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APLICACIONES DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA 1. CRECIMIENTO DEMOGRÁFICO Las curvas de crecimiento vegetativo de una población, establecido como la diferencia entre nacimientos y muertes para un intervalo de tiempo dado, siguen una ley exponencial. Siendo P0 la población inicial e i el índice de crecimiento anual en tanto por uno, y se considera una tasa de crecimiento continuo, la población seguirá la ley exponencial: P = P0.ekt Donde: P: Número de individuos en el momento t. P0: número de individuos en el momento inicial. k: constante de crecimiento. t: Tiempo Ejemplo 1 En el año 2 000 la población del pueblo de San Juan de Chota era de 7 000 habitantes. Si la tasa relativa de crecimiento es de 5% al año, ¿cuál fue la población aproximada en el 2 006? Solución: Datos: P 0 = 7 000; k = 5%; t = 2 006 - 2 000 t = 6 años P(6) = 7 000e 0,05(6) P(6) = 9 449,012 Luego, en el 2 006 la población de San Juan de Chota será de 9 449 habitantes aproximadamente. Ejemplo 2 Kenia tiene en la actualidad, aproximadamente 30 millones de habitantes y el tiempo de duplicación es de 19 años, ¿qué población habrá dentro de 10 años si la tasa de crecimiento no cambia? Solución: Si P se mide en millones y t en años, la función adecuada es: P(t) 30.2t/19 , para t = 10 será: P(10) 30.210/19 P(10) 30.20,526 30.1, 4402 43,2 Profesor: Javier Trigoso T.
2 Dentro de 10 años, Kenia tendrá 43.2 millones de habitantes. Ejemplo 3 La población de la tierra crece aproximadamente al 2% anual (crecimiento continuo). ¿Cuánto tiempo tardará en duplicarse la población? Solución: Como la población crece exponencialmente, entonces P(t) P0 .ert
Donde t representa el tiempo en años y P(t) es la población en el tiempo t. Como r = 2% = 0,02 y P(t) = 2.P0, entonces: ln 2 2P0 P0 .ert ert 2 ln 2 rt t r 0, 693 t 34, 65 0, 02 Entonces, tardará aproximadamente 35 años. Ejemplo 4 La población de Chulucanas era de 3 000 habitantes en el año 1 998 y en el 2 004 fue de 4 200. Si el crecimiento se dio con una tasa relativa constante, determina dicha tasa. Solución: Datos: t = 2004 – 1998 Þ t = 6 años ; P 0 = 3000;
P(6) = 4200
P(6) 3000.ek(6) 4200 3000.e6k 7 5.e6k Tomando logaritmos a ambos miembros en la última igualdad, y aplicando propiedades de los logaritmos, tenemos:
ln 7 ln 5.e6k ln 7 ln 5 6k
1, 94591 1, 60943 0, 05608 6 Luego, la tasa relativa de crecimiento fue de 5,6% aproximadamente. k
Ejercicios 01. Una población de conejos aumenta anualmente en un 50 %. Si en el momento inicial hay 100 conejos: a. ¿Cuántos habrá dentro de 8 años? b. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que su número sea de 30 000? 02. En una colonia de insectos, cuya población es controlada cada año, se Profesor: Javier Trigoso T.
observa que en diez años no ocurrió ningún suceso que alterase su ley de crecimiento. La población existente cada año fue los 4/3 del año anterior. Si el año que empezó el estudio había 7 290 ejemplares, ¿cuántos había al cabo de 6 años?
3 03. Un piscicultor introduce en un estanque mil truchas jóvenes. El dueño estima que tres meses después sólo quedan alrededor de 600. Encuentra una fórmula exponencial N(t) N0 .ekt que esté de acuerdo con esta información y úsala para estimar el número de truchas después de un año.
