ECONOMETRÍA II UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Milena Hoyos G. Primer semestre de 2009
1. MÓDULO: MÓDULO: ANÁLISIS ANÁLISIS DE SERIES DE TIEMPO TIEMPO UNIVARIADAS 1.1.. Proces 1.1 Procesos os estocá estocástic sticos os y serie seriess de tiempo tiempo Un proceso estocástico es una familia de variables variables aleatorias asociadas a un conjunto conjunto de índice de números reales, que generalmente son el tiempo. Una serie de tiempo es una realización de un proceso estocástico.
1.2.. Uso de 1.2 de operad operadore oress y polinom polinomios ios de retras retrasoo Operador de retraso. Se de…ne mediante la relación B k Z t = Z tk para k = 0; 1; : : : ; y toda t
donde B es el operador de retraso y Z es una variable aleatoria. La expresión anterior signi…ca que al aplicarse el operador de retraso B k a Z t se obtiene la variable retrasada k periodos. Ejemplo: En el Cuadro 1 se presentan los datos mensuales del índice de tasa de cambio real de Colombia para el periodo enero de 2006 a julio de 2007, denotado por la serie de tiempo Z t . Adicionalmente se muestran las nuevas series W t ; X t y Y t de…nidas como W t = BZ t ; X t = B 2 Z t y Y t = B 12 Z t :
1
Cuadro 1: Operador de retraso para la serie ITCR Fecha ene-06 feb-06 mar-06 abr-06 may-06 jun-06 jul-06 ago-06 sep-06 oct-06 nov-06 dic-06 ene-07 feb-07 mar-07 abr-07 may-07 jun-07 jul-07
Z t
W t = BZ t
X t = B 2 Z t
Y t = B 12 Z t
103.73 103.37 102.96 106.51 109.97 113.91 113.76 108.41 108.35 107.51 104.60 103.87 102.61 101.78 100.37 97.61 92.47 88.82 91.01
103.73 103.37 102.96 106.51 109.97 113.91 113.76 108.41 108.35 107.51 104.60 103.87 102.61 101.78 100.37 97.61 92.47 88.82
103.73 103.37 102.96 106.51 109.97 113.91 113.76 108.41 108.35 107.51 104.60 103.87 102.61 101.78 100.37 97.61 92.47
103.73 103.37 102.96 106.51 109.97 113.91 113.76
Operador diferencia. Se de…ne como k
k
r Z = (1 B) Z para k = 0; 1; : : : ; y toda t t
t
donde r es el operador diferencia y Z es una variable aleatoria. Ejemplo: En el Cuadro 2 se presentan los datos mensuales del índice de tasa de cambio real de Colombia para el periodo enero de 2006 a julio de 2007, denotado por la serie de tiempo Z t y la serie M t de…nida como M t = rZ t :
Polinomio de retraso. Se expresa como
g1Z 1 g2Z 2 g Z para k = 0; 1; : : : y toda t donde G(B) = (1g1 B g2 B 2 g B ) es el polinomio de retraso, los coe…cientes G(B)Z t = Z t
t
t
k
k
tk
k
g1 ; :::; gk son constantes que ponderan la importancia de los retrasos con los que están asociados y Z es una variable aleatoria.
