TRABAJO PRÁCTICO DE FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICADescripción completa
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EJERCICIOS DE POISSON Y EXPONENCIALDescripción completa
Resumen sobre la distribución multinomial y exponencial, de Probabilidad y estadística.
Distribución Exponencial Distribución POISSON
CÁLCULO DIFERENCIAL LEYES DERIVADA
3.3 DERIVADA DE LAS FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTIMICA Derivada de la función logarítmica
3.3.1
Derivada de y = lnx Por medio de la definición de la derivada de una función f(x) como el siguiente límite:
f ' ( x) =
lim
f ( x + h) − f ( x)
h→ 0
h
puede mostrarse que
d dx
1
(ln x) =
x d
Y aplicando la regla de la cadena,
dx
(ln u ) =
1 du u dx
2
Ejemplo. Diferenciar y = ln (x +1). 2
Solución. Sea u = x + 1 →
dy dx
=
d
1 x
2
+ 1 dx
( x 2
+ 1) =
1 x
2
+1
(2 x) =
2 x x
2
+1
Ejemplo. Diferenciar y = x2ln(4x+2).
Solución. Empleando la regla del producto: producto:
dy dx
= x
2
d dx
[ ln(4 x + 2)] + [ ln(4 x + 2)]
d dx
( x
2
1 2 x 2 ) = x + 2 x ln(4 x + 2) (4) + [ ln(4 x + 2)](2 x) = 2 x + 1 4 x + 2 2
Derivadas de funciones logarítmicas con base b
Sea y
= f ( x) = log b u →
y ' = f ' ( x ) =
Ejemplo1. y = f ( x) = ln 3 x − 10 . Sea u f ' ( x) =
1 (ln e)(3 x − 10)
*
d dx
1
du
(ln b)u dx
= 3 x − 10
(3 x − 10) =
1 3 x − 10
*3=
3 3 x − 10
Recuerde que lne = 1
CÁLCULO DIFERENCIAL LEYES DERIVADA
Ejemplo2: y
= ln 5 x 4 + 8 x − 12 .
y ' =
Sea u d
1 (ln e)(5 x
4
+ 8 x − 12) dx
= 5 x 4 + 8 x − 12.
(5 x
4
+ 8 x − 12) =
1 5 x
4
+ 8 x − 12
* (20 x
3
+ 8) =
+8 + 8 x − 12
20 x 3 5 x
4
En algunos casos para derivar funciones logarítmicas logarítmicas es necesario aplicar previamente una o varias de las propiedades de los logaritmos. Dichas propiedades se enuncian enuncian a continuación:
•
Logaritmo de una potencia: log b a
n
= n log b a
Ejemplo1 y
= ln( 3 x − 4) 4 = 4 ln( 3 x − 4)
y ' = 4 *
3 3 x − 4
=
12 3 x − 4
Ejemplo2: y
= f ( x) = log 7 5 5 x 3 + 6 x − 9
Apliquemos la propiedad número uno:
y
= f ( x) = log 7 (5 x 3 + 6 x − 9) = 15
1 5
log 7 (5 x 3
+ 6 x − 9)
Ahora sí, procedemos a derivar:
y ' =
1
*
+6 + 6 x − 9
15 x 2
5 ln 7 5 x
3
•
Logaritmo de un producto: log b ( ac)
•
Logaritmo de un cociente: log b
= log b a + log b c
a = log a − log c b b c
Ejemplo1: y
= f ( x) = ln ( 7 x 2 + 4 x − 1)
3
5x − 3
Aplicamos la propiedad del producto:
y
= f ( x) = ln(7 x 2 + 4 x − 1) 3 + ln
5 x − 3
= ln(7 x 2 + 4 x − 1) 3 + ln( 5 x − 3) 1 2
CÁLCULO DIFERENCIAL LEYES DERIVADA Aplicamos la propiedad número uno:
y
= f ( x) = 3 ln(7 x 2 + 4 x − 1) +
1
ln(5 x − 3)
2
Por último derivamos:
y ' = 3 *
14 x + 4
+
+ 4 x − 1
7 x 2
1
*
5
=
2 5 x − 3
3(14 x + 4) 7 x 2
+ 4 x − 1
+
5 2(5 x − 3)
Ejemplo2: y
10 x + 3 = h( x) = log 2 5 x + 1
Aplicamos la propiedad del cociente:
y
= log 2 (10 x + 3) − log 2 (5 x + 1)
Ahora si derivamos:
y ' =
3.3.2
1
10
*
ln 2 10 x + 3
1
−
*
5
ln 2 5 x + 1
Derivadas de funciones exponenciales
Derivada de la función exponencial natural d
Daremos por mostrado que
= e x −2 x +5 . 3
Ejemplo. Derivar y
Solución.
y´ = e x
Ejemplo. Sea y
=
3
dx
− 2 x +5
x e x
*
d dx
d
(e x ) = e x . Similarmente,
dx
(e u ) = e u
du dx
3
Sea u = x -2x+5
( x 3
− 2 x + 5) = e x −2 x +5 * (3 x 2 − 2) 3
. Encontrar
dy dx
Solución. Primero usamos la regla de la derivada del cociente cociente de dos funciones.
dy dx
e x
=
d dx
( x) − x (e x ) 2
d dx
(e x )
=
e x (1) − xe x (e x ) 2
=
e x (1 − x ) e 2 x
CÁLCULO DIFERENCIAL LEYES DERIVADA
Diferenciación de funciones exponenciales con base a d
Sea y = au, con a > 0, a ≠ 1. Entonces,
dx
(a u ) = a u (ln a )
du dx
Ejemplo1 y
= f ( x) = 5 3 x −10. Hallar y´.
y´ = 5 3 x −10 (ln 5)
d dx
Sea u
= 3 x − 10, y a = 5 :
(3 x − 10) = 5 3 x −10 * (ln 5) * 3
Ejemplo 2 2
= e 7 x −5 x− 4 y ' = e 7 x −5 x − 4 * (14 x − 5) * ln e = e 7 x −5 x − 4 * (14 x − 5) y
