0
DAFTAR ISI KATA PENGANTAR ................................................................. ........................................................................................................ ...................................................... ...............
i
DAFTAR ISI ............................................................... ..................................................................................................... ..................................................... ............... …………
ii
BAB I PENDAHULUAN ..................................... ........................................................................ ........................................................................... ........................................
1
A. Latar Belakang .............................................. .................................................................................. ........................................................................... .......................................... ...
1
B. Tujuan Penulisan Modul..................................... Modul....................................................................... ......................................................... ....................... …………
2
C. Sasaran ......................................................................... .................................................................................................................. ................................................................ .......................
2
D. Ruang Lingkup ....................................... ..................................................................... ....................................................................... ....................................................... ..............
2
BAB II PENGEMBANGAN MATERI ....................................................................... ........................................................................................... ....................
3
KB-1: Konsep Dasar Pecahan .............................................. ...................................................................................... .......................................... …………..
3
A. Kompetensi 4 (Kompetensi Profesional) .............................................. ................................................................... ..................... …………
3
B. Urutan Materi ....................................... ....................................................................... ...................................................................... ...................................... ………….
3
1. Pengertian Pecahan .......................................... ............................................................................ ........................................................ ...................... ……………
3
2. Penulisan dan Pembacaan Pecahan ....................................... ........................................................................ ................................. ……………..
6
3. Mengenal Konsep Pecahan Biasa ................................................................. ............................................................................ ........... ……………
7
4. Konsep Pecahan Desimal ........................................... .................................................................................. .................................................................. ...........................
9
5. Konsep Pecahan Senilai ........................................... ...................................................................................... ................................................ ..... ……………
11
6. Konsep Membandingkan dan Mengurutkan Pecahan .................................................................. ..................................................................
14
7. Mengubah Bentuk Pecahan ........................................ ........................................................................... .................................................................. ...............................
17
C. Panduan Belajar ........................................................................ ...................................................................................................... .............................. …………….
20
D. Media Belajar ....................................................................... .................................................................................................................. ........................................................ .............
21
E. Evaluasi Belajar ..................................... ................................................................................ ............................................................................. ........................................... .........
21
KB-2 : Operasi Op erasi Hitung pada Bilangan Pecahan…………………………………………. Pecahan…………………………………………. ………..
22
A. Kompetensi 4 (Kompetensi Profesional) .................................................... .................................................................. .............. ………….
22
KB-2 (1): Penjumlahan dan Pengurangan ………………………………………………………. ………………………………………………………...
22
B. Uraian Materi …………………………… …………………………………………………………… ……………………………………………………. ……………………...
22
1. Penjumlahan Pecahan .............................................. .................................................................................... ................................................ .......... …………….
22
2. Pengurangan Pecahan ............................................ .................................................................................... ................................................. ......... …………….
32
KB-2 (2): Perkalian dan Pembagian ......................................... .................................................................... ........................... …………………
35
3. Perkalian Pecahan .......................................... .............................................................................. .......................................................... ...................... ……………
35
4. Pembagian Pecahan.......................................... Pecahan................................................................................. ....................................................... ................ …………….
44
5. Rangkuman Rangkuman Perkalian dan Pembagian ............................................... ...................................................................................... .......................................... ...
55
C. Panduan Belajar .......................................................................... ...................................................................................................... ............................ ……………
56
1
D. Media Belajar ....................................................................... .................................................................................................................... ........................................................ ...........
56
E. Evaluasi Belajar ..................................... ................................................................................. ................................................................... ....................... …………
57
KB-3: Pecahan Sebagai Rasio atau Perbandingan …………………………… ………………………………… …… ……………..
58
A.
Kompetensi 4 (Kompetensi Profesional) …………………………… ………………………………………………… ……………………….. …..
58
B.
Uraian Uraia n Materi …………………………………………… ……………………………………………………………………………….. …………………………………..
58
C. Panduan Belajar ......................................................................... ..................................................................................................... ............................ ……………
59
D. Media Media Belajar ........................................ ................................................................................... ............................................................................ .......................................... .........
60
E. Evaluasi Belajar ......................................................................... ............................................................................................................ ................................................ .............
60
BAB III PENUTUP ..................................... ..................................................................... ......................................................................... ..................................................... ............
61
A. Simpulan ..................................... ......................................................................... ....................................................................... ......................................... ...... …………..
61
B. Kunci Jawaban ……………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………… ……………………
61
DAFTAR PUSTAKA .......................................... ............................................................................ .................................................................... ..................................
68
2
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Pecahan merupakan salah satu kajian inti dari materi matematika yang dipelajari peserta didik di Sekolah Dasar (SD)/MI (Madrasah Ibtidaiyah). Pembahasan materinya menitikberatkan pada konsep dan pengerjaan (operasi) hitung dasar yaitu penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian, baik untuk pecahan biasa, desimal, maupun persen. Inventarisasi masalah yang dilakukan penulis pada saat Diklat (Pendidikan dan pelatihan) di PPPPTK (Pusat Pengembangan dan Pemberdayaan Pendidik dan Tenaga Kependidikan) Matematika maupun di daerah terhadap guru pemandu dan pengawas SD tentang materi pecahan, menunjukkan adanya kelemahan-kelemahan. Kelemahan-kelemahan tersebut antara lain dalam penguasaan materi, metodologi, maupun media pembelajaran, untuk materi: mengubah pecahan dari bentuk satu ke bentuk yang lain, penjumlahan dan pengurangan pecahan yang berbeda penyebut, perkalian dan pembagian pecahan, serta rasio. Berbicara mengenai pembelajaran matematika di SD/MI banyaklah kekurangankekurangan yang terjadi. Dari hasil diskusi dengan para peserta Diklat guru pemandu Matematika SD/MI di PPPPTK Matematika Yogyakarta dikemukakan bahwa pendekatan abstrak dengan metode ceramah dan pemberian tugas, sangatlah dominan dari set iap kegiatan pembelajaran. Sangat jarang dijumpai guru merencanakan pembelajaran matematika dengan menggunakan pendekatan nyata yang mengaktifkan dan menyenangkan peserta didik. Guru menganggap pembelajaran yang demikian tidak bermanfaat, membingungkan, menyita banyak waktu dan hasilnya belum tentu baik. Disamping itu kenyataan menunjukkan bahwa bekal kemampuan materi matematika dari guru SD/MI masih kurang memadai. Sehingga tidaklah mengherankan bila pembelajaran matematika yang dikelolanya menjadi kurang bermakna. Oleh sebab itu perlu kiranya para guru SD/MI diberikan bekal alternatif pembelajaran pecahan yang mengaktifkan siswa dengan pendekatan PAIKEM (pembelajaran yang aktif, inovatif, kreatif, efektif, dan menyenangkan).
B. Tujuan Penulisan Modul
Setelah mempelajari modul Diklat ini diharapkan para guru SD/MI dapat memperoleh tambahan wawasan tentang materi, media, dan strategi pembelajaran pecahan yang bermanfaat untuk meningkatkan kelancaran pelaksanaan tugas profesionalnya sebagai pembimbing siswa. 3
C. Sasaran
Modul ini diperuntukan bagi para guru SD/MI yang mengikuti diklat pasca UKA (uji kompetensi awal)
D. Ruang Lingkup Isi Modul
Ruang lingkup materi dalam modul ini tersusun sebagai berikut. Bab I Pendahuluan berisi : latar belakang, tujuan penulisan, sasaran, ruang lingkup penulisan. Bab II Terdiri dari 3 kegiatan belajar (KB) KB-1 mengupas tentang konsep dasar pecahan KB-2 mengupas tentang operasi pecahan yang terdiri dari penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. KB-3 mengupas tentang rasio atau perbandingan Bab III Penutup berisi simpulan dan kunci jawaban dari evaluasi KB-1, KB-2, dan KB-3
4
BAB II PENGEMBANGAN MATERI
Pembahasan dalam modul ini terdiri dari 3 kegiatan belajar (KB) sebagai berikut. KB-1 membahas tentang konsep dasar pecahan KB-2 membahas tentang operasi pecahan meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian KB-3 membahas tentang rasio atau perbandingan Setiap KB terdiri dari: A. Kompetensi B. Uraian materi C. Panduan belajar D. Evaluasi belajar
KB-1 KONSEP DASAR PECAHAN
A. Kompetensi 4 (kompetensi profesional)
Menguasai konsep dan metode keilmuan matematika yang mendukung pembelajaran matematika SD/MI 1. Sub kompetensi 4 4.2 Menguasai konsep bilangan, operasi, algoritma, dan sifat-sifat bilangan pecah 2. Indikator esensial 4.2.1 Menganalisis dan menerapkan sifat-sifat urutan bilangan pecah 4.2.2 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan bilangan pecah
B. Urutan Materi 1. Pengertian Pecahan
Pecahan yang dipelajari anak di SD/MI, sebetulnya merupakan bagian dari bilangan rasional yang dapat ditulis dalam bentuk
a b
dengan a dan b merupakan bilangan bulat
dan b tidak sama dengan nol. Secara simbolik pecahan dapat dinyatakan sebagai salah satu bentuk dari: (1) pecahan biasa, (2) pecahan desimal, (3) persen, dan (4) pecahan
5
campuran. Pecahan dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan senilai sebagai: 1 2
2 4
3 6
4 8
= ….
Kata pecahan berasal dari bahasa Latin ” fractio” yang berarti memecah menjadi bagian-bagian yang lebih kecil atau
bagian dari keseluruhan. Sebuah pecahan
mempunyai 2 bagian yaitu pembilang dan penyebut yang penulisannya dipisahkan oleh garis lurus (–) dan bukan garis miring (/). Contoh
1 2
,
2 3
dan seterusnya, bukan 1/2, 2/3.
Pecahan biasa adalah lambang bilangan yang dipergunakan untuk melambangkan bilangan pecah dan rasio (perbandingan). Menurut Kennedy (1994:425–427) makna dari pecahan dapat muncul dari situasi-situasi sebagai berikut. a. Pecahan menyatakan bagian yang berukuran sama dari satu utuh.
Pecahan biasa dapat digunakan untuk menyatakan bagian dari keseluruhan (1 utuh). Beberapa contoh kehidupan sehar-hari yang menggambarkan tentang pecahan, misal:
Gambar di samping menunjukkan papaya dipotong menjadi dua bagian yang sama, masing-masing bagian menunjukkan 1 dari 2 bagian
Gambar di samping menunjukkan kue yang dipotong menjadi 8 (delapan) bagian yang sama. Gambar tersebut menunjukkan 7 dari 8 bagian
Apabila ibu mempunyai sebuah apel yang akan diberikan kepada 4 orang anaknya, dan masing-masing harus mendapat bagian sama, maka apel tersebut harus dipotong-potong menjadi 4 bagian yang sama. Sehingga masing-masing anak akan memperoleh dari apel tersebut. Pecahan biasa lambang bilangan
1 4
1 4
1 4
bagian
mewakili ukuran dari tiap-tiap potongan apel. Dalam
, ”4” menunjukkan banyaknya bagian-bagian yang sama dari suatu
6
benda utuh dan disebut ”penyebut”. Sedangkan ”1” menunjukkan banyaknya bagian yang menjadi perhatian atau digunakan atau diambil pada saat tertentu dan disebut pembilang.
b. Pecahan menyatakan bagian dari kelompok-kelompok yang beranggotakan sama banyak, atau juga menyatakan pembagian.
Apabila sekumpulan apel dikelompokkan menjadi 2 bagian yang beranggotakan sama banyak, maka situasinya jelas dihubungkan dengan pembagian. Situasi di mana sekumpulan apel yang banyaknya 12, dibagi menjadi 2 kelompok yang beranggotakan sama banyak, maka kalimat matematikanya dapat 12 : 2 = 6 atau 1 12 = 6. Sehingga 2 untuk mendapatkan 1 2
dari 12 apel, maka kita harus memikirkan 12 apel yang
dikelompokkan menjadi 2 bagian yang beranggotakan sama. Banyaknya anggota masingmasing kelompok, terkait dengan banyaknya apel semula, dalam hal ini
1 2
dari
banyaknya apel semula yaitu 1 dari 12. 2 Ada 12 apel yang dikelompokkan menjadi 2. Kalimat matematika 12 : 2 = 6 atau
1 2
x 12 = 6
Hal lain juga dapat terjadi pada pembagian bilangan yang menghasilan pecahan campuran sebagai berikut ini.
Di dalam kardus terdapat 5 roti mini sisa arisan. Ibu menyuruh 2 anaknya untuk makan roti tersebut. Bera a ba ian di eroleh setia anak?
7
c. Pecahan sebagai perbandingan (rasio)
Hubungan antara sepasang bilangan sering dinyatakan sebagai sebuah perbandingan. Berikut diberikan contoh situasi yang biasa memunculkan perbandingan.
Dalam kelompok yang terdiri dari 10 buku terdapat 3 buku yang bersampul biru. Perbandingan buku yang bersampul biru terhadap keseluruhan buku adalah 3 : 10 atau buku yang bersampul biru 3 dari keseluruhan buku.
10
buku biru 3
buku merah 7
Ketiga situasi tersebut semuanya dikenalkan kepada siswa, dengan urutan kelas yang berbeda. Untuk tahap pertama, konsep pecahan dikenalkan dengan memunculkan situasi yang pertama yaitu pecahan sebagai bagian dari yang 1 utuh.
