Décima Edición
Capitulo
11
Dinamica Vectorial para Ingenieros:
DINAMICA Ferdinand P. Beer E. Russell Johnston, Jr Jr.. Phillip J. Cornwell Lecture Notes: Brian P. Self California Polytechnic State University
Cinemática de Partículas
E T e d n i t t i o h n
Mecánica Vectorial para Ingenieros: Dinamica Movimiento Curvilíneo: Posición, Velocidad y Aceleración
La pelota y el automóvil tienen movimiento curvilíneo.
• Cuando una partícula se mueve a lo largo de unaa curva diferente a una línea recta, describe un movimiento curvilíneo
E T e d n i t t i o h n
Mecánica Vectorial para Ingenieros: Dinamica Movimiento Curvilíneo: Posición, Velocidad y Aceleración • El vector de posición de una partícula en el tiempo t lo define un vector entre el origen O de un sistema de referencia y la posicion que ocupa la partícula . • Considerese una particula que ocupa una posición P definida por tiempo t y P definida por r en t + !t , !
’
!
!
r
en el
E T e d n i t t i o h n
Mecánica Vectorial para Ingenieros: Dinamica Movimiento Curvilíneo: Posición, Velocidad y Aceleración Velocidad Instantánea (vector) !
v
=
lim !t "0
!r !t
dr =
dt
Rapidez instantanea (escalar) v
=
lim !t "0
! s !t
ds =
dt
E T e d n i t t i o h n
Mecánica Vectorial para Ingenieros: Dinamica Movimiento Curvilíneo: Posición, Velocidad y Aceleración • Considere la velocidad en t + !t , !
a
=
lim !t "0
!v !t
!
v
de una particula en el tiempo t y la velocidad
dv
=
dt
=
Aceleración instantánea(vector)
• En general, la aceleracion no es tangente a la trayectoria de la partícula.
v! !
E T e d n i t t i o h n
Mecánica Vectorial para Ingenieros: Dinamica Componentes Rectangulares de la velocidad y la aceleración • Cuando la posición de una Partícula P se define por sus componentes rectangulares x, y y z , !
r = xi
!
!
!
+
y j + z k
• El vector velocidad es, ! ! ! dx ! dy ! dz ! ! v = i + j + k = x"i + y" j + z "k dt dt dt !
=
v x i
!
+
!
v y j + v z k
• El vector aceleración es , !
a
=
! ! ! d 2 x ! d 2 y ! d 2 z ! i + j + k = x ""i + y "" j + z ""k 2 2 2 dt dt dt !
=
a x i
!
+
!
a y j + a z k
E T e d n i t t i o h n
Mecánica Vectorial para Ingenieros: Dinamica Componentes Rectangulares de la velocidad y la aceleración • El uso de los componentes rectangulares es particularmente efectivo cuando las componentes de la acelercion se pueden integrar independientemente ejemplo el moviemiento de un proyectil a x
=
!! x
=
0
a y
=
!! y
=
! g
a z
=
!z !
=
0
con condiciones iniciales , x0
=
y0
=
z 0
=
(v x )0 ,
0
v y
0
, (v z )0
=
0
se integra dos veces
v x x
(v ) (v ) t
=
=
x 0
x 0
v y y
! gt (v y )0 t ! 12 gt 2
=
=
v y
0
v z z
=
=
0
0
• El movimiento en direccion horizontal es uniforme. • El movimiento en dirección vertical es uniformemente acelerado. • El movimiento de u n proyectil se puede sustituir por dos movimientos rectilineos independientes .
E T e d n i t t i o h n
Mecánica Vectorial para Ingenieros: Dinamica Problema Resuelto 11.7 SOLUCION: • Se consideran los movimientos horizontal y vertical por separado (son independientes) • Se aplican las ecuaciones de movimiento en la direccion y • Se aplican las ecuaciones de movimiento en la direccion x Un proyectil se lanza desde el borde de un acantilado de 150 m, con una velocidad inicial de 180 m/s a un angulo 30°con la horizontal. Si se ignora la resistencia del aire, encuentre: (a) la distancia horizontal desde el cañón hasta el punto en el que el proyectil golpea el suelo, (b) la elevación maxima sobre el suelo que alcanza el proyectil
• Se determina el tiempo t en que el proyectil golpea el suelo y se usa para encontrar la distancia horizontal. • La elevacion máxima ocurre cuando v y=0
E T e d n i t t i o h n
Mecánica Vectorial para Ingenieros: Dinamica Problema Resuelto 11.7 SOLUCION:
Dado:
(v )o =180 m/s (a)y = - 9.81 m/s2
(y)o =150 m (a)x = 0 m/s2
Movimiento vertical – uniformemente acelerado:
Movimiento Horizontal– movimiento uniforme:
Se elige el sentido positivo hacia la derecha
(4)
E T e d n i t t i o h n
Mecánica Vectorial para Ingenieros: Dinamica Problema Resuelto 11.7 SOLUCION: Distancia horizontal
El proyectil golpea el suelo en: Sustituimos en la ecuacion (2)
Se resuelve para t, tomamos la raíz positiva
Sustituimos en la ecuación (4)
La maxima elevacion ocurre cuando v y=0
Máxima elevación sobre el suelo =
E T e d n i t t i o h n
Mecánica Vectorial para Ingenieros: Dinamica Pregunta Conceptual Si se lanza un proyectil desde 150 metros sobre el suelo, que angulo de salida se necesita para obtener la maxima distancia x ?
a) b) c) d)
Angulo de salida de 45° Angulo de salida menor a 45° Angulo de salida mayor de 45° Depende de la velocidad de lanzamiento
E T e d n i t t i o h n
Mecánica Vectorial para Ingenieros: Dinamica Trabajo en Grupo
SOLUCION: Una maquina lanzadora dispara pelotas de béisbol con velocidad horizontal v0. Si se desea que la altura h sea 42 pulg., determine el valor de v0. “
”
• Considere por separado los movimientos vertical y horizontal (son independientes) • Aplique las ecuaciones de movimento en la dirección y • Aplique las ecuaciones de movimiento en la direccion x • Determine el tiempo t para que el proyectil caiga a 42 inches • Calcule v0
E T e d n i t t i o h n
Mecánica Vectorial para Ingenieros: Dinamica Trabajo en Grupo Dado: x= 40 ft, y o = 5 ft, yf = 42 in. Encuentre: vo Movimiento en direccion y y f = y0 3.5
!1.5 ft t
+
=
(0)t !
5!
1 2
1 2
gt 2
2
2
! (32.2 ft/s )t 0.305234 s
0 + (v x )0 t
40 ft
2
2
=
x =
gt
1
=
Movimiento en direccion x
v 0
=
=
=
v0t
(v0 )(0.305234 s)
131.047 ft/s
=
89.4 mi/h