04. En un estanque se introducen mil truchas de un año de edad. Se espera que el número N(t) de las vivas luego de t años sea N(t) 1000. 0, 9t . Estima cuándo habrá 500 truchas vivas. 05. En un estudio sobre la reproducción de la trucha de río, se estima que en un determinado criadero hay 200 truchas. Transcurrido un año, se contabilizan 360 truchas en dicho criadero. Si suponemos que el crecimiento es exponencial, calcula ¿cuántas truchas habrá cuando transcurran tres años? 06. A comienzos de la década de los 90 la población de un país fue de 324 000 000 habitantes. Si su población creciera anualmente en forma exponencial, siguiendo la fórmula
P(a) 324.106. 1, 01
a
a ¿Cuál sería la tasa anual de crecimiento?
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b. ¿Cuál sería la población de dicho país a mediados de la década de los 90? c. ¿Cuál sería la población a fines de 1 992? 07. En el 2 002, la población de cierta ciudad era de 25 000 habitantes. Si la tasa de crecimiento anual era de 2% a. Detremina una fórmula para estimar la población después de t años. b. Usa la fórmula para estimar la población de la ciudad en el 2 030. 08. Si el crecimiento de una colonia de abejas está determinado por la 230 ecuación con t en P(t) 0,37t 1 56,5e meses. a. ¿Cuántas abejas había inicialmente? b. ¿En cuánto tiempo las abejas llegarán a ser una población de 150? 09. La poblacion de cierta ciudad crece según el modelo P(t) P0 .ekt , t en años. Si en 1 990 (t = 0) su población era de 25 000 y en 1 999, era de 52 000 habitantes. a. ¿Cuántos habitantes habrá en el año 2 010?. b. ¿En que instante la poblacion será el triple de la poblacion inicial? 10. Según un modelo logístico basado en el supuesto de que la tierra no puede soportar más de 40 000 millones de personas, la población mundial (en miles de millones) t años después de 1 960 está dada por una 40 función de la forma , P(t) kt 1 Ce
4 donde C y k son constantes positivas. Halla la función de esta forma que concuerde con el hecho de que la población mundial era aproximadamente de 3 000 millones en 1 960 y de 4 000 millones en 1 975. ¿Qué predice su modelo con respecto a cuál será la población en el año 2 010? 11. Hace cuatro años que se repobló
una zona con 100 ejemplares de una nueva especie de pinos. Actualmente hay 25 000 ejemplares. Se estima que el número N de pinos viene dado en función del tiempo, t, por la función N(t) A.eBt , donde A y B son dos constantes. El tiempo t se considera expresado en años desde el momento de la repoblación. ¿Cuánto tiempo se
ha de esperar para que haya 200 000 ejemplares? 12. Una epidemia se propaga en una comunidad de manera que t semanas después de su brote el número de personas infectadas está dado por una B función de la forma f(t) , 1 Ce kt donde B es el número de residentes en la comunidad que son propensos a contraer la enfermedad. Si 1/5 de los residentes propensos estaba infectado al principio y 1/2 de ellos había sido infectado al final de la cuarta semana, ¿qué fracción de residentes propensos a la enfermedad habrá sido infectada al final de la octava semana?
2. CRECIMIENTO NO INHIBIDO La mitosis, o división celular, es un proceso universal indispensable en el crecimiento de los organismos vivos como las amibas, plantas, células humanas y muchas otras. Con base en una situación ideal donde no mueren células ni hay efectos colaterales, el número de células presentes en un instante dado obedece a la ley del crecimiento no inhibido. Sin embargo, en la realidad, después de cierto tiempo el crecimiento en forma exponencial cesa debido a la influencia de factores como la carencia de espacio, la disminución de la fuente alimenticia, etc. La ley del crecimiento no inhibido solo refleja de manera exacta las primeras etapas del proceso de la mitosis. El proceso de mitosis comienza con un cultivo de N0 células donde cada célula crece durante cierto periodo y después se divide en dos células idénticas. Suponemos que el tiempo necesario para que cada célula se divida en dos es constante y que no cambia al aumentar el número de células. Después, éstas células crecen y se dividen en dos, y así sucesivamente.