2. Penulisan dan Pembacaan Pecahan
Telah disampaikan pada bagian 1 bahwa secara simbolik pecahan dapat dinyatakan sebagai salah satu dari: pecahan biasa, pecahan desimal, persen dan pecahan campuran. Berdasarkan hal
tersebut maka dalam penulisan lambang bilangan, penyebutan nama
pecahan maupun pengucapan untuk masing-masing pecahan akan berbeda. No
Penulisan
Nama Pecahan
Pengucapan Benar
1.
1
pecahan biasa
3.
4
2
pecahan campuran
3
0,75
setengah, satu perdua, seperdua
2 2.
Salah
pecahan desimal
empat, dua pertiga
empat dua pertiga
(dengan jeda)
(tanpa jeda)
nol koma tujuh lima
Tujuh puluh lima perseratus/tujuh lima perseratus/nol koma tujuh puluh lima
4.
20%
Persen
dua puluh persen
8
3. Mengenal Konsep Pecahan Biasa.
Untuk mengenal konsep pecahan biasa, dapat dimulai dengan soal cerita sebagai berikut. Ibu mempunyai sebutir telur rebus yang akan diberikan kepada 2 orang anaknya. Bagaimana caranya agar masing-masing anak mendapat bagian yang sama? Apa yang harus dilakukan ibu? Berapakah bagian yang didapat setiap anak?
Ibu harus membelah telur menjadi 2 bagian yang sama
Kegiatan pembelajaran untuk mengenal konsep pecahan biasa akan lebih berarti bila didahului dengan soal cerita yang menggunakan obyek-obyek nyata misal: telur, apel, tomat, tahu, martabak, yang dilanjutkan dengan blok pecahan atau kertas yang diarsir. Menggunakan benda kongkrit
Menggunakan blok pecahan
Peraga selanjutnya dapat berupa daerah-daerah bangun datar beraturan misalnya persegi, persegipanjang, atau lingkaran yang akan sangat membantu dalam memperagakan konsep pecahan. Pecahan
1 2
dapat diperagakan dengan cara melipat kertas berbentuk
lingkaran atau persegi, sehingga lipatannya tepat menutupi satu sama lain. Selanjutnya 9
bagian yang dilipat dibuka dan diarsir sesuai bagian yang dikehendaki. Sehingga akan didapatkan gambar daerah yang diarsir seperti berikut ini.
yang diarsir menyatakan
1
yang diarsir menyatakan
2
1
yang diarsir menyatakan
2
1 2
Peragaan tersebut di atas dapat dilanjutkan untuk pecahan
1
1 an , an dan sebagainya, seperti 4 8
gambar berikut ini.
1
2
yang diarsir menyatakan
3
yang diarsir menyatakan 4
yang diarsir menyatakan 4
(dibaca seperempat atau
8
(dibaca dua perempat)
(dibaca tiga perdelapan)
satu per empat)
yang diarsir menyatakan
1
yang diarsir menyatakan
4
2 4
yang diarsir menyatakan
3 8
Selain melipat dan mengarsir pada kertas, peragaan dapat pula menggunakan blok pecahan, pita atau tongkat yang dipotong yaitu diartikan sebagai pendekatan pengukuran panjang, yang pada perkembangan berikutnya dapat bermanfaat untuk mengenalkan letak pecahan pada garis bilangan. Pita dipotong menjadi 2 bagian yang sama panjang untuk memperagakan pecahan
0
1 2
1=
1 2
.
2 2
Pengenalan letak pecahan pada garis bilangan tersebut sangat bermanfaat bila akan mencari pecahan yang senilai dan membandingkan pecahan.
10
4. Konsep Pecahan Desimal
Pecahan desimal adalah pecahan yang mempunyai penyebut khusus yaitu sepuluh, seratus, seribu dan seterusnya. Contoh soal cerita yang dapat diangkat untuk belajar pecahan desimal adalah sebagai berikut. Di toko kain Laris dijual obral sisa-sisa kain yang ukuran dan harganya ditulis sebagai berikut. 1,5 m kain katun kembang harga Rp25.000,00; 2,4 m kain katun garis harga Rp70.000,00; 1,25 m kain wool harga Rp75.000,00 dan sebagainya.
Apa yang dimaksud dengan 1,5 m; 2,4 m; dan 1,25 m?
Untuk belajar konsep pecahan desimal, dapat dimulai dengan konsep pecahan persepuluhan dan dilanjutkan dengan pecahan perseratusan. Untuk pecahan perseribuan caranya analog dengan yang lain. a. Mengenalkan konsep persepuluhan
1
Mengenal
dengan peragaan.
10 Cara penulisan dan pembacaan.
1 10
Angka yang kita gunakan dalam penulisan ada 10 yaitu 0, 1, 2, …, 9. Karena
1
kurang 10 dari 1 maka satuannya adalah 0 dan ditulis 0. Sedangkan angka yang berikutnya disepakati (di Indonesia) dipisahkan dengan tanda koma ( , ) yang menunjukkan persepuluhan. Dalam hal ini pecahan yang dimaksud bukan pecahan campuran. Cara menuliskan pecahan desimal persepuluhan dapat diurutkan dengan alternatif sebagai berikut ini. Pembilang dipindahkan dibelakang koma 1 10
0 ,1
(dibaca nol koma satu)
satuan 1 angka (persepuluhan) Berikutnya mengenal penulisan dan pembacaan dari pecahan
2 10
,
3 10
,...,
9 10
Pembilang dipindah dibelakang koma 2 10
0,2
(dibaca nol koma dua)
1 angka 9 10
0,9
Kesimpulan yang diharapkan muncul adalah: bila persepuluhan maka dibelakang koma ada 1 angka.
(dibaca nol koma sembilan)
1 angka
11
b. Mengenalkan konsep perseratusan
Dimulai dengan mengenal
10 100
dengan peragaan
Pembilang dipindah dibelakang koma 10 100
0,10 2 angka
Cara penulisan dan pembacaan
10
0,10
100
satuan
11 100 dst
(dibaca nol koma satu nol) perseratusan
0,11
(dibaca nol koma satu satu)
2 angka
99 = 0,99 100
(dibaca nol koma sembilan sembilan)
Kesimpulan yang diharapkan adalah: bila penyebut perseratusan maka dibelakang koma ada 2 angka.
Untuk selanjutnya perlu pengalaman dalam menemukan cara menuliskan pecahan perseratusan meliputi
1 2 9 dalam desimal dan pengucapannya. , ,...., 100 100 100
Bagaimana memperkirakan cara menulis dan membaca pecahan 1 100
= 0, - -
harus 2 angka
desimal perseratusan? Menulis 1 .... untuk memindah pembilang 100
dibelakang koma, muncul pertanyaan: Apakah 1 terletak di depan atau di belakang? Kalau 1 terletak di depan, yang dibelakang bilangan berapa? Apakah 0? Apakah 1 ? Dan seterusnya sampai 9.
Ternyata semua sudah ada yang menggunakan yaitu
10
19 ,.... . Berarti 100 100 100 100 100 ,
11
,
12
,
13
bila 1 terletak di depan salah. Jadi 1 harus terletak dibelakang. Seterusnya, bila 1 terletak di belakang maka yang di depan harus dicari dengan cara seperti tadi.
12
1
Jika
100 1 100 1 100
0,
0,11
sudah ada yaitu
0,21
sudah ada yaitu
11 100 21
, jadi angka yang di depan bukan 1 , jadi angka yang di depan bukan 2
100
Dan seterusnya, hingga 1 100
91 100
sudah ada yaitu
91 100
, jadi angka yang di depan bukan 9
Setelah dicermati hanya angka 0 yang belum digunakan, maka Selanjutnya mencari cara menuliskan 2 100
2 100
,.....
1 100
0,01
9 100
0, 2 angka
9 100
0, - 2 angka
Dengan melaksanakan kegiatan ini diharapkan akan diperoleh pengalaman yang banyak untuk menuliskan pecahan desimal persepuluhan dan perseratusan. 5. Konsep Pecahan Senilai
Pecahan senilai biasa disebut juga pecahan ekivalen. Soal cerita yang berhubungan dengan pecahan senilai dapat dicontohkan sebagai berikut. Ibu memotong sebuah apel menjadi 4 bagian yang sama. Adik makan 2 potong dari apel tersebut. Nyatakan dalam 2 simbol pecahan dari apel yang dimakan adik.
Dari peragaan menggunakan apel tersebut terlihat bahwa apel yang dimakan adik adalah atau
1 2
2 4
. Selanjutnya peragaan yang dapat dilakukan untuk menunjukkan pecahan senilai
dapat diperagakan sebagai berikut.
13
a. Peragaan dengan kertas
Kita akan menunjukkan contoh bahwa
1
2
4
dengan menggunakan 3 lembar kertas 2 4 8 yang berbentuk persegipanjang. Anggap selembar kertas itu sebagai 1 bagian utuh. Satu 1 lembar kertas dilipat menjadi 2 bagian yang sama, setiap bagian mewakili bilangan . 2 Kemudian 1 lembar yang lain dilipat menjadi 2 bagian yang sama, sehingga bagian yang 1 2 mewakili tadi menjadi . Bila digambarkan lipatan-lipatan tersebut sebagai berikut. 2 4 1 lembar kertas yang ke 1
Dilipat menjadi 2 bagian yang sama yang diarsir
1 2
1 lembar kertas yang ke 2 Setiap bagian dilipat lagi menjadi 2 bagian yang sama.
yang diarsir
2 4
1 lembar kertas yang ke 3 Dari lipatan yang kedua dilipat lagi menjadi 2 bagian yang sama. yang diarsir
4
atau
yang diarsir
8
4 8
Pada gambar di atas tampak jelas bahwa 1 2
2 4
4 8
.
Disamping
menggunakan
1 2
senilai dengan
kertas
yang
dilipat,
2 4
dan kita
4 8
, sehingga
dapat
pula
memperagakan pecahan senilai dengan blok pecahan.
b. Peragaan dengan garis bilangan
Pecahan senilai dapat pula ditunjukkan dengan menggunakan alat peraga garis bilangan. Berikut ini ditunjukkan beberapa pecahan senilai dengan menggunakan garis bilangan, yang digambarkan pada kertas berpetak.
14
0
0
0
2
1
2
3
3
3
3
4
4
4
4
4
3
2
6
6
1
1
4
5
6
6
6
6
1
2
3
4
5
6
7
8
8
8
8
8
8
8
8
8
Dengan menggunakan penggaris dapatlah diurutkan dari atas ke bawah dan ditemukan bahwa: 1 2
3
1
2
2
6
2
1
0
1
0
1
1 4 1
1
3
2
2 3 6 , 8 4 8
2 2 4 , 6 3 6
1= 1
4
2 2
3
6
3 3
4
8
4 4
6 6
8 8
c. Peragaan dengan tabel pecahan 1 1 Pecahan yang senilai dengan dapat diperoleh dengan cara mengubah pecahan 4 4 2 3 menjadi dan seterusnya. Untuk mempermudah perluasan pecahan ini dapat , 8 12 digunakan media tabel perkalian. Tabel perkalian tersebut biasa digunakan siswa di kelas sebelumnya. Tabel perkalian yang digunakan untuk tabel pecahan senilai 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
3
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
4
4
8
12
16
20
24
28
32
36
40
5
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
6
6
12
18
24
30
36
42
48
54
60
7
7
14
21
28
35
42
49
56
63
70
8
8
16
24
32
40
48
56
64
72
80
9
9
18
27
36
45
54
63
72
81
90
10
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Cara penggunaan tabel Misalnya kita ambil baris pertama sebagai pembilang dan baris keempat sebagai penyebut.
Dengan memperhatikan tabel di atas kita akan temukan
1 4
2 8
3 12
4 16
5 20
6 24
7 28
dan sebagainya. Kegiatan dilanjutkan untuk mencari pecahan-pecahan senilai yang lain. Dari peragaan dapat disimpulkan bahwa untuk mencari pecahan yang senilai dapat dilakukan dengan cara mengalikan/membagi pembilang dan penyebutnya dengan bilangan yang sama, tetapi tidak nol. 15
1 4
3 1 3 4
3 12
atau sebaliknya
3 12
3: 3 12 : 3
1
a
4
b
. Secara umum
Namun untuk siswa SD/MI rumus tersebut
ac bc
a : d b : d
akan lebih mudah bila diubah menjadi
kalimat: pecahan senilai dapat dicari dengan cara mengalikan/membagi pembilang dan penyebutnya dengan bilangan yang sama
Pada perkembangan berikutnya pecahan senilai dapat dimanfaatkan untuk mempelajari: (1) mengurutkan pecahan; (2) menjumlah dan mengurang pecahan yang berbeda penyebut.
6. Konsep Membandingkan dan Mengurutkan Pecahan
Pada saat siswa belajar membandingkan dan mengurutkan pecahan, diperlukan pengalaman-pengalaman sehingga menghasilkan temuan-temuan khusus. Berikut disajikan alternatif dari kegiatan membandingkan dan mengurutkan pecahan. a. Penanaman konsep
1) Peragaan dengan menggunakan bangun-bangun geometri atau blok pecahan Bangun-bangun geometri dapat dimanfaatkan sebagai alat untuk membandingkan dan mengurutkan pecahan biasa. Bahan yang digunakan sebaiknya mudah dilipat, diwarnai atau dipotong untuk mengurutkan luasan dari daerah bangun-bangun, sehingga dapat dilihat urutan dari luasan yang mewakili urutan dari bilangannya.
