Movimiento en el Espacio: Velocidad Y Aceleración

MATEMATICA IV

Movimiento en el Espacio: Velocidad Y Aceleración

    

 Definición: Suponga que una partícula se desplaza por el espacio de modo que vector de posición en el tiempo es   Su magnitud mide el tamaño del  Su vector de desplazamiento por unidad de tiempo. El vector da la velocidad  promedio sobre un intervalo de longitud y su limite es el vector de velocidad en el tiempo  :

        

Por lo tanto, el vector de la velocidad también es el vector tangente y señala la dirección de la recta tangente.

|||

La rapidez de la partícula en el tiempo es decir,



es la magnitud del vector vector velocidad, velocidad,

La aceleración de la partícula se define como la derivada de la velocidad:

    Ejemplo:  Encuentre la velocidad, aceleración y rapidez de una partícula cuyo

vector de posición es Solución: 

                   ||      

Lic. Ysela Mariell Alva Ventura

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     ⃗⃗       ⃗ ⃗         ∫    ∫( ⃗ ⃗   )   ⃗ ⃗    ⃗ ⃗       ⃗ ⃗   ⃗  ⃗   ⃗ ⃗      ⃗   ⃗  Ejemplo:  Una partícula parte de su posición inicial

velocidad inicial

  con la

. Su aceleración es

. Calcule su velocidad y su posición en el tiempo . Solución: Puesto que

Para determinar el valor del vector constante que

, debe apoyarse en el hecho de

  . La ecuación anterior da

, de modo que

y

Como

   *  ⃗   ⃗   +     ⃗    ⃗        ⃗     ⃗ ⃗         

Al hacer

se llega a

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de modo que

MATEMATICA IV

Con frecuencia, cuando se estudia el movimiento de una partícula, es útil resolver la aceleración en dos componentes, a saber, una en la dirección de la tangente y la otra en la dirección de la normal. Si escribe   para la rapidez de la partícula, entonces

 ||  ||    

De este modo

 ||



Si deriva ambos miembros de esta ecuación con respecto a , obtiene

   ||||  || ||    ||  

Si usa la expresión para la curvatura definida en la sesión anterior, entonces tiene

De modo que

El vector unitario normal fue definido también en la sesión anterior como De modo que se obtiene

Al escribir

donde

  

 ||

así da

para las componentes tangencial y normal de la aceleración tiene

    y

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 .

MATEMATICA IV

Observación:

Las componentes tangencial y normal de la aceleración también vienen dadas por 

                               

Ejemplo:  Una partícula que se desplaza tiene una función de posición

  

. Determine las componentes tangencial y normal de la

aceleración. Solución: 

⃗  ⃗     ⃗ ⃗⃗ ⃗   || √                          ⃗ ⃗    ⃗ ⃗                            

Por lo tanto se tiene la componente tangencial como

Además

La componente normal

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AUTOEVALUACION

I. Calcule la velocidad, aceleración y rapidez de una partícula con la función de posición dada 1. 2. 3. 4.

            ⃗ (   ⃗⃗  ⃗   )

II.Calcule los vectores de velocidad y posición de una partícula que tiene la aceleración dada y la velocidad y posición iniciales dadas 1. 2.

  ⃗⃗⃗ ⃗           ⃗⃗ ⃗

III. Calcule las componentes tangencial y normal del vector de la aceleración 1. 2. 3. 4.

 ⃗  ⃗ ⃗     ⃗     ⃗  √ ⃗⃗   ⃗ 

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