UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE ELECTRÓNICA Y ELÉCTRICA E.A.P. INGENIERÍA DE ELECTRÓNICA
SEMANA 05: • MOVIMIENTO CURVILÍNEO • MOVIMIENTO RELATIVO LIC. FANNY E. MORI ESCOBAR
Cuando un móvil se mueve en una trayectoria curva, la dirección de su velocidad cambia.
Movimiento Circular Uniforme Cuando una partícula se mueve con rapidez constante. La aceleración es exactamente perpendicular a la velocidad: si componente paralela.
Determinación del cambio de velocidad, aceleración media y aceleración instantánea
ΔS
R
R Δθ O
Δθ Estos dos triángulos son similares
O
Ejemplo 01 En un juego mecánico, los pasajeros viajan con rapidez constante en un círculo de 5m. de radio, dando una vuelta completa cada 4s. ¿Qué aceleración tiene?
Movimiento Circular no Uniforme A B
A → Rapidez mínima: aceleración radial mínima, aceleración tangencial cero.
H
B-C-D→ Aumento de la rapidez: aceleración tangencial en la misma dirección que la velocidad.
C
G D E
F
E → Rapidez máxima: aceleración radial máxima, aceleración tangencial cero. F-G-H → Disminución de la rapidez: la aceleración tangencial es opuesta
Ejemplo 02
• Un carro de carreras C viaja alrededor de una pista horizontal circular que tiene un radio de 90 m. Si el carro incrementa su rapidez a razón constante de 2,1 m/s2 partiendo desde el reposo, determine el tiempo necesario para alcanzar una aceleración de 2,4 m/s2. ¿Cuál es su velocidad en ese instante.
Solución • Se sabe que la aceleración • La aceleración total será 2 tangencial es constante e v a at eˆt eˆn igual a 2,1m / s 2
at
Entonces
a
2,1eˆt
0.049t eˆn
2,12
[0.049t 2 ]2
v
v0
at t
a2
v
0
2,1t
2, 4 2
• La aceleración normal será an
v
2
(2,1t ) 90
2
0.049t 2 m / s 2
2
2,12 t
[0.049t 2 ]2
4,87
• La velocidad instante será
v
en
este
2.1t 10.2m / s
Ejemplo 03 Una caja parte del reposo en A e incrementa su rapidez a razón de at = (0.2t) m/s2 y viaja a lo largo de la pista horizontal mostrada. Determine la magnitud y dirección de la aceleración cuando pasa por B
Solución
La posición de la caja en cualquier instante es S medida a partir del punto fijo en A. La velocidad en cualquier instante se determina a partir de la aceleración tangencial, esto es
at
v v 0
v
0.2t
dv
t 0
0.1t 2
(1)
0.2tdt (2)
Para determinar la velocidad en B, primero es necesario determinar S = f(t), después obtener el tiempo necesario para que la caja llegue a B. es decir ds dt
v S 0
S
ds
0.1t 2 t 0
0.1t 2 dt
0, 0333t 3
(3)
De la geometría se tiene sB = 3 + 2π(2)/4 = 6.142 m.
Entonces tenemos
6,142 0, 0333t 3 t
5, 69s
Remplazando el tiempo en las ecuaciones (1) y (2) resulta ( aB ) t
0.2(5.69) 1.138m / s 2
vB
0.1(5.69)2
vB
3.238m / s
En el punto B el radio de curvatura es ρ = 2 m, entonces la aceleración será ( aB ) n
vB2
5.242m / s 2
B
La aceleración total será aB aB
at , B eˆt
vB2
eˆn
1,138eˆt 5, 242eˆn
Su modulo y dirección serán a2
1,1382 a tg 1[
[5, 242]2
5, 36m / s 2 5.242 ] 77,75 1,138
Ejemplo 04 Una partícula se mueve en una trayectoria curva de tal manera que en cierto instante tiene una velocidad v y una aceración a. Demuestre que el radio de curvatura puede obtenerse a partir de la ecuación
1
vxa v
3
Ejemplo 04 Sabemos que la aceleración en cualquier instante es
a at an Multiplicando ambos miembros por la velocidad v tenemos a at an
vxa
vx at
an
vxa vxat vxan Debido a que la aceleración tangencial son colineales su producto vectorial es nulo. Entonces tenemos
vxa vxa vxa
vxan
0 vxan vxan van sen90
Remplazado la normal tenemos
van
aceleración
v
vxa
v(
1
vxa v
3
2
)
Ejemplo
Ejemplo
Ejemplo • Partiendo desde el reposo, un bote a motor viaja alrededor de una trayectoria circular de radio r = 50 m con una velocidad . Determine la magnitud de la velocidad y de la aceleración del bote en t = 3 s.
Análisis del movimiento relativo de dos partículas usando ejes en traslación Hasta ahora se ha estudiado el movimiento absoluto de una partícula usando un marco de referencia fijo. Sin embargo, existen ejemplos en el que la trayectoria del movimiento de una partícula es complicada, de modo que es más factible analizar el movimiento en partes usando dos o más marcos de referencia. Por ejemplo, el movimiento de una partícula localizada en la hélice de un avión , mientras éste está en vuelo , es más fácil describirlo si observamos primero el movimiento del avión a partir de un sistema de referencia fijo y después se superpone vectorialmente el movimiento circular de la partícula medida a partir de un marco de referencia móvil unido al aeroplano.
