ALGUNAS APLICACIONES DE LA EXPONENCIAL Y LOS LOGARITMOS * En la Naturaleza se dan situaciones en que se tienen que utilizar medidas de órdenes muy diferentes. Por ejemplo, si hablamos del peso de los seres vivos : un hombre puede pesar 90 kg = 90.000 gr = 10
4,96
gr
un rotífero (el menor animal pluricelular): 0,00000000603 gr = 10
–8,22
gr
una ballena (el mayor de todos los animales): 120 Tm = 120.000.000 gr = 10
8,08
gr
Así que si tenemos que referirnos a diferentes animales por sus pesos o hacer una gráfica con los mismos, es un gran inconveniente que haya tan enormes diferencias entre unos y otros. Una solución para abreviar la expresión de esas diferencias es asignar a cada animal el logaritmo decimal de su peso, al que llamaremos el “ orden de magnitud ”. Por ejemplo: el rotífero: -8,22
la mosca: -5,30
el gobio (menor pez): -2,7
pájaro mosca (menor ave): 0,30
el escarabajo gigante (mayor insecto). 2,00
la langosta: 4,19
el avestruz: 5,20
el hombre: 4,96
el cocodrilo: 6,25 elefante: 6,99 la ballena: 8,08 Ahora ya podemos, por ejemplo, hacer una escala con todos los animales que no sea excesiva. El orden de cada animal será un número entre –8 y 8 y llamaremos: muy pequeños a los animales de órdenes entre-8 y –5 pequeños, entre –5 y –2 medianos, entre –2 y 2 grandes, entre 2 y 5 muy grandes, entre 5 y 8. Esto es lo que se llama una escala logarítmica . En un rango pequeño, en este caso de -8 a 8, consigue expresar realidades muy diferentes. Las escalas escalas logarítmicas pueden ser ser muy útiles, pero ¡cuidado!... sólo sólo si se entienden bien. Decir que la ballena es de orden 8 y la langosta es de orden 4, no significa que una ballena pese el 8-4 4 doble que una langosta, sino 10 = 10 = 10.000 veces más.
Supongamos que deseamos recopilar información acerca del peso mínimo y máximo que tienen los mamíferos marinos de la Patagonia Austral. Con seguridad nos sorprenderemos por la variedad y diversidad de datos que encontraremos en la red sobre este tema, lo que conllevará a
enriquecedoras puestas en común entre profesor y alumnos. Por lo pronto, aparecerán datos referidos a los recién nacidos y a los adultos, discriminados por sexo, pues existen notables diferencias entre ellos(por ejemplo, entre los elefantes marinos, una hembra alcanza un peso máximo de 900 kg, mientras que un macho los 3500 kg). Representar los pesos mínimos y máximos de los mamíferos marinos en una escala aritmética puede no aportarnos demasiada información para aquellos animales de porte más pequeño. No obstante, la representación en escala logarítmica resulta sumamente adecuada, y hasta sencilla de realizar si contamos con algún software matemático o plantilla de cálculo.
