ESTADÍSTICA Algunas Algunas distribuc distribucione ioness import important antes es de variab variables les aleatoria aleatoriass continuas continuas Vladimiro Contreras Tito
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8 de mayo de 2016
Índice Índice
1
1. Distribuc Distribución ión normal normal
2
2. Distribuc Distribución ión normal estándar estándar o tipificada tipificada
3
3. Distribuc Distribución ión uniforme continu continuaa
4
4. Distribuc Distribución ión exponencial exponencial
5
5. Distribuc Distribución ión gamma gamma
6
6. Distribuc Distribución ión beta
8
7. Distribuc Distribución ión de Weibull Weibull
9
8. Tablas
13
1
1
DISTR DISTRIBU IBUCIÓ CIÓN N NO NORMA RMAL L
1. Dist Distri ribu buci ción ón norm normal al La "distribución normal" o distribución de Gauss es sin duda la más importante y la de más aplicación de todas las distribuciones continuas. Esta distribución es bastante adecuada para describir la distribución de muchos conjuntos de datos que ocurren en la naturaleza y la industria. Así pues para los siguientes conjuntos de datos, se puede considerar adecuada la distribución normal: Datos meteorológicos correspondientes a temperaturas, lluvias, etc. Las clasificaciones correspondientes a pruebas de aptitud. Las alturas de individuos de una edad y sexo dado. Las medidas físicas de productos manufacturados. La vida media de un tipo de lámparas con un voltaje dado, etc.
Definición 1.1. Diremos que una variable aleatoria X , de tipo continuo, sigue una distribución normal de parámetros µ y σ si su función de densidad es:
f ( f (x) =
√ 1
σ 2π
e−
1 2
µ 2 ( x− ) σ
− ∞ < x < +∞
donde µ es la media y σ y σ 2 N (µ, σ 2 ) en donde µ ∼ ∼ N (
Abreviadamente lo indicamos por X por X es la varianza.
f (x) = σ√ 12π e− Figura 1: grafica de la función de densidad f (
1 2
µ 2 ( x− ) σ
NOTA 1.1. Se verifica que
∞
√ 1
−∞ σ 2π
e−
1 2
µ 2 ( x− ) σ
dx = dx = 1
f (x) de la Veamos ahora la representación gráfica de la función de densidad f ( 2 N ( N (µ, σ ). Para ello veremos que se cumplen las siguientes propiedades: V. Contreras T.
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DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR O TIPIFICADA
1. f (x) es continua en toda la recta real. 2. f (x) es simétrica respecto de x = µ es decir es simétrica respecto del parámetro µ. 3. f (x) tiene como asíntota horizontal el eje de abscisas. 4. f (x) es estrictamente creciente cuando x < µ, y estrictamente decreciente cuando x > µ. 5. f (x) presenta un máximo cuando x = µ, ese máximo vale f (µ) = σ√ 12π 6. El área total que encierra la curva f (x) con el eje X es igual a 1.
2. Distribución normal estándar o tipificada
√ 1
Veamos que la expresión f (x) =
e−
1
µ 2 ( x− ) σ
nos da la función de densiσ 2π dad de una familia de distribuciones normales para los diferentes valores de los parámetros µ y σ. Dentro de esta familia de distribuciones normales hay una muy importante, que corresponde a los valores de los parámetros µ = 0 y σ = 1, es decir la distribución N (0, 1) y recibe el nombre de distribución tipificada o estándar, cuya correspondiente función de densidad se obtiene haciendo µ = 0 − 1 e− ( ) . y σ = 1 en la expresión f (x) = σ 2π 1
√
x
2
2
µ
2
σ
Definición 2.1. Si la variable aleatoria X ∼ N (µ, σ 2 ), entonces la variable aleatoria estándar Z = X σ−µ , tiene distribución normal N (0, 1). En efecto, la v.a.estándar Z tiene media E (Z ) = 0 y varianza V (Z ) = 1.