1 yang diarsir
1 2
yang diarsir
3 4
Dari peragaan bangun tersebut bila luasannya bahwa
yang diarsir
5 8
dibanding-bandingkan akan tampak
1 3 1 5 < dan < 2 4 2 8 3 3 5 < 1 dan > , dan seterusnya 4 4 8
16
yang diarsir 1
1
yang diarsir
4
1
5 8
Karena utuh sudah sama maka tinggal melihat yang tidak utuh yaitu 1 5 1 5 … . Dari gambar terlihat bahwa bahwa 1 < 5 . Jadi 1 < 1 4 4 8 8 8 4
2) Peragaan dengan menggunakan pita atau kepingan-kepingan pecahan. Kepingan pecahan berguna untuk membandingkan pecahan biasa 1
1 2
1 3
1 8
1 6
1 4 1 8
2
1 3 1 4
1 6
1
1 8
1 6
1 8
1 8
1 6
1 4 1 8
1 3 1 6 1 8
1 4
1 6 1 8
Dari peragaan dan gambar tersebut, siswa akan dapat membandingkan dan sekaligus mengurutkan bilangan-bilangan pecahan yang diinginkan.
3) Dengan menyamakan penyebut Kita bandingkan
2 3
dan
3 4
, yaitu dengan cara menyamakan penyebutnya atau
menentukan pecahan senilainya lebih dulu. Kegiatan ini akan lancar dilakukan oleh siswa bila penanaman konsep pecahan senilai dipahami dan telah dilatihkan keterampilannya
oleh
guru.
Jadi
akan
ditemukan
2 3
8 3 9 ; . 12 4 12
penyebutnya penyebutnya sama kita bandingkan pembilangnya. Karena 9 > 8 maka 3 4
2 3
.
Apabila siswa sudah mengenal KPK, maka
9 12
Setelah 8 12
. Jadi
dapat ditemukan bahwa 12
adalah KPK dari penyebut 3 dan 4. KPK ini dipakai menjadi penyebut kedua pecahan.
b. Keterampilan/teknik cepat membandingkan pecahan
17
Setelah penanaman konsep dipahami oleh siswa, maka kegiatan keterampilan/ teknik cepat perlu pula dilatihkan. Ada beberapa teknik cepat yang biasa dilakukan. 1) Pembilang sama Dari pengalaman-pengalaman peragaan dapat dilihat bahwa 2 3
2 4
2 6
nilainya
2 8
3 4
>
3 6
>
3 8
;
. Pada pecahan positip, bila pembilangnya sama, maka pecahan yang
lebih dari adalah pecahan yang yang penyebutnya penyebutnya mempunyai mempunyai angka bernilai bernilai
kecil. Sedangkan untuk pecahan negatip akan terjadi sebaliknya. Mengapa?
2) Penyebutnya sama Pecahan yang penyebutnya sama mudah dibandingkan melalui peragaan-peragaan luas daerah maupun kepingan-kepingan kepinga n-kepingan pecahan.
Contoh. 3 7
dengan
Ada 3 keping
5 7
.
1 7
dan 5 keping
1 7
. Maka akan mudah ditentukan
bahwa 5 keping sepertujuan akan lebih dari yang 3 keping sepertujuan.
Pada pecahan positip, bila penyebutnya sama, maka pecahan yang lebih dari adalah pecahan yang pembilangnya mempunyai angka lebih dari yang lain.
3) Pembilang dan penyebut tidak sama Bila pembilang dan penyebutnya tidak sama, maka guru sering kali menggunakan cara silang. Cara silang sebenarnya adalah mencari pecahan senilainya yaitu dengan menyamakan penyebut. Hal ini dapat dibenarkan bila guru telah memberikan konsep atau nalarnya, sehingga siswa mengetahui alasan dari perkalian silang tersebut. Meskipun demikian perkalian silang ini semata-mata hanya teknik supaya cepat dalam menentukan hasil.
15
3 2 ... 4 5
→
3 4
8
2 15 8 3 2 berarti . Tanda yang tepat adalah ” > ”, maka ... > . 5 20 20 4 5
x
7. Mengubah Bentuk Pecahan
18
a. Mengubah pecahan biasa menjadi pecahan desimal
Untuk mengubah pecahan biasa menjadi pecahan desimal, dicari dahulu pecahan senilainya yang penyebutnya berbasis sepuluh (persepuluhan, perseratusan, perseribuan dan sebagainya). Penggunaan pecahan desimal dapat dimunculkan dalam pembelajaran antara lain sebagai berikut. Contoh. 1)
2)
1 2 1 4
melihat peragaan gambar
5 10
25 100
1 5 25
ditulis 0,5 dan dibaca nol koma lima
1 25 4 25
ditulis 0,25 dan dibaca nol koma dua lima
melihat gambar
Untuk mengubah bentuk bentuk pecahan biasa menjadi peahan desimal dapat dilakukan dengan cara “menjadikan” penyebutnya dalam 10, 100, 1000, dst. Contoh: 3)
3 8
3 125 8 125
375 1000
0,375 (dibaca nol koma tiga tujuh lima)
b. Mengubah pecahan biasa menjadi persen atau sebaliknya
Persen artinya perseratus. Sehingga nama pecahan biasa yang penyebutnya seratus diberi nama persen dengan lambangnya %. Untuk mengubah pecahan biasa menjadi persen, dicari lebih dahulu pecahan senilainya yang berpenyebut 100. Pecahan persen seyogyanya dibicarakan dibicar akan
saat pembelajaran pembelajar an pecahan desimal desima l yang berpenyebut 100.
Contoh penggunaan persen dalam kegiatan sehari-hari disajikan berikut.
19
Gambar di atas menunjukkan suasana toko yang memberikan potongan harga dalam bentuk persen Cara mengubah pecahan biasa menjadi persen dapat dilakukan seperti contoh ini. 3 4 2 5
3 25
4 25 2 20
5 20
75 100 40 100
75% 40%
Sebaliknya untuk mengubah persen menjadi pecahan biasa, dapat dilakukan dengan mengubah persen menjadi perseratus, yang selanjutnya diubah menjadi pecahan yang paling sederhana. Contoh. 25% =
25 100
Apabila
25 : 25 100 : 25
siswa
1 4
sudah
mengenal
FPB,
dapat
diterapkan
kegunaannya
untuk
menyederhanakan pecahan. Contoh FPB (25, 100) = 25. Jadi pembagi untuk pembilang dan penyebutnya adalah 25. 12,5% =
12,5
100
12,5 : 12,5 100 : 12,5
1 8
c. Mengubah pecahan biasa menjadi pecahan campuran dan sebaliknya
1) Mengubah pecahan biasa menjadi pecahan campuran Mengubah pecahan biasa (yang pembilangnya lebih dari penyebutnya) menjadi pecahan campuran dilakukan dengan cara penanaman konsep (menggunakan peragaan) dan tehnik (menggunakan pembagian bersusun). Permasalahan sehari-hari yang berkaitan dengan hal tersebut dapat diberikan contoh sebagai berikut. Ibu membeli gula pasir sebanyak 7 kantong plastik. Setiap kantong berisi
1 2
kg. Berapa kg gula yang dibeli ibu?
Menggunakan peragaan Ada
1 2
- an kg gula sebanyak 7 kantong atau dalam kalimat matematika
Ubahlah pecahan
7 2
7 2
menjadi pecahan campuran
Langkah 1 Wujudkan
7 2
dengan cara menggambar
1 2
-an sebanyak 7 sebagai berikut.
20
Ada 7 bagian masing-masing setengahan (
1 2
-an)
Langkah 2
Jadi
7 2
= 3
1 2
1 2
Ada 3 utuh Menggunakan pembagian
Bila peragaan telah dilakukan, selanjutnya siswa perlu pula dilatih untuk cara 7 1 3 . cepat/tehnik dengan pembagian. Hasil bagi (7:2) = 3, sisanya 1. Sehingga 2 2 Atau dengan cara pembagian bersusun sebagai berikut.
(hasil)
3 2 7 6 1
a b
– (sisa)
hasil bagi (a:b) +
Sehingga diperoleh
sisa b
7 2
1
3 . Secara umum dapat ditulis 2
; a b.
2) Mengubah pecahan campuran menjadi pecahan biasa Bila siswa mau mengubah pecahan campuran menjadi pecahan biasa maka langkahnya merupakan kebalikan dari mengubah pecahan biasa menjadi pecahan campuran dengan menggunakan gambar persegi panjang. Ubahlah 2
2 3
menjadi pecahan biasa.
Dengan peragaan Langkah 1 Dibuat pecahan 2
2 3
yaitu 2 persegi panjang utuh dan
2 3
-an.
21
2 3
2 Langkah 2 Dibuat pecahan
1 3
-an untuk persegi panjang yang utuh.
2
2
3
Langkah 3 Berilah nomor masing-masing bagian.
1
2 3
4
2
2 3
5
6
7
8
8 3
Secara mekanik (2 × 3 ) + 2 8 3 2 2 = (1 + 1) + 2 = 3 3 2 ( 2 )+ 2 = = 3 3 3 3 3 3 3 3 3
atau 2
2 3 2 6 2 8 2 3 3 3 3 3 3
atau 2 +
2 (2 × 3) + 2 8 = = 3 3 3
C. Panduan Belajar
Panduan belajar ini menggambarkan proses pembahasan modul yang akan dilaksanakan untuk mapel matematika topik pecahan KB-1. PEMBUKAAN 1. Tujuan/kompetensi yang diharapkan 2. Skenario kegiatan
PROSES Pembahasan topik konsep dasar pecahan: praktek/demonstrasi/diskusi/ tanya jawab
PENUTUP 1. Evaluasi KB-1 2. Refleksi kegiatan
22
Pada tahap proses peserta melakukan kegiatan yang memahamkan konsep-konsep dasar pecahan meliputi konsep pecahan: biasa, senilai, desimal, persen, campuran. Modul ini digunakan dalam pelatihan guru dengan cara: 1. peragaan/praktek/demonstrasi 2. diskusi 3. tanya jawab
D. Media Belajar
Media yang digunakan untuk membahas KB-1 modul ini meliputi: 1. LCD/laptop 2. papan tulis/whiteboard 3. kertas lipat/tali rafia/pita 4. blok pecahan
E. Evaluasi Belajar
1. Ubahlah pecahan desimal berikut ini menjadi pecahan biasa a. 0,111…. b. 0,333…. c. 0,666…. 2. Hasil dari
6 8
=
….%
3. Jika pembilang dan penyebut sebuah pecahan, masing-masing dikurangai 5, akan diperoleh pecahan
1 2
. Bila pembilang dan penyebut keduanya ditambah
1, maka pecahan sama dengan
2 3
. Hitung jumlah pembilang dan penyebut
pecahan itu. (langkah cerdas menuju olimpiade matematika seri 2 halaman 25).
KB-2 OPERASI HITUNG PADA BILANGAN PECAHAN Pada KB-2 ini akan diuraikan tentang operasi hitung pecahan yang meliputi: penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Baik untuk pecahan biasa, pecahan campuran, maupun pecahan desimal.
A. Kompetensi
23
Menguasai konsep dan metode keilmuan matematika yang mendukung pembelajaran matematika SD/MI 3. Sub kompetensi 4 4.2 Menguasai konsep bilangan, operasi, algoritma, dan sifat-sifat bilangan pecah 4. Indikator esensial 4.2.1 Menganalisis dan menerapkan sifat-sifat urutan bilangan pecah 4.2.2 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan bilangan pecah 4.2.3 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan perbandingan/rasio.
KB-2 (1) PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN B. Uraian Materi 1. Penjumlahan Pecahan a. Penjumlahan pecahan biasa 1) Penjumlahan pecahan biasa berpenyebut sama
Guru dapat menyampaikan soal cerita sebelum pembelajaran dilaksanakan, agar pemahaman anak menjadi utuh tentang permasalahan yang akan dibahas.
Kakak dan adik masing-masing makan
1 4
bagian dari satu coklat batangan.
Berapa bagian jumlah coklat yang dimakan oleh kakak dan adik?
Permasalahan tersebut dalam kalimat matematika dapat ditulis Penjumlahan
pecahan
tersebut
dapat
diperagakan
1 4
+
dengan
1 4
= ….
model
kongkret
menggunakan media gambar arsiran.
Coklat yang dimakan kakak
Coklat yang dimakan adik
Peragaan digabung
24
Coklat yang dimakan kakak dan adik
Dalam peragaan terlihat bahwa hasil dari penjumlahan tersebut adalah kalimat matematika ditulis:
Dhika makan
2 4
1 4
+
1 4
=
2 4
2 4
. Dalam
.
bagian martabak. Sedangkan Diar makan
1 4
bagian dari martabak
yang sama. Berapa bagian jumlah martabak yang dimakan mereka berdua? Martabak yang dimakan Diar
Martabak yang dimakan Dhika
Yang diarsir martabak yang dimakan Dhika dan Diar
Dengan melihat gambar terlihat bahwa hasil dari penjumlahan tersebut adalah dituliskan:
2 4
+
1 4
=
3 4
3 4
.
Dalam kalimat matematika dapat
.
Guru dapat meningkatkan pemahaman anak dengan menjumlahkan pecahan yang lain. Contoh:
2 6
3 6
... .
