05. Radial y Transversal

ECUACIONES DE MOVIMIENTO CURVILINEO CURVILINEO EN EL SISTEMA DE REFERENCIA RADIAL Y TRANSVERSAL Cuando la posición de la partcula puede de!nirse "#cil$ente $ediante la $a%nitud de un &ector de posición ' la dirección de este( entonces con&iene e$plear un siste$a de re"erencia polar ) *ode$os especi!car la u+icación de la partcula de la !%ura ,a- por $edio de r

una coordenada coordenada radial radial

( la cual se e.tiende /acia "uera del ori%en !0o O

/asta la partcula ' una coordenada trans&ersal

θ ( la cual es el #n%ulo en

sentido contrario al de las $anecillas del relo0 entre una lnea de re"erencia !0a ' el e0e

r

) El #n%ulo en %eneral se $ide en %rados o radianes) Los ur

&ect &ector ores es unit unitari arios os coorde coordenad nadas as

r

'

θ

'

uθ

de!n de!nen en las las dire direcc ccio ione nes s posi positi ti&a &as s de las las

( resp respec ecti ti&a &a$e $ent nte) e) En este este caso caso((

direcc dirección ión de

r   creciente creciente cuando

θ  se $antiene !0a '

direcc dirección ión de

θ

r

  creciente creciente cuando cuando

ur   est# en la

uθ

 est# en una

 se $antiene !0a) O+ser&e 1ue estas

direcciones son perpendiculares entre s)

*osic osición2 ión2 En cual1uier instante( !%ura ,a-( la posición de la partcula est# de!nida por el &ector de posición) r = r ur

Velocidad2 La &elocidad instant#nea

v  se o+tiene

al to$ar la deri&ada con respecto al tie$po de

r

)

Al usar un punto para representar la deri&ada con respecto al tie$po( tene$os v =´r =r´ ur + r u´ r   *ara *ara e&aluar e&aluar

u´ r ( o+se o+ser& r&e e 1ue 1ue

ur

sólo ca$+ia su dirección con respecto al tie$po( 'a

1ue por de!nición la $a%nitud de este &ector sie$pre es una unidad) *or  Δt 

consi%uiente( durante el tie$po

ur 3 no o+stante( un ca$+io

dirección de ' 

ur =ur + Δ ur

donde

( un ca$+io de  Δθ

( !%ura ,+-) El ca$+io de

 Δr

 /ar# 1ue

  no ca$+iar# la

ur  ca$+ie a

ur   es por tanto

' 

ur (

 Δ ur ) Con

#n%ulos pe1ue4os  Δθ  la $a%nitud de este &ector es  Δ ur ≈ 1 ( Δθ )  ' act5a en la dirección u´ r =l

 Δ ur

ℑ  Δt → 0

 Δt 

uθ ) *or consi%uiente(

=

(

 Δ ur = Δθ uθ ( ' por tanto

)

 Δθ uθ  Δt → 0  Δt  lim

u´ r =θ´ uθ

,6-

Al sustituir en la ecuación anterior( la &elocidad se escri+e en su "or$a de co$ponentes co$o2 V = v r ur + v θ uθ

,66-

v r =´r

,666-

Donde v θ =r θ´

Estos co$ponentes se $uestran %r#!ca$ente en la !%ura ,c-) La co$ponente radial

vr

  $ide la tasa de incre$ento o

decre$ento

de

la

lon%itud

coordenada radial( es decir

de

la

´r 3 en tanto vθ

1ue la co$ponente trans&ersal

se

interpreta co$o la tasa de $o&i$iento a lo lar%o de la circun"erencia de un crculo de radio r) En particular( el t7r$ino

θ´ = dθ / dt 

se conoce co$o &elocidad an%ular( puesto 1ue indica el ca$+io con respecto al tie$po del #n%ulo

θ

) Las unidades

co$unes utili8adas para esta $edición son Co$o

vr

'

vθ

rad / s )

son $utua$ente perpendiculares( la $a%nitud de la

&elocidad o rapide8 es si$ple$ente el &alor positi&o de2 v =√ ( r´ )

2

+ ( r θ´ )

2

v

' la dirección de

es( desde lue%o( tan%ente a la tra'ectoria( !%ura ,c-

Aceleración2  Si to$a$os las deri&adas de tie$po de la ecuación ,66- ' utili8a$os las ecuaciones ,666-( o+tene$os la aceleración instant#nea de la partcula( a =´v =´r u r +´r ´ur +´r ´θ uθ + r ´θ uθ + r ´θ u´ θ

*ara e&aluar dirección de tie$po

 Δt 

un ca$+io

´θ u

( lo 5nico 1ue se re1uiere es deter$inar el ca$+io de la

uθ

puesto 1ue su $a%nitud sie$pre es la unidad) Durante el

( un ca$+io  Δθ

 Δr

no ca$+iar# la dirección de uθ

/ar# 1ue uθ

!%ura ,d)) El ca$+io de

se con&ierta en

con el tie$po es

$a%nitud de este &ector es

 Δ uθ ≈ 1 ( Δθ )

 Δ uθ

' 

uθ

uθ ( no o+stante(

( donde

' 

uθ=u θ+ Δ uθ (

) Con #n%ulos pe1ue4os la

' act5a en la dirección

−u r ( es

decir(  Δ uθ =− Δθ ur ) *or tanto(

u´ θ=l

ℑ

 Δ uθ

 Δt → 0

 Δt 

(

=−

)

