Makal
h matemati
“IIntegral nt eg ra l”
Di Susun Oleh: BAGU
GELIS PRATAMA PUTRA XII IPA 4 / 07
S
AN 3 SIDOARJO
JL. DR. WAHIDIN WAHIDIN NO. 130 SIDOARJO www.sman3sda.sch.id
a
KATA PENGANTAR
Puji syukur atas kehadirat Tuhan YME yang telah melimpahkan rahmat dan hidayahnya, sehingga penulis dapat menyelesaikan makalah Matematika tentang integral ini. Makalah ini disusun agar pembaca dapat memperluas ilmu matematika khusunya tentang integral, yang kami sajikan berdasarkan pengamatan dari berbagai macam sumber. Makalah ini disusun oleh penyusun dengan berbagai rintangan. Baik itu yang datang dari diri penyusun maupun yang datang dari luar. Namun dengan penuh kesabaran dan terutama pertolongan dari Tuhan YME akhirnya makalah ini dapat terselesaikan. Tak lupa kami ucapkan terima kasih yang sedalam-dalamnya kepada Bapak Wahyudi selaku Guru Matematika SMAN 3 Sidoarjo yang telah meluangkan waktu baik diwaktu jam pelajaran maupun diluar jam pelajaran untuk membimbing kami dalam menyelesaikan tugas ini. Semoga makalah ini dapat memberikan wawasan yang lebih luas kepada para pembaca. Makalah yang penulis buat ini masih sangat jauh dari kategori sempurna. Penulis menerima berbagai saran dan kritikan yang membangun demi kesempurnaan makalah ini.
Sidoarjo,November Sidoarjo,November 2010 Penulis
2
INTEGRAL | Matematika
DAFTAR ISI
INTEGRAL
KATA PENGANTAR ................................................................................................................... 2 DAFTAR DAFTAR ISI .............................. .............................................. .............................. .............................. ................................ ............................... ............................... .................... .... 3 BAB I PENDAHULUAN .................... ......... .................... .................. .................... ..................... ................... ................... .................... ................... .................... ............. 4 A.
LATAR BELAKANG ......................................................................................................... 4
B.
TUJUAN TUJUAN .............................. ............................................ ............................... ................................. ................................ .............................. ............................. ............... 4
BAB II MATERI POKOK ................... ........ .................... .................. .................... ..................... ................... ................... .................... ................... .................... ............. 5 A.
PENGERTIAN INTEGRAL ............................................................................................... 5
B.
INTEGRAL TAK TENTU .................................................................................................. 6 1.
Penyelesaian cara biasa .............................................................................................. 7
2.
Penyelesaian cara subtitusi .......................................................................................... 8
3.
Integral Parsial ............................................................................................................. 8
C.
Integral Tertentu ........................................................................................................... 9
D.
Integral Luas Daerah .................................................................................................. 11
1.
Menentukan Luas Daerah di Atas Sumbu-x ............................................................... 11
2.
Menentukan Luas Daerah di Bawah Sumbu-x............................................................ 12
3.
Menentukan Luas Daerah Yang Di Batasi Kurva Y=F(X) Dan Sumbu X ..................... ..................... 14
4.
Luas Daerah yang yang Terletak Diantara 2 Kurva.................... ......... .................... .................. .................... .................... ............ ... 15
E.
Menentuka Volume Benda Putar ................................................................................... 17 1.
Menentukan Volume Benda Putar yang Diputar Mengelilingi sumbu X ................... .......... ............ ... 17
2.
Menentukan Volume Benda Putar yang diputar Mengelilingi Sumbu y .................... ........... ............ ... 18
3.
Volume Benda Putar antara Dua Kurva...................................................................... 20
BAB III PARADE LATIHAN SOAL ............................................................................................ 22 A.
Parade Parade Soal............................... ............................................. .............................. ................................ .............................. .............................. ........................ ........ 22
B.
Kunci jawaban ............................................................................................................... 27
BAB IV PENUTUP PENUTUP.......................... ........................................ ............................... ................................. ................................ .............................. ........................... ............. 28 A.
Rangkuma Rang kuman n ............................... ............................................. .............................. ................................ .............................. .............................. ........................ ........ 28
B.