Dengan menggunakan daerah yang diarsir
bagian yang diarsir digabung
menjadi
25
2 6
4
Contoh:
3
+
+
8
6 5
3
=…
8
6
bagian yang diarsir digabung
4 8
6
diperoleh dari melihat gambar
menjadi
3
+
5
=
8
=
7
8 Hasil ditentukan dari melihat gambar
Kegiatan dilanjutkan untuk mencari simpulan secara umum dengan cara anak mengisi LKS ( lembar kerja siswa) individu atau kelompok. Simpulan yang diperoleh dari kegiatan peragaan tersebut antara lain sebagai berikut. 1
+
4 2
+
4 2
8
4 1 4
3
3
6 4
1
6 8
2
=
4 3
=
4
5
7
6 8
= =
11 4 2 1 4
23 6 43 8
dan seterusnya.
Simpulan yang diharapkan didapat anak secara umum adalah penjumlahan pecahan yang berpenyebut sama dapat diperoleh hasilnya dengan menjumlah pembilangnya, sedangkan penyebutnya tetap.
Peragaan dapat menggunakan garis bilangan sebagai berikut. 2 6
0
3 6
....
2
5
6
6
6
6
26
2
Mulai dari nol (0) kekanan sampai atau
2 6
3 6
6
dan dilanjutkan
3 6
lagi, sehingga menjadi
5 6
5
. Garis tebal menggambarkan hasil akhir. Peragaan dapat dilanjutkan 6
untuk pecahan-pecahan yang lain.
2) Penjumlahan pecahan yang beda penyebut
Saat anak mempelajari materi ini, mereka harus diberikan pengalaman-pengalaman dalam kehidupan sehari-hari. Sebagai contoh dapat dikemukakan cerita berikut ini.
Adik mempunyai kue
1 4
bagian yang didapat dari kakak. Kemudian ibu
memberinya sepotong lagi yang besarnya
2
bagian. Berapa kue adik sekarang?
menjadi
digabung
1 4
1
1 2
+
3 4
=
(dari ibu)
(dari kakak)
1 1 3 Pada peragaan ini tampak bahwa hasil akhir adalah 3 , berarti . Tampak 4 2 4 4 pula bahwa
1 2
2
1
4
4
. Sehingga
1 2
1 4
2 4
1 2 4
3 4
.
Penjumlahan pecahan berpenyebut tidak sama dapat dipermudah bila diperagakan dengan menggunakan 2 kertas yang dilipat. Kertas yang digunakan sebaiknya berbeda warna, agar terlihat nilai dari masing-masing pecahan yang dijumlahkan. Dalam hal ini pecahan yang dijumlahkan dibatasi hasilnya tidak lebih dari 1 agar tidak membingungkan peserta didik. Sebaiknya penyebut tiap pecahan juga tidak terlalu besar, agar tidak banyak lipatan yang terjadi. Karena lipatanlipatan tersebut menggambarkan penyebut persekutuan. Proses memperoleh hasil lipatan tidak selalu sama, tergantung penyebut pecahan yang dijumlahkan. Namun selalu melalui lipatan yang telah ada sebelumnya.
27
Contoh :
1 2
+
1 4
= ……..
Langkah 1 Ambil 2 kertas yang mempunyai panjang sama, dan warna yang berbeda. Kertas ke1 bentuklah menjadi pecahan
1 2
dengan cara melipat menjadi 2 bagian yang sama ,
diberi garis pada lipatannya dan 1 bagian diarsir yang menggambarkan nilai dari pecahan tersebut. Selanjutnya kertas ke 2 dilipat menjadi 4 bagian sama, diberi garis pada setiap lipatan, dan 1 bagian diarsir untuk menggambarkan pecahan
kertas ke-1
1 4
.
1 2
Panjang kertas sama dan warna berbeda
kertas ke-2
Langkah 2 Setelah masing-masing pecahan terbentuk, maka gabungkan bagian-bagian yang 1 diarsir dengan cara kertas ke-2 dilipat dan hanya diperlihatkan pecahan -an saja, 4 kemudian tempelkan terus pada kertas yang ke-1 seperti berikut ini. kertas ke-2
1 4
Kertas ke-2 dilipat dan hanya diperlihatkan 1 4
-annya atau diperlihatkan arsirannya saja.
kertas ke-1 Lipatan
1 4
-an
digabung dengan lipatan
1 2
Sisa dari kertas ke-1 Langkah 3 Lipatlah sisa atau bagian yang tidak diarsir kebelakang dan kedepan dengan ukuran sama dengan sisa yang ada. Dalam hal ini baik kertas yang ke-1 maupun yang ke-2 ikut dilipat. Lipatan diteruskan sampai semua kertas terlipat habis dengan ukuran
sisa dilipat 28
sama. Maka akan terlihat lipatan-lipatan yang menunjukkan penyebut persekutuan seperti gambar.
Sisa dilipat ke belakang sisa dilipat lagi
sisa dilipat lagi Hasil akhir dari lipatan
Langkah 4 Bukalah lipatan-lipatan dari 2 kertas yang ada. Maka akan terlihat bahwa pecahan menjadi
2 4
dan pecahan
1 4
1 2
masih tetap. Dari kegiatan ini anak mendapat
pengalaman bahwa 2 pecahan menjadi sama penyebutnya dan hasil dari penjumlahan akan terlihat.
Bila peragaan tersebut diulang untuk penjumlahan pecahan yang lain, maka anak akan mempunyai pengalaman bahwa: bila menjumlah pecahan dengan penyebut tidak sama, supaya dapat memperoleh hasil maka penyebutnya harus disamakan terlebih dahulu, dengan cara mencari pecahan senilainya
29
Peragaan dan soal di atas masih mudah, karena penyebut yang satu merupakan kelipatan dari yang lain. Bila permasalahan berkembang menjadi
3 8
1 6
maka anak
harus mencari penyebut persekutuan. Kendala timbul bila anak belum belajar KPK. Satu cara untuk membantu menentukan penyebut persekutuan adalah dengan mendaftar pecahan-pecahan yang senilai untuk setiap pecahan. Sehingga anak mempunyai pengalaman untuk memperoleh penyebut yang senilai paling kecil yang tepat untuk diambil. 3 8 1 6
6 16 2 12
9
24 3 18
12
4
32 24
15
5
40 30
18
6
48 36
21
56 7
42
8 48
Ketika siswa memeriksa kedua daftar tersebut di atas, mereka menemukan bahwa beberapa pecahan mempunyai penyebut yang sama. Ini membantu siswa menyadari, bahwa terdapat lebih dari satu pasang penyebut persekutuan untuk kedua pecahan. Salah satu pasangan (ternyata penyebutnya merupakan KPK dari kedua penyebut) dapat digunakan untuk menjumlah atau mengurangi pasangan pecahan yang tidak sama penyebutnya. Bila KPK sudah dipelajari maka selanjutnya model abstrak dapat dilakukan.
1
2
2 3
1
1
4 5
1 2 2 2 25 3 5
1 1 4 1 1 3 5 3
2
10
4
15
1 4
3
15
2 1 4
3 4
10 3 15
13 15
Selanjutnya perlu pula ditemukan beberapa hal yang harus diingat oleh siswa sebagai kunci untuk menentukan penyebut persekutuan dari penjumlahan beberapa pecahan yang berbeda penyebut sebagai berikut.
Bila tiap-tiap penyebut merupakan bilangan prima, misal 2, 3, dan 5. Maka penyebut persekutuannya adalah perkalian dari ke tiga bilangan tersebut, yaitu 2
3
5 = 30.
Bila penyebut yang satu merupakan kelipatan dari penyebut-penyebut yang lain atau penyebut yang satu dapat dibagi oleh penyebut-penyebut yang lain, misal penyebut pecahan adalah 2, 4, dan 8, maka penyebut persekutuannya adalah
30
penyebut yang paling besar. Karena 8 dapat dibagi 2 dan 8 dapat dibagi 4.
Bila penyebut dari tiap-tiap pecahan yang dijumlah tidak memenuhi ke dua
b.
Penjumlahan pecahan desimal
Penjumlahan pecahan desimal dapat diperagakan menggunakan gambar yang diarsir dengan cara mengacu pada pecahan biasa dan pecahan campuran yang berpenyebut persepuluhan. Peragaan tersebut hanya merupakan jembatan untuk menghitung secara mekanik. Agar notasi bilangan yang dijumlahkan lurus, maka guru dapat memulai pembelajaran dengan menggunakan kertas berpetak dan penjumlahan dilakukan dengan cara susun ke bawah .
1). Penjumlahan pecahan desimal yang bukan pecahan campuran Keisha mempunyai pita yang panjangnya 0,4 meter. Adiknya juga mempunyai pita yang panjangnya 0,8 meter. Berapa meter jumlah pita mereka berdua?
Contoh 1: 0, 4 + 0, 8 = …. Untuk membelajarkan pecahan desimal seperti di atas, jika masih diperlukan guru dapat memulainya dengan merubah penjumlahan pecahan desimal menjadi pecahan biasa, kemudian dicari hasilnya sesuai aturan penjumlahan pecahan yang berpenyebut sama. 4 10
+
8 10
=
12 10
=1
2 10
Hasil penjumlahan yang telah ditemukan dicocokkan dengan hasil penjumlahan bilangan yang menggunakan aturan penjumlahan bilangan asli susun ke bawah.
0
,
4
0
,
8
Setiap kotak ditempati 1 angka atau 1 simbol. Agar angka-angka yang ada lurus sesuai nilai tempatnya. Demikian pula untuk penempatan komanya. +
31
Dalam melakukan penjumlahan seyogyanya guru melatih peserta didik mengetahui dan dapat mengucapkan kedudukan dari setiap bilangan sesuai nilai tempatnya. Contoh pengucapan untuk soal di atas sebagai berikut. Menyimpan 1
“Nol koma empat ditambah nol koma delapan. Empat dan delapan nilai tempatnya per sepuluhan”. Pengucapan untuk penjumlahan susun ke bawah sebagai berikut. ” Empat persepuluhan ditambah delapan persepuluhan, hasilnya dua belas persepuluhan. Dua persepuluh ditulis ditempat persepuluhan, sedangkan sepuluh persepuluhan atau satu kemudian ditambah nol satuan hasilnya satu, dan ditulis di tempat satuan”. Koma untuk hasil lurus dengan koma yang lain. Hasilnya adalah satu koma dua.
1 0
,
4
0
,
8
1
,
2
+
2). Penjumlahan pecahan desimal campuran
Tono pergi ke kota Surabaya dengan mengendarai mobil. Dalam perjalanan Tono mengisi bensin sebanyak 2 kali, yang pertama 22,5 liter dan kedua hanya 18,2 liter karena tangki sudah penuh. Berapa liter jumlah bensin yang dibeli Tono?
Contoh 1 : 22,5 + 18,2 =…… menyimpan 1 1 2
2
,
5
1
8
,
2
4
0
,
7
+
Contoh 2: 12,5 + 8,25=…… menyimpan 1 1 1
2
2
,
5
0
8
,
2
5
0
,
7
5
+
Dalam pikiran diberi tambahan nol, agar memudahkan siswa dalam menambahkan. Karena 12,5 sama nilainya dengan 12,50
32
c. Penjumlahan pecahan campuran
Materi ini dipelajari anak pada kelas V dan pada umumnya guru melaksanakan pembelajaran dengan tehnik atau cara singkat. Oleh sebab itu pada alternatif pembelajaran kali ini diperagakan dengan menggunakan bangun geometri seperti contoh berikut ini.
Ayah membeli 2 ekor ayam. Berat tiap-tiap ayam adalah 2
3 4
kg dan 1
1 2
kg. Berapa
kg berat 2 ekor ayam tersebut?
Mewakili 1 kg
2
3 4
1
1 2
....
3
2
1
1
2
4
Bagian yang utuh digabung
3 Bagian yang tidak utuh digabung, kemudian dibandingkan dengan yang satu utuh. Maka dapat diketahui hasilnya lebih dari 1.
3
1
3
2
4
2
4
4
Bagian yang tidak utuh digabung
33
Selanjutnya proses penjumlahan
3 4
+
1 2
seperti pada penjumlahan 2 pecahan yang
berbeda penyebut (telah dipelajari sebelumnya), namun tidak menggunakan peraga lipatan. Dari peragaan di atas kemudian dialihkan menjadi penjumlahan dengan simbol. 2
1 1 1 5 3 1 3 2 1 2 1 3 3 = 3 + 1 = 4 4 2 4 4 4 4 2 4 4 3
2. Pengurangan Pecahan a. Pengurangan pecahan biasa
Pengurangan pecahan biasa dapat diragakan dengan model kongkret berikut ini. 3
5
1 5
= ......
3) Dengan menggunakan luas daerah 3
5
1 5
= ......
Luas daerah yang diarsir semula adalah
dihapus arsirannya
Sisa Jadi
3 5
1 5
3 5
1 5
2 5
2 5
3 1 5
Contoh peragaan diperluas sehingga anak mempunyai pengalaman-pengalaman yang banyak. Dari peragaan-peragaan dapatlah disimpulkan bahwa:
pengurangan pecahan yang berpenyebut sama dapat dilakukan dengan mengurangkan pembilangnya, sedangkan penyebutnya tetap.
4) Dengan menggunakan garis bilangan
34
3
0
5 3 5
-
1 5
=
2 5
=
3 -1 5
Catatan : garis tebal menggambarkan hasil akhir. b.
Pengurangan pecahan campuran
Contoh: 5
1 4
2
2 4
.... diambil 2
1 p a h a t
1
5
4
2 p a h a t
3
sisa
adalah 4
2 p a h a t
5
2
4
bila diambil
2
kurang
4
sehingga mengambil yang utuh.