 Δθ ur  Δt →0  Δt  lim

u´ θ=−θ´ ur

Si sustitui$os este resultado ' la ecuación ,6- en la ecuación anterior para a

( escri+i$os la aceleración en su "or$a de co$ponentes co$o2

a =ar ur + aθ uθ

Donde2

ar =´r −r θ´

2

aθ =r θ´ + 2 r´ ´θ

El t7r$ino

´ = d θ / d t  θ 2

2

=d / dt ( dθ / dt )

se conoce co$o aceleración angular 

puesto 1ue $ide el ca$+io de la &elocidad an%ular durante un instante) Las unidades para esta $edición son

rad / s

2

)

Co$o

ar

'

aθ

son sie$pre perpendiculares( la magnitud de la aceleración

es si$ple$ente el &alor positi&o de a =√ ( ´r −r ´θ

) + ( r ´θ + 2 ´r ´θ )

2 2

2

La dirección se deter$ina $ediante la adición &ectorial de sus dos co$ponentes) En %eneral(

a

no ser# tan%ente a la tra'ectoria( !%ura ,e ))

El 0ue%o $ec#nico 1ue se $uestra en la !%ura consiste en una silla 1ue %ira en una tra'ectoria circular /ori8ontal de radio r ( de $odo 1ue la &elocidad an%ular ' la aceleración an%ular del +ra8o OB son θ´

θ´ ( respecti&a$ente) Deter$ine las co$ponentes radial '

'

E0ercicio 92

Solución

Siste$a de coordenadas2 Co$o se reporta el $o&i$iento an%ular del +ra8o( se eli%en coordenadas polares para la solución) En este caso relacionado con

r

θ

no est#

( puesto 1ue el radio es constante para todos los #n%ulos

θ )

Velocidad ' aceleración2 *ri$ero es necesario especi!car la pri$era ' se%unda deri&adas con respecto al tie$po de constante( tene$os2

r

'

θ

) Co$o

r

es

r = r ´ r =0 ´r = 0

*or tanto v r =´r = 0 v θ =r θ´

´ ar =´r −r θ

2

=−r θ´

2

aθ =r θ´ + 2 r´ ´θ =r ´θ

Estos resultados se $uestran en la !%ura , b-)

n

NOTA2 Los e0es

t 

(

ta$+i7n se $uestran en la !%ura ,b-( 1ue en este

caso especial de $o&i$iento circular son colineales con los e0es respecti&a$ente) Co$o

( r ´θ )  v −ar =an=  =  ρ r 2

aθ =at =

v = v θ= v t =r ´ θ

r

'

θ

(

( entonces por co$paración(

2

=r ´θ

2

´ dv  d  ´  =  ( r θ ) = dr θ´ + r  d θ =0 +r ´θ dt  dt  dt  dt 

E0ercicio :2El "aro +uscador en la !%ura e$ite un ra'o de lu8 a lo lar%o de un $uro situado a 9;; $) Deter$ine las $a%nitudes de la &elocidad ' aceleración a las cuales el ra'o de lu8 parece &ia0ar a tra&7s del $uro en el instante θ= 45 ° ) El "aro ´

Solución

Siste$a de coordenadas2 Se utili8ar#n coordenadas polares para resol&er este pro+le$a puesto 1ue se proporciona la &elocidad an%ular del "aro +uscador) *ara deter$inar las deri&adas necesarias con respecto al tie$po( pri$ero se tiene 1ue relacionar

r

θ ) De acuerdo con la !%ura(

con

r =100 / cos θ=100 secθ

Velocidad ' aceleración2 Al utili8ar la re%la de la cadena del c#lculo ' puesto 1ue

 (

d sec θ

)= sec θ tan θ dθ ( '

 (

d tan θ

)= sec

2

θ dθ

( tene$os2

´r =100 ( secθ tan θ ) θ´ ´r =100 ( secθ tan θ ) θ´ ( tan θ ) θ´ + 100 secθ ( sec θ ) ´θ ( ´θ ) + 100 secθ tan θ ( θ´ ) 2

´r =100 secθ tan θ ( θ´ ) + 100 sec θ ( θ´ ) + 100 ( secθ tan θ ) ´θ 2

Co$o cuando

2

3

2

θ´ = 4 rad / s  < constante( entonces θ= 45 ° ( se con&ierten en2

r =100 sec 45 ° =141.4

´r = 4 00 sec 45 °  tan 45 ° =565.7 ´r =1600 ( sec 45 ° tan

2

3

45 ° + sec 45 °

)= 6788.2

θ´ = 0  ' las ecuaciones anteriores(

Co$o se $uestra en la !%ura ,bv =´r u r + r ´θ uθ

¿ 565.7 u + 141.4 ( 4 ) u r

¿ { 565.7 u + 565.7 u r

θ

θ

}m/s

√  + v =√ ( 565.7 ) + ( 565.7 )

v = vr

2

2

2

2

θ

v =800 m / s

Co$o se $uestra en la !%ura ,ca =( ´r − r θ´ ) ur + ( r ´θ + 2 ´r θ´ ) u θ 2

¿ [ 6788.2−141.4 ( 4 ) ¿ { 4525.5 u + 4525.5 u r

θ

2

] u +[ 141.4 (0 )+ 2 (567.4 ) 4 ] u r

}m/s

θ

2

√  + a =a =√ ( 4525.5 ) + ( 4525.5 )

a = ar

2

2

2

2

θ

2

a =6400 m / s

NOTA2 Ta$+i7n es posi+le deter$inar a sin tener 1ue calcular en

la

!%ura

entonces

´r (o a )  Co$o se $uestra

,d-(

$ediante

r

co$o

aθ =4525.5 m / s

resolución

a =4525.5 / cos 45 ° =6400 m / s

2

)

2

(

&ectorial(