PRACTICA Nº 5 y 6 Teoría de Juegos y Estrategias I. OBJETIVOS
Al culminar la presente práctica, el alumno estará capacitado para: Modelar problemas de Teoría de Juegos y estrategias con dos jugadores y suma cero, aplicando estrategias puras y estrategias mixtas. Obtener su solución mediante el uso de software. Interactuar con los modelos.
II. RECURSOS Uso del software WinQSB con la opción Decisión Análisis, Lindo y Excel. III.
DURACIÓN DE LA PRÁCTICA
Una sesión (2 horas). IV.
MARCO TEÓRICO
Revisar Apuntes de Clase de Teoría de Juegos y Estrategias.
V. ACTIVIDADES DE LA PRÁCTICA
Formular problemas relacionados con la toma de decisiones en condiciones de conflicto, utilizando la teoría de Juegos y Estrategias.
Determinar las estrategias óptimas para cada jugador.
EJERCICIO. Considere el juego que tiene la siguiente matriz de pagos. II 1 2
I
3
4
1 2 4 3 2 6
1 2
2
3
Ing. Vanessa Nieto Nieto
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Investigación Operativa Operativa II
a) ¿Tiene punto de silla este juego? b) Utilice el Lindo y el WinQSB para determinar la estrategia optima de cada jugador y el valor del juego, compare los resultados c) Si el jugador 1 utiliza la estrategia [0.7 0.3] y el jugador 2 utiliza [0.25 0.25 0.25 0.25], ¿Cuál es el nuevo valor del juego? (Utilice el Excel) d) Si el jugador 1 utiliza la estrategia [0.8 0.2], ¿cuál deberá ser la estrategia del jugador 2?, ¿cuál será el nuevo valor del juego para cada jugador?
SOLUCIÓN a) ¿Tiene punto de silla este juego?
Entonces no tiene punto de silla.
b) Utilice el Lindo y el WinQSB para determinar la estrategia optima de cada jugador y el valor del juego, compare los resultados
Utilizando el Lindo Modelo Matemático para el jugador 1
Salida del LINDO
Entonces se tiene: Po = [ 0.5 0.5] y
Ing. Vanessa Nieto
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Investigación Operativa II
0 0 Qo = 0.875 0.125 v = 2.5
Utilizando el WinQsb con la opción Decisión Análisis/File/New Problem Aparece la siguiente tabla de entrada de datos, donde ingresamos por la opción Two player, Zero-sum Game (Juego de suma cero para dos jugadores) y luego ingresamos el número de estrategias para cada jugador.
Luego ingresamos la matriz de pagos y con la opción Solve and Analyze/ Solve the Problem, aparece la siguiente salida:
Los resultados son los mismos.
c) Si el jugador 1 utiliza la estrategia [0.7 0.3] y el jugador 2 utiliza [0.25 0.25 0.25 0.25], ¿Cuál es el nuevo valor del juego? (Utilice el Excel) 0.25 2 2 3 1 0.25 V = p*A*q = 0.7 0.3* * 0.25 = 2.175 4 3 2 6 0.25
d) Si el jugador 1 utiliza la estrategia [0.8 0.2], ¿cuál deberá ser la estrategia del jugador 2?, ¿cuál será el nuevo valor del juego para cada jugador? Si el jugador 1 cambia su estrategia, este va ha empeorar su resultado (v<=2.5), siempre y cuando el jugador 2 replantee su estrategia buscando minimizar su pérdida. Ing. Vanessa Nieto
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Investigación Operativa II
y1 2 2 3 1 y 2 0.8 0.2* 2.5 * 4 3 2 6 y3 y 4
Por lo tanto el modelo matemático del jugador 2 será:
La salida del LINDO es:
Por lo tanto la estrategia que deberá aplicar el jugador 2 será: 0 0 q = 0 1
El nuevo valor del juego es 0.4, o sea que el jugador 1 sólo gana 0.4 y el jugador 2 sólo pierde 0.4.