Hasil akhir
2
3 4 35
Secara mekanik sebagai berikut 5 5
1 4 1 4
2
2
....
4 2
1
4
4
2 = 5 2 +
2
1
4
4
= 3+
2
1
4
4
= 2 +1 = 2
1 4
= 2
1
= 2
1
1
2
4
2
4 4
4 4
2 4
4 2 4
2
3 4
KB-2 (2) PEKALIAN DAN PEMBAGIAN 3. Perkalian Pecahan a. Perkalian pecahan biasa
1) Perkalian bilangan asli dengan pecahan biasa Permasalahan bilangan asli yang dikalikan dengan pecahan ada dalam kehidupan nyata sehari-hari dengan contoh-contoh sebagai berikut. Setiap resep kue kering memerlukan 1 kg gula 4
halus. Berapa kg gula yang diperlukan bila bu Adit mau membuat 10 resep kue?
Setiap anak memerlukan 1 meter pita untuk membuat kerajinan bunga.
5 Berapa meter pita yang diperlukan bila ada 3 anak yang mau membuat kerajinan bunga? Setiap anak memerlukan 2 meter pita untuk membuat tali kado. Berapa 5 meter pita yang diperlukan oleh 3 anak untuk membuat tali kado?
Dalam pelaksanaan pembelajaran diharapkan diberikan contoh-contoh permasalahan sehari-hari untuk memahamkan konsep kepada anak. Benda-benda kongkret sederhana seperti pita atau tali
dapat dijadikan media pembelajaran sebelum masuk
pada tahap semi kongkret berupa gambar. Berikut ini diberikan contoh alternatif penyelesaian dari 2 permasalahan. Contoh 1 36
Ani, Beta, dan Cica akan membuat bunga dengan masing-masing memerlukan 1 5
meter pita. Berapa meter pita yang diperlukan untuk 3 anak? Bila setiap anak memerlukan 1 m pita, maka 3 anak akan memerlukan … m pita. 5
Dalam kalimat matematika dapat dituliskan 3 1 = ....... 5
1m 5
1m 5
1 anak
1 anak
1 m atau 20 cm 5
1 anak
3 anak Dengan menggunakan konsep penjumlahan berulang akan didapat konsep perkalian sebagai berikut. 1 + 1 + 1 = 1 1 1 = 3 5 5 5 5 5
3 1 = 3 = 3 1 5 5 5 Jadi 3 anak memerlukan 3 meter pita atau 60 cm. 5
Contoh 2 Ati, Bety, dan Cindi akan membuat bunga dan masing-masing memerlukan 2 m 5
pita. Berapa meter pita yang diperlukan untuk 3 orang anak? Bila setiap anak memerlukan
2 m pita, maka 3 anak memerlukan … m pita. 5
Kalimat matematika yang bersesuaian adalah 3 2 = ..... 5
2 m atau 40 cm 5
2m 5
1 anak
1 anak
2 m 5
1 anak
3 anak Dengan menggunakan konsep penjumlahan berulang maka akan didapat konsep perkalian. 2 + 2 + 2 = 222 = 6 5 5 5 5 5
3 2 5
= 6 = 32 5
5
37
Jadi pita yang diperlukan 6 atau 1 1 meter dan setelah diukur hasilnya adalah 1 5 5 meter lebih 20 cm. Contoh-contoh tersebut dapat dilanjutkan untuk perkalian-perkalian yang lain. Dari contoh tersebut dapat dibuat kesimpulan berdasar pola yang terjadi sebagai berikut. (1) 1 + 1 + 1 = 3 1 = 3 = 3 1 atau 3 1 = 3 1 5 5 5 5 5 5 5 5 (2) 2 + 2 + 2 = 3 2 = 6 = 3 2 atau 3 2 = 3 2 5 5 5 5 5 5 5 5 Dalam kalimat sederhana dapat dinyatakan bahwa: bilangan asli dikalikan dengan pecahan biasa hasilnya adalah bilangan asli dikalikan pembilangnya, sedangkan penyebutnya tetap atau dalam bentuk umum
a
b c
a
b c
2) Perkalian pecahan dengan bilangan asli Permasalahan perkalian pecahan dengan bilangan asli ada dalam kehidupan sehari-hari dengan contoh-contoh sebagai berikut.
Keisya mempunyai 30 mangga hasil panen dan 2 akan diberikan kepada
5 tetangga. Berapa buah mangga yang diberikan kepada tetangga? Dita mempunyai pita yang panjangnya 3 meter, dan 2 bagian dari pita 3 tersebut akan dibuat bunga. Berapa meter pita yang dibuat bunga? Dinda mempunyai tali yang panjangnya 5 meter, dan 3 bagian dari tali 5
dipakai untuk mengikat kardus. Berapa meter panjang tali yang digunakan untuk mengikat kardus? Luas kebun Diar adalah 500 m2, dan 2 bagiannya akan ditanami cabe. 5 Berapa luas kebun Diar yang ditanami cabe?
Dalam pelaksanaan pembelajaran benda kongkret dapat diganti dengan gambargambar yang disusun dalam LK (Lembar Kerja). Gambar-gambar yang tercantum pada LK hendaknya sederhana sehingga siswa mudah menentukan bagian-bagian dari bangun tersebut.
Materi prasyarat yang harus diingat adalah bilangan asli yang
dikalikan dengan pecahan (karena pada hakekatnya pecahan yang dikalikan dengan bilangan asli merupakan bentuk komutatif dari bilangan asli yang dikalikan dengan pecahan) ; pecahan senilai; dan pecahan campuran.
Pada akhir kegiatan perlu
rangkuman dengan menggunakan skema yang telah disiapkan seperti contoh. 38
Contoh 1
Keisya mempunyai 30 mangga hasil panen dan 2 akan diberikan kepada tetangga. 5
Berapa buah mangga yang diberikan kepada tetangga? Alternatif penyelesaian Kalimat matematika yang bersesuaian adalah 2 dari 30 atau 2 30 = ….. 5
5
Ternyata terlihat bahwa 1 bagian ada 6 buah. Jadi kalau 2 bagian ada 2 6 = 12. 5 5 6 60 2 2 30 = Jadi = 12 atau 30 = 2 6 = 12. 5
5
5
Contoh 2 Dita mempunyai pita yang panjangnya 3 meter, dan 2 bagian dari pita tersebut akan 3
dibuat bunga. Berapa meter pita yang dibuat bunga? Alternatif penyelesaian Kalimat matematika yang bersesuaian adalah 2 dari 3 atau 2 3 = …. 3
3
3 meter 1 meter
1 meter
1 meter
2 dari 3 m 3
Dari gambar terlihat bahwa 2 dari 3 m adalah 2 m atau 2 3 = 2 3
3
Bila dicocokkan 2 3 = 2 3 = 6 = 2. Jadi 2 3 = 2 3 3 3 3 3 3 Contoh 3 Dinda mempunyai tali yang panjangnya 5 meter, dan 3 bagian dari tali dipakai untuk 5
mengikat kardus. Berapa panjang tali yang digunakan untuk mengikat kardus? 39
Tali diukur panjangnya 5 meter dan setiap panjang 1 meter diberi tanda. 5m Tali dibagi menjadi 5 bagian yaitu berdasar penyebut dari pecahan yang digunakan dan menentukan 3 bagiannya serta menetapkan hasil yaitu 3 m. 5 2m
1m
3m
4m
5m
0 1 bagian 5
2 bagian 5
3 bagian 5 Untuk kalimat matematikanya dapat dituliskan 3 5 = 3 = 3 5 = 15 . 5 5 5 Contoh 4 Luas kebun Diar adalah 500 m2, dan 2 bagiannya akan ditanami cabe. Berapa luas 5
kebun yang ditanami cabe? Alternatif penyelesaian dengan gambar Kalimat matematika yang bersesuaian adalah 2 dari 500 atau 2 500 = .... 5 5 Luas kebun Diar yang ditanami cabe
50 m 10 m
100 m
100 m
100 m
100 m
100 m
10 m
10 m
10 m
10 m
10 m 2
Dari gambar terlihat bahwa luas kebun yang akan ditanami cabe adalah 200 m atau 2 5
500 = 200 . Bila dibuat yang lain 2 500 = 2 500 = 1.000 = 200. 5
5
5
Jadi 2 500 = 2 500 5 5 Rangkuman dari contoh tersebut adalah sebagai berikut. (1) 2 3 = 2 = 2 3 = 6 3 3 3
atau 2 3 = 2 3 3 3
(2) 3 5 = 3 = 3 5 = 15 5 5 5
atau 3 5 = 3 5
(3) 2 500 = 200 = 2 500 = 1.000 5 5 5
atau 2 500 = 2 500 5 5
5
5
40
Dalam kalimat sederhana dapat dinyatakan bahwa:
Hasil perkalian bilangan asli dengan pecahan biasa adalah pecahan yang diperoleh dari bilangan asli dikalikan dengan pembilang pecahan biasa dengan penyebut pecahan tetap. Atau dalam bentuk umum…. a c a c b
b
Sifat komutatif dari pecahan biasa yang dikalikan dengan bilangan asli dan bilangan asli yang dikalikan dengan pecahan biasa adalah sebagai berikut. 32 = 2 3 3 3 3 3 3 dan seterusnya 5 = 5 5 3) Perkalian pecahan dengan pecahan Permasalahan pecahan yang dikalikan dengan pecahan ada dalam kehidupan nyata sehari-hari dengan contoh-contoh sebagai berikut.
Ibu mempunyai 3 bagian dari satu kue. Jika ibu menghidangkan 2 dari 3 4 yang ada untuk tamu, maka berapa bagian dari kue tersebut yang dihidangkan untuk tamu?
Satu resep kue kering membutuhkan 3 bagian coklat batangan. Jika 5
kakak membuat 1 resep maka coklat yang dibutuhkan … bagian 2
Materi prasyarat yang harus diingat meliputi bilangan asli yang dikalikan dengan pecahan; pecahan yang dikalikan dengan bilangan asli; pecahan senilai; dan pecahan campuran. Adapun alternatif penyelesaian sebagai berikut. Contoh 1 Ibu mempunyai 3 bagian kue taart. Jika ibu menghidangkan 2 dari kue tersebut, 4
3
maka yang dihidangkan = … bagian dari kue taart.
41
Permasalahan tersebut dapat dinyatakan dalam kalimat matematika 2 dari 3 yang secara matematis ditulis 3 4 2 3 =… 3 4
yang diarsir mewakili bilangan 3 4
Kue taart yang 3 bagian dibagi menjadi 3 sama besar dan diambil 2 dari 3 . 4 3 4 Pada gambar terlihat bahwa hasil dari 2 3 = 1 (yang 3 4 2 diarsir dobel) atau 2 3 = 2 3 = 6 = 1 3 4 34 12 2
(yang diarsir dobel mewakili 2 dari 3 yaitu 1 ) 3
4
2
Peragaan dengan menggunakan model luas daerah. Hasilnya yang diarsir dobel.
1 2 3 1 3
Setiap petak
mewakili 1 . Dari gambar dapat dilihat 12
bahwa ada 6 petak 1 an atau dalam kalimat matematika 12 1 4
2 4
3 4
1
2 3 = 6 atau 2 3 = 6 = 2 3 3 4 12 3 4 12 34
Contoh 2. Satu resep roti membutuhkan 3 bagian dari coklat batangan. Jika kakak membuat 1 2 5 resep maka coklat yang dibutuhkan … bagian. Untuk mengkongkretkan masalah di atas dapat digunakan media kertas yang mudah dilipat sebagai media individual. Tahap 1 Kertas yang mewakili coklat batangan dilipat menjadi 5 bagian sama sesuai penyebut pecahan 3 . Arsir 3 bagian dari lipatan untuk membentuk pecahan 3 . 5
5
yang diarsir 3 5
Tahap 2 42
Lipat yang 3 bagian menjadi 2 bagian sama. Tiap bagian mewakili 1 dari 3 , maka 2
5
5
akan terbentuk lipatan kecil.
1 dari 3 2 5
Tahap 3 Ikuti lipatan kecil tersebut sampai seluruh kertas membentuk lipatan kecil yang sama. Maka akan terbentuk 10 lipatan kecil, dan 1 dari 3 tersebut ternyata sama dengan 3 2 5 lipatan kecil dari 10 lipatan atau 3 (yang diarsir dobel). 10
1 dari 3 2 5
Jadi 1 dari 3 adalah 3 . Kalimat matematikanya 1 3 = 3 = 1 3 2 2 5 10 5 25 10 Atau dengan model luas daerah didapat gambar sebagai berikut. Digambar 1 utuh, kemudian diambil 3 bagian dari 1 utuh. Dari 3 tersebut diambil 5
5
1 bagiannya. 2
1
Setiap petak
1 2
mewakili 1 . Dari gambar dapat dilihat 10
bahwa ada 3 petak 1 atau dalam kalimat matematika 10 adalah 1 3 = 3 5 10 2 1 5
2 5
3 5
atau 1 3 = 3 = 1 3 . 10 25 2 5
1
Dalam kalimat dapat disimpulkan bahwa: pecahan dikalikan pecahan hasilnya adalah pecahan yang pembilangnya dikalikan pembilang dan penyebutnya dikalikan penyebut” atau secara matematis ditulis a c a c . b
d
b
d
43
Contoh dapat diperbanyak untuk mendapatkan bentuk perkalian yang lain sehingga menambah pemahaman peserta didik tentang materi yang disajikan. b. Perkalian pecahan campuran
Permasalahan perkalian bilangan asli dengan pecahan campuran ada dalam kehidupan nyata dengan contoh-contoh sebagai berikut.