2
Cuadro 2: Operador diferencia para la serie ITCR Fecha ene-06 feb-06 mar-06 abr-06 may-06 jun-06 jul-06 ago-06 sep-06 oct-06 nov-06 dic-06 ene-07 feb-07 mar-07 abr-07 may-07 jun-07 jul-07
Z t
M t = Z t Z t1
103.73 103.37 102.96 106.51 109.97 113.91 113.76 108.41 108.35 107.51 104.60 103.87 102.61 101.78 100.37 97.61 92.47 88.82 91.01
-0.36 -0.41 3.55 3.46 3.94 -0.15 -5.35 -0.06 -0.84 -2.91 -0.73 -1.26 -0.83 -1.41 -2.76 -5.14 -3.65 2.19
Ejemplos: 1. Promedios Móviles: Z t Z t
= (1 1B 2B2 B )a = (B)a q
q
t
t
2. Autorregresivos: (1 1 B 2 B 2 (B)(Z t ) = at
p
B )(Z ) = a p
t
t
3. Autorregresivos de promedios móviles: (B)(Z t
) = (B)a
t
4. Autorregresivos integrados y de promedios móviles: (B)
d
r Z = (B)a t
t
3
1.3. Procesos estocásticos lineales El proceso estocástico fZ t g es lineal si puede ser expresado en función del proceso de ruido blanco fat g mediante la relación Z t = + at
1 a 1 2 a 2 t
t
Z t = + (B)at
donde es el parámetro que determina el nivel del proceso fZ t g y (B) es el polinomio de retraso. Un proceso estocástico independiente e idénticamente distribuido (iid), cuya media es constante (usualmente cero) y cuya varianza es 2a se conoce como proceso de ruido blanco
fa g iid(; 2 ) t
a
1.4. Procesos estacionarios Un proceso es estacionario en sentido débil si sus momentos de primer y segundo orden, es decir su media, varianza y covarianzas, no dependen del tiempo. Un proceso estocástico es estrictamente estacionario si la función de densidad para un conjunto arbitrario de variables aleatorias es invariante respecto a desplazamientos en el tiempo. Estacionariedad estricta Estacionariedad débil Estac. débil + Gaussianidad
)
;
)
Estacionariedad débil Estacionariedad estricta Estacionariedad estricta
Para el análisis de series de tiempo es su…ciente estudiar la estacionariedad en sentido débil. Lo anterior signi…ca que para caracterizar completamente una serie estacionaria se requiere conocer su media, varianza y covarianzas; sin embargo, para evitar la in‡uencia de las unidades de medida también se acostumbra calcular las autocorrelaciones.
1.5. Modelos para series de tiempo estacionarias 1.5.1. Modelos autorregresivos (AR): El proceso estocástico fZ t g se llama un proceso AR ( p), si fZ t g es estacionario y para cada t Z t = c + 1 Z t1 + 2 Z t2 +
4
+ Z p
t p
+ at
o
1B 2B2 B )Z = c + a donde p es un entero no negativo, y c = (1 1 2 ) son parámetros, B es el operador de retraso y fa g RB(0; 2 ): (1
p
p
t
t
p
t
a
Estacionariedad. Un proceso AR es estacionario si y sólo si las raíces de la ecuación característica (x) = (1 1 x 2 x2 p x p ) = 0 se encuentran fuera del círculo unitario. Otra forma de veri…car el supuesto de estacionariedad es mediante las autocorrelaciones, las cuales decaen rápidamente a cero cuando el proceso es estacionario. 1.5.2. Modelos de promedios móviles (MA): El proceso estocástico fZ t g se llama un proceso MA (q ), si fZ t g obedece a la ecuación Z t = c + at
1 a 1 2 a 2 a t
t
q tq
o Z t = c + (1
q
1B B )a q
t
donde q es un entero no negativo, y c son parámetros, B es el operador de retraso y fat g RB(0; 2a ): Invertibilidad. Un proceso MA es invertible si y sólo si las raíces de la ecuación característica (x) = (1 1 x 2 x2 q xq ) = 0 se encuentran fuera del círculo unitario. 1.5.3. Modelos autorregresivos de promedios móviles (ARMA): El proceso estocástico fZ t g se llama un proceso ARMA ( p; q ), si fZ t g es estacionario y para cada t Z t = c + 1 Z t1 + 2 Z t2 +
+ Z p
t p
+ at
1 a 1 2 a 2 a t
t
q t q
o (1
p
q
1B B )Z = c + (1 1B B )a p
t
q
t
donde p y q son enteros no negativos, c, y son parámetros, B es el operador de retraso y fat g RB(0; 2a ):
5
Estacionariedad e invertibilidad. Un proceso ARMA es estacionario si y sólo si las raíces de la ecuación característica (x) = (1 1 x 2 x2 p x p ) = 0 se encuentran fuera del círculo unitario. Un proceso ARMA es invertible si y sólo si las raíces de la ecuación característica (x) = (1 1 x 2 x2 q xq ) = 0 se encuentran fuera del círculo unitario. Si el proceso es estacionario admite la representación Z t
