MOVIMIENTO CURVILINEO 8. ALCANCE MAXIMO EN UN PLANO INCLINADO ACTIVIDADES Se introduce
El ángulo α del plano inclinado, actuando en la barra de desplazamiento titulada Plano inclinado. inclinado. El ángulo puede ser positivo o negativo El ángulo de tiro θ , actuando en la barra de desplazamiento titulada Ángulo, Ángulo, o bien, introduciendo el valor del ángulo en el control de edición. La velocidad de disparo se ha fijado en el valor v 0=60 m/s
Se pulsa el botón titulado Empieza Observamos la trayectoria del proyectil hasta que llega al plano inclinado. En la parte superior del applet, se proporcionan los datos del proyectil:
tiempo t , las componentes de la velocidad v x y y v y y, la posición x , e y . El alcance R se calcula mediante R=√ x 2+ 2+y 2
El programa interactivo representa, la trayectoria del proyectil actual y la trayectoria anterior. Fijada el ángulo del plano inclinado, vamos cambiando el ángulo de tiro θ . Mediante el procedimiento de aproximaciones sucesivas, podemos obtener el ángulo para el cual el alcance es máximo.
En la parte de abajo de la animación se observan dos casillas que pueden ser modificadas, la cuales son el Angulo de inclinación del plano, y el ángulo de inclinación del tiro, estos nos pueden ser iguales dado que el alcance seria 0
Alcance máximo Derivando R con respecto del ángulo de tiro θ e igualando a cero obtenemos el ángulo de tiro θ m para el cual el alcance es máximo. dRdθ =2v 20gcos2αcos(2θ −α)=0
El ángulo θ para el cual el alcance R es máximo vale θm=π4+α2
El alcance máximo sin cálculo de derivadas Una forma alternativa de calcular el ángulo θ m, sin tener que realizar un cálculo de derivadas es el siguiente: Eliminamos el tiempo t , en de las ecuaciones paramétricas de la trayectoria, llegamos a la ecuación de la parábola (recuérdese que 1/cos2θ =1+tan2θ) Y = x tanθ − gx 22v 20 (1+tan2θ )
Las coordenadas x 0 e y 0 del punto de impacto están relacionadas y 0= x 0·tanα, llegamos a la siguiente ecuación de segundo grado en tan θ . gx 20 2v 20 tan2θ − x 0⋅tanθ + x 0tanα + gx 20 2v 20 =0
Las raíces de la ecuación de segundo grado son Tan θ = v 20 gx 0 (1 ± √ 1 – 2 gx 0v 20tanα − g2 x 20v 40) Tenemos dos ángulos de tiro θ 1 y el ángulo θ 2 que dan lugar al mismo alcance R
Empleamos las propiedades de las raíces de la ecuación de segundo grado ax 2+bx+c=0 x 1+ x 2=−ba
x 1⋅ x 2=ca
tanθ 1+tanθ 2=2v 20gx 0
tanθ 1⋅tanθ 2=1+2v 20gx 0tanα
Haciendo algunas operaciones, relacionamos el ángulo θ 1 y el ángulo θ 2. tanθ 1⋅tanθ 2=1+(tanθ 1+tanθ 2)tanα−cos(θ 1+θ 2)=sin(θ 1+θ 2)⋅tanα−1tan(θ 1+θ 2)=tanα θ 1+θ 2=α+π2
Cuando el alcance tiende hacia el valor máximo, los dos ángulos de tiro θ 1 y θ 2 se hacen cada vez más próximos hasta que coinciden. Las dos raíces son iguales θ m=θ 1=θ 2. 2θm = α+π2 Sustituyendo θ m por α/2+π/4 en la expresión del alcance R al principio de la página Rm = 2v 20gsin(π/4−α/2)cos(π/4+α/2)cos2α=v 20g11+sinα
Otro modo de obtener el alcance máximo es el siguiente: el discriminante de la ecuación de segundo grado en tanθ , se hace cero, cuando la raíz es doble. Por tanto, Tanθm = v 20gx 0=v 20gRmcosα Despejamos Rm y sustituimos θ m por α/2+π/4, obtenemos después de realizar algunas operaciones la misma expresión para Rm. El tiempo de vuelo del proyectil para el ángulo θ m vale Tm=2v 0g(sin(π4+α2)−cos(π4+α2)tanα)=2√v 0g((cos α2+sinα2)−(cosα2−sinα2)2sin(α/2)cos(α/2)cos2 (α/2)−sin2(α/2))
Simplificamos esta expresión hasta llegar a Tm=2 √v 0g1cos(α/2) + sin(α/2)
VELOCIDAD FINAL Y VELOCIDAD INICIAL El ángulo que forma la velocidad final con el eje X es tanϕ=vyvx =v 0sinθ −gTv 0cosθ =v 0sinθ −2v 0(tanθ −tanα)cosθv 0cosθ =2tanα−tanθ Para el ángulo de disparo θ m=π/4+α/2
tanϕm=4sin(α/2)cos(α/2)cos2(α/2)−sin2(α/2)−sin(π/4+α/2)cos(π/4+α/2)=−cos(α/2)−sin(π/4)cos(α /2)+sin(π/4)=−cos(π/4+α/2)sin(π/4+α/2)=−1tanθmtanϕm=−1tanθm θm=ϕm+π2 El vector velocidad inicial v0 y el vector velocidad final vf son perpendiculares. Ejemplo
La velocidad de disparo v 0=60 m/s La pendiente del plano inclinado α=20º El ángulo de disparo θ 1=60º
El alcance vale R=2⋅602 9.8sin(60−20)cos60cos220 = 267.4 m
El tiempo de vuelo vale T =2⋅60 9.8(tan60−tan20)cos60 = 8.38 s
El ángulo de disparo θ 1=50º
El alcance vale R=2⋅602 9.8sin(50−20)cos50cos220=267.4 m
El tiempo de vuelo vale T =2⋅60 9.8(tan50−tan20)cos50=6.52 s
El ángulo para el cual el alcance es máximo (véase la última figura) es
θm=20º2+45º=55º
El alcance para este ángulo vale Rm=6029.811+sin20=273.7 m
El tiempo de vuelo es Tm=2√60 9.81cos(10)+sin(10)=7.47 s
Ángulos de tiro que producen el mismo alcance R=200 m.