Análisis del movimiento relativo de dos partículas usando ejes en traslación
En esta sección nos ocuparemos del estudio del movimiento solo a marcos de referencia en traslación. El análisis del movimiento relativo de partículas usando marcos de referencia en rotación se tratará en el curso de Dinámica.
Movimiento relatico: posición • Consideremos dos partículas A y • La posición relativa de A con respecto al observador B , es B moviéndose en las trayectorias mostradas • Las posiciones absolutas de A y A B A / B B con respecto al observador fijo en el marco de referencia OXYZ serán
r
rA
OA
rB
OB
• El observador B sólo experimenta traslación y se encuentra unidos al sistema de referencia móvil Oxyz
r
r
Movimiento relativo: Velocidad • Derivando la ecuación de la posición relativa se tiene
vA
vB vA/ B
Movimiento relativo: Aceleración • Derivando la ecuación de la velocidad relativa se tiene
aA
aB aA/ B
Ejemplo 01 • Un tren T, viajando a una velocidad constante de 90 km/ h, cruza una carretera, como se muestra en la figura. Si el automóvil A está viajando por la carretera con una velocidad de 67,5 km/h. Determine la magnitud y dirección de la velocidad relativa del tren con respecto al auto.
Solución • La velocidad relativa es medida desde el observador ubicado en el auto al cual se le asocial el sistema de referencia OX’Y’, • Como las velocidades de T y A son conocidas, entonces la velocidad relativa se obtiene de
vT 90i
vA vT / A
(67.5cos 45 i vT / A {42.3i
67.5sin 45 j ) vT / A 47.7 j )km / h
solución • La magnitud de la velocidad relativa será
vT / A
2
(42.3
2 2
47.7 )
63.8km / h
• La dirección de la velocidad relativa es
tan
vT / A
y
vT / A
x
48.40
47.7 42.3
solución • Dos aviones están volando horizontalmente a la misma elevación, como se indica en la figura. El avión A está volando en una trayectoria recta, y en el instante mostrado desarrolla una velocidad de 700 km/h y una aceleración de 50 km/h2. El avión B está volando en una trayectoria curva circular de 400km de radio con una rapidez de 600 km/h y está decreciendo su rapidez a razón de 100 km/h2. Determine la velocidad y la aceleración relativa de B medida por el piloto A
Solución • Al avión A esta moviéndose • El avión B tiene aceleración normal y tangencial pues se rectilíneamente y se asocia un mueve en una curva. marco de referencia móvil Ox’y’. • La velocidad relativa de B respecto • La aceleración normal será de A es vB2 aB n 900km / h2
vB
vA vB / A
600 700 vB / A vB / A
100km / h 100km / h
• Aplicando la ecuación para determinar la aceleración relativa se tiene
aB
a A aB / A
900i 100 j aB / A
50 j aB / A
900i 150 j km / h 2
Solución • En un determinado instante los carros A y B están viajando con velocidades de 18m/s y 12m/s, respectivamente. Además en dicho instante la velocidad de A está disminuyendo a razón de 2m/s2 y B experimenta un incremento de su velocidad a razón de 3 m/s2. Determine la velocidad y la aceleración de B con respecto de A
Solución
• El sistema de referencia fijo está en tierra y el marco móvil en el auto A. Por tanto se tiene vB 12 j
v A vB / A
18cos 60 i 18sin 60 j vB / A
9i
• La aceleración normal será aB
3.588 j m / s
92 3.5882
9.69m / s
• La dirección de la velocidad relativa será tan
vB / A vB / A
y x
21.7
n
3.588 9
1.440m / s 2
vB / A • La aceleración relativa será aB 1.440i
vB / A
vB2
3j
aB / A
a A aB / A
2 cos 60 i 2.440i
4.732 j m / s 2
• Su dirección será aB / A
5.32m / s 2 62.7
2sin 60 j
aB / A
Ejemplo • Los pasajeros que viajan en el avión A que vuela horizontalmente a velocidad constante de 800 km/h observan un segundo avión B que pasa por debajo del primero volando horizontalmente. Aunque el morro de B está señalando en la dirección en la dirección 45°noreste, el avión B se presenta a los pasajeros de A como separándose de éste bajo el ángulo de 60° representado. Halle la velocidad verdadera de B
Solución
• El marco móvil está asociado al avión A donde se efectúan las observaciones relativas
vB
vA vB / A
• Aplicando estas ecuaciones en la velocidad relativa se tiene
componente iˆ : vB cos 45
800 vB / A cos 60 componente ˆj :
• La velocidad de A es conocida en vB sen45 vB / A sen60 módulo y dirección, el ángulo de 60° de la velocidad relativa de B respecto de A es conocido y la • Resolviendo estas ecuaciones se obtiene velocidad verdadera de B tiene una dirección de 45°. Entonces vB / A 586km / h; vB 717km / h tenemos. vA vB vB / A
(800iˆ)km / h [vB cos 45 iˆ vB sen45 ˆj ] [ vB / A cos 60 iˆ vB / A sen60 ˆj ]