Rekomenda Rekomendasi si.............................. .............................................. ................................ ............................... ............................... ................................ .................... .... 31
3
INTEGRAL | Matematika
BAB I PENDAHULUAN A. LATAR BELAKANG Matematika merupakan ilmu pengetahuan yang memiliki sifat universal, dimana matematika ini memiliki peran penting di semua bidang ilmu pengetahuan. Melalui perkembangan penalaran dan abstraksi, matematika berkembang dari pencacahan, perhitungan, pengukuran dan pengkajian sistematis terhadap bangun dan pergerakan benda-benda fisika. Matematika secara praktis mendaji salah satu kegiatan manusia sejak adanya rekaman tertulis. Kini, matematika digunakan di seluruh dunia sebagai alat penting di berbagai bidang, termasuk ilmu alam, teknik, kedokteran/medis, dan ilmu sosial seperti ekonomi, dan psikologi. Matematika terapan, cabang matematika yang melingkupi penerapan pengetahuan matematika ke bidang-bidang lain, mengilhami dan membuat penggunaan temuan-temuan matematika baru, dan kadang-kadang mengarah pada pengembangan disiplindisiplin ilmu yang sepenuhnya baru, seperti statistika dan teori permainan. Para matematikawan juga bergulat di dalam matematika murni, atau matematika untuk perkembangan perkembangan matematika itu sendiri, tanpa adanya penerapan di dalam pikiran, meskipun penerapan praktis yang menjadi latar munculnya matematika murni ternyata seringkali ditemukan terkemudian. Salah satu cabang dari Ilmu Matematika yang patut di pelajari adalah Integral. Integral adalah lawan dari proses diferensial. Integral terbagi atas beberapa jenis yaitu integral tertentu dan integral tak tentu. Perbedaan antara integral tertentu dan integral tak tentu yaitu jika integral tertentu memiliki batasan-batasan ,integral tak tentu tidak memiliki batasan –batasan. Penguasaan mata pelajaran Matematika khususnya mengenai integral bagi peserta didik juga berfungsi membentuk kompetensi program keahlian. Dengan mengajarkan Matematika khususnya dalam hal integral diharapkan peserta didik dapat menerapkan m enerapkannya nya dalam kehidupan sehari-hari dan mengembangkan diri di bidang keahlian dan pendidikan pada tingkat yang lebih tinggi.
B. TUJUAN Adapun beberapa tujuan dari dibuatnya makalah Matetatika Bab Integral ini pada peserta didik adalah sebagi berikut : 1. Agar Peserta didik dapat memahami konsep konsep intrgral tak trentu dan integral tentu. tentu. 2. Agar peserta didik dapat dapat menghitung Integral tak tentu tentu dan integral integral tentu dari fingsi aljabar dan fungsi trigonometri yang sederhana. 3. Agar peserta didik didik dapat menggunakan menggunak an Integral untuk menghitung luas daerah di bawah kurva dan volume benda putar. 4. Membantu peserta peserta didik dalam memahami memahami dan menguasai menguasai materi Integral. Integral. 5. Sebagai sumber informasi informasi tentang integral bagi bagi para pembacanya, pembacanya,
INTEGRAL | Matematika
4
B B II MATERI POKOK Mind Map
Integral
Pengertian
Cara integral
parsial
subtitusi
aplikasi
v lume
biasa luas
panjang busur
A. PENGERTIAN INTE RAL
Integral dapat di artikan s bagai kebalikan k ebalikan dari proses diferensiasi. Int egral ditemukan menyusul ditemukannya masal h dalam diferensiasi di mana matematikawa n harus berpikir bagaimana menyelesaikan mas alah yang berkebalikan dengan solusi difere siasi. Lambang integral adalah
‘∫’.
