4. Integral Fungsi Kompleks
4. INTEGRAL FUNGSI KOMPLEKS Seperti halnya dalam dalam fungsi riil, riil, dalam fungsi kompleks kompleks juga dikenal istilah integral fungsi kompleks serta sifat-sifatnya. Sifat keanalitikan suatu fungsi dalam suatu lintasan tertutup penting dalam perhitungan integral. Setelah membaca Bab 4, mahasiswa diharapkan dapat :
Menghitung integral lintasan kompleks.
Menggunaka Menggunakan n teorema teorema auchy auchy !oursat !oursat dan rumus integral integral auchy dalam perhitungan integral
Menggunakan turunan fungsi analitik untuk menghitung integral
4.1 Fungsi Kompleks d!i "!i#el "!i#el Riil Misalkan F (t ) adalah adalah fungsi fungsi komple kompleks ks dari dari "ariab "ariabel el riil riil t , ditulis sebaga sebagaii F (t ) = u (t ) + i v(t ) denga dengan n u (t ) dan v(t ) adalah adalah fungsi fungsi riil. #ika u (t ) dan v (t ) kontinu pada inter"al tertutup a
∫
b
a
F (t ) dt =
Sifat-sifat
$.
∫
b
a
u (t ) dt + i
Re
b
∫ a
≤
t
≤
b,
v (t ) dt .
F (t ) dt = ∫ Re ( F (t ) ) dt ∫ b
b
a
a
38
maka
4. Integral Fungsi Kompleks
Im
b
∫ a
F (t ) dt =
b
∫ Im ( F (t ) ) dt ∫ k F (t ) dt = k ∫ F (t ) dt ∫ F (t ) dt = − ∫ F (t ) dt
%.
a
b
&.
b
a
a
b
4.
a
a
b
b
∫
'.
a
F (t ) dt =
b
∫ a
F (t )
dt
Pembuktian sifat-sifat integral di atas menggunakan sifat-sifat integral fungsi riil. Bukti sifat 3 :
∫
b
a
b
∫
k F (t ) dt =
k [ u (t ) + i v(t )] dt
a
b
= ∫a
k u (t ) dt
b
+ ∫ a
k i v (t ) dt
(sifat integral fungsi riil : b
∫ a
b
∫ f ( x)dx
k f ( x ) dx = k
a
b
= k ∫ a
b
∫ i v(t ) dt = k ∫ u (t ) dt + ∫ i v(t ) dt = k ∫ F (t ) dt (terbukti). □ u (t ) dt + k
a
b
b
a
a
b
a
Bukti sifat 4 :
∫
b
a
F (t ) dt =
∫
b
u (t ) dt + i
a
b
∫
v (t ) dt
a
(sifat integral fungsi riil : b
∫ a
a
= − ∫b
f ( x ) dx = −
u (t ) dt a
−i
a
∫ f ( x) dx ) b
a
∫ v(t ) dt b
a
∫ ∫ v(t ) dt = − ∫ [ u (t ) + i v(t )] dt = − ∫ F (t ) dt (terbukti). □ =−
b
u (t ) dt + i
b
a
b
a
b
4.$ Lin%sn Jika g dan h fungsi bernilai riil dan kontinu dari variabel
tertutup
a
≤
t
≤
b,
t dalam inter"al
maka himpunan titik-titik di bidang xy dapat
dinyatakan dalam bentuk parametrik x = g (t ) ,
y = h(t ) , a
≤
t
≤
b.
*leh
karena itu, himpunan titik-titik dalam bidang kompleks juga dapat dinyatakan dalam bentuk parametrik.
Denisi 4.1
Kurva di bidang datar merupakan kurva mulus (smooth curve) jhj kurva tersebut dapat dinyakan dengan dua fungsi bernilai riil x = g (t ) , y = h(t ), α ≤ t ≤ β dy dx = g ' (t ) dan = h' (t ) ada dan kontinu sedemikian sehingga dt dt
39
4. Integral Fungsi Kompleks
dalam interval α ≤ t ≤ β . Kurva
Contoh
dengan
x = 2 cos t , y = 2 sin t , 0 ≤ t ≤
1
bentuk 3π 2
parametrik
merupakan kurva mulus.