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5 Una fórmula que proporciona el número N de células en el cultivo después de transcurrir un tiempo t (en las primeras etapas del crecimiento) es: N(t) N0 .ekt ,
en donde N0 y K son constantes positivas, denominadas cantidad inicial y constante de crecimiento. Ejemplo 5 Un estudiante universitario que analiza el crecimiento de bacterias en cierto cultivo ha reunido los siguientes datos: Tiempo (min) 0 20
Cantidad de bacterias 6 000 9 000
Emplea estos datos para hallar una función exponencial de la forma Q(t) Q0 .ekt que exprese el número de bacterias Q del cultivo como una función del tiempo en minutos. ¿Cuál será el número de bacterias después de una hora? Solución: Según los datos de la tabla
Q(0) 6000 Q0 .ek(0) 6000 Q0 6000 y Q(20) 9000 6000.ek(20) 9000 2 3.e20k Tomando logaritmos a ambos miembros en la última igualdad, y aplicando propiedades de los logaritmos, tenemos: 3 ln 2 0, 4054651 ln3 ln e20k ln3 20k k k k 0, 020273 20 20 Por lo tanto: Q(t) 6000.e0,020273.t
Además, el número de bacterias después de una hora, resulta
Q(60) 6000.e0,020273.60 20 250 Después de una hora, habrá 20 250 bacterias. Ejemplo 6 La Escherichia coli es una bacteria común que se encuentra en el intestino humano. La tasa de crecimiento de una población de esta bacteria es proporcional a su tamaño. En condiciones ideales de laboratorio, la cantidad de especímenes en un cultivo se duplica aproximadamente cada 20 minutos. a. Si la población inicial es de 80, determina una fórmula P(t) que exprese el crecimiento exponencial de la cantidad de bacterias como función del tiempo t (en minutos).
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6 b. ¿Cuánto tiempo tiene que pasar para que una colonia de 80 especímenes llegue a un millón? Solución: a. Como la tasa de crecimiento es proporcional al tamaño de la población, el crecimiento es exponencial, luego, P(t) es de la forma: P(t) P0 .ekt …………(1) Como la población se duplica cada 20 minutos, utilizando (1), con P0 = 80, obtenemos: P(20) 160 160 80.e20k 2 e20k
Tomando logaritmos a ambos miembros en la última igualdad, y aplicando propiedades de los logaritmos, tenemos: ln2 ln2 ln e20k ln2 20k k k 0, 034657 20 Por lo tanto, la fórmula es: P(t) 80.e0,034567t b. Debemos determinar t, de tal manera que P(t) =1 000 000. Utilizamos el modelo exponencial hallado en (a) y tenemos:
80.e0,034567t 1000 000 e0,034567t 12500 Tomando logaritmos:
ln12500 t 272,1928 0, 034567 Por lo tanto, para que la población llegue a cien millones deben transcurrir 272,1928 minutos. 0, 034567t ln12500 t
Ejemplo 7 El número de bacterias en cierto cultivo crece de 5 000 a 15 000 en 10 horas. Suponiendo que la tasa o rapidez de crecimiento es proporcional al número de bacterias, I. Calcula el número de bacterias al cabo de 20 horas. II. ¿Cuánto llegará a 50 000 el número de bacterias? Solución: Como la rapidez de crecimiento es proporcional al número de bacterias, entonces N(t) N0 e kt Donde t representa el tiempo en horas y N(t) es la población de las bacterias en el tiempo t. Como N(0) = 5 000 es la población inicial, entonces: N(t) 5 000.ekt y como N(10) = 15 000, entonces: kt
15 000 5 000.e
t
ln3 k N(t) 5 000.(3)10 10
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7 I.