Agar lebih dapat di mengerti m engerti perhatikan pernyataan berikut : 2 F1(x) = x + 5x – 6 maka F1’(x) = 2x + 5 2 F2(x) = x + 5x + 12 maka F2’(x) = 2x + 5 F3(x) = x2 + 5x +
maka F3’(x) = 2x + 5
Pada fungsi-fungsi yang berbeda konstanta di peroleh bentuk turunan / derivatif yang sama. Operasi dari F(x) menja i F’(x) merupakan operasi turunan. Sedangk n untuk operasi sebaliknya dari F’(x) menjadi F(x ) disebuit dengan INTEGRAL (anti turunan) Tu unan
Y
Turunan
Y’ Int gral
Y” Integral
5
INTEGRAL Matematika
B. INTEGRAL TAK TENTU Integral tak tentu t entu atau antiderivatif antiderivatif adalah suatu bentuk operasi pengintegralan pengintegralan suatu fungsi f ungsi yang menghasilkan suatu fungsi baru. fungsi ini belum memiliki nilai pasti (berupa variabel), atau batas atas dan batas bawah sehingga cara pengintegralan yang menghasilkan fungsi tak tentu ini disebut integral tak tentu. Adapun beberapa aturan yang dapat digunakan dalam penyelesaian integral :
• • • •
= () () = () () = =
Integral Tak Tentu dari Fungsi Trigonometri Untuk merancang aturan integral tak tentu dari fungsi-fungsi trigonometri, perlu diingat kembali turunan fungsi-fungsi fungsi-fungsi trigonometri sebagaimana sebagaimana diperlihatkan diperlihatkan dalam tabel berikut
No
F(x)
F’(x) = f(x)
1
Sin x
Cos x
2
Cos x
-Sin x
3
Tan x
Sec2x
4
Cot x
-Cosec2x
5
Sec x
Tan x.Secx
6
Cosec x
-Cot x.Cosec x
Dengan menggunakan aturan integral tak tentu yang mempunyai sifat bahwa: F’(x) = f(x) dan turunan fungsi-fungsi trigonometri dalam table di atas, maka integral tak tentu dari fungsi-fungsi trigonometri trigonometri dapat dapat dirumuskan sebagai sebagai berikut :
= = = = = = +c =
6
INTEGRAL | Matematika
Sedangkan aturan integral tak tentu dari fungsi-fungsi trigonometri dalam variabel sudut ax+b dapat dirumuskan sebagai berikut :
= ( ) ( ) ) = = ( ) ( ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ( ) ) ( ) = = ( )
Dalam penyelesaiannya penyelesaiannya integral tak tentu memiliki 3 cara penyelesaian :
1. Penyelesaian Penyelesaia n cara biasa Secara umum:
= atau dy=y’dx maka = = Jadi dapat disimpulkan : = 1 1
jika
′
Dengan
x≠-1
Untuk mencari integral dari fungsi trigonometri perlu diingat kembali tentang turunan fungsi trigonometri, maka :
= = = =
Contoh soal : 1. 2.
= = = 11 3 = 3 3 ) = (3 1) = ( )
7
INTEGRAL | Matematika
2. Penyelesaian cara subtitusi Integral subtitusi pada prinsipnya sama dengan integral pemisalan. Prinsip integral Subtitusi ada 2 yaitu salah satu bagian dimisalkan dengan u ,sisanya ,sisanya yang lain (termasuk dx) harus diubah dalam du.
().). ( () Misal = () dan = () didapat
Bentuk umumnya:
()
Contoh:
( ) = ( Misal : = dan = Di dapat : ( ) = () = = ( ) = Misal : = dan = Di dapat : = = = ( )
1.
2.
3. Integral Parsial Integral parsial atau pengintegralan sebagian berdasar pada turunan suatu fungsi hasil kali. Disebut Integral Parsial, karena sebagian bentuk dilakukan operasi turunan sebagian operasi Integral.
Bentuk rumus :
=
Bagian u dikerjakan operasi turunan dan bagian dy dikerjakan operasi integral, dengan bentuk lebih sederhana dari bentuk .
8
INTEGRAL | Matematika
Contoh : 1.
3 = u = 3x dan du = 3 dx 3 sin dv = cos 2x dan v = = = (3 ) (3 ) = =
2. ∫ (3 x + 1)cos 2 x dx = ...
Diferensial
Integral
3x + 1
Cos 2x
sin 2x Cos 2x
3 0
1 3 ∫ (3 x + 1)cos 2 x dx = / 2(3x +1)sin 2x - (- / 4 cos 2x) + C =
1
/ 2(3x +1)sin 2x + 3 / 4 cos 2x) + C
C. Integral Tertentu Pengertian atau konsep integral tentu pertama kali dikenalkan oleh Newton dan Leibniz. Namun pengertian secara lebih modern dikenalkan oleh Riemann. Integral tentu adalah proses pengintegralan yang digunakan pada aplikasi integral. Pada beberapa aplikasi integral dikenal istilah batas bawah dan batas atas sebuah integral, batas inilah yang kemudian menjadi ciri khas sebuah integral dinamakan sebagai integral tertentu. Sebab berbeda dengan integral integral tak tentu yang tidak memiliki batas, maka pada integral tertentu ada sebuah nilai yang harus disubtitusi yang menyebabkan tidak adanya lagi nilai C (konstanta ) pada setiap hasil integral dan menghasilkan nilai tertentu.