Z t
(B) at (B) = (B)at =
Si el proceso es invertible admite la representación (B) (Z t (B) (B)(Z t
con
Pj j 1 Pj j 1
i=1
i <
y
1
i <
i=1
) )
= at = at
1, donde los coe…cientes
i
y i ; i = 1; 2; : : : se obtienen
al igualar coe…cientes de potencias del operador B en las ecuaciones
1B 2B2 )(1 1B B ) = 1 1B B (1 1 B 2 B 2 )(1 1 B B ) = 1 1 B B
(1
p
q
p
q
q
p
q
p
Función de autocovarianza. Para k > q la función de autocovarianza es k = 1 k1 + 2 k2 +
+
p k p
mientras que para k q; la función además involucra los parámetros k ; k+1 ; : : : ; q : Función de autocorrelación. Para k > q la función de aucorrelación corresponde a k = 1 k1 + 2 k2 +
+
p k p
mientras que para k q; la función además involucra los parámetros k ; k+1 ; : : : ; q :
6
1.6. Modelos para series de tiempo no estacionarias 1.6.1. Modelos autorregresivos integrados y de promedios móviles (ARIMA):
El proceso estocástico fZ t g obedece a un modelo ARIMA ( p; d; q ) si Y t = (1 B)d Z t ARMA( p; q ): El modelo ARIMA puede ser escrito como (1
p
d
q
1B B )(1 B) Z = c + (1 1B B )a p
t
q
t
donde p, d y q son enteros no negativos, c, y son parámetros, B es el operador de retraso y fat g RB(0; 2a ). Estacionariedad e invertibilidad. Un proceso ARIMA es estacionario si y sólo si las raíces de la ecuación característica (x) = (1 1 x 2 x2 p x p ) = 0 se encuentran fuera del círculo unitario. Un proceso ARIMA es invertible si y sólo si las raíces de la ecuación característica (x) = (1 1 x 2 x2 q xq ) = 0 se encuentran fuera del círculo unitario.
1.7. Construcción de modelos para series univariadas Box y Jenkins (1970) diseñaron una estrategia para la construcción de modelos de series de tiempo, que consta de cuatro etapas: identi…cación, estimación, veri…cación, validación y uso del modelo. La estrategia se puede representar grá…camente mediante el proceso iterativo de la Figura 1.
Figura 1: Estrategia de Box-Jenkins para construir modelos
7
1.7.1. Identi…cación: Consiste en: a. Determinación de una serie estacionaria en función de la serie original para la cual se pueda tener una representación ARMA. Si la serie no tiene varianza constante se debe aplicar alguna transformación como las que se presentan a continuación: =0 Z t ; 6 Transformación potencia: T (Z t ) = ln Z t ; =0 Transformación Box-Cox: T (Z t ) =
Zt 1 ; ln Z t ;
>0 =0
Si la serie tiene una tendencia polinomial adaptiva se debe aplicar el operador diferencia un número apropiado de veces para eliminar la tendencia. Las herramientas usadas para determinar el número apropiado de diferencias son: FAC simple: se grá…ca la FAC muestral para las series fT (Z t)g ; frT (Z t)g y 2 r T (Z t) y se escoge la primera que tenga un decaimiento rápido de las autocorrelaciones a cero. Desviación2 estándar: se calcula la desviación estándar de la series fT (Z t)g ; frT (Z t)g y r T (Z t) y se escoge la que presenta menor desviación estándar. Este método no siempre funciona y por tanto debe verse como una herramienta complementaria de la FAC simple.
b. Identi…cación de los órdenes p y q En esta etapa se intenta asociar la FAC simple y FACP muestral con un posible proceso generador del tipo ARMA. El comportamiento de la FAC simple y FACP para procesos AR, MA y ARMA se resume a continuación: AR( p): en la FAC simple todas autocorrelaciones son distintas de cero, aunque con convergencia a cero, mientras que en la FACP solamente las primeras p autocorrelaciones parciales son distintas de cero. MA(q ): en la FAC simple solo las primeras q autocorrelaciones son distintas de cero, mientras que en la FACP todas las autocorrelaciones parciales son distintas de cero, aunque con convergencia a cero. ARMA( p; q ): en la FAC simple existe un comportamiento irregular de las primeras q autocorrelaciones y después se observa una convergencia a cero. En la FACP la sucesión in…nita de las autocorrelaciones parciales es convergente a cero.