2.- Dado el juego bipersonal de suma nula con matriz de pagos: 2 6 2 1 1 0 2 1 0 3 1 3 1 4 3 0
a) Obtenga la estrategia óptima para ambos jugadores y el valor del juego, interpretando los resultados obtenidos. b) Obtenga el resultado esperado del juego si el jugador A opta por su estrategia p=[1/6, 0, 5/6, 0] y el jugador B adopta su estrategia q= [1/2, 0, ½, 0]. Interprete el resultado obtenido. c) Obtenga la estrategia que deberá aplicar el jugador A y el resultado esperado del juego, si el jugador B adopta su estrategia q= [0.4, 0, 0.6, 0]. Interprete el resultado obtenido.
Ing. Vanessa Nieto
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Investigación Operativa II
VI.
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. En el horario de 8 a 9 p.m., Panamericana (PANTEL) y América televisión compiten por la audiencia de 10 millones de espectadores. Semanalmente, las cadenas televisivas deben anunciar en forma simultánea el espectáculo que emitirán en ese horario. Las elecciones posibles de cada cadena y el número de televidentes de Panamericana, en millones, aparecen en la tabla A, para cada elección. Por ejemplo, si ambas cadenas escogen una película de acción, la matriz indica que 3.5 millones escogerán Panamericana y 10 – 3.5 = 6.5 millones verán América. Así tenemos un juego de dos personas con juego constante, con c = 10 (millones). Tabla A
Pantel
Película de Acción Telenovela Comedia
América Televisión Película de Acción Telenovela 3.5 1.5 4.5 5.8 3.8 1.4
Comedia 6.0 5.0 7.0
a) b) c) d) e) f)
¿Tiene este juego un punto de silla?. ¿Cuál es el valor del juego para cada cadena?. ¿Que Cadena es la ganadora del juego? ¿Qué estrategia debe aplicar cada cadena televisiva? ¿En un año cuántas semanas debe aplicar cada estrategia cada cadena? ¿Cuántos televidentes atrae más la cadena televisiva ganadora? Para el problema anterior, Si Pantel Ofrece Telenovela y América Televisión ofrece Película de Acción, entonces Pantel gana 6 millones de espectadores. ¿Cuales serán las nuevas respuestas?
2.
Dos grandes cadenas de supermercados que llamaremos A y B respectivamente van a inaugurar, en las mismas fechas, un nuevo supermercado en un centro comercial de una ciudad en la que el número de clientes potenciales es de 100, 000. El reparto del número de clientes potenciales entre las dos cadenas depende de la estrategia que cada una de las firmas adopte en cuanto a campañas de publicidad y productos en oferta. En función de la estrategia seguida por cada empresa, el número de clientes potenciales se adjudica a la cadena A en miles es el siguiente: B1
B 2
B3
A1
40
20
60
A2
30
40
70
A3
60
10
80
a) ¿Cuál es el número mínimo de clientes que aceptará tener A? ¿Y B? b) ¿Cuál es la estrategia óptima de A y B? A la vista de este resultado, ¿podemos afirmar que A y B esperan repartirse por igual el número de clientes potenciales? c) ¿Qué ocurrirá si B decide optar por una estrategia diferente a la óptima? d) Determine, el programa lineal para el jugador A.
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3.- Pablo ha pasado la tarde en un salón de juegos observando cómo uno de los empleados juega al mentiroso y cómo juegan en otra mesa a una variación de las tres en raya. En el juego del mentiroso, la “casa” tiene tres posibles alternativas: pasar, decir la verdad o mentir (alternativas que vamos a llamar B1, B2 y B3, mientras que Pablo sólo tiene dos posibilidades: decir la verdad o mentir (A1 y A2). Según se combinen estas opciones las posibles ganancias para el jugador quedan recogidas en la siguiente tabla: A1 A2
B1 8 0
B2 3 1
B3 1 2
En el otro juego observa que, tanto el jugador (a quien seguiremos llamando A) como la “casa”
(jugador C) tiene tres posibles estrategias: intentar conseguir las tres en raya en fila, conseguirlo en columna o conseguirlo en diagonal. Dependiendo de las estrategias adoptadas por los contrincantes, los posibles resultados son: A1 A2 A3
C1 1 7 3
C2 -1 4 -2
C3 3 6 5
a) ¿Cómo debe jugar Pablo al mentiroso o a las tres en raya de forma óptima, si su comportamiento racional es prudente? b) Si en el juego del mentiroso Pablo aplica la estrategia empírica [0.5 0.5], ¿Qué alternativa de mejora le recomendaría Ud. A la “casa”?.
