Campo eléctrico generado por distribuciones continuas de carga Ejercicios resueltos. Recuerde que en el desarrollo de estos ejercicios se aplicará la siguiente ecuación, y es necesario que usted conozca y entienda el significado de cada término que aparece en esta ecuación: Carga de un elemento infinitesimal de volumen del objeto que genera el campo eléctrico Campo eléctrico en un punto del espacio generado por la carga dq, como si el resto del objeto cargado no estuviera.
Posición del punto del espacio donde se calculará el campo eléctrico
Posición del la carga dq
dE( r) =
dq( r − r ′) 4πε0 r − r′ 3 1
Permitividad eléctrica del vacío. Indica que el objeto cargado está en el vacío
Ejemplo Nº 1.Sea un aro de radio a, de carga neta Q, distribuida uniformemente en el aro. Obtener el campo eléctrico en un punto del eje axial.
La figura muestra el aro en el plano XY tal que el origen del sistema de referencia se encuentra en el centro del aro, de este modo el eje axial coincide con el eje Z. y dQ
r’ x
r
z
¿Cuánta el la carga de un segmento infinitesimal del aro?
o
dQ = λdl (1) Correcto, pero λ no es dato del problema, solo se sabe la carga total del aro y que λ es constante porque la carga Q está distribuida uniformemente. Con este dato ¿Puede obtener λ? Claro, basta con integrar la ecuación anterior:
o
Q=
o
Q λ= 2πa
o o
aro
(2)
o
Pero en la ecuación (1), dl es la longitud del segmento infinitesimal del aro, la cual es dl = adθ , con lo que la ecuación (1) queda finalmente:
o
dQ =
Q dθ 2π
(3)
Ahora se expresará los vectores posición del punto P y de dQ: o
∫ λdl ⇒ Q = λ ∫ dl ⇒ Q = λ 2πa
aro
r = zkˆ r ′ = a cos θiˆ +asenθˆj r −r ′ = a 2 + z 2
Se reemplazan todos los términos en la ecuación inicial 1 Q ( zkˆ − a cosθiˆ − asenθˆj ) dθ o dE ( r) = 3 4πε0 2π a2 +z2
(4)
y dQ
r’ x
r dEz dE
z
La figura muestra el campo eléctrico en P generado por dQ. Si se analiza la simetría de la distribución de cargas se encuentra que el campo eléctrico en P generado por el anillo completo solo tiene componente en el eje z. En la ecuación (4) solo se integrará la componente en Z
Q 8π 2 ε 0
o
Ez =
o
Q E= 4πε 0
2π
z a2 + z2 z a2 + z2
3
3
∫ dθ º
kˆ
(5)
La ecuación (5) permite calcular el campo eléctrico en un punto cualquiera del eje Z, donde z es la distancia al centro del aro.
Ejemplo Nº 2.Sea un filamento recto de longitud 2 a, con densidad de carga uniforme λ . Obtener el campo eléctrico en un punto de la recta bisectriz perpendicular al filamento
r’ r
z
o
(4) El campo eléctrico en P generado por la carga dQ es: o 1 λ( zkˆ − yˆj ) dE ( r ) = dy 3 4πε0 y2 +z2
Ez =
Ez =
1 4πε 0
a
λz ∫
−a
dy y +z 2
2
3
dEz
1 λa 2πε 0 z a 2 + z 2
Si el punto P está muy cerca del filamento, este se puede considerar como infinitamente grande. En este caso z<
La posición del punto P donde se quiere calcular el campo eléctrico es: o r = zkˆ (3) La distancia entre dQ y P es: o r −r ′ = y 2 + z 2
Analizando la simetría de la distribución de cargas se deduce que el campo eléctrico en P está en la dirección del eje z o
Ubicar un segmento infinitesimal del filamento, el cual tiene dQ cantidad de carga. o dQ = λdy (1) La posición del segmento dy es: o r′ = yˆj (2)
E⊥ =
λ
2πε 0 z
En un filamento muy largo, las líneas de campo son rectas perpendiculares al filamento.