* Pero, ¿hay situaciones de la vida diaria donde se usen las escalas logarítmicas? . Pues sí, se usan en algo tan cotidiano como ¡el champú!. Habrás visto que en los frascos de champú a veces se indica: “ph neutro”. ¿Qué es el ph?. El ph es la concentración de iones de hidrógeno en una disolución química. El número de –1 –2 –14 iones de la concentración está dado en potencias de 10: 10 , 10 , ... 10 . El ph es el número opuesto a ese exponente; es decir, el opuesto del logaritmo. El ph mide el carácter ácido o básico de los jabones, jabones, lociones, champús, champús, etc. Con ph = 7 se dice que es neutro y suele recomendarse por no ser agresivo con la piel y el cabello. Un ph inferior a 7 corresponde a una disolución disolución ácida; si es superior a 7, es básica. básica. * La escala logarítmica más conocida es la escala de Richter para medir la intensidad de los terremotos. Se mide la energía liberada en un terremoto, mediante la amplitud máxima de las ondas que registra el sismógrafo. Dado que llega a haber diferencias enormes entre unos y otros casos, se define la magnitud M del seísmo utilizando logaritmos: log E = 11,8 + 1,5M,
donde M es la magnitud del terremoto en la escala de Richter (de 0 a 10) y E la energía liberada (expresada en ergios)
Magnitudes de la escala y un comparativo con energía liberada Magnitud Richter
Equivalencia de la energía TNT
Referencias
-1,5
1 gramo
Rotura de una roca en una mesa de laboratorio
1,0
170 gramos
Pequeña explosión construcción
1,5
910 gramos
2,0
6 kilogramos
2,5
29 kilogramos
3,0
181 kilogramos
3,5
455 kilogramos
4,0
6 toneladas
4,5
32 toneladas
5,0
199 toneladas
5,5
500 toneladas
Terremoto de Little Skull Mountain, Nevada (EE.UU.), 1992
6,0
1.270 T
Terremoto de Double Spring Flat, Nevada (EE.UU.), 1994
6,5
31.550 T
Terremoto de (EE.UU.), 1994
7,0
199.000 T
Terremoto de Hyogo-Ken Nanbu, Japón, 1995
7,5
1.000.000 T
Terremoto de Landers, California, 1992
8,0
6.270.000 T
Terremoto de San Francisco, California, 1906
8,5
31,55 millones de T
Terremoto de Anchorage, Alaska, 1964
9,0
200 millones de T
Terremoto de Chile, 1960
10,0
6.300 millones de T
Falla de tipo San Andrés
1 billón de T
Fractura de la Tierra Cantidad de energía diariamente en la Tierra
12,0
en
un
sitio
de
Explosión de una mina
Tornado promedio
Northridge,
California
por el centro solar recibida
EL TESTAMENTO DE BENJAMÍN FRANKLIN FR ANKLIN Entre otras cosas afirmaba en su testamento: Nací en Boston, y debo mi inicial instrucción literaria a las escuelas públicas de primera enseñanza establecidas allí, por tanto, en mi testamento he tenido en cuenta a esas escuelas, ... Considero que, entre los artesanos, son los buenos aprendices los más idóneos para hacerse buenos ciudadanos ... Quiero ser útil incluso después de mi muerte, si ello es posible, para la formación y el progreso de otros jóvenes que puedan ser útiles a su país, tanto en Boston como en Filadelfia. A tal fin dedico dos mil libras esterlinas, de las cuales doy mil a los habitantes de la ciudad de Boston en Massachusets, y las otras mil a los habitantes de la ciudad de Filadelfia, en fidecomiso y para los usos, intereses y propósitos aquí mencionados y declarados.
Franklin tenía la idea de prestar dinero a jóvenes aprendices a un interés del 5% con la indicación de que cada beneficiario debería pagar cada año. ...junto con el interés anual, una décima parte de la principal, la suma de la principal y los intereses se prestará a nuevos beneficiarios. Si este plan se ejecuta y realiza como se ha proyectado durante cien años sin interrupción, la suma será entonces de ciento treinta y una mil libras, de las cuales nombro administradores de la donación a los habitantes de la ciudad de Boston, que pueden gastar a su discreción cien mil libras en obras públicas, ... Las treinta y una mil libras restantes se pondrán a interés de la manera indicada anteriormente durante otros cien años... Al final de este segundo periodo, si ningún accidente desafortunado ha estorbado la operación, la suma será de cuatro millones sesenta y una mil libras.
Los prestatarios no fueron siempre tan numerosos como hubiese deseado Franklin. Al cabo de un siglo, en enero de 1894, el fondo había crecido hasta unas noventa mil libras, en lugar de las ciento treinta y una mil previstas. Supongamos que colocamos en un banco 30000 euros a un interés anual del 5%.