Podemos calcular los dos ángulos de tiro que producen el mismo alcance R
tan θ = 602 9.8⋅187.9(1 ± √1−2⋅9.8⋅187.9602tan20−9.82187.92604) θ 1=37.7º, θ 2=72.3º, Como vemos θ 1+θ 2=90+20=110º, y θ 1<θ m<θ 2
Entonces podemos concluir que 110º será la suma de los ángulos que van a tener el mismo alcance, empezando desde 90º y 20º donde su alcance será, y a medida que los ángulos se acerquen a 55º su alcance va a ser mayor. 10. SE DISPARA UN PROYECTIL CONTRA UNA BLANCO MOVIL Actividades
La velocidad v de disparo del proyectil se ha fijado en 100 m/s. La distancia horizontal d entre el cañón y el carro de combate en el momento del disparo se ha fijado en 1000 m. El programa interactivo genera un número aleatorio comprendido entre 0 y 50 que representa la velocidad u del carro de combate. cada vez que se pulsa el botón titulado Nuevo Se establece el ángulo de disparo, moviendo el dedo de la barra de desplazamiento, o introduciendo un ángulo en grados en el control de edición titulado Angulo.
Se pulsa el botón titulado Empieza; Observamos el movimiento del carro de combate desde la posición inicial x =1000 m, hacia el origen donde se encuentra el cañón.
Se cambia el ángulo de tiro y se pulsa el botón titulado Empieza Se ensaya con varios ángulos de disparo hasta dar en el blanco.
Se completa una tabla de valores de z en función del ángulo de disparo θ y se dibuja en un papel la función z=v 2·sin(2θ )+2u·v ·sinθ -d·g
la velocidad de disparo es v =100 m/s la velocidad del carro de combate u es el valor suministrado por el programa, (en la parte derecha del applet) la distancia inicial entre el cañón y el carro de combate es d =1000 m, g=9.8 m/s2.
Se comprueba que las raíces de la ecuación trascendente son aproximadamente iguales a los ángulos de disparo obtenidos por el procedimiento de ensayo. Descripción El proyectil se mueve bajo la aceleración constante de la gravedad, que es la composición de dos movimientos: Uniforme a lo largo del eje horizontal X y uniformemente acelerado a lo largo del eje vertical Y
{ ax = 0ay = −g
{ vx = v 0cosθvy = v 0sinθ − gt
{ x = v 0cosθ ty = v 0sinθ t − 12gt 2
El movimiento del carro de combate es rectilíneo y uniforme. Su posición x en función del tiempo es x=d-u·t
El impacto del proyectil sobre el carro de combate se produce para y =0, es decir, en el instante t =2·v ·sinθ /g En dicho instante, han de coincidir las posiciones x de ambos móviles d −u2v ⋅sinθg=v cosθ 2v ⋅sinθg
Se pueden dar tres casos dependiendo de cual sean los datos y las incógnitas. 1. Se conoce la separación inicial d , el ángulo de tiro θ y la velocidad de disparo v . Calcular la velocidad u del carro de combate. U = dg 2v sinθ − v cosθ
2. Se conoce la separación inicial d , el ángulo de tiro θ y la velocidad u del carro de combate. Calcular la velocidad de disparo v V = (−u+√u2+2dgcotθ ) / 2cosθ
3. El caso más interesante, es aquél en el que se conoce la separación inicial d , la velocidad de disparo v y la velocidad u del carro de combate, se pide calcular el ángulo (o ángulos) de tiro θ Ángulos de disparo Tenemos que hallar las raíces de la ecuación trascendente v 2·sin(2θ ) + 2u·v ·sinθ - d·g = 0
Existen varios procedimientos, el más simple, es trazar la gráfica de la función z=f (θ ) Z = v 2·sin(2θ ) + 2u·v ·sinθ - d·g
y determinar aproximadamente, los puntos de corte de la función con el eje horizontal, tal como se aprecia en la figura.
