Demostración Derivada Exponencial y Logarítmica.pdf

Demostraci´ on de las Derivadas on Expone Exp onenci nciale aless y Log Logar ar´ ´ıtmicas ıtmi cas Derivada de f (x) = ex Antes de comenzar con la demostraci´ on es importante recordar que la letra e  es el on resultado, resul tado, bastante bast ante anti-intuiti ant i-intuitivo vo del l´ımite:

l´ım

n→∞

  1+

1

n

n

1 t

= l´ım (1 +  t) = e

(1)

t→0

Teniendo dicha igualdad en mente, intentamos calcular la derivada de e aplicando la x

derivada por definici´ on, en este caso, elegimos la forma: on,

f (x + ∆ x) − f (x) f  (x) = l´ım ∆x→0 ∆x 

Reemplazando Reemplazando con f (x) =  e obtenemos: x

x+∆x x e e − f (x) = l´ım ∆x→0 ∆x

ex · e∆x − ex f  (x) = l´ım ∆x→0 ∆x 

(2)

En la ecuaci´ on on 2 pu puede ede verse que el t´ermino ermin o e aparece apar ece una u na vez en e n cada cad a t´ermino, ermin o, pudiendo pud iendo x

sacarlo como factor com´ un: un: x

e



f  (x) = l´ım

∆x→0



∆x

e



−1

∆x

Aplicando propiedades del l´ımite pod podemos emos llegar f´ acilmente acilmente a: 

x

f  (x) = l´ım e ·   l´ l´ım ∆x→0



∆x→0

x

f  (x) = e ·   l´ l´ım

∆x→0



e

∆x



e

∆x

−1

∆x

−1

∆x



 (3)

1 Demostraci´ on on Derivada Exponencial y Logar´ Logar´ıtmica - Matem´ atica atica - Escuela T´ecnica ORT - Ezequiel Wajs - 2013

Donde el primer l´ımite puede omitirse porque e no depende de ∆x. x

Nuestro an´ alisis ahora se enfoca en hallar el resultado del l´ımite: ∆x

l´ım

∆x→0



−1

e

∆x



(4)

Para eso proponemos una variable E  cuya expresi´on es:

E  = e∆x − 1

(5)

De esta forma puede despejarse ∆x:

e∆x = E  + 1 Aplicando Logaritmos Naturales a ambos lados se conserva la igualdad

ln(e∆x) = ln(E  + 1) Por propiedad del exponente del argumento de un logaritmo:

∆x · ln(e) = ln(E  + 1) C´omo e  es la base del logaritmo natural ln(e) = 1, por lo tanto:

∆x  = ln(E  + 1)

(6)

Reemplazando 6 y 5 en 4 obtenemos:

E  ∆x→0 ln(E  + 1)

l´ım

(7)

Debemos adecuar la variable del l´ımite para que responda a esta nueva forma, observando la ecuaci´ on 5 puede verse que E  →  0 cuando ∆x →  0 de modo que la ecuaci´on 7 puede ser escrita de la forma:

E  E →0 ln(E  + 1)

l´ım

Operando sobre esta ecuaci´ on:

1

l´ım

E →0 1  ln(E  + E 

l´ım

E →0

1)

1

ln(E  + 1)

1 E 

2 Demostraci´ on Derivada Exponencial y Logar´ıtmica - Matem´ atica - Escuela T´ecnica ORT - Ezequiel Wajs - 2013

Aplicando propiedades de los l´ımites puede llegarse a:

l´ım

E →0

1 ln(E  + 1)

1 E 

1

=



ln l´ım (E  + 1) E →0

1 E 



Como puede verse, el argumento del logaritmo en el denominador de la parte derecha de la ecuaci´ on es totalmente an´ aloga a la parte derecha de la ecuaci´ o n 1, y por lo tanto su valor es e. Reemplazando obtenemos:

l´ım

E →0

1 ln(E  + 1)

1 E 

=

1



ln l´ım (E  + 1)

1 E 

E →0



=

1 1 = =1 ln(e) 1

(8)

Acabamos de demostrar que la ecuaci´ on 4 es igual a 1, reemplazando este resultado en la derivada (ecuaci´ on 3) queda resuelta la derivada de la funci´ on f (x) =  e : x



x

f  (x) = e ·   l´ım

∆x→0

f (x) = ex · 1



∆x

e



−1

∆x

f (x) = ex

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Derivada de f (x) = ln(x) Para el c´alculo de esta derivada aprovecharemos las conclusiones de la ecuaci´ o n 1, comenzamos planteando la derivada por definici´ on de f (x) = ln(x):

f (x + ∆ x) − f (x) f  (x) = l´ım ∆x→0 ∆x 

Reemplazando con f (x) = ln(x) obtenemos:

ln (x + ∆ x) − ln(x) f  (x) = l´ım ∆x→0 ∆x 

Aplicando propiedades del logaritmo:

f  (x) = l´ım

ln

x+∆x x

  ∆x

∆x→0

Reescribiendo y aplicando propiedades del logaritmo nuevamente:



1 ∆x f  (x) = l´ım · ln 1 + ∆x→0 ∆x x 



f (x) = l´ım ln 1 + ∆x→0

Podemos elevar el argumento del logaritmo a la

x x

∆x x





1 ∆x

sin alterar la igualdad ya que

x x

= 1,

siempre y cuando  x   = 0, cosa que no es problema ya que x  = 0 est´a fuera del dominio de la funci´on que queremos derivar. Entonces:



f  (x) = l´ım ln ∆x→0



1+

∆x x

1 ∆x



x x

Aplicando propiedades de la potencia de potencia obtenemos:





f  (x) = l´ım ln 1 + ∆x→0

∆x x



x ∆x·x

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A continuaci´on proponemos hacer el reemplazo:

∆x

D=

x

Notando que  D  →  0 cuando ∆x  →  0 (y recordando que  x   = 0, el l´ımite queda (reemplazando la variable del l´ımite por D): 

f  (x) = l´ım ln (1 + D )

1 D·x

D→0

Reescribiendo el exponente del argumento del logaritmo y aplicando algunas de las propiedades antes usadas:



f (x) = l´ım ln (1 +  D ) D→0



f  (x) = l´ım

D→0

f (x) =

1 x

1 x

1 D



· ln (1 + D )



1 x

1 D

· ln l´ım (1 +  D ) D→0

1 D



(9)

Como puede verse, ahora el l´ımite dentro del argumento del logaritmo vale e  seg´ un lo que dicta la ecuaci´ on 1, as´ı que reemplazando en la ecuaci´ on 9 se resuelve el l´ımite y se halla la derivada de f (x) = ln(x): 

f  (x) = 

f  (x) =

1 x

1

x

· ln(e) ·1

f (x) =

1 x

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