Al final del año nos ingresarán los intereses y tendremos 31500 euros.
= 30000 · 1' 1'05 =
Si le solicitamos al director que distribuya el 5% anual en dos pagos semestrales al 2'5%, lo que se llama interés compuesto semestral, ¿dará lo mismo?:
Al final del primer trimestre se nos ingresarán = 30000 · 1'025. Si no sacamos el dinero, al final del segundo semestre, tendremos la cantidad que teníamos al comienzo de este periodo multiplicada de nuevo por 1'025, es decir: = 31518'75 . Hemos ganado 18'75 euros más.
= 30000 · 1'025
2
Puestos a pedir, le solicitamos que el 5% anual de interés se reparta en doce pagos mensuales a un interés del 5/12 %. En cuyo caso, al final del año tendríamos un capital de = 31534'85694 euros. Como el capital está a disposición del banco todos los días del año, al menos teóricamente, se podría exigir que actualizara los intereses de día en día. El 5 % del interés anual habría que
cambiarlo al 5/365 % diario. De esta forma, al final, tendríamos 315380'2489 euros.
=
El no va más de las exigencias sería que, no sólo ya cada hora, sino que cada instante se actualizara el interés. Dicho de otro modo, que la actualización fuese continua. El problema es que el numero de instantes que tiene el año es infinito y sólo se nos ocurre aproximarnos a esa idea exigiendo la actualización segundo a segundo. Como el número de segundos que contiene el año es de 31536000, el resultado final sería de un capital de
= 315381' 3289003 euros, aproximadamente. x
En la calculadora, con la tecla e , halla 300000 · e anterior.
0'05
y obtendrás un valor muy próximo al
La fórmula para el interés continuo es , donde C 0 es el capital inicial, r es el interés dividido por 100 y t es el número de años que tenemos el capital invertido.
VELOCIDAD PROPORCIONAL AL ESPACIO RECORRIDO En Física se estudian situaciones en las que la velocidad de un móvil es proporcional al espacio que lleva recorrido (así ocurre con las fuerzas de rozamiento). Consideremos un móvil que está moviéndose sobre la recta a una velocidad igual a la décima parte de su distancia al origen. Supondremos que parte desde una distancia de 100 m respecto al 0, lo hará entonces con una velocidad inicial de 10 m/s
Cuando se halle a 70 m del origen llevará una velocidad de 7 m/s:
Cuando se halle a 15 m de distancia su velocidad habrá disminuido hasta 1'5 m/s
Como cuesta trabajo imaginar que la velocidad cambie en cada instante, vamos a suponer que los cambios se producen de segundo en segundo. Al comienzo de cada segundo que pasa, la velocidad será la décima parte de la distancia que ocupe el móvil respecto al origen: velocidad
espacio recorrido
posición final (m hasta el origen)
(m/s)
en ese tiempo (m)
de 0 a 1 s
10
10
100 - 10 = 90 (= 100 * 0'9)
de 1 a 2
9
9
90 - 9 = 81 = 90 * 0'9 (= 100 * 0'9 )
de 2 a 3
8'1
8'1
81 - 8'1 = 72'9 = 81 * 0' 9 (= 100 * 0'9 )
2
3
t
Se observa que la posición, cuando han pasado t segundos, es de 100*0'9 = De esta manera, es fácil comprobar que, justo cuando ha pasado un minuto, el móvil se encuentra 60 a 100 * 0'9 = 0'17970103 m del origen (unos 18 cm) y que se dirige hacia éste a una velocidad aproximada de 1'8 cm por segundo. Si pensamos ahora que los cambios de velocidad se producen de medio segundo en medio segundo, tendremos la siguiente tabla: velocidad espacio recorrido (m/s)
posición final (m hasta el origen)
en ese tiempo (m)
de 0 a 1/2 s 10
10/2
100 - 10/2 = 95 (= 100 * 0'95 )
de 1/2 a 1
9'5
9'5/2
95 - 9'5/2 = 90'25 = 95 * 0'95 (= 100 * 0'95 )
de 1 a 3/2
9'025
9'025/2
90'25 - 9'025/2 = 85'7375 = 90'25 * 0' 95 (= 100 * 0'95 )
2
3
Al cabo de k intervalos de medio segundo, la posición será de 100* 0'95 En consecuencia, al cabo de t segundos su posición es de 100*0'95
2t
=
k
metros hasta el origen. metros.