Al cabo de 20 horas habrá N(20) 5 000 (3)2 45 000 bacterias t 10 5 000 (3)
10 ln 10 20,96 ln 3 Así la población llegará a 50 000 bacterias en 20,96 horas.
II.
Resolvemos la ecuación: 50 000
t
Ejercicios 13. Una colonia de bacterias crece de acuerdo a la ley del crecimiento no inhibido. Si la cantidad de bacterias se duplica en tres horas, ¿cuánto tiempo tardará la colonia en triplicar su número? 14. El número de bacterias que hay en cierto cultivo en un tiempo t está dado por Q(t) 2.3 t , en donde t se mide en horas y Q(t) en miles de unidades. ¿En qué tiempo habrán 3,46 mil bacterias? 15. En un cultivo de bacterias la tasa de crecimiento es proporcional al número de bacterias. Si la población inicial es de 80 bacterias y luego de 10 horas hay 1 000 bacterias, determina el número de bacterias luego de 15 horas. 16. El crecimiento de la población de un cultivo de protozoarios está dado por el modelo P(t) P .e 0,04t , donde 0
P0 es la población inicial. Si en el instante t = 2 horas y t = 8 horas hay una población de 100 y 350 protozoarios respectivamente, determinar P0. 17. Si el tiempo que demora en duplicarse una población de bacterias, Profesor: Javier Trigoso T.
con una tasa de crecimiento anual r, compuesto de manera continua, se expresa como: ln 2 t r ¿Cuánto tardará en duplicarse una población cuya tendencia de crecimiento se da con una tasa de crecimiento anual del 3,5%? 18. El número de bacterias de cierto cultivo crece de 2 000 a 32 000 en 12 horas. Suponiendo que la tasa de rapidez de crecimiento es proporcional al número de bacterias. a. Calcula el número de bacterias luego de 15 horas. b. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que la población se quintuplique? 19. El número de bacterias de cierto cultivo se incrementó de 600 a 1 800 en 2 horas. Suponiendo que el crecimiento es exponencial, t horas después de las 7:00 a.m., el número f(t) de bacterias está dada por:
f(t) 600. 3
t/2
. Calcula el número de bacterias en el cultivo a las 8:00 a.m., a las 10:00 a. m. y a las 11:00 a.m. 20. Los biólogos han observado que la mayoría de las bacterias, en condiciones ideales, se reproducen
8 mediante modelos de crecimiento exponencial. Si la población inicial de bacterias en cierto cultivo era de 800. Si la tasa relativa de crecimiento es de 30% por hora:
a. ¿Cuál será la población estimada de bacterias después de un día? b. ¿Cuál será la población estimada de bacterias después de dos días?
3. DESINTEGRACIÓN RADIOACTIVA Por su naturaleza los elementos radioactivos tienden a disminuir hasta agotarse completamente conforme transcurre el tiempo. Si t representa al tiempo (medido en años, meses, días) y N(t) la cantidad medida en gramos, miligramos, etc.) del elemento radioactivo, entonces N(t) N .e kt representa la 0
ley de decrecimiento exponencial del elemento radioactivo según transcurre el tiempo, donde N0 es la cantidad inicial, K es la constante de decrecimiento. Ejemplo 8 Una sustancia radioactiva se desintegra siguiendo una función exponencial. La cantidad inicial es de 10 gramos, pero después de 200 años es de 2 gramos. Calcula la cantidad que hubo después de 100 años. Solución: Como la sustancia se desintegra exponencialmente y desde los 10 gramos, entonces:
C(t) 10.e kt 1 e 200k 5 e200k ln 5 200k 5 ln 5 1, 609437 k k k 0, 00804 200 200 Luego, reemplazando k obtenemos la fórmula de desintegración radioactiva:
Además C(200) 2 10.e 200k
C(t) 10.e 0,00804.t 0,00804.100 C(100) 10.e 0,804 Nos piden C(100) C(100) 10.e C(100) 10.0, 4475 4, 475
Luego, la cantidad que hubo después de 100 años fue de 4,48 gramos aproximadamente. Profesor: Javier Trigoso T.