Secara umum integral tentu dari sebuah fungsi dengan batas tertentu dapat dirumuskan sebagai berikut : b
Jika f kontinu pada [a,b], maka
b f ( x)dx = [ F ( x )] = F (b) − F (a) dengan F antiturunan a a
∫
sebarang dari f, yakni suatu fungsi sedemikian sehingga F’=f.
INTEGRAL | Matematika
9
Suatu fungsi f yang kontinu terdefinisi untuk Interval [a,b] kita bagi menjadi n bagian yang sama dengan lebar. Jika di dalam subinterval ke-I [xi-1, xi] dan ada, maka limit itu dapat dinyatakan dengan b
n
∫ f ( x)dx = lim ∑ f (ε )∆x n →∞
a
i
i =1
yang didefinisikan sebagai integral tertentu f dari a sampai b
SIFAT : b
b
b
a
a
∫ ( f ( x) ± g ( x))dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx a b
b
a
a
∫ f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx b
∫ f ( x)dx = 0 a b
b
∫
∫
kf ( x )dx = k f ( x )dx
a
a
b
c
b
a
a
c
∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx, a < c < b
Jika f(x) ≥ 0 dalam interval a ≤ x ≤ b, maka ≥ 0 Jika f(x) ≤ 0 dalam interval a ≤ x ≤ 0, maka ≤ 0
Contoh : 1.
= = 1 = 1
. ( 3) = =x–3x) = { ()–3()}–{(1)–3(1)} –3(1)} = {8-} – {-3} = 1 = 3
10
INTEGRAL | Matematika
D. Integral Luas Daerah
Misalkan L menyatakan himpunan semua bilangan L yang dapat diperoleh sebagai jumlah luas daerah persegi-panjang kecil sebagaimana dalam Gambar 12.2. Maka ‘luas daerah’ di bawah kurva y = f (x) mestilah lebih besar daripada setiap anggota L. Tampaknya masuk akal untuk mendefinisikan ‘luas daerah’ di bawah bawah kurva y = f (x) sebagai bilangan terkecil yang lebih besar daripada setiap anggota L, yakni sup L.
1. Menentukan Luas Daerah di Atas Sumbu-x
Misalkan R adalah daerah yang di batasi oleh kurva y=f(x) , garis x=a, dan raris x=b , dengan F(x)
≥
0 pada [a,b] maka luas daerah R adalah sebagai berikut.
11
INTEGRAL Matematika
Contoh : 1. Hitunglah luas yang yang dibatasi dibatasi oleh oleh kurva y=x , sumbu X, garis x=1 dan garis x= ! Jawab :
jadi, luasny adalah
satuan luas
2. Tentukanlah Tentukan lah luas daerah yang dibatasi kurva y=x+4, sumbu x, dan sumbu sumbu y Jawab:
= -{8-16} = 8 SL
2. Menentukan Luas Daerah di Bawah Sumbu-x
Misalnya S adalah daerah yg dibatasi oleh kurva y=f(x) , sumbu x, garis x= , dan garis x=b, dengan F(x)≤ pada [a,b] maka luas daerah S seperti yg telah di bahas pada subbab sebelumnya adalah sebagai berikut
12
INTEGRAL Matematika
Contoh : 1. Tentukanlah luas daerah yang dibatasi oleh garis
, sumbu x, garis x=4, dan
sumbu y. Jawab:
Daerah diatas adalah daerah S, luas daerah S adalah
(2-8)
2. Hitunglah luas daerah di bawah sumbu X yang dibatasi oleh kurva y=-x kurva y=-x , sumbu X dan dan garis x= . Jawab:
13
INTEGRAL Matematika
3. Menentukan Luas Daerah Yang Di Batasi Kurva Y=F(X) Dan Sumbu X X X
Misalkan T adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu x, garis x=a, dan garis x=c, dengan f(x)>= 0 pada [a,b] [ a,b] dan f(x)<=0 pada [b,c], maka luas daerah T adalah sebagai berikut:
Contoh : 1. Tentukan luas luas daerah yang dibatasi dibatasi oleh kurva y=f(x)= - sin x, 0≤x≤2 dan dan sum sumbu bu x. Jawab: luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=f(x)= - sin x, 0≤x≤2 dan dan sumb sumbu u x ada adala lah h: = = = =
=
14