Por un procedimiento similar, podríamos establecer que si los cambios de velocidad se produjesen cada milésima de segundo, la posición, tras t segundos, segundos, sería la de . Es fácil comprobar que cuanto más pequeño sea el intervalo en el que cambiamos de velocidad, más nos acercamos a la mágica expresión
que es la auténtica fórmula del movimiento.
LEY DE ENFRIAMIENTO emos hablado de un caso en que la velocidad era proporcional al espacio recorrido. Parecida es la situación que describe la Ley del Newton del enfriamiento de los cuerpos. Esta ley establece que el enfriamiento de un cuerpo es proporcional, en cada instante, a la diferencia con la temperatura ambiente. Precisando, la ley dice que si T 0 es la temperatura inicial con que introducimos u cuerpo en un ambiente a una temperatura de T a grados, al cabo de un tiempo t la temperatura del cuerpo es: de enfriamiento, particular de cada cuerpo.
, donde k es una constante, llamada constante
CRECIMIENTO DE POBLACIONES El economista británico Thomas Malthus propuso en 1798 que el crecimiento de una población se puede considerar como un proceso continuo, cuya velocidad de aumento es proporcional a la población ya existente: tenemos todos los ingredientes para la aparición de nuestro número. Si P0 es la población inicial (es decir, la existente cuando comenzamos a contar), existe una constante de crecimiento k en cada población, de manera que el número de individuos al cabo kt de un tiempo t, viene expresado por una ley del tipo P(t) = P 0 e . Por ejemplo, supongamos supongamos que contabilizamos 500 bacterias en una placa de Petri. Una hora después comprobamos que su k · 1 número ha aumentado hasta 800: P(1) = 800 = 500 e , tomando logaritmos se calcula fácilmente el valor de k como 0'47 (aproximadamente). La ley de crecimiento de la población queda como P(t) = 500 e
0'47 t
.
Esto, dejado así, presenta un problema: al cabo de una semana, el número de bacterias será de unos 500 e
0'47 · 168
= 10
37
ejemplares, aproximadamente.
Si consideramos una bacteria que tenga un volumen de cuatro micras cúbicas, calcula cuánto ocuparían las anteriores y verás que nos saldrían estos bichos por la boca. En la realidad ocurre que las poblaciones encuentran un nivel de saturación, que no pueden sobrepasar por dificultades de espacio, de alimento o de otros condicionantes. Los biólogos han
perf perfec ecci cion onad ado o la la fór fórmu mula la esta establ blec ecié iénd ndol olaa com como o P(t P(t)) = , lla llama mado do mode modelo lo logí logíst stic ico o don donde de A (nivel de saturación) B y K son constantes que dependen de cada población particular.