Además la probabilidad: x1
≤ x1] =
P [X
√ 1
−∞ σ 2π
e−
1 2
µ 2 ( x− ) σ
dx
y estandarizando se tiene: P [
X
x1
− µ ≤ x1 − µ ] =
σ
σ
Luego
−∞ σ 2π
z1
P [Z
≤ z 1] =
√ 1
√ 1
1
1 2
µ 2 ( x− ) σ
dx
z2
dz 2π La función de densidad y la función de distribución acumulada de la normal estándar son respectivamente: φ(z ) = V. Contreras T.
−∞
√ 1
2π
e−
e−
e−
1 2
2
z2
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3
DISTRIBUCIÓN UNIFORME CONTINUA z
Φ(z ) =
−∞
√ 1
2π
e−
1 2
t2
dt
Figura 2: grafica de la función de densidad φ(z ) = √ 12π e−
1 2
z2
Ejemplo 2.1. Supongamos que la demanda mensual de un bien de consumo se distribuye normalmente con una media 650 kg y una desviación estandar de 100 kg. 1. ¿Qué probabilidad hay de que la demanda no supere los 500 kg? 2. ¿Qué cantidad de bien debe haber mensualmente a fin de satisfacer la demanda en el 89,8 % de los meses?
Solución X : demanda mensual de un bien de consumo. µ = 650 kg , σ = 100 kg 1. P [X 500] = P [ X σ−µ 1 0, 9332 = 0, 0668.
−
≤
≤
500−650 ] 100
= P [Z
≤ −1, 5] = 1 − P [Z ≤ 1, 5] =
650 P [ X σ−µ < k−100 ] = 0, 898 2. P [X < k] = 0, 898 k−650 0, 898 = 1, 27 k = 777 kg 100
⇒
⇒
⇒
⇒
650 P [Z < k−100 ]=
3. Distribución uniforme continua Esta es la más sencilla de las distribuciones continuas. Surge al considerar una variable aleatoria que toma valores equiprobables en un intervalo finito y su nombre se debe al hecho de que la densidad de la probabilidad de esta variable aleatoria es uniforme en todo su intervalo de definición. Sea un experimento aleatorio cuya variable aleatoria asociada toma valores en un intervalo finito, de manera que puede tomar cualquier valor de ese intervalo, entonces si la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor en cada subintervalo de la misma longitud es la misma, diremos que la variable aleatoria está distribuida uniformemente en ese intervalo. V. Contreras T.
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DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
Definición 3.1. Diremos que una variable aleatoria X , de tipo continuo, sigue una distribución uniforme en el intervalo real [a, b], con su función de densidad es:
−∞ < a < b < + ∞, si
f (x) =
1
a a b en el resto
≤ ≤
b−a
0
Abreviadamente lo indicamos por X U (a, b) en donde a y b son los parámetros. La función de distribución de una X U (a, b) está dado por:
∼
∼
0 F (x) = 1
x−a b−a
x
b
≤ ≤b
Teorema 3.1. Si X ∼ U (a, b) entonces b + a E (X ) = 2
y
V (X ) =
(b
− a)2 12
4. Distribución exponencial Definición 4.1. Diremos que una variable aleatoria X , de tipo continuo, sigue una distribución exponencial de parámetro β , siendo β > 0 ,y se denota por X Exp(β ), si su función de densidad es
∼
f (x) =
βe 0
−β x x
≥0
x < 0
Figura 3: grafica de la función de densidad exponencial Esta distribución está relacionada con la de Poisson, así pues si el número de sucesos que ocurren en un determinado intervalo sigue una distribución de Poisson, entonces la variable aleatoria que representa el tiempo entre ocurrencia de sucesos sigue una distribución exponencial. Así, por ejemplo, si el número V. Contreras T.
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DISTRIBUCIÓN GAMMA
de ventas semanales de un cierto modelo de autos sigue una distribución de Poisson, entonces el tiempo transcurrido entre las ventas seguirá una distribución exponencial. También se pueden modelizar mediante la distribución exponencial las siguientes situaciones: la duración de la prestación de un servicio. el tiempo entre llegadas sucesivas a una cola o punto de servicio. el tiempo de duración de algunos equipos, etc.
