Fungsi sinus hiperbolik dan cosinus hiperbolik didefinisikan sebagai berikut : sinh x
=
e
− e−
x
x
dan cosh x
2
=
e
+ e−
x
x
2
Untuk fungsi hiperbolik yang lain : 1.
− e−x tanh x = = cosh x e x + e− x x
sinh x
2. coth x
=
cosh x
3. sec h x
=
1
4. csc h x
=
e
+ e−x = x −x e −e x
e
sinh x
cosh x 1 sinh x
2
= =
e x
− e− x 2
e x
+ e −x
Berikut beberapa identitas yang berlaku pada fungsi hiperbolik : 2
2
1. cosh x - sinh x = 1 2
2
2. 1 - tanh tanh x = sech x 2
2
3. coth x - 1 = csch x 4. sinh ( x + y ) = sinh x cosh y + cosh x sinh y 5. cosh ( x + y ) = cosh x cosh y + sinh x sinh y x
6. cosh x + sinh x = e . -x
7. cosh x - sinh x = e . 8. sinh 2x = 2 sinh x cosh x 2
2
2
2
9. cosh 2x 2x = cosh x + sinh x = 2 sinh x + 1 = 2 cosh x - 1 10. cosh ( -x ) = cosh x 11. sinh ( -x ) = - sinh x 12. sinh ( x - y ) = sinh x cosh y - cosh x sinh y Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matemat Matemat ika Dasar Dasar
13. cosh ( x - y ) = cosh x cosh y - sinh x sinh y tanh x + tanh y
14. tanh( x + y)
=
15. tanh( x − y)
=
16. tanh 2 x =
2 tanh x
tanh x − tanh y 1 − tanh x tanh y
1 + tanh x
1 17. cosh x = 2 1 18. sinh x 2
1 + tanh x tanh y
=±
1 2
(cosh x + 1) 1 2
19. sinh x + sinh y
(cosh x − 1)
x + y x− y = 2 sinh cosh 2 2
20. cosh x + cosh y
x + y x− y = 2 cosh cosh 2 2
Turunan dan Integral Fungsi Hiperbolik
eu − e−u = Misal y = sinh u. Maka y ' = D x 2 Jadi :
eu
+ e− u 2
u' = cosh u u' .
∫ cosh u du = sinh u + C
Untuk fungsi hiperbolik yang lain:
∫ sinh u du = cosh u+ C y = tanh u ⇒ y' = sec h2 u u' ⇔ ∫ sec h2 u du = tanh u + C y = coth u ⇒ y' = − csc h2 u u' ⇔ ∫ csc h2 u du = − coth u+ C
1. y = cosh u ⇒ y' = sinh u u' 2. 3.
⇔
Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matemat Matemat ika Dasar Dasar
∫ sec h u tanh u du = − sec h u+ C y = csc h u ⇒ y' = − csc h u coth u u' ⇔ ∫ csc h u coth u du = − csc h u + C
4. y = sec h u ⇒ y' = 5.
− sec h u tanh
u u'
⇔
Soal Latihan
( Nomor 1 sd 5 )Tentukan turunan pertama ( y’ ) dari : 4
1. y = cosh x . 2. y = ln ( tanh 2x ) 3. y = cosh ( 1/x ) 3
4. y = sinh ( 2x ) 5.
y=
4 x+ cosh 2 ( 5 )x
( Nomor 6 sd 10 ) Hitung integral berikut :
∫ cosh( 2 x− 3) dx 7. ∫ csc h 2( 3x) dx 8. ∫ coth2 x csc h2 x dx 9. ∫ tanh x dx 10. ∫ sinh 6 xcosh x dx 6.
Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