Setiap toples kue kering memerlukan 1
1 2
ons mentega.
Berapa
ons mentega diperlukan bila kakak mau membuat 5 toples kue?
Kalimat matematika dari permasalahan tersebut di atas adalah: 5 1
1 2
= ….. Dengan
menggunakan penjumlahan berulang akan didapat hasil berikut. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 1+1+1+1+1+ + + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 = (5 1) + (5 ) 2 5 1 1 = 5 + = 5 + 2 = 7 atau 2 2 2 51
1 2
=1
1 2
+1
1 2
+1
1 2
+1
1 2
+1
1 2
= 1+1+1+1+1+
1
+
1
+
1
+
1
+
1
2 2 2 2 2 1 2 1 = (5 1) + (5 ) = (5 ) + (5 ) 2 2 2 2 1 3 15 1 = 5 ( + ) =5 = =7 2 2 2 2 2
Untuk memahamkan anak guru dapat pula membimbing siswa dengan for mat berikut. Banyak toples 1
2
3
4
5
Mentega dalam ons
1
1
1
1
1
Kalimat perkalian
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
+1
+1
+1
+1
1 2 1 2 1 2 1 2
+1
+1
+1
1 2 1 2 1 2
+1
+1
1 2 1 2
+1
1 2
11
1
21
1
31
1
41
1
51
1
2
2
2
2
2
=1
3
=2
3
=3
3
=4
3
=5
3
2
2
2
2
2
=
=
=
=
=
1 3 2 23 2 3 3 2 43 2 53 2
=
=
=
=
=
Hasil
3 2 6
1
1 2
3
2 9 2 12
4
1 2
6
2 15 2
7
1 2
44
Selanjutnya dapat langsung sebagai berikut 5 1
1 2
3
=5
15
=
2
2
=7
1 2
Untuk perkalian pecahan campuran dengan pecahan campuran dapat diberikan contoh permasalahan sehari-hari sebagai berikut.
Untuk membuat rendang dari 1 kg daging dibutuhkan 2 mau membuat rendang dari 3
1 2
1
liter santan. Bila ibu
2
kg daging, berapa liter santan yang diperlukan?
Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut, dapat mengisi format berikut.
Berat daging dalam kg 1
2
Kalimat penjumlahan
2
2
3
2
1 2 1 2 1 2
+2
+2
1 2 1 2
+2
1 2
Kalimat perkalian
12
1
22
1
32
1
1
1
2
2
2
2
2
=1
5
=2
5
=3
5
2
2
2
=
=
=
1
1
5
2
2
2
2 =
2
Santan yang diperlukan dalam liter 1 2 2
10
5
5
2 15
=
7
2 5
1
4
Jadi santan yang diperlukan untuk membuat rendang seberat 3 (7 + 1) + (
1 2
+
1 4
) = 8+ (
2 1 4
)=8+
3 4
=8
1 2
1 2 1 4
kg daging = 7
1 2
+1
1 4
=
3 4
Selanjutnya dapat langsung sebagai berikut 3
1 2
1
7
2
2
2 =
5 2
=
35 4
=8
3 4
c. Perkalian pecahan desimal
Permasalahan dalam topik perkalian pecahan desimal dapat dihubungkan dengan permasalahan perkalian pecahan campuran pada pembahasan nomor 3. Untuk membuat rendang dari 1 kg daging dibutuhkan 2,5 liter santan. Bila ibu mau membuat rendang dari 3,5 kg daging, berapa liter santan yang diperlukan?
45
Untuk memudahkan dan mengecek hasil, guru dapat memulai membimbing dengan cara perkalian pecahan biasa dengan alternatif penyelesaian sebagai berikut. 3,5 2,5 = 3
5 10
2
5 10
=
35 10
25 10
=
875 100
= 8,75
3,5 2,5 17 5 70 + 87 5 Karena penyebut seratus maka letak koma dihitung 2 langkah dimulai dari belakang 4. Pembagian Pecahan a. Pembagian pecahan biasa
1) Pembagian bilangan asli dengan pecahan biasa Permasalahan pembagian bilangan asli dengan pecahan ada dalam kehidupan nyata sebagai berikut.
Bapak mempunyai 5 kg gula pasir yang disediakan untuk membuat minuman. memerlukan 1 kg gula. Berapa hari gula 2 tersebut dapat memenuhi kebutuhan keluarga Pak Joko? Kakak mempunyai 2 m pita dan akan dibuat bunga. Masing-masing bunga Setiap hari keluarga Pak Joko
memerlukan pita 1 m. Berapa banyak bunga yang dapat dibuat oleh kakak?
4
Dalam pelaksanaan pembelajaran diharapkan dapat diangkat permasalahanpermasalahan nyata seperti tersebut di atas yang disertai dengan media sederhana misal obyek nyata, pita, tali, tali dan sebagainya untuk memperagakan permasalahan yang dibicarakan. Siswa dibagi dalam kelompok-kelompok untuk mendiskusikan permasalahan yang ada dan guru bertugas membimbing bila kelompok memerlukan. Apabila tugas kelompok telah selesai maka guru memberi kesempatan siswa untuk mengkomunikasikan hasil kerjanya. Pada akhir kegiatan merangkum sebagian dari materi yang dibahas dengan menggunakan obyek nyata atau media gambar.
46
Untuk menjawab permasalahan di atas, kita gunakan media gambar dari pita. Ada 2 m pita yang dibuat bunga. Setiap kali membuat bunga berarti kita mengurangi secara berulang 1 m dari 2 m yang ada sampai pita habis dibuat bunga. 4
Atau 2 – 1 – 1 – 1 – 1 – 1 – 1 – 1 – 1 . Dalam kalimat matematika tentang 4 4 4 4 4 4 4 4 pembagian menjadi 2 : 1 = ….. 4
2 m pita
1 bunga
1 bunga
1 bunga
1 bunga
1 bunga
Dengan melihat gambar ternyata ada 8 bunga yang dapat dibuat dari 2 m pita tersebut. Atau dalam kalimat matematika adalah 2 : 1 = 8. Bagaimana bila setiap bunga 4
memerlukan 3 m? 4
2 meter pita
1 bunga
1 bunga
Ternyata ada 2 bunga yang dapat dibuat dan pitanya masih sisa. Apabila digambarkan dalam bentuk bunga dapat seperti berikut.
1 bunga
1 bunga
terdiri dari 3 kelopak
terdiri dari 3 kelopak
hanya dapat dibuat 2 kelopak dari 3 kelopak yang seharusnya ada
47
Sehingga 2 : 3 = 2 2 atau 8 4 3 3 Contoh-contoh kongkret yang lain dapat diperbanyak untuk mengembangkan pemahaman kepada siswa tentang materi yang disajikan. Pada tahap berikutnya dapat diulang dengan menggunakan peragaan garis bilangan. Contoh 2 : 1 = … dapat diartikan sebagai ada berapa 1 an dalam 2. 3 3 1 an 3
1 an 3
0
1
1 an 3
1 an 3
1 an 3
1 an 3
2
Tampak bahwa dalam 2 ada 1 an sebanyak 6, maka hasil dari 2 : 1 = 6 3 3 Contoh 2 : 2 = … 3 1 satuan 2 3
1 satuan 2 3
an
1 satuan 2 3
an
an
1
0
2
Dari garis bilangan tampak bahwa dalam 2 ada 2 an sebanyak 3 atau secara matematis 3 ditulis 2 : 2 = 3. 3 Contoh 2 : 3 = … 5
Dengan luasan sebagai berikut.
sisa 1 dari 3 an atau secara matematis ditulis 1
2
3
3
5
2 : 3 = 3 1 = 10 . 3 3 5
Dengan garis bilangan Sisa
1 3
bagian 1 satuan 1 satuan
0
1 satuan
1
2 : 3 = 3 1 = 10 5 3 3 2 48
Dari peragaan-peragaan tersebut ternyata ada pola hubungan sebagai berikut
2: 2:
1 4 3 4
2: 1 3
2: 2 3
2: 3 5
=8= 8
2 4
=2
1 2 4
4 1 4
=2 3 3 = 6 = 23 = 2 3 1 1 = 3 = 23 = 2 3 2 2 = 10 = 2 5 = 2 5 3 3 3
=
4
=
Pola hubungan yang terbentuk merupakan kunci yang harus diingat oleh siswa Hasil pembagian dari bilangan asli yang dibagi dengan pecahan biasa sama dengan hasil perkalian bilangan asli itu dengan kebalikan pecahan biasa yang diketahui itu. Atau dalam bentuk umum a : b a c c
b
Hasil dari peragaan-peragaan telah didapat pola hubungan sebagai berikut
2:
1
2:
3
4 4
=8 =
diubah 8 =
8
8
diubah
3
3
=
2 4 1 2 4 3
4
=2
1
=2
4 3
2: 1 =6
diubah 6 = 2 3 = 2 3 1 1
2: 2 =3
diubah 3 = 2 3 = 2 3 2 2
3 3
2 : 3 = 10 5
diubah 10 = 2 5 = 2 5 3 3 3
3
Cara pembuktian pembagian antara bilangan asli dengan pecahan dapat pula dijelaskan secara aljabar seperti berikut. Contoh pembuktian dengan cara aljabar untuk 2 : 3 = ....... 4 Agar pecahan masih senilai maka dikalikan 2
4
2 3 = 2: 3 = = 3 4 4 3 4
4
2
4 3
4
3 =24= 8 1 3 3
4 Jadi 2 : 3 = 2 4 3
3
Dibuat hasil perkalian = 1 sehingga dikalikan
4 3 49
Contoh pembuktian dengan cara aljabar untuk 2 : 2
2:
5
2
2 3 3 = = = 3 5 3 5 5 3 5
3 5
= .......
5
3 = 2 5 = 10 1 3 3
Jadi 2 :
5 3 = 2 3 5
5 Jadi 2 : 3 = 2 3 5 2) Pecahan biasa dibagi bilangan asli
Permasalahan pembagian pecahan dengan bilangan asli dapat dimunculkan dari contoh sehari-hari sebagai berikut.
Ibu mempunyai 3 pizza yang akan diberikan kepada 2 anaknya. Masing-masing 4 anak harus mendapat bagian sama. Pizza yang diterima setiap anak adalah … bagian.
Adik mempunyai 1 batang coklat yang akan diberikan kepada 3 temannya dan 2 setiap teman harus mendapat bagian yang setiap teman adik adalah … bagian.
sama. Maka coklat yang diterima
Dalam melaksanakan pembelajaran seyogyanya mengangkat permasalahan-permasalahan nyata seperti tersebut di atas yang dapat dituangkan dalam bentuk LK. Contoh materi yang dibahas dapat dibuat sebagai berikut. Contoh 1. Ibu mempunyai 3 pizza yang akan diberikan kepada 2 anaknya yang masing-masing 4
harus mendapat bagian sama. Maka setiap anak mendapat … bagian. Permasalahan di atas dalam kalimat matematika 3 :2=… 4 yang diarsir menunjukkan
3 4
Dari gambar tampak bahwa bagian dari masing-masing anak adalah 3 atau 3 : 2 = 3 . 8 8 4
bagian dari masing-masing adalah 1 dari 3 atau 1 3 = 2
4
2
4
50
Contoh 2. Adik mempunyai 1 batang coklat yang akan diberikan kepada 3 temannya. Setiap teman 2 harus mendapat bagian sama. Setiap teman adik mendapat coklat … bagian. Penjelasan dapat menggunakan kertas yang dilipat-lipat untuk memperagakan batangan coklat yang dimaksud dalam soal dan diarsir.
yang diarsir
1 batang coklat. 2
Lipat 1 bagian tadi menjadi 3 bagian lagi ( menggambarkan dibagi untuk 3 orang) dan 2 teruskan lipat sampai 1 bagian utuh, sehingga terlihat bahwa 1 bagian dari 1 adalah 1 , atau yang diarsir 2 3 6 bagian masing-masing anak
dobel.
Permasalahan di atas dalam kalimat matematika adalah 1 : 3 = …. 2 Pada gambar tampak bahwa bagian dari masing-masing anak adalah 1 atau 1 : 3 = 1 . 6 2 6 Atau bagian dari masing-masing anak adalah 1 dari 1 dan dapat ditulis 1 1 = 1 2 2 3 3 6 Contoh 3. 2 :5=… 3
Dapat diperagakan sebagai berikut.
yang diarsir 2 3
karena dibagi 5 maka dilipat menjadi 5 bagian
Pada gambar terlihat bahwa 2 : 5 = 2 (yang diarsir dobel) 3
15
Dari contoh tersebut ternyata terdapat pola hubungan sebagai berikut. Hasil dari melihat gambar
3 :2= 3 4 8 1 :3= 1 6 2
diubah diubah
3 = 3 = 3 1 = 3 8 4 2 4 2 4 1 = 1 = 11 = 1 6 23 2 3 2
1 Jadi 3 : 2 = 3 2
1 3
4
4
1 2
1 1 Jadi 1 : 3 = 2 2 3
51
2 :5= 2 3 15
diubah
2 = 2 = 2 1 = 2 15 3 5 3 5 3
1 5
2 1 Jadi 2 : 5 = 3 3 5
Kunci dari pola hubungan tersebut adalah sebagai berikut. Apabila pecahan biasa dibagi dengan bilangan asli maka hasilnya adalah pembilang dari pecahan tersebut tetap sedangkan penyebutnya dikalikan dengan bilangan aslinya. Atau pecahan yang dibagi tetap sedangkan tanda pembagian menjadi perkalian dan bilangan asli yang membagi menjadi pecahan yang pembilangnya 1. Atau dalam bentuk umum
a b
:c
a bc
atau
a b
:c
a b
1 c
Cara pembuktian pembagian antara bilangan asli dengan pecahan dapat pula secara aljabar berikut ini. 2 2 3 3 4 = 4 = 3 2 = 3 2 = 3 2 = 3 2 Jadi 3 : 2 = 3 2 3 :2= 3 = 4 4 4 2 4 1 4 4 4 1 4 1 4 1 2 2 4 Pada tahap berikutnya diberikan soal-soal yang dapat dikerjakan siswa secara individu dan dimantapkan dengan PR. Soal-soal yang diberikan dapat dalam bentuk soal cerita maupun soal bukan cerita. 3) Pecahan biasa dibagi pecahan biasa
Permasalahan pecahan yang dibagi dengan pecahan dapat dicontohkan dalam kehidupan sebagai berikut.
