CURSO: DINAMICA
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27 de marzo de 2017
ACTIVIDAD 5: EL MOVIMIENTO CURVILINEO: COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL; RADIAL Y T RANSVERSAL RANSVERSAL
I. INDICADOR. Aplica las ecuaciones del movimiento curvilíneo en la solución de problemas, con el apoyo de las tic. TANGENCIAL Y NORMAL II. COMPONENTES TANGENCIAL
La velocidad de una partícula es un vector tangente a la trayectoria de la misma, pero que, en general, la aceleración no es tangente a la trayectoria. En ocasiones resulta conveniente descomponer la aceleración en componentes dirigidas, respectivamente, a lo largo de la tangente y la normal de la trayectoria de la partícula. Movimiento plano de una partícula. Primero se considera una partícula que se mueve a lo largo de una curva contenida en el plano de la figura. Sea P la posición de la partícula en un instante dado. Se une en P a un vector unitario et tangente a la trayectoria de la partícula y que apunta en la dirección de movimiento y un vector en normal, dirigida al centro. Las componentes de la aceleración queda definido en la siguiente ecuación, la curva se muestra en la siguiente figura. De tal modo, las componentes escalares de la aceleración son at= dv/dt y an = v²/ρ
Las relaciones obtenidas expresan que la magnitud de la componente tangencial de la aceleración es igual a la razón de cambio de la velocidad de la partícula, en tanto que la magnitud de la componente normal es igual al cuadrado de la velocidad dividida entre el radio de curvatura (ρ) de la trayectoria en P.
Si aumenta la velocidad de la partícula, a t es positiva y la componente vectorial a t apunta en la dirección de movimiento. Si disminuye la velocidad de la partícula, at es negativa y at apunta contra la dirección del movimiento. La componente vectorial a n, por otro lado, siempre se dirige hacia el centro de curvatura C de la trayectoria De lo anterior se concluye que la magnitud de la componente tangencial de la aceleración refleja un cambio en la magnitud de la velocidad de la partícula, mientras que su componente normal refleja un cambio en su dirección de movimiento. La aceleración de una partícula será cero sólo si ambas de sus componentes son cero. En consecuencia, consecuencia, la aceleración de una partícula que se mueve con v elocidad elocidad constante a lo largo l argo de una curva no será cero, a menos que la partícula pase por un punto de inflexión de la curva (donde el radio de curvatura es infinito) o a menos que la curva sea una línea recta.
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III. COMPONENTES RADIAL Y TRANSVERSAL
En ciertos problemas de movimiento plano, la posición de la partícula P se define mediante sus coordenadas polares r y θ, como se muestra en la figura. En ese caso es conveniente descomponer la velocidad y la aceleración de la partícula en componentes paralela y perpendicular, respectivamente, a la línea OP. Éstas se conocen como componentes radial y transversal. Se unen a P dos vectores unitarios, er y e θ, como se muestra en la figura. El vector e r está dirigido a lo largo de OP y el vector eθ se obtiene al rotar er 90° en el sentido contrario al de las manecillas del reloj. El vector unitario e r define la dirección radial, esto es, la dirección en la cual P se movería si r aumentara y θ se mantuviera constante; el vector unitario eθ define la dirección transversal, es decir, la dirección en la que P se movería si θ aumentara y r se mantuviera constante. Para este tipo de movimiento, tanto la velocidad y la aceleración quedan definidas por las siguientes ecuaciones:
Las componentes escalares de la velocidad y la aceleración en las variaciones radial y transversal son, por lo tanto, vr = ˙r
vθ = r θ ˙
ar = ¨r - r θ ˙
2
aθ
= r θ ¨ +2˙r θ ˙
Es importante advertir que a no es igual a la derivada respecto al tiempo de a la derivada en el tiempo de v θ r
IV. EJERCICIOS, desarrollar y sustentar. 1. Un automovilista viaja sobre una sección curva de una autopista de 900 ft de radio a una rapidez de 60 mi/h. El automovilista aplica repentinamente los frenos, provocando que el automóvil se desacelere a una tasa constante. Si se sabe que después de 8 s la rapidez se ha reducido a 45 mi/h, determine la aceleración del automóvil inmediatamente después de que se han aplicado los frenos 2. La rotación del brazo OA de 0.9 m alrededor de O se define mediante la relación θ = 0.15 t 2, donde θ se expresa en radianes y t en segundos. El collarín B desliza a lo largo del brazo de modo tal que su distancia desde O es r =0.9 - 0.12t 2, donde r se expresa en metros y t en segundos. Después de que el brazo OA ha girado 30°, determine a) la velocidad total del collarín, b) la aceleración total del collarín, c) la aceleración relativa del collarín con respecto al brazo.
v r
y que aθ no es igual
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3. Determine el radio mínimo que debe usarse para una carretera si la componente normal de la aceleración de un automóvil que viaja a 45 mi/h no debe ser mayor que 2.4 ft/s 2.
4. Determine la rapidez máxima que los carros de la montaña rusa pueden alcanzar a lo largo de la porción circular AB de la pista, si la componente normal de su aceleración no puede ser mayor que 3g.
5. El pasador A, que se encuentra unido al eslabón AB, está restringido a moverse en la ranura circular CD. Si en t = 0 el pasador empieza a moverse del reposo de manera que su rapidez aumenta a razón constante de 20 mm/s 2, determine la magnitud de su aceleración total cuando a) t = 0. b) t = 2 s.
6. Se descarga carbón desde la puerta trasera de un camión de volteo con una velocidad inicial de v A = 6 ft/s <50°. Determine el radio de curvatura de la trayectoria descrita por el carbón a) en el punto A, b) en el punto de la trayectoria 3 ft por debajo del punto A
7. La rotación de la varilla OA alrededor de O se define por medio de la relación θ =π (4t2 – 8t), donde θ y t se expresan en radianes y segundos, respectivamente. El collarín B se desliza a lo largo de la varilla de manera que su distancia desde O es r = 10 + 6 sen πt, donde r y t se expresan en pulgadas y segundos, respectivamente. Cuando t = 1 s, determine a) la velocidad del collarín, b) la aceleración total del collarín, c) la aceleración del collarín relativa a la varilla.
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8. Un automovilista que viaja a lo largo de la parte recta de una carretera, está disminuyendo la rapidez de su automóvil a razón constante antes de salir de la carretera por una rampa circular con radio de 560 ft. Continúa desacelerando a la misma tasa constante de manera que 10 s después de entrar a la rampa, su rapidez ha bajado a 20 mi/h, a partir de entonces mantiene dicha rapidez. Si se sabe que a esta rapidez constante la aceleración total del automóvil es igual a un cuarto de su valor antes de entrar a la rampa, determine el valor máximo de la aceleración total del automóvil.