En cuanto los organismos vegetales o animales mueren, cesa el intercambio con la atmósfera y cesa el reemplazo de carbono de sus tejidos. Desde ese momento el porcentaje de C14 de la materia orgánica muerta comienza a disminuir, ya que se transmuta en N14 y no es reemplazado. La masa de C14 de cualquier fósil disminuye a un ritmo exponencial que es conocido. Se sabe que a los 5730 años de la muerte de un ser vivo la cantidad de C14 en sus restos fósiles se ha reducido a la mitad y que a los 57300 años es de tan solo el 0,01% del que tenía cuando estaba vivo. Sabiendo la diferencia entre la proporción de C14 que debería contener un fósil si aún estuviese vivo (semejante a la de la atmósfera en el momento en que murió) y la que realmente contiene, se puede conocer la fecha de su muerte de forma bastante exacta. Para medir la cantidad de carbono 14 restante en un fósil, los científicos incineran un fragmento pequeño para convertirlo en gas de dióxido de carbono. Se utilizan contadores de radiación para detectar los electrones emitidos por el decaimiento de carbono 14 en nitrógeno. La cantidad de carbono 14 se compara con la de carbono 12, forma estable del carbono, para determinar la cantidad de radiocarbono que se ha desintegrado y así datar el fósil. Una fórmula para calcular la edad de una muestra (su antigüedad) es: (Ver a continuación la Desintegración Radiactiva)
t = [Ln(N /N f o)/(-0,693)]. t1/2 donde Ln es el logaritmo neperiano, N /N f o es el porcentaje de carbono-14 en la muestra en relación con la cantidad en el tejido vivo, y t1/2 es el “período” del C14 (5730 años, es decir, el periodo de desintegración a la mitad del C14). Nf = C14 final del fósil, No= C14 original del tejido vivo Así pues, si usted tuviera un fósil con un 10% de C14 en relación con una muestra viva, entonces el fósil tendría t endría una antigüedad de:
t = [Ln(0,10)/(-0,693)]. 5730 años t = [(-2,303)/(-0,693)]. 5730 años t = [3,323] . 5730 años
t = 19.040 años
DESINTEGRACIÓN RADIOACTIVA Algunos átomos son inestables y se desintegran espontáneamente emitiendo radiaciones. Se ha observado que el tiempo en que determinada substancia se reduce a la mitad, llamado vida media, es una constante característica de ella e independiente de la cantidad que haya. La ley de Rutherford sobre la desintegración radiactiva dice que el número de átomos de un elemento radiactivo transformados en un tiempo determinado es proporcional al número de átomos de ese elemento que estén presentes en la substancia, en particular, la fórmula que describe la kt desintegración es de la forma: N(t) = N 0· e . La vida media de los elementos radiactivos puede utilizarse a veces para determinar la fecha de sucesos del pasado de la Tierra. Las edades de las rocas de más d e 2000 millones de años pueden establecerse establecerse mediante la desintegración radiactiva del uranio (de 4500 millones de años de vida media). -6
14
En un organismo vivo, cada gramo de carbono contiene 10 gramos de C . Tras su 14 muerte, el organismo deja de absorber carbono y la proporción de C decrece a medida que se va desintegrando. Su vida media es de unos 5730 años, de modo que es posible estimar la edad de restos orgánicos: los arqueólogos han fechado así conchas, semillas, objetos de madera, o la fecha en que se realizaron pinturas rupestres.
N
=
N0 ⋅ e
0'005 t
−
Ejemplo: La desintegración radiactiva del Po 210, satisface lo siguiente: , con t el tiempo medido en días, N 0 es el número inicial de átomos de Po 210, N es el número de átomos de Po 210, sin desintegrarse, a los t días. Sabiendo que la vida media o período de semidesintegración semidesintegración (t½) de un elemento radiactivo, se define como el tiempo necesario para que se desintegren la mitad de los átomos de él, calcule el tiempo de vida media del Po 210. Solución: Trabajando en la relación dada más arriba, tenemos que:
N0 N
=
e
0 ' 005t
N N ⇒ ln (e0 ' 005t ) ln 0 ⇒ 0 ' 005t ln 0 N N =
=
Aplicando el concepto de vida media: 0'005 t 1 2
=
ln 2 ⇒ t 1 2
=
ln 2 0'005
⇒ t1
=
138 ' 6 días
2
MEZCLA DE LÍQUIDOS Tenemos un tanque con una solución al 25% de ácido y resto de agua. Para limpiar el tanque, introducimos por arriba un caudal de agua a 3 galones por segundo. El tanque evacua similar cantidad por el grifo de abajo.