8
Figura 1: FAC y FACP para AR(1)
Figura 2: FAC Y FACP para AR(2)
9
Figura 3: FAC y FACP para AR(2)
Figura 4: FAC y FACP para MA(1)
10
Criterios de información. Los criterios de información también pueden ser usados para la identi…cación de los modelos ARMA. La idea es esocoger los órdenes p y q que minimicen CI ( p; q ) = ln 2a + ( p + q )
b
C (n) ; n
donde 2a es el estimador de 2a para el modelo ARMA( p; q ); n es el tamaño de la muestra y C (n) es una función de este último. Entre los criterios más usados se encuentran: AIC = ln(2a) + 2( pN +q) [Akaike (1973,1974) ] BI C = ln(2a) + ( p + q ) ln(nn) [Schwarz (1978) y Rissanen (1978) ] n) HQ = ln(2a) + ( p + q ) 2lnln( [Hannan & Quinn (1979) ] n
b
b b b
1.7.2. Estimación: Una vez identi…cado el modelo (B)
d
r T (Z ) = c + (B)a t
t
se deben estimar los parámetros desconocidos c; 1 ; : : : ; p ; 1 ; : : : ; q ; 2a : El método de estimación usado en este caso es el de máxima verosimilitud. Suponiendo distribución normal para el ruido blanco, la función de verosimilitud esta dada por L(; ; c ; 2a
jZ ) = (2)
(ndp) 2
(nd p) exp a
( P n
t=d+ p+1
a2t 22a
)
1.7.3. Veri…cación: En esta etapa se debe veri…car que los supuestos del modelo se cumplan. En caso de encontrarse evidencia de violación de alguno de estos, deberá corregirse. La veri…cación se realiza analizando los residuos. Entre las pruebas más usadas se encuentran: Prueba de autocorrelación. La no autocorrelación puede veri…carse calculando la FAC muestral de los residuos, dada por
P b P b b b p bj j p k (a) =
n t=k+1 at atk n 2 t=1 at
y comparándola con los límites 2= n,. Si k (a) > 2= n se concluirá que la autocorrelación k-ésima es signi…cativamente distinta de cero. 11
Prueba de Box-Pierce-Ljung. Box and Pierce (1970) propusieron un test para realizar una prueba de signi…cación conjunta de k autocorrelaciones simultáneamente. Ljung and Box (1978) realizaron una modi…cación del estadístico de prueba y obtuvieron el siguiente
2k (a) Q(k) = n(n + 2) k) k=1 (n
P b k
con Q(k) 2k pq : La hipótesis nula de Ruido Blando es rechazada para valores asint. grandes de Q() Prueba de Lomnicki-Jarque-Bera. Lomnicki (1961) y Jarque & Bera (1987) propusieron una prueba para no-normalidad basada en el tercer y cuarto momento de ldistribución (sesgo y kurtosis). El estadístico de prueba se construye como sigue
P b P b
n 1 n s 3 LJB = n (at ) 6 t=1
2
n n + n1 (ast )4 24 t=1
2
3
donde ast son los residuales estandarizados. El estadístico LJB 22 : La hipótesis asint. nula de sesgo cero y kurtosis 3 es rechazada para valores grandes de LJB ():
b
1.7.4. Tendencia estocástica y determinística Es importante modelar la tendencia de una manera apropiada. Esto implica distinguir una tendencia determinística de una estocástica. A continuación se presentan algunos ejemplos de ambos tipos de tendencia, así como grá…cas de series simuladas. Ejemplos: Tendencia determinística Lineal: Z t = + t + at; t = 1;:::;n Tendencia estocástica Caminata aleatoria: Z t = Z t1 + at Caminata aleatoria con deriva: Z t = + Z t1 + at Para una serie con tendencia determinística se puede estimar un modelo ARMA que incluya la tendencia. Si esta es lineal el modelo ARMA es descrito por (B)T (Z t ) = + t + (B)at
En el caso de una serie con tendencia estocástica se estima un modelo ARIMA.
