Ejercicios resueltos de variable complejaDescripción completa
Integral de Cauchy, Formula de Poisson para disco y semiplano.
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Variable ComplejaDescripción completa
Descripción: ANÁLISIS MATEMÁTICO EN VARIABLES COMPLEJA
Primera Edición 2000, Carrera de Matemáticas, UMSS. Texto guía para las materias de Análisis de la Carrera de Matemáticas de la UMSS.
Variable Compleja
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Variable complejaDescripción completa
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Algunos ejercicios sencillos de variable compleja, cálculo y ecuaciones de Cauchy-Riemann: Referencias 15. Demuestre que, si r y θ son coordenadas polares, en- tonces las funciones r n …Descripción completa
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Se muestra la aplicación de la variable compleja en mecanica de fluidosDescripción completa
Descripción: Complex Variable
EJERCICIOS RESUELTOS VARIABLE COMPLEJA.
1. Calcul Calcular ar la integr integral al :
Solución:
El método general para este tipo de integrales es estudiar la función de variable compleja (log z) 2/(z4 + 1) con lo !ue tendremos "
# las ra$ces del denominador son "
En general para obtener las ra$ces de z a con a % l/n tenemos "
# esto nos da en nuestro caso "
&or lo !ue considerando !ue los polos son todos simples tendremos para los residuos "
El 'ltimo paso se eplica como sigue (por ejemplo para
)"
ustitu#endo cada z * en la epresión obtenida # llevando a la integral tenemos "
2. Resolver la integral :
Solución:
amos a estudiar la función
sobre el circuito adjunto con lo !ue tendremos"
# la integral es nula por no ,aber ning'n polo de f(z) en el circuito- .ontinuando resulta"
tenemos" en 0.- z % +i-# con 3 # a dz % i-d# "
la 'ltima epresión tiende a cero cuando tiende a infinito- 5n61ogamente resulta para la 'ltima de las integrales con lo !ue nos !ueda para la tercera " en .7- z % + i-a en el intervalo () "
7e ese modo finalmente "
siendo la integral una !ue aparece en el estudio de la función 8amma de Euler&or otro lado para la función de variable real !ue estamos estudiando tenemos "
&ero el primer integrando es una función par !ue nos permite continuar la igualdad en la forma "
con lo !ue finalmente resulta "
3. Resolver las integrales de Fresnel :
Solución:
9omaremos como función a estudiar # como circuito el representado en la figura adjunta- 5plicando el teorema de los residuos # considerando !ue no ,a# ning'n cero en el recinto tenemos"
&ara la segunda integral tenemos "
esto resulta de !ue en 50 "
:os !ueda calcular la 'ltima de las integrales para la !ue tenemos"
En consecuencia "
donde nos aparece la integral de Euler vista en otros problemas- .ontinuando nos !ueda "
4. Sea f(z) una función analítica en un doinio !" # sea C el contorno de dic$o doinio. Si z1"% " z& son 'olos eteriores" se deuestra ue 'odeos escri*ir:
donde el sí*olo indica ue la integral se $ace en sentido negativo. +eniendo en cuenta lo anterior 'odeos escri*ir:
# teneos : Si z , es cero de 'rier orden" entonces : Res(f" ) , -í z.f(z) (cuando z Si z , es cero de orden / " entonces : Res(f" ) , 0 Si z , es 'olo de orden n" entonces : Res(f" ) , - Res(1z2 ).f(z) " 0 Coo a'licación a estos conce'tos calclese la integral:
Solución:
&rimero calculamos la integral por medio de los residuos interiores- &ara ello "
9enemos 4 ceros simples cu#os residuos valen "
por tanto"
i desarrollamos la integral por los residuos eteriores tendremos "
)
En este caso no ,a# ning'n polo eterior al circuito por lo !ue - 5dem6s el residuo en el infinito también es cero por ser éste un cero de orden ;- 5s$ pues tendremos !ue la 'ltima integral nos da un valor nulo como era de esperar teniendo en cuenta el resultado anterior-
5. Se deuestra en teoría ue si una función es analítica" la sua de todos sus residuos" co'rendido el del infinito" es cero. 6'licar lo dic$o al c7lculo de la integral :
Solución:
i elegimos los residuos interiores el proceso resulta dif$cil pues necesitamos obtener el residuo de un polo de orden 4 # tendr$amos !ue derivar ,asta el 4< orden- i lo ,acemos por los residuos eteriores tenemos !ue el infinito es un cero de orden = # por tanto su residuo es cero- 9endremos entonces"