INTEGRAL Matematika
2. Hitunglah luas daerah daerah yang yang dibatasi dibatasi oleh kurva y=4x-x y=4x-x 2, sumbu X, garis x=0, dan garis x=6! Jawab: L1= L2= Jadi, luas total adalah:
4. Luas Daerah yang Terletak Diantara 2 Kurva
Luas Daerah U pada gambar gambar diatas adalah
L(U) = Luas ABEF – Luas ABCD
ABEF adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y1 = f(x), x=a, x=b, dan y=0 sehingga
Adapun ABCD adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y2 = g(x), x=a, x=b, dan y=0 sehingga
Dengan demikian, luas daerah U adalah :
15
INTEGRAL Matematika
Contoh: 1. Tentukan Luas daerah daerah yang yang dibatasi oleh kurva kurva Jawab: Sebelum mencari luasnya, kita tentukan t entukan terlebih dahuli titik poting kedua kurva tersebut, sehingga diperoleh batas atas dan batas bawhnya:
Sehingga batas-batasbnya adalah
, maka luasnya adalah:
= 2. Tentukan Luas daerah yang diarsir !
Jawab:
Cari titik potong persamaan y = 3x dan y= x
2
- 2x
Sebelum mencari luasnya, kita tentukan terlebih t erlebih dahuli titik poting kedua kurva tersebut, sehingga diperoleh batas atas dan batas bawhnya: 3x = x 2 - 2x x 2 - 5x = 0 x(x - 5) = 0 didapat titik potong di x = 5 dan x = 0, sehingga luasnya adalah
16
INTEGRAL Matematika
E. Menentukan Volume Benda Putar Secara umum, volume dinyatakan sebagai luas alas dikali tinggi. Secara matematis, ditulis : V A . h =
Dengan demikian volumrnya dapat dinyatakan sebagai berikut:
A(x) adalah luas alas benda putar, oleh karena alas benda putar ini berupa lingkaran, maka jari-jari yang dimaksud merupakan sebuah fungsi dalam misalnya f(x). Dengan demikian volume benda putar dapat dinyatakan sebagai :
1. Menentukan Volume Benda Benda Putar yang Diputar Diputar Mengelilingi Mengelilingi sumbu X Misalkan R adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu x, garis x=a, dan garis x=b, dengan a
Contoh: 1. Tentukan volum benda putar jika daerah yang dibatasi oleh kurva
Jawab:
17
INTEGRAL Matematika
e
2. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y=x 2 dan y= x2 dan y=x+6. Diputar mengelilingi sumbu x sebesar s ebesar 360° Jawab :
2. Menentukan Volume Benda Benda Putar yang diputar diputar Mengelilingi Sumbu y
Kita tidak hanya dapat menentukan volume benda putar dengan sebuah bidang yang mengelilingi sumbu X saja, namun dapat pula menentukan volume benda putar sebuah bidang yang diputar mengelilingi sumbu Y . Untuk Itu perhatikan daerah yang dibatasi kurva x=f(y), x=f(y), sumbu y, garis x=a, dan garis x=b yang diputar dengan dengan sumbu Y o sebesar 360 . Dengan cara yang sama dengan penentuan volume benda putar yang diputar mengelilngi sumbu X , maka volume benda putaryang diperoleh adalah :
18
INTEGRAL Matematika
Contoh: 1. Tentu Tentuka kan n volu volume me bend benda a puta putarr jika jika daer daerah ah yang yang diba dibata tasi si oleh oleh kurv kurva ay
, sumb sumbu u y,
garis x=2, dan y=-1 diputar 360 o terhadap sumbu x! Jawab :
2. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva
,
sumbu Y, garis y=0, dan y=2 diputar mengelilingi sumbu Y sebesar 360 o. Jawab :
V= = = = Jadi, Jadi, volumeny volumenya a ada adalah lah 4 satuan satuan volume. volume.