9 Ejemplo 9 Supongamos que hay 20 g de radio disponibles inicialmente, ¿Qué porcentaje de los 20 g se habrá desintegrado después de 100 años. Solución: Como la sustancia se desintegra exponencialmente y desde los 20 gramos, entonces:
C(t) 20.e kt , siendo k = 0,000418 Nos piden C(100) C(100) 20.e0,000418.(100) C(100) 20.e0,0418 C(100) 19,1812 El resto es: 20 – 19,1812 = 0,8188 0,8188 100 4, 094 El porcentaje es: 20 Se ha desintegrado aproximadamente el 4,1%
Ejercicios 21. Una sustancia radiactiva se desintegra siguiendo una función exponencial. La cantidad inicial de masa es de 10 gramos pero después de 200 años la masa se reduce a 2 gramos. Calcula la cantidad de masa después de 100 años. 22. Se tiene dos muestras de sustancias radioactivas A y B; luego de t años las masas en mg, de estas muestras son:
23. El poder radioactivo de una sustancia se va perdiendo a medida que transcurre el tiempo, según la fórmula P(t) 1,5.e 0,05t , siendo t el tiempo en años. ¿Despúes de cuánto tiempo su poder radiactivo se reducirá a la mitad?
mA(t) = 120.e-0,0004t,
24. Una sustancia radiactiva se desintegra de forma que la cantidad de masa que queda después de t días está dada por la función
mB(t) = 160.e-0,0006t
m(t) 13.e 0,015.t , donde m(t) se mide
a. Determina la vida media de cada sustancia. b. ¿Cuánto tiempo pasará para que ambas masas sean iguales? (Sug. Resolver: mA(t) = mB(t)).
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en kilogramos. a. Determina la masa en el tiempo t = 0 b. ¿Cuánta masa queda después de 45 días?
10 25. Los médicos utilizan yodo radiactivo como trazador en el diagnóstico de ciertos desordenes de la glándula tiroides. Este tipo de yodo se desintegra de forma que la masa que queda después de t dias está
27. La semivida del radio es de 1 600 años. si la cantidad inicial es qo miligramos, y la cantidad q(t) restante después de t años está dada por
dada por la función m(t) 6.e 0,087.t ,
28. El trazador (o marcador) radiactivo 51Cr puede usarse para localizar la posición de la placenta de una mujer embarazada. A menudo se debe pedir esta sustancia a un laboratorio médico. Si se envían A0 unidades (en microcuries), entonces, debido al decrecimiento radiactivo, el número de unidades A(t) que quedan después de t días está dado por
donde m(t) se mide en kilogramos. a. Determina la masa en el tiempo t = 0 b. ¿Cuánta masa queda después de 20 días? 26. La vida media de un elemento radioactivo se define por el tiempo que tarda en desintegrarse la mitad de ese elemento para transformarse en un nuevo elemento. La vida media es la medida de la estabilidad del elemento, es decir, cuanto más corta sea la vida media, más inestable es el elemento. El modelo matemático para hallar la vida media de un elemento radioactivo está dado por
C(t) C0 .e 0,000418.t
Halla la vida media del radio.
q(t) q0 .2kt , halla k.
A(t) A0 .e 0,0249.t
a) Si se envian 35 unidades del trazador y este tarda 2 días en llegar, ¿de cuántas unidades se dispone para el análisis? b) Si se necesitan 49 unidades para la prueba, ¿cuántas unidades se deben enviar?
