Matemat Matemat ika Dasar Dasar
INTEGRAL RANGKAP TIGA
Misal diberikan fungsi tiga peubah, w = f ( x,y,z ). Maka untuk menentukan integral rangkap tiga dari w = f ( x,y,z ) terhadap suatu balok, B dilakukan sebagai berikut. bagi balok, B menjadi sejumlah n sub balok, B i ; i = 1,2,…,n. Didapatkan volume sub balok ∆Vi = ∆xi ∆yi ∆zi , sehingga volume balok, B yaitu :
V
=
n
∑
i =1
∆V i
Integral rangkap tiga dari w = f ( x,y,z ) terhadap B didefinisikan sebagai berikut: n
im ∑ f ( xi , yi , zi ) ∆ Vi ∫∫∫ f ( x, y, z) dV = nl→∞ i=1
B
Syarat yang harus dipenuhi untuk integral rangkap tiga di atas adalah w = f ( x,y,z ) kontinu pada B. Misal G merupakan benda ruang sembarang. Maka untuk menghitung integral rangkap tiga dari w = f ( x,y,z ) atas G dilakukan dengan cara mendefinsikan fungsi g ( x,y,z ) berikut :
g (x , y , z )
f ( x , y, z ) ; ( x, y, z) ∈ G = 0 ; ( x, y, z) ∈ B − G
B merupakan balok yang melingkupi benda ruang, G. Sehingga didapatkan :
∫∫∫
f ( x, y, z) dV dV
= ∫ ∫∫
G
g( x, y, z) dV dV
B
Dalam perhitungan, G dapat dipandang sebagai benda ruang yang dibatasi oleh Gz - batas bawah dan batas atas dari Gz berturut-turut z1 = u( x , y ) dan z2 dalam notasi himpunan,
G z
= {z
}
u( x , y ) ≤ z ≤ v( x , y ) - dan Gxy
= v( x, y)
atau
yang merupakan
proyeksi dari dari G pada bidang bidang XOY. Sehingga bentuk bentuk integral rangkap tiga dari w = f ( x,y,z ) atas G dituliskan :
∫∫∫ G
f ( x, y, z) dV
=
∫∫ G xy
v ( x ,y ) ∫ u( x, y)
f ( x, y, z)
dz
dA
Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matemat Matemat ika Dasar Dasar
Bentuk dari Gxy dapat dibedakan menjadi dua yaitu : 1. G xy
= {( x , y) a ≤ x ≤ b, h( x ) ≤ y ≤ g( x )}
f ( x, y, z)
G xy
v ( x, y ) ∫ u ( x , y)
2. G xy
= {( x , y)
h ( y ) ≤ x ≤ g ( x), c ≤ y ≤ d
∫∫
∫∫ G xy
v ( x, y ) ∫ u ( x , y)
dz
b g( x ) v( x, y )
dA dA =
∫ ∫
∫
f ( x, y, z) dz dy dx
a h( x ) u ( x, y)
}
f ( x, y, z)
dz
d g ( y ) v( x, y )
dA dA =
∫ ∫
∫
f ( x, y, z) dz dx dy
c h ( y ) u ( x, y )
Urutan integrasi sangat mungkin bergantung dari bentuk bangun ruang G, sehingga selain merupakan gabungan dari da ri Gz dan Gxy . Namun dapat juga G dipandang sebagai gabungan antara Gx dan Gyz atau Gy dan Gxz . Sedangkan Gyz dan Gxz berturutturut merupakan proyeksi dari bangun ruang G pada bidang YOZ dan XOZ.
Contoh 7 2 z
Hitung integral
x / z
∫ ∫ ∫ 0 1
2 xyz dy dx dz
0
Jawab :
z / x z dx dz = ∫ ∫ ∫ 2 xyz dy dx dz = ∫ z ∫ x ∫ 2 y dy dx 0 1 0 0 1 0 2
z x / z
2
2 3
Contoh 8 Hitung integral
∫∫∫ 2 x dV bila G
a. G
= ( x , y , z) 0 ≤ x ≤
y , 0 ≤ y ≤ 4, 0 ≤ z ≤
3
x
2 b. G merupakan daerah di oktan pertama yang dibatasi oleh tabung y2 + z2 = 1, bidang x = 1 dan x = 4.
Jawab : Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matemat Matemat ika Dasar Dasar
a.
∫∫∫ 2
x d V=
G
y 3 x / 2
4
∫ ∫ ∫ 2 0
0
b. G dituliskan, G
G
x dz
0
= ( x , y , z ) 1 ≤ x ≤ 4 , 0 ≤ y ≤
x dV=
∫∫∫ 2
Jadi
y dx dy= ∫ ∫ 0 0 4
4 1
1− z 2
∫ ∫ ∫ 2 1 0
2
3x / 2 x ∫ 0
0
dy=
65 4
1 − z 2 , 0 ≤ z ≤ 1 .
1 1− z 2 dz dx= ∫ 2 x∫ ∫ 1 0 0 4
x dy
dz dx
dy dz
dx= −4π .
Secara geometris nilai integral rangkap tiga dari w = f ( x,y,z ) atas bangun ruang G merupakan volume dari bangun ruang G bila f ( x,y,z ) = 1.
Contoh 9 Hitung volume bangun ruang, dan y + 4z = 8.
G yang terletak di oktan pertama dibatasi oleh y = 2 x 2
Jawab :
8 − y = ( x, y , z ) 0 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 2 x 2 ,0 ≤ z ≤ . 4 2 2 x2 ( 8− y) / 4 2 2 x 2 (8 − y) / 4 = ∫∫∫ dV = ∫ ∫ ∫ dz dy dx = ∫ ∫ ∫ dz dy dx = 0 0 G 0 0 0 0
G dituliskan , G
Volume, V
Soal Latihan
( Nomor 1 sd 5 ) Hitung nilai integral rangkap tiga berikut. 5 3 x x + 2
1.
∫ ∫ ∫ 4 x dz dy dx
−2 π
2.
y
0
2 z y
d x dy dz ∫ ∫ ∫ sin ( x + y + z) dx 0 00 2 4 3 y + x
3.
∫ ∫ ∫ 0 −1
0
4 x +1
4.
dz dydx 2 y x
∫ ∫ ∫
− 2 x−1
3 xyz xyz dz dy dx
0
Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
224 30
Matemat Matemat ika Dasar Dasar
π
2
5.
0
2 yz
∫ ∫ ∫ 0 sin z
0
x dx dy dz y
sin
( Nomor 6 sd 9 ) Hitung nilai integral
∫∫∫ xyz dV
bila :
G
1 = ( x, y , z ) 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 3, 0 ≤ z ≤ (12 − 3x − 2 y ) 6 G = ( x, y , z ) 0 ≤ x ≤ 4 − y 2 , 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 3 G = {( x , y, z ) 0 ≤ x ≤ 3z , 0 ≤ y ≤ 4 − x − 2 z , 0 ≤ z ≤ 2}
6. G 7. 8.
9. G
= {( x , y , z )
0≤ x
≤
y2 ,0 ≤ y ≤
}
z ,0 ≤ z ≤ 1
( Nomor 10 sd 13 ) Hitung volume bangun ruang G bila G dibatasi oleh : 2
10. y = 2x , y + 4z = 8 dan terletak di oktan pertama. 2
2
11. y + 4z = 4 , y = x , y = 0 dan terletak di oktan pertama 2
2
12. x =y , z = y dan y = 1 2
13. y = x + 2 , y = 4, z = 0 dan 3y - 4z = 0
Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