El máximo de la función z se produce Dzdθ = 2v 2cos(2θ ) + 2uv cosθ =0
para un ángulo θ m independiente de la distancia d cosθm = (− u + √u2 + 8v 2) / 4v Los dos ángulos buscados θ 1 y θ 2 están en los intervalos (0, θ m) y (θ m, π/2) respectivamente. Podemos emplear un procedimiento como el del punto medio para calcular cada una de las raíces de la ecuación trascendente Existe una distancia d m para la cual la ecuación trascendente tiene una sola raíz θ m. El máximo de la función f(θ m ) es z=0. Dm = v 2sin(2θm) + 2uv sinθmg
Si la distancia d entre el cañón y el carro de combate es mayor que d m , no hay ningún ángulo para el que se pueda producir impacto, la ecuación trascendente carece de raíces, tal como puede verse en la figura.
ENTONCES, PARA EL EJEMPLO: Para una velocidad del carro de combate u=20.0 m/s, el máximo de la función f(θ) se produce para Cosθm = (−20+√202+8⋅1002 ) / 4⋅100
θ m =48.8º = 0.85 rad
Los ángulos de disparo que producen impacto en el carro de combate están comprendidos entre (0, 48.8º) y (48.8º, 90º) y son θ 1=26.6º y θ 2=71.5º, tal como puede verse en las siguientes representaciones gráficas
Teniendo en cuenta el rango dado anteriormente, podemos decir que en el momento en el que las velocidades aumentan, en el Rango de los ángulos de tiro de 0º a 48.8º, este debe ser menor, y para el rango de 48.8º a 90º este debe ser cada vez mayor Cuando el ángulo de tiro es menor, el avance o acercamiento del carro de guerra es menor, debido al que le tiempo de vuelo del proyectil también es menor
12. TIRO PARABOLICO Y MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME Actividades Se introduce
La velocidad angular de rotación ω, en rad/s, moviendo el dedo de la barra de
desplazamiento titulada Velocidad angular. El radio del paraguas se ha fijado en el programa interactivo en el valor R=1 m
Se pulsa el botón titulado Empieza. Se observa el movimiento de las gotas situadas en los extremos de las varillas del paraguas en las posiciones: 0º, 30º, 60º, 90º, 120º, 150º, 180º, 210º, 240º, 27 0, 300º, y 330º. Conocida la altura h del paraguas sobre el suelo, el lector puede calcular los alcances y el tiempo de vuelo de las gotas situadas en algunas de estas posiciones y en especial la situadas en θ=90º y θ=270º.
Ejemplo:
Sea ω=9.04 rad/s, y por tanto, v0=9.04 m/ s, y sea h=8 m la altura del eje del paraguas sobre el
suelo
Consideremos la gota situada en la posición θ = 60º
La posición de la gota en función del tiempo será X = 1.0 · cos60º - 9.04·sen60º · t y = 1.0 · sen60º + 9.04·cos60º · t - 9.8·t2/2
Llega al suelo y =-8 m, en el instante t = 1.88 s, y su distancia al origen será de x = -14.24 m.
Calculamos el alcance máximo
Xm = (√ 9.04^4 + 2 . 9.04^2 . 9.8 . 8 + 9.8^2 1.0^2 ) / 9.8= ± 14.28 m El tiempo que tarda en llegar al suelo es Tm =( √2(9.042+9.8⋅ 8) / 9.8 =1.83 s Las dos gotas que parten de las posiciones angulares Θm = 180 – (arctan 9.04 . 1.83) /1.0 – (arctan ½ . 9.8 . 1.83^2 – 8) / 14.28 = 63.2º θm =360 – (arctan 9.04 . 1.83) / 1.0 + (arctan ½ 9.8 . 1.83^2 – 8) / 14.28 = 303.7º
su alcance es máximo
La gota que parte de la posición angular
Θm = (arcsin 9.8 . 1.0 ) / 9.04^2 = 6.9º
Alcanza la altura máxima ym Ym = (9.8 . 10^2 / 2 . 9.04 ^2 ) + (9.04^2/ 2 . 9.8) = 4.23 m Para comparar los cálculos realizados con los proporcionados por el programa interactivo se hace uso de los botones Pausa/Continua y Paso, para parar la partícula en el momento en el que llega al suelo. El tiempo de vuelo otorgado por la animación, cuando se tiene un velocidad angular de 9.04 rad/s, en el que todas las gotas tardan en llegar al suelo es de 2.5 segundos
