Sucesiones Matemáticas Definición: En terminología matemática se incluye sucesión para designar la existencia de elementos encadenados o sucesivos. Cuando abundan sucesiones de todo tipo se puede cambiar incluso el nombre de sucesión por otro. Véase secuencia, colección, familia y conjuntos en matemáticas. Definición abstracta: Clase de finitos o numerables objetos ordenados. Definición conjuntista: Una sucesión en un conjunto X es una enumeración de elementos de X, es decir una aplicación de
en X.
Notación: Notaremos por otra digamos
a una sucesión, donde x la identifica como distinta de .
La notación es permisiva en cuanto a su modificación si realmente es necesario. Definición de término general: Llamaremos término general de una sucesión a
, donde
indica el lugar
que ocupa en dicha sucesión. Definición de parcial: Llamaremos parcial de
a una sucesión
donde
.
Series Matemáticas: Definición: En matemáticas, matemáticas, una serie es la suma de los términos de una sucesión. sucesión. Se
representa una serie con términos an como
donde n es el índice final de
la serie. ie. Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales, es decir,
.
Las series convergen o divergen.
En cálculo, cálculo,
una
serie diverge si
infinito; converge si
no
para algún
existe
o
si
tiende
a
.
Algunos tipos de series matemáticas: •
Una serie geométrica: geométrica: es una serie en la cual cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante, llamada razón. razón. Ejemplo (con constante 1/2):
En general, una serie geométrica, de razón z , es convergente, sólo si |z | z | < 1, a:
•
La serie armónica: armónica: es la serie
La serie armónica es divergente. •
•
Una serie alternada: alternada: es una serie donde los términos alternan el signo. Ejemplo:
Una Un a seri se rie e tel t elesc escópi ópica ca: es la suma suma representa de la siguiente manera:
, donde donde an = bn − bn+1. Se
La convergencia de dicha serie y su suma se pueden calcular fácilmente, ya que:
•
Una serie hipergeométrica: hipergeométrica: es una serie de la forma
cumple que
=
, que
.
Criterios de Convergencia y Divergencia: Clasificar una serie es determinar si converge a un número real o si diverge (
u osci oscila lant nte) e).. Para Para est esto o exis existe ten n dist distin into tos s crit criter erio ios s que, que, apl aplic icad ados os a la la seri serie e
en cuestión, mostrarán de qué tipo es (convergente o divergente). Condición del resto
Para Para que una serie serie
sea diverg divergent ente, e, una condic condición ión sufici suficient ente e es que que
. Sin embargo, embargo, si resulta resulta que
, entonces entonces la condición condición no da criterio criterio
acerca acerca de su conver convergen gencia cia o diverg divergenc encia ia y se tendrá tendrá que buscar buscar metod metodos os distintos para averiguar si converge o diverge. Esta afirmación es muy útil, ya que nos ahorra trabajo en los criterios cuando el límite es distinto de cero. Demostración: Por Hipótesis: S k k = a1 + a2 + ... + ak Para todo Sabe Sabem mos todo
que que S k − k −
1
= a1 + a2 +
...
+ ak − k −
1
y
que
para
Por lo tanto teniendo en cuenta que
S k k − S k − k − 1 = ak entonces Queda demostrada la proposición.
Criterio Criter io de D'Alembert D'Alember t o Criterio Criteri o del Cociente (Criter (C riterio io de la razón) .
Sea una serie
, tal que ak > 0 ( serie de términos positivos).
Si existe
con
, el Criterio de D'Alembert establece que:
si L < 1, la serie converge.
si L > 1, entonces la serie diverge.
si L = 1, no es posible decir algo sobre el comportamiento de la serie.
En este caso, es necesario probar otro criterio, como el criterio de Raabe.
Criterio Criter io de Cauchy Cauc hy (raíz (raí z enésima) enésima ).
Sea una serie
, tal que ak > 0 (ser (serie ie de térm términ inos os pos positiv itivos os). ). Y
supongamos que existe , siendo Entonces, si:
L < 1, la serie es convergente.
L > 1 entonces la serie es divergente.
L=1, no podemos concluir nada a priori y tenemos
que recurrir al criterio de Raabe, o de comparación, para ver si podemos llegar a alguna conclusión.
Criter Cri terio io de Raabe R aabe : En algunas series, puede ocurrir que ni el criterio de D'Alembert ni el de la raíz nos permitan determinar la convergencia o divergencia de la serie, entonces recurrimos al criterio de Raabe.
Sea una serie
, tal que ak > 0 (ser (serie ie de térm términ inos os pos positiv itivos os). ). Y
supongamos que existe
, siendo Por tanto, si L > 1, entonces la serie es convergente y si L < 1, la serie es divergente Tened cuidado aquí, pues las conclusiones son al contrario que en los criterios de D'Alembert y de la raíz.
Criterio Criter io de la integral integra l de Cauchy : Si f ( x x ) es una una func funció ión n posi positi tiva va y monótonamente decrec decrecien iente te defini definida da en el intervalo [1, ∞) tal que f (n) = an para todo n, entonces entonces si
converge converge si y sólo
es finita.
Más generalmente, y para el tipo de función definida antes, pero en un intervalo [N,∞), la serie
Converge sí y sólo sí la integral
Converge.
Criterio Criter io de condensación c ondensación de Cauchy :
Sea
una serie monótona monótona de números números positivos positivos decrecien decrecientes. tes.
Converge si y sólo si la serie
Converge.
Criter Cri terio io de Leibnit Lei bnitz z:
Una serie de la forma
(con
) se llama alternada. alternada. Tal serie
converge si se cumplen las siguientes condiciones: a) b)
para n par y n impar La
serie
tiene
que
ser
absolutamente
decreciente
es
decir
que:
Si esto esto se cump cumple le la seri serie e
es condicionalmente convergente de lo
contrario la serie diverge.
Nota: Se debe descartar primero la convergencia absoluta de aplicar este criterio, usando los criterios para series positivas.
Serie de Potencia: Una serie de potencias alrededor de x=0 es una serie de la forma:
Una serie de potencias alrededor de x=a es una serie de la forma:
antes de
En el cual el centro es a, y los coeficientes c n son constantes c n. n.
Véase:
La serie geométrica es una serie de potencias absolutamente convergente si | x | < 1 y divergente si | x | > 1 ó | x | = 1.
La serie de potencias todo
es absolutamente convergente para
.
La serie de potencias
solamente converge para x = 0.
Serie de Taylor:
En matemáticas, matemáticas, la serie de Taylor de Taylor de una función f(x) infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r , a+r ) se define como la siguiente suma:
Aquí, n! es el factorial de n y f (n)(a) indica la n-ésima derivada de f en f en el punto a. Si esta serie converge para todo x todo x perteneciente perteneciente al intervalo (a ( a-r , a+r ) y la suma es igual a f ( x x ), ), entonces la función f ( x x ) se llama analítica. analítica. Para comprobar si la serie converge a f ( x x ), ), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor . Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor. Si a = 0, a la serie se le llama serie de Maclaurin. Maclaurin. Esta representación tiene tres ventajas importantes:
La derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales.
Se puede utilizar para calcular valores aproximados de la función.
Es posible demostrar que, si es viable la transformación de una función a una serie de Taylor, es la óptima aproximación posible.