□
Jika C merupakan kurva mulus dengan bentuk parametrik : x = g (t ) , y = h(t ), α ≤ t ≤ β
maka •
titik pada C yang berpadanan dengan t = α disebut titik aal C .
•
titik pada C yang berpadanan dengan t = β disebut titik akhir C .
!elanjutnya" C disebut lintasan ( path) bila C terdiri dari berhingga banyak kurva mulus" C = C 1 + C 2 + + C n
dengan C 1 , C 2 , penting
dalam
, C n merupakan kurva mulus. Pengertian lintasan ini sangat
integral
fungsi
kompleks
karena
berperan
sebagai
selang
pengintegralan dalam integral fungsi riil dari satu variabel. Catatan : #.
C disebut lintasan tertutup jika titik akhir C berhimpit dengan titik aal C .
$.
C disebut lintasan terbuka jika titik akhir C tidak berhimpit dengan titik aal C .
%.
C disebut lintasan sederhana jika lintasan tidak memotong dirinya sendiri.
&.
Contoh 2
C disebut lintasan berganda jika lintasan memotong dirinya sendiri.
C 2
C 1
C 2
C 1
C 3
a. 'intasan tertutup
b. 'intasan terbuka
40
C 3
4. Integral Fungsi Kompleks
. 'intasan sederhana
Teorema 4.1 (
Kurva
Jordan )
d. 'intasan berganda
Jika C lintasan tertutup sederhana di bidang datar" maka bidang datar itu dibagi oleh C menjadi % bagian" yaitu #. kurva C . $. bagian dalam C " ditulis Int (C ) " yang merupakan himpunan terbuka dan terbatas. %. bagian luar C " ditulis Ext (C ) " yang merupakan himpunan terbuka dan tidak terbatas. Kurva C merupakan batas dari himpunan Int (C ) dan Ext (C ) . +
4.& In%eg!l G!is isalkan a
≤
t
≤
kurva
mulus
C
disajikan dengan
b . g (t ) dan h (t ) kontinu di a
≤
≤
t
x = g (t ) ,
y = h(t ) ,
b . g ' (t ) dan h' (t ) kontinu
di a ≤ t ≤ b . ur"a C mempunyai arah dari titik aal A ( g (a ), h(a)) ke titik akhir B ( g (b), h (b)) dan P ( x, y ) suatu fungsi yang terdefinisi di C .
Teorema 4.2
#ika P ( x, y ) kontinu di C " maka
$.
∫
C
∫
C
P ( x, y ) dx dan
P ( x, y ) dy ada dan
∫
C
P ( x, y ) dx
b
∫ P [ g (t ), h(t ) ] g ' (t ) dt
=
a
∫
P ( x, y ) dy =
B
P ( x, y ) dx = −
C
b
∫
P [ g (t ), h(t ) ] h' (t ) dt
a
A
%.
∫
&.
#ika P ( x, y ) dan Q( x, y ) kontinu di C " maka
∫
C
A
P ( x , y ) dx
+ ∫C
∫
B
P ( x, y ) dx
Q ( x , y ) dx
=
∫
C
{ P ( x , y ) dx + Q ( x, y ) dx}
. +
Teorema 4.3
#ika P ( x, y ) dan Q( x, y ) serta turunan parsial tingkat pertama kontinu pada seluruh daerah tertutup R yang dibatasi lintasan tertutup C , maka ∂Q ∂ P { P dx + Q dy} = ∂ x − ∂ y dx dy . + C R
∫
∫∫
Contoh 3 *entukan integral garis fungsi M ( x, y ) = x + y sepanjang lintasan C + K dengan C : garis dari (+"+) ke ($"+) dan K : garis dari ($"+) ke ($"$).
41
4. Integral Fungsi Kompleks
Penyelesaian :
C : y = 0 , 0 ≤ x ≤ 2
($"$)
K : x = 2 , 0 ≤ y ≤ 2
K dx = 0 . C (+"+)
∫
C + K
Pada kurva C : dy = 0 dan pada kurva K : ($"+)
∫ = ∫
M ( x, y ) dx =
C
C
2
∫
=
0
M ( x, y ) dx +
C + K
□ C
K
=
2
∫
0
M ( x, y ) dx
x dx
∫ = ∫
M ( x, y ) dy =
K
( x + y ) dx
, $.