Mediante técnicas matemáticas, se puede determinar que dicho porcentaje viene expresado por la ecuación
LA EXPONENCIAL EN LA SICOLOGÍA. La experimentación demuestra que un modelo para describir el aprendizaje de una serie de símbolos por una persona viene dado por la ecuación donde , para cada persona, N y K se determinan empíricamente, y S es el número de símbolos que una persona puede aprender en t horas.
LOGARITMOS Y SICOLOGÍA En sicología se utiliza la ley de Weber-Fechner, de estímulo-respuesta, que dice que la respuesta (R) se relaciona con el estímulo (E) mediante la ecuación
, donde E 0
es el valor mínimo del estímulo que puede detectar el sujeto, y k es una constante que depende del experimento. Esta ley también se utiliza para describir la percepción de la luz. E 0 denota la intensidad de luz que apenas es visible para una persona. La diferencia aparente en el brillo viene dada por R, que se conoce como magnitud aparente de la fuente luminosa. Una modificación simple de este modelo es la que utilizan los astrónomos para asignar las magnitudes de brillantez de las estrellas. A un levantador de pesas se le aplica un estímulo de electricidad (en voltios) para alentarlo a levantar más peso (este método ha sido utilizado por algunos levantadores).
•
Supongamos que el estímulo mínimo que siente el atleta es de 50 voltios, y que una descarga de 500 le induce a levantar 10 libras más del valor normal. ¿Qué voltaje deberá aplicársele para que alce 20 libras por encima del valor normal?
LOS LOGARITMOS Y LA INTENSIDAD DEL SONIDO. La intensidad del sonido es el flujo de energía por unidad de área que produce medida en watts por metro cuadrado. Las intensidad de sonido mínima que puede escucharse (el umbral de -2 2 audibilidad) es aproximadamente 10 W/m . La sonoridad de un sonido se define como , donde I es la intensidad y L se mide en decibelios. Los escalones de sonoridad: 10 decibelios, 20 decibelios, etc. forman en nuestro oído una progresión aritmética, en cambio la energía de estos sonidos constituye una progresión geométrica de razón 10. Como ejemplo, una conversación en voz alta produce 65 decibelios, el rugido de un león 87 decibelios (posee una energía 158 veces mayor que la conversación en voz alta), el ruido de un martillo sobre una lámina de acero 110. Un ruido superior a 80 decibelios es perjudicial. La intensidad de sonido producida por un gran avión de reacción es 10 como el umbral de audibilidad. ¿Cómo es de ruidoso?
13
veces tan intensa
Los sonidos que oímos: La pérdida de la audición, no parece ser un problema preocupante para la mayoría de los miembros de nuestra sociedad. Constantemente nos exponemos a la agresión sonora, la cual hasta nos invade y en algunos casos vamos a buscarla: el sonido de una discoteca, por ejemplo, el tradicional “poné más fuerte” un aparato de reproducción de sonido, o un discman escuchado con un volumen tan alto, que quien se sitúa a pocos pasos del oyente, puede también escuchar su música.