4. Dos cadenas de supermercados se proponen construir, cada una, una tienda en una región rural en donde se encuentran cuatro pueblos. Las distancias entre los pueblos se muestra en la siguiente figura:
A
5Km
B
3Km
C
7Km
D
Aproximadamente 15% de la población vive cerca del pueblo A, 30% cerca del pueblo B, 20% cerca del pueblo C y 35% cerca del pueblo D, cada pueblo es lo suficientemente grande como para que ambas cadenas consideren ubicarse en él. Debido a que la cadena I es más grande y tiene más prestigio que la cadena II, la cadena I controlará la mayoría de los negocios, siempre que sus ubicaciones sean comparativas. Ambas cadenas conocen los intereses de la otra en la región y ambas han terminado estudios de mercado que dan proyecciones idénticas. Si ambas cadenas se sitúan en el mismo pueblo o equidistantes de un pueblo, la cadena I controlará el 65% de los negocios en ese pueblo. Si la cadena I está más cercana a un pueblo que la cadena II, la cadena I controlará 90% de los negocios en ese pueblo. Si la cadena I está más alejada de un pueblo que la cadena II, atraerá a 40% de los negocios de ese pueblo. El resto de las operaciones, bajo cualquier circunstancia, irán a la cadena II. Cada firma planea construir sólo un supermercado en la región. ¿Qué pueblo debe seleccionar cada uno y cuáles serán los porcentajes del mercado?.
Ing. Vanessa Nieto
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5. Diez estudiantes del PPII salen a cenar en un restaurante que ofrece dos platos: pollo y langosta. El pollo cuesta 2500 mientras que la langosta 10000. La disposición a pagar por el pollo de cada estudiante es de 3000, mientras que la disposición a pagar por la langosta es de 5000. Normas sociales exigen que se reparta la cuenta entre los diez estudiantes, pagando todos lo mismo, sin importar si ordenaron pollo o langosta. Además todos deben elegir pollo o langosta y se considera de pésimo gusto no pedir nada o retirarse de la mesa antes de que llegue la cuenta. (a) ¿Qué debería pedir cada estudiante para que el excedente total de los consumidores sea el mayor posible? Justifique. (b) Si los demás estudiantes piden pollo, ¿Qué le conviene más a Ud., pedir pollo o langosta? Justifique. (c) Si los demás estudiantes piden langosta, ¿Qué le conviene mas a Ud., pedir pollo o langosta? Justifique. (d) ¿Es equilibrio de Nash que todos pidan pollo? Justifique. (e) ¿Es equilibrio de Nash que todos pidan langosta? Justifique. 6. Dos bancos del sistema compiten por atraer el mayor número de cuenta habientes en un poblado del occidente del país: Banco “Le cuido su ahorro” el primero, y Banco “ Le Guardo su Plata” el segundo; para el logro de su objetivo cada uno aplica las estrategias siguientes: A. Sorteo de electrodomésticos B. Tasa de interés más alta C. Sorteo de dinero en efectivo Si el segundo banco ofrece sorteo de electrodomésticos atrae 200 cuenta habientes más que el primero, cuando este ofrece lo mismo, 1000 más cuando el primero ofrece tasa de interés mas alta y 800 menos cuando el primero ofrece sorteo de dinero en efectivo. Si el segundo banco ofrece una tasa de interés más alta atrae 1300 más cuando el primero ofrece sorteo de electrodomésticos, 700 más cuando el primero ofrece lo mismo y 900 menos cuando el primero ofrece sorteo de dinero en efectivo. Si el segundo banco ofrece sorteo de dinero en efectivo atrae 2000 menos cuando el primero ofrece sorteo de electrodomésticos, 1500 más cuando el primero ofrece tasa de interés más alta y 850 menos cuando el primero ofrece lo mismo. a) b) c) d) e)
¿Qué banco es el ganador del juego? ¿Qué estrategia debe aplicar cada banco? ¿En un año cuantos meses debe aplicar cada estrategia? ¿Cuántos cuenta habientes atrae más el banco ganador? Si el primer banco ofrece sorteo de dinero en efectivo y el segundo sorteo de electrodomésticos, el segundo atrae 800 cuenta habientes más que el primero. ¿Cuáles serán las nuevas respuestas?
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