∫
∫
M ( x, y ) dy +
∫
K
M ( x, y ) dy
( x + y ) dy
( 2 + y ) dx
, .
□
4.4 In%eg!l Lin%sn Kompleks iberikan lintasan C dalam bentuk parametrik x = g (t ) , y = h(t ) dengan a
≤
t
≤
b.
g (t ) dan
h (t ) kontinu di a
≤
≤
t
b.
kontinu di a ≤ t ≤ b . #ika z = x + i y , maka titik-titik
pada kur"a C
( g ( a ), h ( a )) ke
g ' (t ) dan
z terletak
( g (b), h(b)) atau dari
z
=
α
h ' (t )
C . /rah
sampai z = β
dengan α = ( g ( a ), h (a )) dan β = ( g (b), h(b)) .
Denisi 4.2
iberikan fungsi f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x, y ) dengan u dan v fungsi dari t yang kontinu sepotong-potong pada a ≤ t ≤ b . ntegral fungsi f ( z ) sepanjang lintasan C dengan arah dari α sampai z = β adalah z =
∫
β
α
Sifat-sifat
f ( z ) dz =
b
∫ f [ g (t ) + i h(t )] { g ' (t ) + i h' (t )} dt a
β
∫ ∫
#.
α
$.
C
f ( z ) dz =
k f ( z ) dz = k
%.
∫
C
[ f ( z ) + g ( z )]
dz =
∫
C
Contoh 4
42
f ( z ) dz +
α
− ∫ β f ( z ) dz
∫
C
g ( z ) dz
∫
C
f ( z ) dz
4. Integral Fungsi Kompleks
0itung
∫
γ
2
z e z dz jika
γ : garis lurus dari z 0 = 1 ke z 1 = 2 + i .
Penyelesaian : z 0 = 1
z 1 = 2 + i
(+"#) ($"#) γ Persamaan garis : y = 1 dan mempunyai bentuk parametrik : x = g (t ) = t
" t ∈ [ 0 , 2 ]
y = h(t ) = 1
( &.# )
ari (&.#) diperoleh :
z = g (t ) + i h(t ) = t + i
dz = { g ' (t ) + i h' (t )} dt = 1. dt f [ g (t ) + i h(t )] = f (t + i) = (t + i ) e
2
Karena f ( z ) = z e z maka
( t + i )
2
.
!ehingga"
∫
γ
2
2
∫ (t + i) e = ∫ (t + i ) e
z e z dz =
( t + i ) 2
0
2
( t + i ) 2
0
=
1
[e
2
3+ 4 i
1 dt
dt (gunakan subtitusi : u
− e −1 ] .
= (t + i ) )
□
4.' Pengin%eg!ln (u)*+
Teorema 4.4 ( Teorema Cauch)
#ika f ( z ) analitik dan f ' ( z ) kontinu di dalam dan pada lintasan tertutup sederhana C , maka
∫
C
f ( z ) dz = 0 .
+
C f ( z ) analitik dan f ' ( z ) kontinu
Contoh 4 isalkan diberikan C sebarang lintasan tertutup dalam bidang kompleks.
∫
2 #. f ( z ) = z
C
∫
$. f ( z ) = 1
Teorema 4.! ( Teorema Cauch"oursat)
C
z 2 dz = 0 .
□
dz = 0 .
□
#ika f ( z ) analitik di dalam dan pada lintasan tertutup sederhana C , maka
∫
C
f ( z ) dz = 0 .
+
C f ( z ) analitik
Contoh ! iketahui
C : z = 1 .
/itunglah
∫
C
f ( z ) dz jika f ( z )
0enyelesaian :
43
=
1 z − 3
.
4. Integral Fungsi Kompleks
f ' ( z ) = −
1 ( z − 3) 2
, f ( z ) tidak analitik di z = 3 dan z = 3 terletak di luar
*leh karena itu, f ( z ) analitik di dalam dan pada lintasan C , 1 dz = 0 . sehingga C □ ( z − 3) C .
∫
Teorema 4.# ($entu% &ain Teorema Cauch "oursat )
#ika fungsi f ( z ) analitik di seluruh domain terhubung sederhana D , maka untuk setiap lintasan tertutup C
Teorema 4.' (Teorema Cauch "oursat an dier&uas)
iberikan C 1 , C 2 ,
di dalam D , berlaku
∫
C
f ( z ) dz = 0 .
