Universidad Autónoma de Occidente Karolina Castillo Seth Probabilidad y Estadística – Grupo Oscar !illanueva
DISTRIBUCION GAMMA Y DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
La distr distribu ibuci ción ón expon exponenc encial ial es un caso caso espe especia ciall de la distr distribu ibució ción n gamma gamma,, y ambas tienen un gran número de aplicaciones. La distribución exponencial y la distribución gamma desempeñan un papel importante en la teoría de colas y en probl problema emas s de confia confiabil bilida idad. d. Los Los tiempo tiempos s entre entre llega llegadas das en insta instalac lacion iones es de servicio y los tiempos de operación antes de que partes componentes y sistemas eléctricos empiecen a fallar a menudo se representan bien mediante la distribución exponencial. exponencial. La relación relación entre la distribución gamma y la exponencial permite que la gamma se utilice en problemas similares. La distribución gamma deriva su nombre de la bien conocida función gamma, que se estudia en muchas reas de las matemti matemticas. cas. !ntes !ntes de estudia estudiarr la distribu distribución ción gamma gamma repasar repasaremos emos esta función y algunas de sus propiedades importantes. La distribución "amma se define como# ∞
∫
Γ ( α )= x
α −1
− x
e dx, para para α > 1.
0
$ropiedades de la distribución "amma a%
Γ ( ( n )= ( n−1 ) ( n−2 ) ⋯ ( 1 ) Γ ( ( 1 ) pa para rauna una integral integral positiva positiva n
$ara $ara ver ver la demos demostra traci ción, ón, al integ integra rarr por por parte partes s con con
u= x
α − 1
y
x
−
dv = e dx
tenemos que. − x
Γ ( α )=−e x
$ara
α > 1
|
α −1
∞
∞
∫
∫
0
0
∞ + −e− x ( α −1 ) x α −2 dx =( α −1 ) x α −2−e− x dx , 0
, produce la formula recursiva
Γ ( α )=( α −1 ) Γ ( α −1 )
&l result resultad ado o provi provien ene e de la aplic aplicac ación ión repeti repetida da de la fórmul fórmula a recu recursi rsiva va.. 'i utili(amos este resultado, podemos demostrar con facilidad las siguientes dos propiedades.
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b%
Γ ( n )= ( n−1 ) ! para unaintegral positiva n .
c%
Γ ( 1 )=1
d%
( )= 1
Γ
2
√ π
La variable aleatoria continua ) tiene una distribución gamma, con parmetros * y +, si su función de densidad est dada por
{
1
− x α −1
β f ( x ; α , β )= β α Γ ( α ) x e , para x >0 , 0 , en otro caso,
onde
α > 0 y β > 0 .
&n la figura - se muestran grficas de varias distribuciones gamma para ciertos valores específicos de los parmetros α y β . La distribución gamma especial para la que
α - se llama distribución exponencial.
/igura -. istribución gamma. La media y la varian(a de la distribución gamma son 2
μ= αβ y σ =α β
2
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La variable aleatoria continua ) tiene una distribución exponencial, con parmetro β , si su función de densidad es dada por
{
x β
−
1
f ( x ; β ) = β e , x > 0, 0, en otro caso
onde β > 0 .
La media y la varian(a de la distribución exponencial son 2
μ= β y σ = β
•
2
&0emplos gamma
-. 'uponga que cierta pie(a metlica se romper después de sufrir dos ciclos de esfuer(o. 'i estos ciclos ocurren de manera independiente a una frecuencia promedio de dos por cada -11 horas. 2btener la probabilidad de que el intervalo de tiempo se encuentre hasta que ocurre el segundo ciclo. !. entro de una desviación con respecto del tiempo promedio. 3. ! ms de dos desviaciones por encima de la media. 'olución# )# Lapso que ocurre hasta que la pie(a sufre el segundo ciclo de esfuer(o, en horas. 4# 5úmero de ciclos 6 -11 horas 77774 8$ 9 " :% & 94% : 4;# 5úmero de ciclos 6 hora 7777777774;8$ 9 "1.1:% & 94;% 1.1: " ) 8 " 9:, 1.1:% 170.7
!.
P=( μ −σ < X < μ + σ ) =( 29.3 < X < 170.7 )=
∫ 29.3
0.02
Γ ( 2 )
( )=
α 2 μ= = =100 σ 2= 0.02
3.
2
0.02
2
∗ x ∗e−
0.02 x
2
=70.71
5000 σ
P ( X > μ + 2 σ )= P ( X > 241.42 ) =0.0466
dx = 0.73752
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:. &n cierta ciudad el consumo diario de energía eléctrica, en millones de y 1.?. La planta de energía de esta ciudad tiene una capacidad diaria de -1 millones de @A6hora BCul es la probabilidad de que este abastecimientos sea# !. BDnsuficiente en un día cualquieraE 3. B'e consuman entre > y F millones de @. A6GoraE C. &ncuentre &9x%. 1
P ( X > 10 )=1 − P ( X ! 10 )=1 − Γ ( 3 )
!.
0.5
" ( x )=
C.
•
3 0.5
∫ (0.5) x 3
2
− 0.5 x
e
dx =0.124652
0
8
3
P (3 < X < 8 )= Γ ( 3 )
3.
10
∫ x e− 2
0.5 x
dx =0.571
3
=6
&0emplos distribución exponencial
-. &l tiempo durante el cual cierta marca de batería traba0a en forma efectiva hasta que falle 9tiempo de falla% se distribuye según el modelo exponencial con un tiempo promedio de fallas igual a >H1 días. !. Bqué probabilidad hay que el tiempo de falla sea mayor que I11 díasE 3. 'i una de estas baterías ha traba0ado ya I11 días, Bqué probabilidad hay que traba0a ms de :11 días msE 'olución 'ea )el tiempo que traba0a la batería hasta que falle. &l tiempo promedio de falla es de >H1 días. &ntonces, ) 8&xp 9J-6>H1% y su función de densidad es# f ( x )=
1 360
(e − ) , 0 < x <∞ x
360
−
!.
P ( X > 400 )=e
400
360
=
0.329
− ( )=0.574 P ( X > 400 +200| X > 400 ¿= P ( X > 200 )= e 200
3.
360
