MOVIMIENTO CURVILINEO
COMPONENTES RADIAL Y TRANSVERSAL EN EL MOVIMIENTO CURVILINEO
En algunos problemas de movimiento de un plano, la; posición de la particular P se defne por sus coorden coordenada adas s polar polares es r y θ . Entonces es conveniente descomponer la velocidad y la aceleración de la partícula en sus componentes paralela y perpendicular, respectivamente, respectivamente, a la recta OP. OP. A estas componentes se les llama componentes radial y transversal.
eθ er
P
Unimos a P dos vectores unitarios de OP y el vector
eθ
e r y e θ
se obtiene girando
. El vector er
er
se dirige a lo largo
un ángulo de ! ! en sentido sentido
cont contra rari rio o al de las las mane maneci cill llas as del del relo relo". ". El vect vector or unita unitari rio o
er
defne defne la
dirección radial, es decir, la dirección en la #ue P se, movería si r $uese a aume aument ntar ar mant manten enie iend ndo o
θ
cons consta tante nte;; el vector vector unit unitari ario o
eθ
defne defne la
direcc dirección ión transver transversal sal,, es decir, decir, la direcc dirección ión en la #ue P se moverí movería a si
θ
aumentara manteniendo r constante. %iguiendo procedimientos determinamos las derivadas del vector unitario
e t
para determinar las relaciones
d er dθ
= e
θ
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MOVIMIENTO CURVILINEO d eθ dθ
=−er
−er
&onde
, representa un vector unitario de sentido opuesto al de
er
.
Empleando la regla de la cadena para la derivación, e'presamos a las derivadas temporales de los vectores unitarios
er
y
eθ
en la $orma
siguiente(
d er dt d eθ dt
=
d er dθ dθ . = e θ dθ dt dt
=
d eθ dθ =−e r dθ . dθ dt dt
o, usando puntos para indicar la derivación respecto a
t ,
e´ r=θ´ e θ e´ θ=−θ´ er
Para obtener la velocidad v de la partícula P, e'presamos el vector de posición r de P como el producto del escalar r y el vector unitario
er
y derivamos
respecto de t v=
d ( r e ) =´r e r + r ´e r dt r
O, recordando la primera de las relaciones v =´r er + r θ´ eθ
%i se deriva otra ve) respecto de t para obtener la aceleración, escribimos
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a=
dv =´r er +´r ´e r +´r ´θ e θ + r ´θ eθ + r ´θ ´e θ dt
O, sustituyendo los valores de
e´ r
y
e´ θ
y $actori)ando
er
y
eθ
tenemos(
´ ) eθ a = ´r − r ´ θ e r +( r ´ θ + 2 ´r θ
(
2
)
*as componentes escalares de la velocidad y de la aceleración en las direcciones radial y transversal son por consiguiente( v r =´r v θ= r θ´ ar =´r −r θ´ a θ=r ´θ +2 ´r θ´ 2
Es importante notar #ue aθ
ar
no es igual a la derivada temporal de
tampoco es igual a la derivada de
vθ
vr
, y #ue
.
En el caso de una partícula #ue se mueve en un círculo de centro O, tenemos #ue r+ constante y
r = ´´r = 0
, y las $ormulas anteriores se reducen a(
´ eθ v =r θ
a =−r ´θ e r + r ´θ e θ 2
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EJERCICIOS APLICATIVOS
Un automóvil está via"ando por la curva circular de radio r+!! pies. En el instante mostrado, su ra)ón angular de rotación es 0,4rad/s, la cual está creciendo a ra)ón de
θ´
θ´
+
+ 0,2rad/s. &etermine la
magnitud de la velocidad y la aceleración del automóvil en ese instante.
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Solución:
%abemos #ue la velocidad( vr =´r = 0
v θ =r θ´ =300 ( 0.4 )=120 pies / s
Entonces la magnitud de la velocidad es(
v =√ v r
2
+ vθ2 =√ 02+ 1202
v =120 pies / s
A-ora la aceleración es( 2 2 2 ar =´r −r θ´ =0 − 300 ( 0.4 ) =−48,0 pies / s aθ =r θ + 2 r´ θ
2
=300 ( 0.2 )+ 2 ( 0.4 )=60,0 pies / s 2
Entonces la magnitud de la velocidad es(
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a =√ ar + a θ =√ −48 + 60 2
2
2
2
2
a =76 pies / s
En el instante mostrado el rociador de agua está girando con rapide) angular,
θ´
+rad/s y aceleración angular de
θ´
+rad/s . %i la tobera
se -alla en el planop vertical y el agua 0uye por ella a ra)ón constante de m/s. &etermine las magnitudes de la velocidad y la aceleración de una partícula de agua cuando esta sale por el e'tremo abierto; r+!.m
Solución: r = 0.2 ´r = 0
´r = 0
1allando la velocidad radial(
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MOVIMIENTO CURVILINEO v r =r v r =3 m / s
1allando la velocidad angular( v θ =r θ´
2
=2 , θ´ =3 v θ =0.2 ( 2 )
v θ =0.4 m / s
1allando la magnitud de la velocidad(
v = vr v = √ 3
2
2
+ vθ2
2
+ 0.4
v =3.03 m/ s
1allando la aceleración radial( ar =´r −r θ´
2
−r ´θ2 sen2 θ
ar =´r −r θ´
2
2
ar =0 −(0.2 )( 2 ) ar =−0.8 m / s
2
1allando la aceleración )enital( aθ =r θ´ −r −2 r´ ´θ −r ´θ senθcosθ 2
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MOVIMIENTO CURVILINEO aθ =r θ´ −r −2 r´ ´θ aθ =( 0.2 ) ( 3 )+ 2 ( 3)( 2) 2
aθ =12.6 m / s
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