19
INTEGRAL Matematika
3. Volume Benda Putar antara Dua Kurva Kurva
Misalkan f dan g merupakan fungsi yang kontinu k ontinu dan nonnegativ sedemikian sehingga untuk [,b]. L adalah daerah yang di batasi dan garis x=a serta x=b . Maka, bila daerah tersebut di putar mengelilingi sumbu X sejauh 360 o , maka volume benda yang ter jadi j adi dapat dinyatakan dengan bentuk berikut.
Contoh : 1. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva
dan
di putar mengelilingi sumbu X satu putaran penuh. Jawab: Tentukan terlebih dahulu titik potong kedua kurva tersebut.
Sehingga batas-batas batas-bat as daerahnya adalah
dan
dengan dem,ikian volume
yang dimaksud adalah: V= = =
20
= Jadi , volumenya adalah
satuan volume INTEGRAL Matematika
2. Tentukan volume benda putar jika daerah yang dibatasi oleh kurva
, sumbu
x, garis x=0, dan garis x=4 diputar 360o terhadap sumbu y Jawab: Cari Titik Potong
dan garis x=4
Substitusi x=4 ke persamaan
sehingga diperoleh diperoleh
Jadi, batas pengintegralannya adalah y=-1 sampai y=0.
Ubah persamaan
menjadi persamaan dalam variabel y sehingga
Jadi, volumenya adalah
satuan volume.
21
INTEGRAL Matematika
BAB III PARADE LATIHAN L ATIHAN SOAL A. Parade Soal 1. Nilai dari a. b. c. d. e. 2. Jika
3.
(3 3 ) adalah...
12 16 10 6 4
( () = ( ) dan ( () = maka ( () =... a. b. c. d. e. Jika dan ( 3) = 1 , maka nilai b adalah... a. b. c. d. e.
2 3 4 5 6
(1 ) = maka nilai adalah... a. 3 b. c. d. 1
4. Jika
e.
( ) adalah… a. 1 b. 1 c. d. e. Luas bidang bidang yang yang dibatasi dibatasi oleh oleh grafik grafik = dan sumbu x adalah… a. b. c. d. e.
5. Nilai dari
6.
INTEGRAL | Matematika
22
7. Daerah yang bi batasi oleh kurva yan diputar mengalilingi o sumb sumbuu- seja sejauh uh 360 360 . Volume benda yang terjadi adalah... a. b. c. d. e. 8. Lua daerah yang terbatas terbat as dibawah ini adalah... adalah.. .
a. b. c. d. 2 e. 1 9. Panjang busur kurva
dari
sampai
adalah...
a. b. c. d. 16 e. 10. Luas Luas daerah daerah yang yang dibata dibatasi si oleh oleh sumbu sumbu adalah... a. 3 b. 36 c. 54 d. 60 e. 72
kurva kurva
, dan dan kurva kurva
23
INTEGRAL Matematika
11. Hasil dari
a. b. c.
() adalah...
e.
d.
12. Luas daerah pada kuadran I yang dibatasi oleh kurva , dan sumbu adalah..
3 = a. b. c. d. 3 e. ∫
13. Hasil
1
xdx = .... 2 4x sin ½ x + 8 cos ½ x + C 4x sin ½ x – 8 cos ½ x + C 4x sin ½ x + 4 cos ½ x + C 4x sin ½ x – 8 cos ½ x + C 4x sin ½ x + 2 cos ½ x + C
2 x. cos
a. b. c. d. e.
= 3 , garis
∫
14. Nilai x. sin( x 2 + 1) dx = .... a. b. c. d. e.
cos ( x2 + 1 ) + C cos ( x2 + 1 ) + C –½ cos ( x2 + 1 ) + C ½ cos ( x2 + 1 ) + C 2cos ( x2 + 1 ) + C
= 1
15. Volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva dan o sumbu dari sampai dipurar mengelilingi sumbu sejauh 360 adalah..
= 1 =1 a. b. c. d. e.
24
INTEGRAL | Matematika
16. Nilai dari
adalah...
a. b. c. d. e. 17. Daerah yang dibatasi oleh kurva
mengelilin mengelilingi gi sumb sumbu u
dan garis diputar sejauh 360 . Volume Volume benda benda putar putar yang terjadi terjadi adalah adalah....
a. b. c. d. e. 18. Luas
daerah yang diarsir pada gambar adalah …satuan luas.
a. 2/3 b. 3 c. 5 1 3
d.