Nivel de intensidad del sonido. 1 140 dB
Umbral del dolor
130 dB
Avión despegando
120 dB
Motor de avión en marcha
110 dB
Concierto
100 dB
Perforadora eléctrica
90 dB
Tráfico
80 dB
Tren
70 dB
Aspiradora
50/60 dB Aglomeración de Gente 40 dB
Conversación Conversació n
20 dB
Biblioteca
10 dB
Ruido del campo
0 dB
Umbral de la audición
El oído humano puede acomodarse a intervalos de presiones e intensidades sonoras -5 2 -12 bastante grandes: entre 2x10 y 20 N/m para la amplitud de la presión y desde 10 hasta 1 2 vatios/m para la intensidad. El valor más bajo, en ambos casos, se toma como umbral de audición, mientras que el más alto, que produce sensación sensación dolorosa en la mayoría de las personas, es el umbral del dolor. Debido a este gran intervalo al que resulta sensible el oído, se utilizan uti lizan escalas logarítmicas para describir los niveles de presión y de intensidad de una onda sonora. Vale aclarar que al crecer la intensidad de una onda sonora geométricamente, la sensación percibida lo hace de forma aproximadamente aritmética: es decir, que al doble de intensidad nosotros escuchamos sólo un poco más. Esto es lo verdaderamente problemático de la cuestión, pues sensitivamente no percibimos como tales a los grandes aumentos de intensidad sonora. Por esta razón, se introdujo la escala de medidas en bel y decibeles (en honor a Alexander Graham Bell), en la cual un sonido de intensidad I tiene, por definición, un nivel de intensidad de:
decibeles.
En consecuencia, cada vez que la intensidad se multiplica por 10, se añaden 10 decibelios al nivel. Esto es, un sonido que ejerce una intensidad sonora 1.000 veces más grande que otro tendrá un nivel de intensidad sonora sólo 30 decibeles mayor. Por ejemplo, supongamos que queremos comparar el nivel de intensidad de una conversación normal con el de un martillo neumático. Podemos buscar en bibliografía especializada, o en Internet, los valores de intensidad correspondientes. correspondientes. Así, tendremos:
QUÍMICA Y LOGARITMOS. +
+
El pH de una solución se define como - log [H ], siendo [H ] la concentración de iones de hidrógeno en moles/litro. Cuando el pH es menor que 7 la solución es ácida, si es igual a 7 es neutra y, cuando es mayor, es alcalina. El pH es una medida de la acidez o basicidad de una solución. El pH es la concentración + de iones hidronio [H 3O ] presentes en determinada sustancia. La sigla significa "potencial de hidrógeno" (pondus Hydrogenii o potentia Hydrogenii; del latín pondus, n. = peso; potentia, f. = potencia; hydrogenium, n. = hidrógeno). Este término fue acuñado por el químico danés Sørensen, quien lo definió como el logaritmo negativo de base 10 de la actividad de los iones hidrógeno. Esto es:
Desde entonces, el término "pH" se ha utilizado universalmente por lo práctico que resulta r esulta para evitar el manejo de cifras largas y complejas. En disoluciones diluidas, en lugar de utilizar la actividad del ion hidrógeno, se le puede aproximar empleando la concentración molar del ion hidrógeno. +
Por ejemplo, una concentración de [H 3O ] = 1 × 10 –7 ya que: pH = –log[10 ] = 7
–7
M (0,0000001) es simplemente un pH de 7
El pH típicamente va de 0 a 14 en disolución acuosa, siendo ácidas las disoluciones con pH menores a 7, y básicas las que tienen pH mayores a 7. El pH = 7 indica la neutralidad de la disolución (donde el disolvente es agua). Se considera que p es un operador logarítmico sobre la concentración de una solución: −
p = –log[...] , también se define el pOH, que mide la concentración de iones OH . –
+
Puesto que el agua está disociada d isociada en una pequeña extensión en iones OH y H3O , tenemos que: +
–
–14
+
−
Kw = [H3O ]·[OH ]=10 en donde [H3O ] es la concentración de iones hidronio, [OH ] la de iones hidroxilo, y K w es una constante conocida como producto iónico del agua, que −14 vale 10 . Por lo tanto, +
–
log Kw = log [H3O ] + log [OH ] + – –14 = log [H 3O ] + log [OH ] + – 14 = –log [H 3O ] – log [OH ] pH + pOH = 14 Por lo que se puede relacionar directamente el valor del pH con el del pOH. En disoluciones no acuosas, o fuera de condiciones normales de presión y temperatura, un pH de 7 puede no ser el neutro. El pH al cual la disolución es neutra estará relacionado con la constante de disociación del disolvente en el que se trabaje. Por tanto, para indicar el nivel de acidez de una sustancia, solemos hablar del pH. Si bien esta expresión es universalmente utilizada, la misma alude al potencial hidrógeno (pH) que tiene una sustancia. En disoluciones diluidas en lugar de utilizar la actividad del ión hidrógeno, se le puede aproximar utilizando la concentración molar del ión hidrógeno (por ejemplo, una -7 concentración de [H+]=1x10 M). Expresar concentraciones de iones de exponente negativo resulta en la práctica incómodo; por esta razón en el año 1909, el químico danés Soren P.L. Sorensen introdujo el concepto de pH, como el logaritmo decimal del inverso de la concentración de iones expresada en moles/litro. Esto es: Aplicando ahora el logaritmo de un cociente, la expresión anterior puede escribirse tal como la conocemos: Si no olvidamos que el valor del pH es un logaritmo en base 10, es fácil de entender que un pH=9 es 10 veces más alcalino que un pH=8, o que un pH=6 es 10 veces más ácido que pH=7, y que un pH=5 es 100 veces más ácido que un pH=7.