+
suatu lintasan tertutup sedangkan C , , C n adalah lintasan-lintasan tertutup yang , C n terletak di interior C sedemikian sehingga C 1 , C 2 , tidak saling berpotongan. #ika fungsi f ( z ) analitik di dalam daerah tertutup yang terdiri dari titik-titik pada C dan titik, C n titik di dalam C , kecuali titik-titik interior C 1 , C 2 , , maka
∫
C
f ( z ) dz =
∫
C1
f ( z ) dz +
∫
C2
f ( z ) dz +
+ ∫ f ( z ) dz . + C n
C f ( z ) tidak analitik
C 1
f ( z ) analitik
Contoh # /itung
∫
C
dz , jika ( z − 3)
C : z − 2 = 2 .
Pen+elesin , f ( z ) =
1
tidak analitik di z = 3 yang berada di dalam interior C . z − 3 ibuat lintasan tertutup C 1 di dalam C berpusat di z = 3 yaitu 1 i t 1 1 C 1 : z − 3 = . iperoleh z = 3 + e i t , 0 ≤ t ≤ 2π dan dz = e dt . 2 2 2 Menurut 1eorema auchy !oursat yang diperluas, dz dz
∫
C
( z − 3)
=
= ∫ C
1
2π
∫
1 2
i e i t dt 1 2
0
=i
( z − 3)
2 π
∫
0
= 2π i .
e i t
dt
□
44
4. Integral Fungsi Kompleks
4.- In%eg!l Tk Ten%u dn In%eg!l Ten%u #ika fungsi f analitik di dalam domain terhubung sederhana D , maka F ( z ) =
z
∫
z 0
f (ξ ) d ξ mempunyai turunan untuk setiap titik
F ' ( z ) = f ( z ) , asalkan lintasan pengintegralan dari z 0 ke
z di dalam D dengan
z seluruhnya terletak di
dalam D . #adi F ( z ) juga analitik di dalam D .
Teorema 4.*
Jika
α
dan β di dalam D , maka β
∫ f ( z ) dz = F (β ) − F (α ) . α
+
D f ( z ) analitik
α
β
Contoh ' 1 2+i z dz = z 2 = 2 + 2i . i i 2 f ( z ) z = (Karena merupakan fungsi utuh" maka dapat dibuat sebarang domain terhubung sederhana D yang memuat lintasan pengintegralan dari z = i ke z = 2 + i ). □ 2 +i
∫
4. Rumus In%eg!l (u)*+
Teorema 4.+ (,umus ntera& Cauch )
#ika f ( z ) analitik di dalam dan pada lintasan tertutup C dan z 0 sebarang titik di dalam C , maka 1 f ( z ) f ( z 0 ) = dz 2π i C z − z 0
∫
atau f ( z )
∫
z − z 0
C
dz = 2π i . f ( z 0 ) .
C f ( z ) analitik
z 0
Turunan unsi /na&iti%
f ' ( z 0 ) =
∫
C
1 2π i
f ( z ) ( z − z 0 ) 2
∫
C
f ( z ) ( z − z 0 ) 2
dz ⇒
dz = 2π i . f ' ( z 0 )
45
+
4. Integral Fungsi Kompleks
f ' ' ( z 0 ) =
2! 2π i
f ( z )
∫
C
∫
C
f ( z ) ( z − z 0 )
dz =
( z − z 0 ) 3
2π i 2!
3
dz ⇒
. f ' ' ( z 0 )
f n ( z 0 ) =
∫
C
n! 2π i
∫
f ( z ) ( z − z 0 )
n +1
C
f ( z ) ( z − z 0 ) n+1
dz =
2π i n!
dz ⇒
. f n ( z 0 )
Contoh * dz
∫
dengan C : z − 2 = 2 . z − 3 Penyelesaian : iambil : f ( z ) = 1 ( f ( z ) analitik di dalam dan pada C ) z 0 = 3 di dalam C . f ( z 0 ) = f (3) = 1
#. 0itung
C
enggunakan rumus integral 1auhy" diperoleh dz = 2 π i . f ( z 0 ) = 2 π i .1 = 2 π i . □ C z − 3
∫
$. 0itung
∫
dz
z ( z − 2) 2 Penyelesaian : C
3
iambil : f ( z ) =
1
z 3
dengan
C : z − 3 = 2 .
