Matematika Dasar
INTEGRAL FUNGSI RASIONAL
Pecahan parsial
Integran berbentuk fungsi rasional yaitu : f ( x)
banyak atau dapat dituliskan menjadi : f ( x)
=
n
+
m
+
a0 x b0 x
=
P( x)
, P(x) dan Q(x) Q( x ) n −1 + ... + an a1 x m−1 + ... + bm b1 x
suku
Jika pangkat P(x) > pangkat Q(x) atau n > m, maka dilakukan pembagian pembagian terlebih dahulu sehingga didapatkan bentuk :
∫
f ( x) dx
=
∫
dengan R(x) merupakan hasil bagi P(x) oleh h( x ) adalah adalah sisa pembagi pembagian an dengan pangkat h(x) < pangkat g(x). g( x )
R( x)
+
dx g( x) h( x )
Q(x)
dan
Jika pangkat P(x) P (x) < pangkat Q(x) atau n < m, m , maka penyelesaian penyelesaian integral tersebut bergantung pada faktor-faktor faktor- faktor dari Q(x). Setiap suku banyak dengan kefisien real dapat dinyatakan sebagai perkalian dari faktor-faktor linear dan kuadrat sedemikian sehingga tiap-tiap faktor mempunyai koefisien real. Ada 4 kasus dari pemfaktoran penyebut ( Q(x) ) yaitu : 1. Faktor linear dan tidak berulang. 2. Faktor linear linear dan berulang. 3. Faktor kuadratik dan tidak berulang. 4. Faktor kuadratik dan berulang.
KASUS 1 : Penyebut terdiri dari faktor -faktor Linier tidak Berula Berulang ng
Misal Q( x) Maka
= ( a1 x + b1) ( a 2 x + b2 ) ... ( an x + bn ) .
P ( x) Q ( x)
≡
A1 a1 x + b1
dengan A1 , A2 , ... , An Contoh 1
∫
4 x
2
−9
1
≡
A2 An + ... + a 2 x + b2 an x + bn konstanta yang akan dicari.
+
dx A
+
B
(2 x + 3) (2 x − 3) ⇔ 1 ≡ A( 2 x− 3) + B(2 x + 3) ⇔ 1 ≡ ( 2 A + 2 B) x + (− 3 A + 3 B) 4 x 2 − 9
Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika Dasar
2 A+ 2 B= 0
∫
1 4 x 2
−9
dx
dan− 3 A+ 3 B= 1
sehingga diperoleh A=
1
−
dan B=
6
1 6
1 − 16 6 = ∫ dx + ∫ dx ( 2 x + 3) ( 2 x − 3)
KASUS 2 : Penyebut terdiri dari faktor-faktor linier linier Berulan Berulang g
Misal Q( x )
Maka
P ( x) Q( x )
≡
= ( ai x + bi ) p
A1 p
(ai x + bi )
+
A2
+
dengan p ∈ B .
p−1
(ai x + bi )
dengan A1, A2 , .. . , A p −1 , Ap
+ ... +
A p −1 2
(ai x + bi )
+
A p
(ai x + bi )
konstanta yang akan dicari.
Contoh
∫
1 2
( x + 2 ) ( x − 1) 1
( x + 2)2 ( x −1 ) ⇔
1
≡
A
( x + 2 )2
+
B
+
C
( x + 2) ( x − 1)
≡ A( x − 1) + B( x + 2) ( x − 1) + C( x + 2 )2
diperoleh A =
∫
dx
−
1 3
1 2
( x + 2 ) ( x − 1)
, B= − dx
1 9
dan C =
1 9
− 13
1 − 19 9 = ∫ dx + ∫ dx + ∫ dx 2 ( ) ( ) + − x x 2 1 + x 2 ( )
KASUS 3 : Penyebut terdiri dari faktor-faktor kuadrat tidak Berulang
Misal Q( x )
Maka
= ( a1 x 2 + b1 x + c1) ( a2 x2 + b2 x + c2 ) . ..( an x2 + bn x + cn )
P ( x) Q( x )
≡
A1 x + B1 a1 x 2 + b1 x + c1
+
A2 x + B2 a2 x 2 + b2 x + c2
+ . .. +
An x + Bn an x 2 + bn x + cn
dengan A1, A2 , .. ... , An , dan B1 , B2 , .. ... , Bn konstanta yang akan dicari.
Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika Dasar
Contoh 6 x 2 − 3x
+1 dx ∫ 2 (4 x + 1)( x + 1) 6 x 2 − 3 x
+1 A ≡ + 2 + + x ( ) 4 1 + x x 4 1 1 ( )( ) ⇔ 6 x2 − 3 x +
1
(
A x2
≡
B x+ C x 2 + 1
(
)
+ 1) + (
Bx + C) ( 4 x + 1)
diperoleh A = 2 , B =1 dan C = −1
6 x2 − 3x
+1 ∫ (4 x +1)( x 2 + 1)
= ∫
dx
2
(4 x + 1)
dx
+ ∫
x − 1 dx 2 x + 1
(
)
KASUS 4 : Penyebut terdiri dari faktor-faktor faktor- faktor kuadrat berulang .
Misal Q( x ) P ( x) Q ( x)
≡
(
= ( ai x2 + bi x + ci )
A1 x + B1 p ai x 2 + bi x + ci
)
+
p
. Maka : A2 x + B2
( ai x2 + bi x + ci )
+ ... + p−1
(
A p−1 x + Bp−1 2 ai x 2 + bi x + ci
)
+
A p x + Bp
( ai x2 + bi x + ci )
dengan A1, A2 , . .. , A p−1 , A pdan B1, B2 , ... , B p−1 , B p konstanta yang akan dicari. Contoh
∫
6 x 2 − 15x
+ 22
( x + 3) ( x 2 + 2)
6 x 2 − 15x + 22
( x + 3 )( x 2 + 2)
2
2
dx
≡
A
( x + 3)
+
(
B x+ C + 2 x + 2
) (
Dx + E 2 x 2 + 2
)
2
⇔ 6 x2 − 15 x + 22 ≡ A( x2 + 2) + ( Bx + C)( x + 3 )( x2 + 2) + ( Dx + E)( x + 3 ) diperoleh A = 1 , B = − 1 , C = 3, D = − 5 dan E = 0 x − 3 x 6 x 2 − 15x + 22 1 dx = ∫ dx − ∫ dx − 5 ∫ dx ∫ 2 2 2 ( x + 3) ( x + 2 ) ( x + 3)( x 2 + 2) ( x2 + 2) Integral Fungsi Rasional yang memuat sinus dan cosinus
Bila integran merupakan fungsi rasional yang memuat suku-suku dari sin dan cos maka akan lebih mudah bila dikerjakan menggunakan substitusi, yaitu u = tan ( x/2)
Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika Dasar
, - π < x < π . Integran ditransformasikan ke dalam fungsi rasional dari u dan ini dikerjakan sebagaimana metode pecahan parsial di atas. Keseluruhan dari bentuk yang akan disubstitusikan ke dalam integran dapat diperlihatkan seperti di bawah ini. Dari : u = tan ( x/2 ). Maka : 1 1 1 x = = cos = 2 x 2 2 x u + 1 sec 2 1 + tan 2
x x x = tan cos = 2 2 2
si n
Jadi : sin x x
2
=
2u 1+ u
2
& cos x
= tan−1 u ⇒
dx
=
=
u
1+ u
1− u
2
1+ u 2
2
1+ u
2
2
dan
du
Contoh dx
∫ 1 + sin x ∫ 1 + =
=
−2 + C x 1 + tan 2
1 2u 1+ u
2
2 du = 1 + u 2
∫
2
du ( 1 + u) 2
=
−2 + C 1+ u
Soal Latihan
( Nomor 1 sd 13 ) Selesaikan integral berikut : 2 dx 1. x 2 + 2 x
∫
2. 3.
4.
5.
6.
5 x + 3
∫ 2
dx
−9 x + 1 dx ∫ 2 ( x − 3) 5 x + 7 dx ∫ 2 x + 4 x + 4 x 2 + 19 x + 10 ∫ 4 3 dx 2 x + 5x 2 x 2 − 3 x − 36 dx ∫ 2 (2 x − 1)( x + 9 ) x
Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika Dasar
− 11 ( 3 x+ 2 )( x2 − 4 x+ 5 ) 20 x
7.
∫
8.
+ 5 x2 + 16 x dx ∫ 5 3 x + 8 x + 16 x
9.
∫ 2 + sin x dx
dx
3
10. 11.
2 x
1
∫ x+ sin
dx x+ cos x
cos x
∫ 2 − cos x dx dx
12.
∫ 4 sin x − 3 cos x
13.
∫ sin x + tan x
dx
Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