Notese que β es la media de la distribución de Poisson ( β = λ ) La función de distribucion de una v.a. X
∼ Exp(β ) esta dada por 1 − e− si x ≥ 0 F (x) = P [X ≤ x] = 0 si x < 0 βx
Teorema 4.1. Si X ∼ Exp(β )) entonces E (X ) =
1 β
y
V (X ) =
1 β 2
Observación 4.1. Notemos que P [X > x] = 1
− P [X ≤ x] = e−
βx
,
0
≤x<∞
5. Distribución gamma Previamente vamos a definir la función gamma como una función del análisis matemático y que después utilizaremos en varios modelos o distribuciones probabilísticas de tipo continuo. Así definimos la función gamma de α denotado por Γ(α) como: Γ(α) =
∞
xα−1 e−x dx
0
donde α es un número real positivo.
Propiedades 1. Si α > 1, entonces Γ(α) = (α
− 1)Γ(α − 1).
2. Γ(1) = 1 V. Contreras T.
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3. Γ( 12 ) = 4. Si α
1
∞ − −x e dx = 0
x
2
DISTRIBUCIÓN GAMMA
√ π.
∈ N, entonces Γ(n) = (n − 1)!
Una vez que hemos definido esta función gamma, la vamos a aplicar para definir la distribución de probabilidad gamma, pues son muchas las aplicaciones de esta distribución a experimentos o fenómenos aleatorios que tienen asociadas variables aleatorias que siempre son no negativas y cuyas distribuciones son sesgadas a la derecha, es decir, el área bajo la función de densidad disminuye a medida que nos alejamos del origen.
Definición 5.1. Diremos que una variable aleatoria X , de tipo continuo, sigue una distribución gamma de parámetros α y β representado por X su función de densidad es :
∼ Γ(α, β ), si
f (x) =
β α Γ(α)
x α−1 e−β x
0
si x 0 si x < 0
≥
Figura 4: grafica de la función de densidad gamma para distintos pares de parámetros α y β Esta distribución se aplica para representar las siguientes distribuciones: Intervalos de tiempo entre dos fallos de un motor. Intervalos de tiempo entre dos llegadas de automóviles a un grifo. Tiempos de vida de sistemas electrónicos, etc. La función de distribución de la v.a. X F (x) =
V. Contreras T.
β α Γ(α)
x
0
0
∼ Γ(α, β ) esta dada por: t −1 e− dt si x ≥ 0 α
βt
si x < 0
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DISTRIBUCIÓN BETA
Teorema 5.1. Si X ∼ Γ(α, β ) entonces E (X ) =
α β
y
V (X ) =
α β 2
Nota La distribución gamma describe la función de densidad de la v.a. que representa el tiempo que trascurre hasta que ocurra un número específico de eventos de Poisson con parámetro λ. Este número específico es el parámetro α y β = λ en la función de densidad gamma.
6. Distribución beta Previamente vamos a definir la función beta de p y q ,denotado por β ( p, q ) como : 1
β ( p, q ) =
x p−1 (1
0
Se verifica también : β ( p, q ) =
− x) −1dx q
p > 0 , q > 0
Γ( p) Γ(q ) Γ( p+q )
Definición 6.1. Diremos que una variable aleatoria X , de tipo continuo, sigue una distribución beta de parámetros p y q , siendo p,q > 0, X función de densidad es :
f (x) =
1 β ( p,q )
0
x p−1 (1
− x) −1 q
∼ β ( p, q ), si su
si 0 < x < 1 en otros casos
Figura 5: grafica de la función de densidad beta para distintos pares de parámetros p y q V. Contreras T.
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DISTRIBUCIÓN DE WEIBULL
Observemos que esta función de densidad está definida en el intervalo (0,1), lo cual nos indica que esta familia de distribuciones beta es muy útil para representar modelos probabilísticos que representan proporciones, tales como: 1. La fracción de tiempo que un equipo está en reparación. 2. La proporción de piezas defectuosas de un lote. 3. La proporción del gasto de una familia en alimentación con respecto a los ingresos totales. 4. La participación de la producción de una empresa con respecto al total de lo producido en ese sector, etc. La función de distribución de la v.a. X
∼ β ( p, q ) esta dada por: si x ≤ 0 1 1 1 − − t (1 − t) dt si 0 < x < 1 ( ) si x ≥ 1
0 F (x) = 1
x
p
q
0 β p,q
Teorema 6.1. Si X ∼ β ( p, q ) entonces E (X ) =
p p + q
V (X ) =
y
p q ( p + q + 1) ( p + q )2
Ejemplo 6.1. Una comunidad de vecinos dispone de un depósito que contiene una cantidad fija de combustible para la calefacción central y que es rellenado cada mes. La experiencia acumulada durante muchos meses permite representar la proporción de reserva utilizada cada mes mediante un modelo de distribución Beta con parámetros p = 4 y q = 2. Calcule la probabilidad de que un mes determinado se utilice más del 75 % de la reserva de combustible.
Solución X : Proporción de reserva utilizada en un mes. X β ( p, q ) donde p = 4 y q = 2 Entonces:
∼
3
f (x) = Luego P (X > 0, 75) =
20x (1 − x), 0,
1 20x3 (1 0,75
0 < x < 1 en otros casos
− x) dx = 0, 3672.
7. Distribución de Weibull La distribución de Weibull se aplica en teoria de supervivencia como modelo de tiempo de vida. En teoria de confiabilidad y tiempos de mantenimiento de equipos. Se aplica tambien para modelar curvas de asimetría positiva, etc. V. Contreras T.
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DISTRIBUCIÓN DE WEIBULL
Definición 7.1. La variable aleatoria continua X tiene distribución de Weibull con parámetros α y β , y se denota por X W (α, β ), si su función de densidad de probabilidad es: α β xα−1 e−β x x 0 f (x) = 0 en caso contrario
∼
α
≥
donde, α > 0 y β > 0. El parámetro α describe la forma de la distribución y el parámetro β es la escala de la variable aleatoria.
Figura 6: grafica de la función de densidad Weibull para distintos pares de parámetros α y β La función de distribución acumulación de Weibull es: F (x) = 1
− e−
β xα
, x
≥0
Teorema 7.1. Si X ∼ W (α , β ) entonces E (X ) =
Γ(1 + α1 ) β
1
, V (X ) =
α
Γ(1 + α2 )
− [Γ(1 + 1 )]2 α
β
2
α
La distribución de Weibull tiene las siguientes propiedades: 1. Si α = 1 en X
∼ W (α , β ), entonces, X ∼ Exp(β ) 2. Si X ∼ W (α , β ) y si Y = X , entonces Y ∼ Exp(β ) 3. Si X ∼ W (α , β ), para todo a, b positivos, se tiene: α
P [X > a + b / X > a] > P [X > b] ; si α < 1 P [X > a + b / X > a] = P [X > b] ; si α = 1 P [X > a + b / X > a] < P [X > b] ; si α > 1
V. Contreras T.
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DISTRIBUCIÓN DE WEIBULL
EJERCICIOS 1. De la parada del autobús que recorre la línea Algeciras-San Roque sale un autobús cada 15 minutos. Un viajero llega de improviso en cualquier momento. Obtener: a ) La función de distribución de la v.a. tiempo de espera hasta que salga el próximo autobús. b ) Probabilidad de que el viajero espere menos de 5 minutos. c ) La media y la varianza de la v.a. tiempo de espera. d ) Probabilidad de que el viajero espere exactamente 10 minutos.
2. El tiempo que tarda un alumno para ir de su domicilio a la facultad varía entre 30 y 40 minutos. Diariamente debe llegar a clase a las 9 horas. Deseamos saber: a ) El tiempo medio que tarda en ir a clase y la varianza. b ) A qué hora debe salir de su casa para tener una probabilidad de 0,8 de no llegar tarde a clase.
3. Sea una v.a. X distribuida según una normal con media µ = 50 y desviación típica 8. Obtener: a ) Probabilidad de que X tome valores entre 38 y 58. b ) Probabilidad de que X tome un valor mayor que 66.