( f ( z ) analitik di dalam dan pada C )
z 0 = 2 di dalam C .
f ' ( z ) = −
3
f ' ( z 0 ) = f ' ( 2) = −
3
. 16 z enggunakan turunan fungsi analitik" diperoleh 2 π i 2 π i dz 3 3 = . f ( z 0 ) = .(− ) = − π i . □ 3 2 C z ( z − 2) 1! 1 16 8 4
⇒
∫
4./ Teo!em Mo!e! dn Teo!em Lion0ille
Teorema 4.10 (Teorema orera) Teorema 4.11 (Teorema ionvi&&e)
#ika f ( z ) kontinu dalam domain terhubung D dan untuk setiap lintasan tertutup C dalam D berlaku f ( z ) dz = 0 , maka f ( z ) analitik di seluruh D . + C
∫
Jika f ( z ) analitik dan f ( z ) terbatas di seluruh bidang kompleks" maka f ( z ) adalah suatu fungsi konstan. +
46
4. Integral Fungsi Kompleks
4. Teo!em Modulus Mksimum Jika f ( z ) analitik dan M nilai maksimum dari f ( z ) untuk z di dalam daerah D = { z : z − z 0 ≤ r } " dan jika f ( z 0 ) = M " maka f ( z ) konstan di seluruh daerah D . /kibatnya" jika f ( z ) analitik dan tidak konstan pada D " maka f ( z 0 ) < M .
rinsi odu&us a%simum Teorema 4.12 (Teorema odu&us a%simum) Teorema 4.13 (Keta%samaa n Cauch)
#ika fungsi tak konstan f ( z ) analitik di z 0 , maka di setiap kitar dari z 0 , terdapat titik z dan f ( z 0 ) < f ( z ) . #ika f ( z ) analitik di dalam dan pada lintasan tertutup sederhana C " dan f ( z ) tidak konstan" maka f ( z ) menapai nilai maksimum di suatu titik pada C " yaitu pada perbatasan daerah itu dan tidak di titik interior. +
#ika f ( z ) analitik di dalam dan pada lintasan tertutup sederhana C : z − z 0 = r " dan f ( z ) terbatas pada C " f ( z ) ≤ M , ∀ z ∈ C maka n ! M f n ( z 0 ) ≤ , n = 0 ,1, 2 , + r n
.
,in%asan !ifat keanalitikan fungsi kompleks di dalam dan pada suatu lintasan tertutup merupakan hal yang harus diperhatikan dalam perhitungan integral fungsi kompleks.
47
4. Integral Fungsi Kompleks
Sol2sol #. 0itung
∫
$. 0itung
∫
z e
γ
z 2
γ : kurva y = x 2 dari z 0 = 0 ke z 1 = 1 + i .
dz jika
f ( z ) dz jika f ( z )
C
= z 3 dengan C : setengan lingkaran
z = 2
dari z = −2i ke z = 2i . %. 0itung integral fungsi f ( z ) sepanjang lintasan tertutup C berikut : z e z
a. f ( z ) =
C : z = 1
"
( 4 z + π i ) 2 e 2 z
b. f ( z ) =
" C : ellips x 2 + 4 y 2 = 4
( z − 1) ( z + 4) 2
2
Ln ( z + 3) + cos z
. f ( z ) =
( z + 1)
2
(counterclockwise ).
(counterclockwise ).
" C : segiempat dengan titik-titik sudut z = ±2
dan z = ±2 i (counterclockwise ). d. f ( z ) = z
=
2 z 3 − 3
"
z ( z − 1 − i) 2
1
e. f ( z ) =
C : terdiri dari z = 2 (counterclockwise ) dan
(clockwiswe). (1 + z ) sin z (2 z − 1) 2
"
C : z − i
= 2 (counterclockwise ).
2
f. f ( z ) =
e z
z ( z − 2i )
2
" C : segiempat dengan titik-titik sudut z = ±3 ± 3 i
(counterclockwise ) dan g. f ( z ) =
3 z + sin z
( z − i )
3
z
=
1
(clockwiswe).
" C : segitiga dengan titik-titik sudut z = ±2 , z = 2 i
(counterclockwise).
48