De este modo, si preguntamos ¿qué pH tiene el agua de un acuario? y alguien nos responde: “Aproximadamente entre 6 y 7”, podríamos deducir que esta respuesta demuestra la ignorancia del aficionado sobre la dimensión e importancia de este parámetro. Pensemos que si el agua es ligeramente ácida, con pH entre 7’0 y 6’8, la mayoría de los peces de río lograrían vivir en ella. Si el pH es menor que 6’8, no son muchos los peces que viven en este tipo de agua. Sin embargo, los seres que habitan grandes lagos y los animales marinos son prácticamente inflexibles en su relación con el pH debido a la gran estabilidad de los parámetros químicos de sus aguas de origen.
GEOLOGÍA Y LOGARITMOS. La escala de Ritcher se utiliza para medir la fuerza de un terremoto. La fórmula que da la magnitud de un seísmo en esta escala es: Magnitud de R = . Donde a es la amplitud del movimiento del suelo en micras (medida por la estación receptora), T es el periodo de la onda sísmica en segundos y B un factor relacionado con el debilitamiento de la onda con el incremento de distancia al epicentro.
Ejemplo: La energía “E” (medida en ergios) que se libera en un sismo de R grados en la escala Richter, está dada por la expresión: log E = 1,5R + 11,8. ¿Cuántos ergios se liberan en un sismo de 6 grados en la escala Richter? Solución: Reemplazando R = 6, obtenemos: Log E = 1,5 · 6+11,8; por lo tanto E = 10 Respuesta: se liberan 10
20,8
ergios.
20,8
ergios.
MÚSICA Y LOGARITMOS. Los grados de tonalidad de la escala cromática no son equidistantes por el el número de vibraciones ni por la longitud l ongitud de onda de sus sonidos, sino que representan los logaritmos en base 2 de estas magnitudes. Supongamos que la nota do de la octava más baja, que representaremos por cero, está determinada por n vibraciones por segundo. El do de la primera octava producirá 2n vibraciones, el do de mm ésima octava producirá n·2 vibraciones cada segundo. Si hemos llamado cero a do, y seguimos numerando las notas, tendremos que sol será la 7ª, la la 9ª, la 12ª será de nuevo do, en una octava nás alta, etc. Como en la escala cada nota tiene
más vibraciones que la anterior, entonces el
número de éstas en cualquier tono se puede expresar con la fórmula
.
Tomando logaritmos: Al tomar el número de vibraciones del do más bajo como unidad y pasando los logaritmos a base 2, se tiene que
En el tono sol de la tercera octava, , 3 es la característica del logaritmo del número de vibraciones y 7/12 la mantisa del mismo logaritmo en base 2. Se tiene que el número de 3'583 vibraciones es 2 , que es 11'98 veces mayor que las del tono do de la 1ª octava.