4. DATACIÓN DE VESTIGIOS ARQUEOLÓGICOS En los materiales radiactivos, la masa disminuye exponencialmente con el tiempo con una tasa que depende de la mayor o menor estabilidad del material radiactivo. Para medirla se emplea el concepto de “vida media”, que es el tiempo que se requiere para que la masa del material disminuya a la mitad del valor original. El dióxido de carbono (CO2) del aire contiene el isótopo radioactivo 14C, así como el isótopo estable de carbono 12 (12C). Profesor: Javier Trigoso T.
11 Las plantas vivas absorben dióxido de carbono del aire, lo que implica que la razón de 14C a 12C en una planta viva (o en un animal que se alimenta de plantas) es la misma que en el aire. Cuando un animal o una planta mueren, la absorción de dióxido de carbono cesa. El 12C que está es la planta o en el animal permanece igual que en el momento de la muerte (permanece constante), mientras que el 14C decrece y la razón de 14C a 12C, que representaremos por R(t), decrece exponencialmente, esto es: R(t) R0 .e kt Donde R0 es la razón de 14C a 12C encontrada en la atmósfera (constante), y k es una constante positiva. Al comparar R(t) con R0 se puede estimar la edad de la muestra.
Ejemplo 10 Todos los seres vivos, al morir tienen la misma proporción de Carbono 14 en su cuerpo (debido a que lo absorben del medio mientras están vivos). Si el fósil corresponde a un animal que murió hace 10 000 años, ¿Qué proporción conserva de la cantidad inicial de Carbono 14? Solución: Como h = 5 600 años, se tiene que: M(t) M0 . Así que: M(10000) M0 .
1 2
10000/5600
M0
1 2
1 2
t/5600
1,7857
M0 .0,2900
Luego, después de 10 000 años aun queda el 29% del Carbono 14 original. De este modo se determina la edad de muchos fósiles. Ejemplo 11 Un arqueólogo ha encontrado un fósil en el que la razón de 14C a 12C es 1/3 de la razón encontrada en la atmósfera. ¿Qué edad tiene aproximadamente el fósil? Solución: R 1 1 R0 , entonces 0 R0 .e kt e kt 3 ekt 3 3 3 14 Como la vida media del C es de 5 600 años, N0 ln2 0, 69314 N0 .e 5600k k k k 1,23776 10 4 2 5600 5600 Reemplazando, resulta
Por dato R(t)
3 e1,2377610
4
.t
ln3 1,23776 104.t 1, 09861 104 1,23776.t
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12 = 8 875,791 Por lo tanto la edad aproximada del fósil es 8 875,791 años. Ejercicios 29. ¿Cuál es la antigüedad de un hueso de un animal que ha perdido el 35% de su C-14? 30. En una momia descubierta en una pirámide en el Valle de los Reyes había el 46% de su carbono – 14. ¿Cuál es su edad? 31. Una momia se encontró con 1/1000 de la cantidad de C-14 que su organismo contenía mientras vivió. Halla la edad aproximada de la momia. 32. Un fechado realizado en el año 2 000, reveló una antigüedad de 540 años para la momia Juanita, encontrada en el nevado de Ampato. ¿Qué cantidad de C-14 tenían sus restos cuando la encontraron? 33. La edad de un objeto antiguo se puede determinar por la cantidad de carbono 14 radiactivo que permanece en él. Si D0 es la cantidad inicial de carbono 14 y D es la cantidad restante, entonces la edad A del objeto (en años) se determina por
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D A 8267.ln D 0 Encuentra la edad de un objeto si la cantidad D de carbono 14 que permanece en él es 73% de la cantidad original D0. 34. En 1 947, un ganadero árabe entró a una gruta cerca de Qumram a las orillas del Mar Muerto en busca de una cabra perdida. Encontró algunas vasijas de barro que contenían lo que conocemos como los rollos del Mar Muerto. Se analizaron los escritos y se determinó que contenían 76% de su carbono – 14 original. Estima la edad de los rollos del Mar Muerto. 35. Si se estima que un fósil tiene 1 millón de años, ¿qué porcentaje contiene de su carbono – 14 original?