Kakak mempunyai
3 4
m pita yang akan dibuat hiasan. Satu hiasan
memerlukan pita 1 m. Berapa banyak hiasan yang dapat dibuat?
4
Ibu mempunyai gula 3 kg untuk dibuat kue. Satu resep kue memerlukan 1 4 2 kg gula. Berapa resep yang dapat dibuat ibu?
Bu Andi mempunyai gula 3 kg untuk membuat minuman. Setiap hari bu Andi 4 menggunakan 1 kg. Berapa hari gula tersebut dapat digunakan?
Pada hakekatnya konsep pembagian merupakan pengurangan berulang. Dalam melaksanakan pembelajaran ini materi prasyarat yang harus diingat adalah konsep pembagian merupakan pengurangan berulang, pecahan campuran, garis bilangan, dan
52
KPK. Guru dapat mengangkat permasalahan-permasalahan nyata yang dapat dituangkan dalam bentuk LK. Sedangkan contoh rangkuman dapat disampaikan berikut ini. Contoh 1. Kakak mempunyai 3 m pita yang akan dibuat hiasan, dan setiap hiasan memerlukan 1 4 4 m pita. Hiasan yang dapat dibuat ada …. 1m 4
1 m 4
1 hiasan
1 hiasan
Dalam kalimat matematika adalah
1m 4
3 : 1=… 4 4
1 hiasan
Dari gambar tampak bahwa ada 3 hiasan yang dapat dibuat dari 3 m pita. 4 Jadi 3 : 1 = 3. 4 4 Contoh 2. Ibu mempunyai gula 3 kg yang akan dibuat kue. Satu resep kue memerlukan 4 gula. Banyaknya resep yang dapat dibuat …. Kalimat matematika dari soal di atas adalah 3 : 1 = … 4 2 Gula yang ada digambarkan ditempatkan pada kantong sebagai berikut.
3 kg 4
1 kg 2
1 kg dapat dibuat 1 resep 2
1 1 kg dapat dibuat resep 4 2
Jadi dari gambar terlihat bahwa 3 kg gula dapat digunakan untuk 1 1 resep. 4 2 Kalimat matematika yang bersesuaian adalah 3 : 1 = 1 1 = 3 . 4 2 2 2 Soal di atas dapat pula digambarkan dengan menggunakan luas daerah sebagai berikut. 3 : 1 = …dapat diartikan sebagai ada berapa 1 an pada bilangan 3 . 4 2 2 4 1
1 satuandari pengambilan an. 2 2
1 satuan dari pengambilan 1 an. 2
Jadi hasil dari 3 : 2 1 1 3 . 4 4 2 2 Cara yang lain untuk mendapatkan hasil pembagian dari pecahan dengan pecahan adalah dengan menyamakan penyebutnya. Karena pada hakekatnya pembagian merupakan 53
pengurangan berulang dengan penyebut yang sama. Agar hasil bagi langsung menunjuk ke bentuk paling sederhana penyamaan penyebut dapat menggunakan KPK. 3 : 1 ... KPK dari penyebutnya adalah KPK (4, 2) = 4. 4 2
Sehingga 3 : 1 3 : 2 . Dengan peragaan garis bilangan akan dapat ditemukan hasilnya. 4 2 4 4 1 2 satuan an 2 4
1 satuan 2 an 4
1 4
0
2 3
3 4
1
Jadi 3 : 2 1 1 3 4
4
2
2
Contoh 3. 5 : 1 ... dapat diartikan sebagai ada berapa 1 an pada bilangan 5 . 6 3 3 6 1 2
satuan dari pengambilan
1 satuan dari pengambilan
1 satuan dari pengambilan
1 3
1 3
1 3
an
an
an
Jadi 5 : 1 2 1 5 . 6
3
2
5 : 1 … 6 3
2
KPK dari penyebutnya = KPK (6, 3) = 6.
Sehingga 5 : 1 5 : 2 6
3
6
6 1 satuan 2 1 6 3
1 satuan 1 satuan 1 satuan 2 0
1 6
3 6
5 6
Dari kedua contoh di atas diperoleh hasil pembagian 3 : 1 3 4 2
1
2
sehingga 3 : 1 3 2 4 2
hasil perkalian 3 2 6 3 4 1 4 2
4
1
hasil pembagian 5 : 1 5 6 3
2
sehingga 5 : 1 5 3
2 hasil perkalian 5 3 15 5 6
1
6
6 3
6
1
2
Dari uraian di atas dapat disimpulkan secara umum bahwa:
a c : b d
a b
d c
54
b. Pembagian pecahan campuran
Permasalahan sederhana sehari-hari yang dapat disampaikan saat awal pembelajaran diberikan contoh berikut.
Dinda mempunyai gula seberat 6 kg yang akan yang akan digunakan untuk 1 membuat sirup. Setiap botol sirup memerlukan 1
2
kg gula. Berapa botol
sirup yang dapat dibuat?
Bu Edi menjual 3
1 2
kg beras yang dimasukkan ke dalam 2 kantong , sehingga
setiap kantong memuat beras yang sama berat. Berapa kg berat beras di setiap kantong?
Penyelesaian dari permasalahan tersebut dapat diperagakan dengan gambar arsiran. Contoh 1 Dinda mempunyai gula seberat 6 kg yang akan digunakan untuk membuat sirup. Setiap 1 botol sirup memerlukan 1 kg gula. Berapa botol sirup yang dapat dibuat? 2 Langkah 1
1 kg
1 kg
1 kg
1 kg
1 kg
1 kg
Langkah 2
1 botol sirup
1 botol sirup
1 botol sirup
1 botol sirup
Jadi 6 kg gula dapat dibuat 4 botol sirup yang masing-masing botol menggunakan 1 gula. Dalam kalimat matematika 6 : 1
1
= 4 atau 6 :
1 2
kg
3
=4 2 2 Bila anak telah memahami konsep melalui peragaan maka dilanjutkan dengan cara formal pembagian pecahan sebagai berikut. 6: 1
1 2
=6:
3 2
=6
2 3
=
12 3
=4
55
Contoh 2 1
Bu Edi menyediakan 12 hari bu Edi memasak 2
2
1 2
kg beras untuk dimasak selama beberapa hari. Bila setiap
kg beras, maka berapa hari beras tersebut akan habis?
Contoh penyelesaian sederhana dengan gambar sebagai berikut Langkah 1. 1
Setiap persegi mewakili 1 kg beras. Ada 12
2
kg beras
Langkah 2 Dikelompokan 2
2
1
hari ke-1 (2
hari ke-3 (2
1
2
hari ke-2 (2
kg)
2
1
kg beras untuk dimasak setiap hari
hari-4 (2
kg)
Jadi 12
Hari ke-5 (2
1 2
kg)
1 2
1 2
1 2
kg)
kg)
kg beras dapat digunakan 5 hari
Dalam kalimat matematika 12
1 2
:2
1 2
= ….
Cara formal (secara matematis) sebagai berikut. 12
1 2
:2
1 2
=
25 2
5 2
=
25 2
2 5
=
25 2 25
=
50 10
= 5.
Jadi beras dapat digunakan selama 5 hari. 56
5. Rangkuman Perkalian dan Pembagian
Dari pembahasan perkalian dan pembagian pecahan biasa tersebut, dapat merangkum dalam sebagai berikut. 1. Perkalian Pecahan Biasa
1) Bilangan asli dikalikan pecahan biasa
Dalam kalimat sederhana: ”apabila bilangan asli dikalikan dengan pecahan biasa maka hasilnya adalah pecahan yang pembilangnya bilangan asli dikalikan pembilang pecahan semula dan penyebutnya sama dengan penyebut pecahan semula”.
Secara umum: a b a b c
c
2) Pecahan biasa dikalikan bilangan asli
Dalam kalimat sederhana: ”apabila pecahan biasa dikalikan dengan bilangan asli maka hasilnya adalah pecahan yang pembilangnya pembilang pecahan semula dikalikan dengan bilangan asli, sedangkan penyebutnya tetap seperti pecahan semula”.
Secara umum: a c a c b b
3) Pecahan biasa dikalikan pecahan biasa
Dalam kalimat sederhana: ”apabila pecahan biasa dikalikan dengan pecahan biasa maka hasilnya adalah pecahan biasa di mana pembilang pecahan pertama dikalikan pembilang pecahan ke dua dan penyebut pecahan pertama dikalikan penyebut pecahan ke dua”.
Secara umum: a c a c b d bd
2. Pembagian pecahan biasa
a. Bilangan asli dibagi pecahan biasa
Dalam kalimat sederhana: ”apabila bilangan asli d ibagi dengan pecahan biasa maka hasilnya sama dengan perkalian bilangan asli itu dengan kebalikan dari pecahan biasa semula (penyebut menjadi pembilang dan pembilang menjadi penyebut)”.
Secara umum: a : b a c a c c
b
b
b. Pecahan biasa dibagi bilangan asli
Apabila pecahan biasa dibagi dengan bilangan asli maka hasilnya adalah pembilang dari pecahan tersebut tetap sedangkan penyebutnya dikalikan dengan bilangan
57
aslinya. Atau pecahan yang dibagi tetap sedangkan tanda pembagian menjadi perkalian dan bilangan asli yang membagi menjadi pecahan yang pembilangnya 1.
Secara umum
a b
:c
a bc
atau
a b
:c
a b
1 c
c. Pecahan biasa dibagi pecahan biasa
Dalam kalimat sederhana:”apabila pecahan biasa dibagi pecahan biasa maka hasilnya sama dengan perkalian
pecahan pertama dengan kebalikan (penyebut
menjadi pembilang dan pembilang menjadi penyebut) pecahan kedua. ”.
Secara umum: a : c a d b
d
b
c
C. Panduan Belajar
Panduan belajar ini menggambarkan proses pembahasan modul yang akan dilaksanakan untuk mapel matematika topik pecahan KB-2. PEMBUKAAN 3. Tujuan/kompetensi yang diharapkan 4. Skenario kegiatan
PROSES Pembahasan topik operasi pecahan: praktek/demonstrasi/diskusi/ tanya jawab
PENUTUP 3. Evaluasi KB-2 4. Refleksi kegiatan
Pada tahap proses peserta melakukan kegiatan yang memahamkan operasi pecahan meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Modul ini digunakan dalam pelatihan guru dengan cara: 1. peragaan/praktek 2. demonstrasi 3. diskusi 4. tanya jawab
D. Media Belajar
Media yang digunakan untuk membahas modul ini meliputi: 1. LCD/laptop 2. papan tulis/whiteboard 3. kertas lipat 4. blok pecahan 5. tali rafia/pita
58
E. Evaluasi Belajar dan Kunci
1. Hasil dari 6 2. Hasil dari 4 3. Hasil dari 1
3
1
+
4 2
+
2 +
3 5 12
5
:
5 4
1 4
1
2
2
1
….
=
5 3
=
5
1 34
=
….
….
4. Hasil dari 23,527 + 24,832 32,127 = ... 5. Dua puluh persen (20%) gaji ayah digunakan untuk keperluan pendidikan. Setengah dari sisa gajinya untuk keperluan rumah tangga. Jika gaji ayah yang tersisa dalam Rp500.000,00, berapakah gaji ayah? (semifinal olimpiade Matematika Muhammadiyah siswa SD/MI Muhammadiyah se Indonesia April 2005) 6. Suatu pekerjaan dapat diselesaikan oleh 10 orang pekerja dalam 5 hari. Jika ada 25 orang pekerja maka dalam berapa hari pekerjaan itu akan selesai? (Latihan soal UASBN SD/MI 2011)
KB-3 PECAHAN SEBAGAI RASIO ATAU PERBANDINGAN Kompetensi 4 (kompetensi profesional)
Menguasai konsep dan metode keilmuan matematika yang mendukung pembelajaran matematika SD/MI 5. Sub kompetensi 4 4.2 Menguasai konsep bilangan, operasi, algoritma, dan sifat-sifat bilangan pecah 6. Indikator esensial 4.2.2 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan bilangan pecah 4.2.3 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan rasio atau perbandingan
D. Pecahan Sebagai Rasio (Perbandingan)
Rasio dipelajari anak di kelas VI semester 2 dengan fokus pada soal cerita. Karena soal cerita merupakan permasalahan tersendiri buat peserta didik, maka pembelajaran rasio tidak mudah. Sebuah pecahan yang menunjukkan rasio tidak sama dengan pecahan yang mewakili bagian dari keseluruhan (utuh). Bila pecahan biasa digunakan untuk menunjukkan rasio akan mempunyai interpretasi yang berbeda dibandingkan dengan pecahan sebagai bagian dari utuh. 59
Untuk memahami mengapa pecahan merupakan perbandingan dapat dipikirkan contohcontoh situasi berikut ini. Contoh 1 Tinggi badan Diar dan Dhika masing-masing 150 cm dan 180 cm. Maka perbandingan tinggi Diar dan Dhika adalah 150 : 180 atau 5 : 6 dengan masing-masing dibagi 30 yang dikatakan sebagai pembanding. Sehingga dapat dikatakan bahwa tinggi Diar : tinggi Dhika = 5 : 6 (dibaca lima dibanding enam) atau tinggi Diar adalah
5 6
(baca lima per enam) tinggi Dhika.