6
2 3
e. 9
25
INTEGRAL Matematika
19. Luas daerah yang diarsir pada gambar adalah …satuan luas.
a.
4
1 2
b.
5
c.
5
d.
13
1 6 5 6 1 6
e.
1
30
6
20. Luas
daerah arsiran pada gambar di bawah ini adalah …satuan luas.
a. 5 b. 7 2 3
c. 8 d. 9 1
3
e.
10
1 3
26
INTEGRAL Matematika
B. Kunci jawaban 1. B 2. A 3. D 4. A 5. B 6. D 7. C 8. D 9. B 10. B 11. C 12. B 13. A 14. C 15. C 16. B 17. D 18. D 19. C 20. D
27 Nb : Kunci jawaban yang tersedia tidak memiliki nilai kebenaran absolut. Untuk itu, mohon koreksinya jika ada jawaban yang salah.
INTEGRAL | Matematika
BAB IV PENUTUP A. Rangkuman I.
Integral tak tentu Beberapa aturan dalam penyelesaian integral:
• • • •
= () () = ( () () ( = = Integral trigonometri Fungsi-fungsi integral trigonometri:
= = = = = = +c = = ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) = ( ) = ( ) ( ) = ( ) ) ( ( )) = ( ( ) ( ( ) ) ( ) = = (( )) ( Penyelesaian cara biasa
= 1 1
28
INTEGRAL | Matematika
Penyelesaian cara subtitusi Misal
= () dan = () didapat : ()
Integral Parsial
= Bagian u dikerjakan operasi turunan dan bagian dy dikerjakan operasi integral, dengan bentuk lebih sederhana dari bentuk .
II. Integral Tertentu 1. Bentuk umum integral tertentu
() = ( () ()
Rumus-rumus integral tertentu:
( () = () (( (() ())
(( (() ())
(( (() =
() = ()
29
() = () () INTEGRAL | Matematika
() = () di mana f fungsi genap ( () = di mana f fungsi ganjil ( 2. Rumus Luas Daerah (L) yang terletak terletak
a. Di atas sumbu x
() =( =()
b. Di bawah sumbu x
() = () c. Di atas dan di bawah sumbu x
() = () () d. Di antara 2 kurva
() = (( (() ( ())
3. Volume Benda Putar (V) yang Diputar Mengelilingi
a. Sumbu x
= ( ((())
b. Sumbu y
= ( ()
c. Sumbu x dan dan dibatasi dibatasi kurva f(x) dan g(x)
( () = ( () (( (())
d. Sumbu y dan dibatasi kurva f(y) dan g(y)
30
() () = ( () (( (()) INTEGRAL | Matematika
B. Rekomendasi Beberapa saran saya kepada pihak guru,siswa,sekolah terhadap pembelajaran matematika pada umumnya dan integral pada khususnya : Hendaknya dalam proses belajar mengajar matematika integral, lebih sering di beri tugas. Dan hendaknya tugas yang di berikan tidak terlalu menyulitkan bagi peserta didik. Sehingga para peserta didik bisa menyelesaikan tugas dengan baik dan termotivasi untuk mempelajari Matematika Integral ini. Hendaknya dalam proses belajar mengajar pihak guru memberikan pembelajaran yang yang merata bagi seluruh siswa di kelas. Dan hendaknya pihak guru tidak hanya memperhatikan bagian sudut kelas tertentu, sehingga bagian sudut kelas yang lainnya sering terbengkalai sehingga dalam proses pembelajaran bagian bagian sudut kelas tersebut tidak bisa mengikuti dengan baik.
m emberikan jenis-jenis Hendaknya dalam proses evaluasi pembelajaran tidak memberikan soal yang terlalu rumit/susah dan terkesan t erkesan sangat berbeda dengan soal-soal latihan yang sederhana dan diberikan selama proses pembelajaran. Sehingga soal-soal evaluasi yang di berikan selama ini sulit untuk di selesaikan oleh peserta didik.
31
INTEGRAL | Matematika
32
Terkadang bukannya bukannya kita tidak mampu melakukan sesuatu, tapi kita hanya terlalu enggan untuk mencoba INTEGRAL | Matematika