12
Figura 5: Series generadas para el modelo Z t = + t + Z t1 + at ; at
RBN (0; 1); (1) (;;) = (1; 0; 0;8); (2) (;;) = (1; 0;01; 0;8); (3) (;;) = (0; 0; 1)
1.7.5. Raíces unitarias: Las pruebas conocidas como de raíces unitarias son una herramienta complementaria de la grá…ca de la serie, FAC simple muestral y varianza muestral para decidir el grado de diferenciacion apropiado a …n de volver estacionaria en nivel una serie. Si se requieren d > 0 diferencias, se dice que ésta es integrada de orden d y se escribe fZ g I (d). Algunas pruebas son Dickey-Fuller y Phillips-Perron. Prueba de Dickey Fuller. Partiendo del modelo Z t = + t + Z t1 + at y restando Z t1 a ambos lados de la ecuación se llega a
rZ = + t + Z
t1
t
+ at
donde = 1: La prueba de Dickey-Fuller considera tres ecuaciones de regresión = 0 y = 0; y = 6 = 0. El parámetro de interés en los tres diferentes, = = 0, 6 casos es ; si este es igual a cero la serie contiene una raíz unitaria. Para el caso en el que 6 = 0 y = 0 la hipótesis nula corresponde a H o : = = 0
y para = 6 = 0 es
H o : = = = 0
Note que probar la restricción = = = 0 es equivalente a probar la existencia de una tendencia estocástica en la serie, y < 0; 6 =0y6 = 0; a probar una determinística. Cuando en la ecuación de regresión se incluyen otros rezagos de rZ t como variable explicativas, la prueba recibe el nombre de prueba de Dickey-Fuller aumentada. 13
1.8. Pronósticos con modelos ARMA Suponga que Y t es una serie de tiempo estacionaria de…nida como Y t = rd T (Z t ), y que admite la representación ARMA. Si a partir del periodo t se desea pronosticar la observación Y t+h , un pronóstico cualquiera de esta observación será denodato por Yt (h); mientras que el pronóstico óptimo se escribira como Yt (h), con h el horizonte de predicción. El criterio usado para determinar la optimalidad del pronóstico es el error cuadrático medio mínimo. Así, Yt (h) para que sea el pronóstico óptimo deberá satisfacer la condición
e
h b i
E t Y t+h
Yt (h)
b
b
2
h e i
= m{n E t Y t+h et (h) Y
Yt (h)
2
en la cual E t denota la esperanza condicional, dada toda la información hasta el momento t, es decir
h e i h e i j
E t Y t+h
Yt (h)
2
= E
Y t+h
Yt (h)
2
Z t ; Z t1 ; : : :
Se sabe que E t (Y t+h ) proporciona el pronóstico con error cuadrático medio mínimo, es decir
b
Yt (h) = E t (Y t+h )
y que el error del pronóstico viene dado por et (h) = Y t+h
b
Y +
t h
Una vez se han construido varios modelos para representar una serie de tiempo resulta de interés analizar y comparar la capacidad de pronóstico de cada uno de ellos, con el objeto de escoger el modelo que suministra los mejores pronósticos. Una forma de estudiar dicha capacidad es vía contrastación de pronósticos de valores ya observados de la serie, con sus valores reales, para diferentes horizontes de pronóstico. La forma de proceder es cortar la serie en el instante t < T , donde T es el tamaño de muestra, construir un modelo con las primeras t observaciones y pronosticar los valores desde el periodo t + 1 hasta el periodo T . Este análisis se conoce con el nombre de análisis posmuestral. Para evaluar la capacidad predictiva de un modelo en términos de pronósticos puntuales, en la literatura empírica comúnmente se ha utilizado el criterio de error cuadrático medio (ECM). Recientemente, se han realizado varios estudios que incorporan pruebas formales, como la de Diebold and Mariano (1995), para probar diferencias 14
en medidas de evaluación de pronósticos, como el ECM, entre dos modelos. Adicionalmente, estudiosos del tema han sugerido otros métodos de evaluación en términos de intervalos de pronóstico y densidades de pronósticos, véase Christo¤ersen (1998) y Diebold, Gunther and Tay (1998). Para obtener pronósticos de la serie original Z t se puede aplicar la transformación inversa T 1 siempre y cuando la trasformación que haya sido usada sea lineal. Pero si ésta fue la transformación potencia o Box-Cox, es necesario corregir el sesgo que intoduce la aplicación de la transformación inversa. Para detalles véase Guerrero (2003).
1.9. Análisis de series de tiempo estacionales 1.9.1. Estacionalidad Comportamiento que se repite anualmente, quizá con cambios graduales a través de los años. A pesar de que usualmente se considera un fenómeno repetitivo anual, esto no signi…ca que no pueda existir otro tipo de comportamiento periódico de duración menor al año; por ejemplo un período estacional semestral para series mensuales implicaría que los meses de diciembre mostrarían un comportamiento similar a los meses de junio, además de que los junios serían similares entre sí, al igual que los diciembres. 1.9.2. Operador diferencia estacional Se de…ne mediante la relación k E Z t
r
= (1
B
E k
) Z t para k = 0; 1; : : : y E = 1; 2; : : :
donde rE es el operador diferencia estacional y Z es una variable aleatoria. El periodo estacional comprende E observaciones contiguas. Ejemplo: En el Cuadro 3 se presentan los datos mensuales del índice de producción real de la industria manufacturera de Colombia para el periodo enero de 2006 a mayo de 2007, denotado por la serie de tiempo Z t y la serie N t de…nida como N t = r12 Z t , E = 12 y k = 1.