Dengan demikian dapat dikatakan bahwa perbandingan 5 : 6 dapat dinyatakan sebagai pecahan
5 6
, dan perbandingan 6 : 5 dapat dinyatakan sebagai
6 5
.
Contoh 2 Di meja makan terdapat 2 macam buah masing-masing 5 apel dan 8 jeruk. Maka perbandingan banyaknya apel dengan banyaknya jeruk adalah 5 : 8. Apabila banyaknya apel dan jeruk masing-masing dinyatakan sebagai A dan J maka secara singkat dapat ditulis 5 sebagai A : J = 5 : 8 atau A = . Sedangkan banyaknya jeruk (J) dibanding banyaknya apel 8 J
(A) dapat ditulis secara singkat J : A = 8 : 5 atau J = 8 . A
5 apel
5
A : J = 5 : 8 atau
A 5 = 8 J
J : A = 8 : 5 atau
J 8 = A 5
8 jeruk
Contoh 3 Umur ibu dibanding umur ayah adalah 4 : 6. Jumlah umur mereka adalah 70 tahun. Berapa tahun umur masing-masing? Contoh penyelesaian. Umur ibu : umur ayah = 4 : 6. Jumlah perbandingan umur mereka = 4 + 6 = 10. Umur ibu = ( 4 70) tahun = 28 tahun. 10
Umur ayah = ( 6 70) tahun = 42 tahun. 10
Jadi umur ibu = 28 tahun dan umur ayah = 42 tahun. 60
C. Panduan Belajar
Panduan belajar ini menggambarkan proses pembahasan modul yang akan dilaksanakan untuk mapel matematika topik pecahan KB-3.
PEMBUKAAN 1. Tujuan/kompetensi yang diharapkan 2. Skenario kegiatan
PROSES Pembahasan topik pecahan sebagai rasio: praktek/demonstrasi/diskusi/ tanya jawab
PENUTUP 5. Evaluasi KB-3 6. Refleksi kegiatan
Pada tahap proses peserta melakukan kegiatan yang memahamkan pecahan sebagai rasio.
D. Media Belajar
Media yang digunakan untuk membahas modul ini meliputi: 1. LCD/laptop 2. papan tulis/whiteboard 3. kertas lipat/tali rafia/pita 4. blok pecahan
E. Evaluasi Belajar
1. Perbandingan uang Dani dengan uang Arif adalah 4 : 7. Jumlah uang mereka Rp2.200.000,00. Berapa rupiah uang mereka masing-masing? 2. Perbandingan uang Rini dengan uang Dewi adalah 4 : 7. Selisih uang mereka Rp 900.000,00. Berapa rupiah uang mereka masing-masing? 3. Dalam tahun 1997 klasifikasi pertandingan menunjukkan bahwa 5% kalah, 35% seri dan menang 12 kali. Berapa banyaknya pertandingan yang diikuti dalam 1 tahun?
61
BAB III PENUTUP
A. Simpulan
Ada beberapa hal yang perlu diperhatikan guru dalam menyampaikan pembelajaran pecahan antara lain sebagai berikut. 1. Urutan konsep harus diperhatikan artinya pembelajaran harus urut (tidak melompatlompat) karena konsep yang satu merupakan materi prasyarat dari konsep yang lain. 2. Media pembelajaran sangat penting artinya bagi siswa untuk mengkongkretkan materi yang disampaikan. 3. Pembelajaran dengan pendekatan PAKEM harus diwujudkan agar pemahaman dan penalaran siswa menjadi berkembang.
B. Kunci Jawaban Kegiatan belajar 1 (KB-1)
1. Alternatif penyelesaian a. Misalkan 0,111… = n atau n = 0,111… Bila n dikalikan 10 akan menjadi 10 n = 10 0,111… 10 n
= 1,111…
n
= 0,111…
9n
= 1
Jadi n =
1 9
atau 0, 111… =
1 9
b. Misalkan 0,333… = n atau n = 0,333… Bila n dikalikan 10 akan menjadi 10 n = 10 0,333… 10 n
= 3,333…
n
= 0,333…
9n
= 3
Jadi n =
3 9
=
1 3
atau 0, 333… =
1 3
c. Misalkan 0,666… = n atau n = 0,666… Bila n dikalikan 10 akan menjadi 10 n = 10 0,666… 62
10 n
= 6,666…
n
= 0,666…
9n
= 6
Jadi n =
6
8
=
3 4
=
=
9
2. Hasil dari 6
6 8 75
2
atau 0, 666… =
3
2 3
= ….%
100
= 0,75
3. Alternatif penyelesaian Misalkan pecahan tersebut
a
. Maka pembilang = a dan penyebut b. b Pembilang dan penyebut masing- masing dikurangi 5. Maka a 5 dan b 5. (a 5) 1 Pecahan menjadi = . Menggunakan perkalian silang, akan menghasilkan: (b 5) 2 2 (a 5) = 1 (b 5) ( 2 a) (2 5)= (1 b) (15) 2a 10 = b 5 2a 10 + 5 = b atau b = 2a 5 .... (1) Pembilang dan penyebut masing- masing ditambah 1. Jadi a + 1 dan b + 1. ( a 1)
Pecahan menjadi
(b 1)
=
2 3
. Menggunakan perkalian silang, akan menghasilkan:
3 (a + 1) = 2 (b + 1) ...... (2). Bila (1) dimasukkan akan didapat (3 a) + (31) = 2 ((2a 5) + 1). 3a + 3
= 2 ((2a 5 + 1).
3a + 3
= 2 (2a 4).
3a + 3
= (22a) (24).
3a + 3
= 4a 8.
3 + 8 = 4a 3a a = 11 (1) b = 2a 5 = (2 11) 5 = 17 Pecahan itu adalah
11 17
. Jadi jumlah pembilang dan penyebut dari pecahan = 11 + 17 = 28
Kegiatan Belajar 2 (KB-2)
63
3
1. Hasil dari 6
1
+
4
+1
2
2
= ….
5
Alternatif jawaban 6
3 4
+
1 2
+1
2
= 6+
5
=7+
2
2. Hasil dari 4
+5
3
1
3 4
15 20
2
+1+
2
+
2
4
1
+
10 20
3
+
5
8 20
=6+1+ =7+
33 20
3 4
+
=8
1 2
+
2 5
(KPK 4,2,5 adalah 20)
13 20
= ….
5
Alternatif jawaban 4
2 3
+5
1 4
2
3
2
= 4+
5
3
+5+
=7+
3. Hasil dari 1
5 12
:
5 4
2 3
+
40 60
1
1
1 34
3
4
+
4
2
= 4 + 52 + =7+
1
3
60
1
12
:
5 4
1
1 34
=
17 12
:
5 4
1
4
3 5 3 5
( KPK dari 3,4,5 adalah 60)
36 60
=7+
19 60
=7
19 60
= ….
Alternatif jawaban 5
+
5
15
2
35 34
=
1 17 12 3
1 4 5
35 7 34 2
=
7 6
=1
1 6
4. Hasil dari 23,527 + 24,832 32,127 = ... Alternatif jawaban 23, 527 24, 832 + 48, 359 32, 127 16, 232
64
5. Dua puluh persen (20%) gaji ayah digunakan untuk keperluan pendidikan. Setengah dari sisa gajinya untuk keperluan rumah tangga. Jika gaji a yah yang tersisa dalam Rp500.000,00, berapakah gaji ayah? (semifinal olimpiade Matematika Muhammadiyah siswa SD/MI Muhammadiyah se Indonesia April 2005) Alternatif penyelesaian dengan gambar . Gaji ayah keseluruhan adalah 100% atau 1 utuh dan digambar sebagai persegipanjang
20% atau
.
20 100
=
1 5
dari gaji ayah digunakan
untuk keperluan pendidikan
20% Sisanya Rp500.000,00 terdiri dari 2 bagian Setengah dari sisanya digunakan untuk keperluan rumah tangga
Dua (2) bagian senilai dengan 500.000. Kalau 1 bagian senilai dengan 500.000 : 2 = 250.000. Gaji ayah pada gambar terdiri dari 5 bagian. Jadi gaji ayah senilai dengan = 5
250.000 = 1.250.000 atau Rp1.250.000,00
6. Suatu pekerjaan dapat diselesaikan oleh 10 orang pekerja dalam 5 hari. Jika ada 25 orang pekerja maka dalam berapa hari pekerjaan itu akan selesai? (Latihan soal UASBN SD/MI 2011) Alternatif jawaban dengan gambar
Satu pekerjaan diselesaikan 10 orang dalam 5 hari. 1 hari 10 orang dapat menyelesaikan
1 5
bagian
pekerjaan (yang diarsir) 1 hari (hari ke-1 dan seterusnya) 65
1 hari untuk 10 orang dapat menyelesaikan
1 5
bagian pekerjaan
1 hari untuk 1 orang dapat menyelesaikan = (
1 5 1
: 10) bagian pekerjaan
1 = ( ) bagian pekerjaan 5 10 1 = bagian pekerjaan 50 1 1 hari untuk 25 orang dapat menyelesaikan = (25 ) bagian pekerjaan 50 25 = bagian pekerjaan 50 1 = bagian pekerjaan 2 Jadi 1 pekerjaan dapat diselesaikan 25 orang 1 2 dalam = (1 : ) hari = ( 1 ) hari = 2 hari 2 1 1 hari (hari ke-2) 1 hari (hari ke-1)
Kegiatan Belajar 3 (KB-3)
1. Perbandingan uang Dani dengan uang Arif adalah 4 : 7. Jumlah uang mereka Rp2.200.000,00. Berapa rupiah uang mereka masing-masing? Contoh penyelesaian 1
Misalkan uang Dani = D dan uang Arif = A maka D : A = 4 : 7 atau D 4 . Jumlah A
7
perbandingan uang mereka = D + A = 4 + 7 = 11. Untuk mencari uang masing-masing dibentuk perbandingan sebagai berikut. D : ( D + A) = 4 : 11 atau A : (D + A) = 7 : 11 atau Jadi uang Dani = ( Arif = (
7 11
4 11
D DA A D A
4 11 7 11
2.200.000) rupiah = 800.000 rupiah atau Rp800.000,00 dan uang
2.200.000) rupiah = 1.400.000 rupiah atau Rp1.400.000,00.
Contoh penyelesaian 2
66
Misal setiap bagian uang digambar sebagai petak Uang Dani 4 bagian digambar 4 petak dan uang Arif 7 bagian digambar 7 petak.
Uang Dani
Uang Arif
Jumlah uang mereka Rp.2.200.000,00 terdiri dari 11 petak
Jadi 1 petak =
2.200.000 11
= 200.000
Uang Dani 4 petak. Jadi uang Dani = 4 200.000 = 800.000 atau Rp800.000,00 Uang Arif 7 petak. Jadi uang Arif = 7 200.000 = 1.400.000 atau Rp1.400.000,00
2. Perbandingan uang Rini dengan uang Dewi adalah 4 : 7. Selisih uang mereka Rp 900.000,00. Berapa rupiah uang mereka masing-masing? Contoh penyelesaian Misalkan uang Rini = R dan uang Dewi = D maka R : D = 4 : 7 atau R 4 . D
7
Selisih perbandingan uang mereka = D – R = 7 – 4 = 3. Untuk mencari uang masing-masing dibentuk perbandingan sebagai berikut. R : (D – R) = 4 : 3 atau D : (D – R) = 7 : 3 atau
R DR D DR
4
7
3 3
.
4 Jadi uang Rini = ( 900.000) rupiah = 1.200.000 rupiah atau Rp1.200.000,00 dan uang 3 7 Dewi = ( 900.000) rupiah = 2.100.000 rupiah atau Rp2.100.000,00. 3
3. Dalam tahun 1997 klasifikasi pertandingan menunjukkan bahwa 5% kalah, 35% seri dan menang 12 kali. Berapa banyaknya pertandingan yang diikuti dalam 1 tahun? Alternatif penyelesaian. Persentase pertandingan yang kalah = 5% Persentase pertandingan yang seri = 35% Persentase pertandingan yang menang = (100 – 5 – 35)% = 60% 67
Sehingga perbandingan persentase pertandingan = 5 : 35 : 60 Dalam 1 tahun menang 12 kali. Banyaknya kalah dalam 1 tahun = ( 5 12) kali = 1 kali. 60
Banyaknya seri dalam 1 tahun = ( 35 12) kali = 7 kali. 60
Jadi jumlah pertandingan yang diikuti dalam 1 tahun = (1 + 7 + 12) kali = 20 kali
DAFTAR PUSTAKA
68