4. Supongamos que la demanda semanal de un artículo sigue una distribución normal de media µ = 100 y desviación típica σ = 20. ¿Qué existencias deben tener al principio de la semana para poder satisfacer la demanda con una probabilidad de 0,95? 5. Una determinada compañía dedicada a la exportación de frutas y hortalizas ha observado que el peso de los melones que cultiva para ser exportados sigue una distribución normal con media µ = 1, 7 kgs. y desviación típica σ = 100 grs. Se desea conocer: a ) La proporción de melones que pesan menos de 2 kgs. b ) Sabiendo que son rechazados para la exportación aquellos melones cuyo peso difiere en más de 300 grs. del peso medio, determinar la proporción de melones que se rechazan.
6. El "tiempo de duración en horas" X de una pieza de un cierto equipo se distribuye según una distribución gamma de parámetros α = 3 y β = 0, 2. Determinar: V. Contreras T.
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DISTRIBUCIÓN DE WEIBULL
a ) Probabilidad de que el equipo funcione más de 10 horas. b ) Probabilidad de que el equipo funcione entre 10 y 15 horas.
7. En un parking público se ha observado que los coches llegan aleatoria e independientemente a razón de 360 coches por hora: a ) Utilizando la distribución exponencial encontrar la probabilidad de que el próximo coche no llegará en los próximos 30 segundos. b ) Utilizando la distribución de Poisson obtener la misma probabilidad anterior.
8. Si consideramos una v.a. X que representa la proporción de personas que consumen una determinada marca de aceite de oliva y que sigue una distribución beta de parámetros p = 1 y q = 1, determinar la probabilidad de que dicha proporción esté comprendida entre el 10 % y el 50 %. 9. El depósito central de agua potable de un determinado municipio se llena una vez por semana, los domingos. Observando el consumo de agua de años anteriores se llegó a la conclusión de que la proporción de agua del depósito que se distribuye durante la semana se podía representar por una distribución beta de parámetros p = 3 y q = 2. Determinar la probabilidad de que se distribuya al menos el 80 % de agua del depósito central durante una semana. 10. Un transportista tiene una avería en su camión de forma aleatoria y uniforme a lo largo del trayecto de 100 kms. desde el origen al destino. Calcular: a ) Probabilidad de que el lugar donde se avería diste más de 2 veces del origen que del destino. b ) Distancia media desde el destino al punto en que se produce la avería.
11. El sistema de control de calidad de una planta industrial consta de 3 subsistemas que deben funcionar simultáneamente para efectuar el control completo. Si los tiempos de funcionamiento, de los 3 subsistemas, son independientes y se distribuyen (en horas) respectivamente N(45,5), N(47,3) y N(50,6), se pide calcular la probabilidad de que el sistema funcione las 40 horas laborables de una semana, si al comienzo de la semana se renuevan los subsistemas. 12. Un sistema electrónico está compuesto por dos circuitos cuyos tiempos de vida son independientes y se distribuyen Γ(6, 2) y Γ(8, 4) respectivamente, en miles de horas. El sistema funciona mientras funcione alguno de los dos circuitos. Se pide: a ) Probabilidad de que el sistema funcione más de 4.000 horas.
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TABLAS
b ) Vida esperada de cada circuito
13. Sea X la v.a. "tiempo de duración hasta su adquisición de cierto producto en el escaparate de un comercio", y se distribuye Exp(0, 2) en días. Obtener: a ) Tiempo esperado del producto en el escaparate. b ) Desviación típica del tiempo de exposición.
14. Un supermercado está interesado en controlar la calidad de los servicios que presta a sus clientes y comprueba que el tiempo que una cajera emplea en atender a un cliente sigue una distribución Gamma con media de 6 minutos y varianza 12 minutos2 . a ) Calcule la probabilidad de que una persona sea atendida durante más de 10 minutos en una caja. b ) Si dos amigos, que han comprado de forma independiente, se dirigen juntos a la caja para pagar sus respectivas compras, ¿cuál es la probabilidad de que el tiempo total que la cajera emplea en atender a los dos sea inferior a 6 minutos?
8.
Tablas
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