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Cuadro 3: Operador diferencia para la serie ITCR Fecha ene-06 feb-06 mar-06 abr-06 may-06 jun-06 jul-06 ago-06 sep-06 oct-06 nov-06 dic-06 ene-07 feb-07 mar-07 abr-07 may-07
Z t
N t = Z t Z t12
105.05 110.55 122.47 111.64 124.18 123.14 125.96 135.11 137.05 139.72 140.94 131.63 120.76 127.52 140.24 126.70 138.38
15.71 16.97 17.77 15.06 14.20
1.9.3. Modelos puramente estacionales El proceso estocástico fZ t g obedece a un modelo SARIMA (P;D;Q)E , si fZ t g obedece a la ecuación (1 1 B E 2 B 2E
P B
)(1 B E )D Z t = c+(1 1 B E 2 B 2E
P E
donde P , D y Q son enteros no negativos, c, y son parámetros, (1 B operador diferencia estacional y fa g RB(0; 2 ).
t
QB
QE
)at
) es el
E
a
1.9.4. Modelo multiplicativo estacional El proceso estocástico fZ t g obedece a un modelo multiplicativo estacional SARIMA ( p; d; q ) (P;D;Q)E , si fZ t g obedece a la ecuación (B)(B E )
d
D E Z t
rr
= c + (B)(B E )at
donde (B) y (B E ) son los polinomios autorregresivo y autorregresivo estacional, respectivamente, (B) y (B E ) son los polinomios de promedios móviles y de promedios móviles estacional, respectivamente, rd y rD E son los operadores diferencia y diferencia 2 estacional, y fat g RB(0; a). 16
1.9.5. Estacionariedad e invertibilidad Un proceso multiplicativo estacional SARIMA es estacionario si y sólo si las raíces de las ecuaciones características (x) = 0 y (xE ) = 0 se encuentran fuera del círculo unitario y es invertible si y sólo si las raíces de las ecuaciones características (x) = 0 y (xE ) = 0 se encuentran fuera del círculo unitario.
1.10. Análisis de series in‡uencias por intervenciones Una intervención puede ser interpretada como la ocurrencia de un evento exógeno al comportamiento histórico de la serie en estudio. Los efectos pueden ser: i) aquellos que se dejan sentir como una elevación o caída momentánea del nivel y que desaparecen sin in‡uir sobre el comportamiento posterior de la serie, ii) los que ejercen una in‡uencia sostenidad (no momentáneamente) sobre el nivel de la serie, pero dejan intacta la estructura básica de su parte estocástica, y iii) los efectos que, independientemente de in‡uir o no sobre la parte determinista, sí alteran la estructura de la parte estocástica. Un modelo para una serie Z t que contenga los efectos de una intervención se expresa como T (Z t ) = "I;t + N t
donde N t se asocia con un modelo ARIMA, estacionario e invertible, que representa la parte estocástica de la serie, y "I;t es una función que permite representar los efectos de la intervención. Con el …n de lograr la especi…cación de "I;t , es conveniente usar la función de pulso de…nida por 1 si t = I P I;t = 0 si t 6 = I donde I denota el momento en el que ocurrió la intervención. Así "I;t satisface la ecuación
(1
1B 2B2 B )r " r
r
b
I;t
= (wo
w1B w2B2 w B )P
cuya solución especí…ca dependerá de la condición "I;t = 0
para t < I
17
s
s
I;t
2. BIBLIOGRAFÍA Enders, W. Applied Econometrics Time Series. John Wiley & Sons, 2004. Enders, W. RATS Handbook for Econometric Time Series. John Wiley & Sons. Guerrero, V. M. Análisis estadístico de series de tiempo económicas. Universidad Autónoma Metropolitana. México, 2003. Lutkepohl, H. and Kratzig, M. Applied Time Series Econometrics. Cambridge, 2004.
18
