23. Modul Matematika - Fungsi Invers Hiperbolik

Matemat Matemat ika Dasar  Dasar 

FUNGSI INVERS HIPERBOLIK HIPERBOLIK

Tidak semua fungsi hiperbolik pada domainnya merupakan fungsi satu-satu sehingga tidak mempunyai invers. Oleh karena itu, agar didapatkan fungsi invers hiperbolik maka kita batasi domain fungsinya. Sedangkan untuk mencari turunan dari fungsi invers hiperbolik dilakukan terlebih dahulu cara sebagai berikut. -1

Misal y = sinh u. Maka u = sinh y [ ∀ u, y ].  y

Jadi : u =

e

− e− y 2

⇔

e y− 2 u − e− y= 0 ⇔ e 2 y− 2 u e y− 1 = 0

⇔ e y = u ±

u2 + 1 = u +

 u+ ⇔ y= ln   

u2

u2 + 1

( sebab: ey > 0, ∀ y)

  + 1   

Turunan Fungsi invers Hiperbolik.

   

Misal y= sinh−1 u= ln u+

 y ' =

1 u+

u2 + 1

  1 +   

u u2

+1

  u2 + 1 . Maka :  

   u ' =    

u' u2

+1

Dari anti turunan fungsi invers sinus hiperbolik, didapatkan : du

∫  u2 + 1 = sinh−1 u + C  Dengan cara sama diperoleh turunan dan integral fungsi invers hiperbolik, sebagai berikut :

 1. y = cosh −1 u = l n    u+

  , { u≥ 1} u2 − 1   

Danang Mursita  Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung 

Matemat Matemat ika Dasar  Dasar 

u'

 y' =

u2

1

= tanh− 1 u =

2.  y

u'

 y' =

−1

1− u

 y

⇔ ∫ 

2

2

 y' =

1− u

u'

1 − u2

y = sec

4.  y' =

 1 + u    1 − u   , {| u|< 1}

ln

du

1

= coth−1 u =

3.

du

∫  u 2 − 1 = cosh−1 u + C 

⇔

2

= tanh− 1 u + C

2

 u + 1   u − 1  , {| u| > 1}

ln

du

∫ 1 − u 2 = coth−1 u + C , bila | u| > 1

⇔

    

u 1 − u2

⇔

  { }   , 0 < u ≤ 1  

1 − u2  

1+ h−1 u= ln 

− u'

, bila | u| < 1

u du

∫ 

u 1 − u2

= − sec h −1|u|+C 

 1 1 + u 2     , { u ≠ 0} − 1 y = csc h u = l n + u  

5.  y ' =

| u|

− u' ⇔ 2 1+ u

| u|

∫ u

du

1 + u2

   

= − csc h −1| u|+ C 

Soal Latihan

( Nomor 1 sd 12 ) Tentukan dy/dx dari : 1.  y

= cosh −1 (2 x + 1)

2.  y

coth−1 ( x )

=

3. y = csc h− 1 e2x

( )

4.  y

=

5.  y

 1   = sinh− 1      

6.  y

= cosh −1(cosh x)

7.  y

= ln( cosh −1 x )

8.  y

=

1 tanh−1 x

 x

coth− 1 x

Danang Mursita  Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung 

Matemat Matemat ika Dasar  Dasar 

9.  y

= sinh− 1(tanh x)

12. y = 1 + x csc h− 1 x

(

10. y = e x sec h−1 x 11.  y

 1 −  x   = tanh−1     1 +  x  

( Nomor Nomo r 13 sd 20 ) Hitung Hitung integr integral al berikut berikut : dx

13.

∫  1 + 9 x2

14.

∫   x2 − 2

15.

16.

17.

18.

dx

3

19.

1 / 2

20.

∫ 

1 / 4

dx

∫  1 − e2

∫  0

dx

∫  9 x2 − 25

∫  x

10

)

dx

1 + x6 dt  t 2

+1 dt 

t 1 − t 

x

sin   x dx

∫  1 + cos2  x

Danang Mursita  Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung