad requerida es P (x ≤ 1:30). P ( x ≤ 1 : 30) =

1.30 −1.10 1.55 −1.10

= 0.444

b) Que el avión llegue tarde para una conexión de vuelo a la 1:45 a la ciudad de Monterrey. La probabilidad solicitada es P (x > 1:45). P (x > 1.45) = 1 – P (x ≤ 1.45) = 1 −

1.45 −1.10 1.55 −1.10

=1 −

0.35 0.45

= 1 − 0.7777 = 0.2223

Ejemplo 4. Sea x una variable aleatoria continua con distribución: F ( x) =

x + k 4

0≤x≤2

Con dicha función de distribución encuentre:

a) El valor de k. b

∫ f ( x)dx =1 , por lo tanto:

Sabemos que

2

∫ 0

a

x ( + k )dx = 4

2

∫ 0

1 xdx + 4

2

∫ 0

kdx =

1 4

2

∫

0

2

∫

xdx + k

0

dx =

1 4

[ x

2

/2

] 02 + k [ x ] 02 =

1 2

+ 2k = 1

Por lo tanto k = 1 /4.

b) La probabilidad de que x sea mayor que ½. P ( x 1 / 2) =

x 1 1 ( + ) dx = 4 4 2 4 2

∫ 1

2

∫ 1 2

xdx +

1

2

4 ∫ 1

2

dx =

1 4

[ x

2

2

1

2

4

/ 2] 1 +

[ x ] 21 = 2

15 32

+

3 8

=

27 32

= 0.84375

11


5.5 Ejemplos propuestos de la distribución uniforme.

1. Si se sabe que la variable aleatoria X denota la corriente medida en un alambre delgado de cobre en miliamperes. Suponga que el rango de X es [0, 20 mA], y suponga que la función de densidad de probabilidad de X es ƒ (x) = 0.05, en todo el rango 0 ≤ x ≤ 20. ¿Cuál es la probabilidad de que una medición de la corriente esté entre 5 y 10 miliamperes? R = 0.25 2. El grosor del reborde de una componente aeronáutica tiene una distribución uniforme entre 0.95 y 1.05 milímetros. a) Determine la proporción de rebordes que exceden a 1.02 milímetros. R = 0.30 b) ¿Qué grosor exceden 90% de los rebordes? R = 0.96 3. La función de densidad de probabilidad del tiempo necesario para terminar una operación de ensamblaje es F(x) = 0.1 para 30 < x < 40 segundos. a) Determine la proporción de unidades ensambladas cuya terminación necesite más de 35 segundos. R = 0.5 b) ¿Qué tiempo es excedido por 90% de las unidades ensambladas. R = 31 c) Determine la media y la varianza del tiempo de ensamblaje. µ = 35 y σ2 = 8.33 4. Considere un vuelo programado para llegar a Keene, Nueva Hampshire, a las 1:30 p.m., pero que es igualmente probable llegue en cualquier momento entre la 1:10 y la 1:55. Obtenga la probabilidad de que: a) El avión llegue a tiempo o antes. R = 0.4444 b) Que el avión llegue tarde para una conexión de vuelo a la 1:45 de la tarde. R = 0.2222

12

DISTRIBUCIONES CONTÍNUAS Exponencial y Uniforme

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