Escuela: Contabilidad Curso: Matemática para los Negocios I Docente: Ana Gamarra Carrasco
Laboratorio 07 - Función exponencial y logaritmica
1. Construya las gráficas de las siguientes funciones exponenciales calculando algunos de sus puntos: a ) y =
( 4 )x
k ) y = f (x) = 2x − 1
3
( 1 )−x ( 21 )x c ) y = 3 ( 1 )x
m ) y = f (x) = 2−x
e ) y = f (x) = 3x−2
ñ ) y = −ex
l ) y = f (x) = 3x−1 − 1
b) y = d ) y =
n ) y = f (x) = 3−x+1
2
o ) y = 1 + e−x
f ) y = f (x) = 3x g ) y = f (x) = ( 13 )x
p ) y = e|x|
h ) y = f (x) = ( 14 )x
q ) y = e−x
i ) y = f (x) = 3x+2
r ) y = e2x
j ) y = f (x) = 2x−1
s ) y = ex+|x|
2
2. Durante el otoño, en promedio cada tres días muere la mitad de la población de moscas. Si inicialmente el tamaño de la población es de un millón, determine el número de sobrevivientes después de tres semanas. 3. Una máquina se compra en $10000 y se deprecia de manera continua desde la fecha de su compra. Su valor después de t años está dado por la fórmula: V = 10000e−0,2t a )
Determine el valor de la máquina después de 8 años. b ) Determine la disminución porcentual del valor cada año.
4. Cierta región con depresión económica tiene una población que está en disminución. En 1970, su población era de 500000, y a partir de ese momento su población estaba dada por la fórmula: P = 500000e−0,02t
en donde t es el tiempo en años. Encuentre la población en 1980. Suponiendo que esta tendencia continua, determine la población para el año 2020. 1
5. La población del planeta en 1976 era de 4 mil millones y estaba creciendo a un 2 % anual si la tasa de crecimiento sigue vigente ¿Cuándo alcanzará la población los 10 mil millones?. P (t) = P 0 (1 + r)t t
6. La población proyectada de una ciudad está dada por P = 125000(1,11) , donde t es el número de años a partir de 1995. ¿Cuál es la población estimada para el año 2015?. 20
7. En los problemas siguientes, encuentre el monto compuesto y el interés compuesto para la inversión. a ) $4000 b) c ) d ) e )
durante 7 años a 6 % compuesto anualmente. $5000 durante 20 años a 5 % compuesto anualmente. $700 durante 15 años a 7 % compuesto cada semestre. $4000 durante 12 años a 7,5 % compuesto cada semestre. $5000 durante 2,5 años a 9 % compuesto mensualmente.
8. El porcentaje P de compras reales de un nuevo producto después de estar en el mercado durante t meses es: P = 90 − 80(0,75)t a )
¿Cuál es el porcentaje de ventas del producto después de 5 meses? b ) ¿Cuántos meses transcurrieron antes de llegar al 40 % de ventas?
9. Un certificado de depósito $6000 se compra en $6000 y se conserva durante 7 años. Si el certificado gana un 8 % compuesto cada trimestre, ¿Cuál es su valor al cabo de 7 años?. 10. La población de una ciudad de 5000 habitantes crece a razón de 3 % anual. a )
Determine una ecuación que proporcione la población después de t años a partir de ahora. b ) Determine la población 3 años después de ahora.
11. En un cultivo se tienen bacterias cuyo número se incrementa a razón de 10 % cada hora. Al inicio estaban presentes 500 bacterias. a )
Determine una ecuación que dé el número, N, de bacterias presentes después de t horas. b ) ¿Cuántas bacterias están presentes después de una hora?. Dé sus respuestas al entero más cercano.
12. A causa de una recesión económica, la población de cierta área urbana disminuye a razón de 1 % anual. Al inicio la población era de 100000 habitantes ¿Cuál es la población después de 3 años?. 2
13. A un cierto tiempo hay 100 miligramos de una sustancia radiactiva. Ésta decae de modo que después de t años el número de miligramos presentes, N, está dado por N = 100e−0,035t
¿Cuántos miligramos están presentes después de 20 años?. 14. Si una sustancia tiene una vida media de 8 años, ¿Cuánto tiempo toma para que un 1 gramo decaiga a 16 de gramo?. 15. Cuando una cierta maquinaria industrial tenga t años, su valor de reventa será v(t) = − 6800e + 400 dólares . t
5
a )
Esboce la función v. ¿Qué le sucede al valor de la maquinaria cuando t crece sin límite? b ) ¿Cuál era el valor de la maquinaria cuando era nueva? c ) ¿Cuál será el valor de la maquinaria dentro de 20 años?
16. Suponga que $10000 son colocados en una cuenta de ahorros que gana intereses a una tasa de 4,8 % compuesto semestralmente. a )
¿Cuál es el valor de la cuenta al final de 3,5 años? b ) Si la cuenta hubiera generado intereses a una tasa del 4,8 % compuesto anualmente, ¿cuál sería su valor después de 3,5 años?.
17. Si $1000 son invertidos en una cuenta de ahorros que gana intereses a razón del 5 % compuesto anualmente, ¿Después de cuántos años completos la cantidad será al menos el doble?. 18. En los problemas siguientes exprese cada forma logarítmica de manera exponencial y cada forma exponencial de manera logarítmica. a ) 105 = 100000 2
b) 8 3 = 4 c ) 2 = lg12 144 d ) 6 = lg2 64 e ) e0,33647 = 1,4
19. Haga un bosquejo de las gráficas de las siguientes funciones. a ) y = lg2 x + 1
g ) y = ln (x + 2)
b ) y = lg4 2x
h ) y = lg 1 x
c ) y = lg 1 x
i ) y = lg3 (x + 2)
d ) y = lg2 (x − 4)
j ) y = lg4 (x − 3)
3
4
e ) y = lg2 (−x)
k ) y = ln(−x)
f ) y = −2 ln x
l ) y = 1 + ln x
3
m ) y = 2 ln x
p ) y = ln(x + 5)
n ) y = ln(x − 3)
q ) y = ln(4 − x2 )
o ) y = ln x2
s ) y =
ñ ) y = − ln x
r ) y = ln(9 + x2 )
√
ln x
20. En los problemas siguientes encuentre x. a ) lg3 x = 2
f ) lg3 x = −4
b ) lg2 x = 8
g ) lgx (2x − 3) = 1
c ) lg4 x = 0
h ) lgx (6 − x) = 2
d ) lgx 100 = 2
i ) lg8 64 = x − 1
e ) lgx 8 = 3
j ) lgx (2x + 8) = 2
21. La suma de $100 se invierte a un interés compuesto anual del 6 %. ¿Cuánto tardará la inversión en incrementar su valor a $150. 22. La población de un planeta en 1976 era de 4 mil millones y estaba creciendo a un 2 % anual. Si esta tasa de crecimiento sigue vigente, ¿Cuánto alcanzará la población los 10 mil millones. 23. Después de t años el número de unidades q de un producto vendido por años esta dado por f (t) = q = 1000(0,5)0,8t a )
Calcular el número de unidades para el inicio del análisis. b ) Calcular el número de unidades q después de 120 meses. c ) ¿Qué tiempo ha pasado para tener un número de unidades de 1184153?.
24. La ecuación de oferta de un fabricante es P = log(10 +
q
2
)
Donde q es el número de unidades ofrecidas con el precio p por unidad. ¿A qué precio el fabricante ofrecerá 1980 unidades?. 25. Para una compañía, el costo para producir q unidades de un producto está dado por la ecuación c = (3q ln q ) + 30
Evalúe el costo cuando q = 10.
4
